相似そうじな図形ずけい

この章しょうで学まなぶこと

中学ちゅうがく 2 年ねんで学まなんだ 合同ごうどう (ごうどうごうどう) は 「形かたちも大おおきさも同おなじ」。 中学ちゅうがく 3 年ねんで学まなぶ 相似そうじ は 「形は同おなじで大おおきさは違ちがう」。 拡大かくだい・縮小しゅくしょうしてぴたっと重かさなる関係かんけいです。

入試にゅうしでは 三角形さんかくけいの 相似そうじ を 証明しょうめい する問題もんだい と、 相似そうじ比ひから長ながさ・面積めんせき・体積たいせきを求もとめる問題もんだい が必かならず出でます。 図形ずけい単元たんげんの中なかでも配点はいてんが大おおきい重要じゅうよう章しょう。

ゴール:

• 相似そうじの定義ていぎと表記ひょうき ($△ABC\sim △DEF$) が理解かい できる
• 三角形さんかくけいの相似そうじ条件じょうけん 3 つ を暗記あんきし、 証明しょうめいで適切てきせつに使つかえる
• 相似そうじ比ひ = 1 : 2 → 面積めんせき比ひ = 1 : 4、 体積たいせき比ひ = 1 : 8 を即答そくとうできる
• 中点連結定理ちゅうてんれんけつていり を使つかいこなせる
• 平行へいこう線せんと比ひ (平行線と線分の比へいこうせんとせんぶんのひ) で線分せんぶんの長ながさを求もとめられる

1. 相似そうじとは

2 つの図形ずけいで、 一方いっぽうを 拡大かくだい ・ 縮小しゅくしょう すると他方たほうとぴったり重かさなるとき、 これらは 相似そうじ であるという。 記号きごうは $\sim$。

例れい: $△ABC\sim △DEF$ と書かくと、

• 対応たいおうする角かくは等ひとしい: $\angle A=\angle D, \angle B=\angle E, \angle C=\angle F$
• 対応たいおうする辺あたりの比ひが等ひとしい: $AB:DE=BC:EF=CA:FD$

この等ひとしい比ひを 相似比そうじひ といいます。 相似比そうじひ が 1 : 1 なら合同ごうどう。

表記ひょうきの鉄則てっそく:相似そうじを書かくときは 対応たいおう順じゅんに 頂点ちょうてん を並ならべる。 $△ABC\sim △DEF$ なら A↔D、 B↔E、 C↔F。 順序じゅんじょを間違まちがえると減点げんてん。

2. 三角形さんかくけいの相似そうじ条件じょうけん (3 つ)

合同ごうどう条件じょうけん (3 辺あたり、 2 辺あたりと間まの角かく、 1 辺あたりと両端りょうたんの角かく) と似にているが、 角が 1 つ緩ゆるくなる イメージ。

1. 3 組くみの辺あたりの比ひがすべて等ひとしい
2. 2 組くみの辺あたりの比ひとその間かんの角かくが等ひとしい
3. 2 組くみの角かくがそれぞれ等ひとしい

中学ちゅうがく入試にゅうしでは 3 番ばん (2 組くみの角かく) が圧倒的あっとうてきに出題しゅつだい多おおい。 角度かくどは平行へいこう線せんの 錯角さっかく / 同位どうい角かく、 共通きょうつうの角かく、 円周えんしゅう角かく等とうから取とることが多おおい。

例題れいだい 1: 相似そうじの証明しょうめい

$△ABC$ で、 BC // DE (D は AB 上うえ、 E は AC 上うえ) のとき、 $△ADE\sim △ABC$ を証明しょうめいせよ。

証明しょうめい

• $\angle A$ は共通きょうつう ... ①
• $BC$ // $DE$ より、 同位角どういかく で $\angle ADE=\angle ABC$ ... ②
• ①、 ② より 2 組くみの角かくがそれぞれ等ひとしい ので、 $△ADE\sim △ABC$。 (証明しょうめい終おわり)

ポイント: 「平行へいこう線せんがある」 と言いわれたら即そく 「同位どうい角かく・錯角さっかくで角かくを持もってこよう」。 これが相似そうじ証明しょうめいの テンプレ。

3. 相似そうじ比ひと線分せんぶんの長ながさ

相似そうじ比ひが分わかると、 対応たいおうする辺あたりの長ながさが求もとまります。

例題れいだい 2: $△ABC\sim △DEF$、 相似そうじ比ひが 2 : 3、 $AB=8$ cm のとき、 $DE$ の長ながさを求もとめよ。

$AB:DE=2:3$ なので、

$8:DE=2:3⟹DE=12 cm$

例題れいだい 3: 図ずで BC // DE、 $AD=4,DB=6,BC=15$ のとき $DE$ を求もとめよ。

$△ADE\sim △ABC$、 相似そうじ比ひ = $AD:AB=4:10=2:5$。

$DE:BC=2:5⟹DE=15\times \frac{2}{5}=6$

4. 面積めんせき比ひと体積たいせき比ひ

相似そうじな図形ずけいの 大おおきさ の比ひが、 何なんとどう連動れんどうするかを整理せいり。

量りょう	比ひ
長ながさ (相似そうじ比ひ)	$a:b$
面積めんせき比ひ	$a^2:b^2$
体積たいせき比ひ	$a^3:b^3$

例題れいだい 4: $△ABC\sim △DEF$、 相似そうじ比ひが 2 : 3 のとき、 面積めんせき比ひを求もとめよ。

$2^2:3^2=4:9$

例題れいだい 5: 半径はんけい比ひが 1 : 2 の球たまの体積たいせき比ひは?

$1^3:2^3=1:8$

例題れいだい 6 (入試にゅうし頻出ひんしゅつ): 相似そうじな三角形さんかくけいで面積めんせき比ひが 9 : 16 のとき、 周しゅうの長ながさの比ひ (= 相似そうじ比ひ) は?

$\sqrt{9}:\sqrt{16}=3:4$

鉄則てっそく: 「面積めんせき比ひから相似そうじ比ひを出だす」 ときは $\sqrt{}$、 「相似そうじ比ひから体積たいせき比ひを出だす」 ときは 3 乗。 暗記あんきして使つかいこなす。

5. 中点ちゅうてん連結れんけつ定理ていり

三角形さんかくけいの 2 辺あたりの中点ちゅうてんを結むすんだ線分せんぶん は、 残のこりの辺あたりと平行へいこうで、 長ながさはその半分はんぶん。

$△ABC$ で、 M が AB の中点ちゅうてん、 N が AC の中点ちゅうてんなら、

$MN\parallel BC,MN=\frac{1}{2}BC$

例題れいだい 7: $△ABC$ で、 AB = 10, AC = 8, BC = 12, M を AB の中点ちゅうてん、 N を AC の中点ちゅうてんとする。 MN の長ながさを求もとめよ。

$MN=\frac{1}{2}\times 12=6$

例題れいだい 8 (応用おうよう): 四角形しかくけい ABCD の各かく辺あたりの中点ちゅうてんを P, Q, R, S とする。 四角形しかくけい PQRS はどんな四角形しかくけいか。

考かんがえ方かた対角線たいかくせん AC を引ひくと、 PQ, SR は AC の中点ちゅうてん連結れんけつでそれぞれ AC // で長ながさ $\frac{1}{2}AC$。 同様どうように PS, QR は BD // で長ながさ $\frac{1}{2}BD$。 → 向むかい合あう辺あたりが平行へいこうで長ながさも等ひとしい → 平行四辺形へいこうしへんけい。

ポイント:中点ちゅうてん連結れんけつ定理ていり は入試にゅうしで 「気きづけるか」 が鍵かぎ。 中点ちゅうてんが 2 つ以上いじょう出でたらすぐ疑うたがう。

6. 平行へいこう線せんと線分せんぶんの比ひ

3 本ほんの平行へいこう線せんが 2 直線ちょくせんに切きられたとき、 切きり取とられる線分せんぶんの比ひは等ひとしい。

直線ちょくせん${\ell }_1,{\ell }_2$ が平行へいこう線せん$a,b,c$ とそれぞれ交まじわる 交点こうてん を $A,B,C$ と $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ とすると、

$AB:BC=A^{\prime }{B}^{\prime }:B^{\prime }{C}^{\prime }$

三角形さんかくけいでの形かたち (基本きほん中ちゅうの基本きほん)

$△ABC$ で、 BC に平行へいこうな直線ちょくせんが AB を D、 AC を E で切きるとき、

$AD:DB=AE:EC$ $AD:AB=AE:AC=DE:BC$

例題れいだい 9: $△ABC$ で BC // DE、 $AD=6,DB=4,AE=9$ のとき $EC$ を求もとめよ。

$AD:DB=AE:EC⟹6:4=9:EC⟹EC=6$

7. 相似そうじを利用りようする文章ぶんしょう題だい (入試にゅうし頻出ひんしゅつ)

例れい 1: 影かげの長ながさ

例題れいだい 10: 高たかさ 1.6 m の人ひとの影かげが 2 m。 同おなじ時間じかんの木きの影かげが 7 m。 木きの高たかさは?

人ひとと木きの三角形さんかくけい (太陽光たいようこうを 斜辺しゃへん とする) は相似そうじ。

$\frac{1.6}{2}=\frac{x}{7}⟹x=5.6 m$

例れい 2: 鏡かがみを使つかう測量そくりょう

例題れいだい 11: 鏡かがみを床ゆかに置おき、 木きのてっぺんが鏡かがみに映うつる位置いちから鏡かがみまで 1 m、 木きから鏡かがみまで 5 m、 観測かんそく者しゃの目めの高たかさ 1.5 m。 木きの高たかさは?

入射にゅうしゃ角かく = 反射はんしゃ角かく → 三角形さんかくけいが相似そうじ。

$\frac{1.5}{1}=\frac{x}{5}⟹x=7.5 m$

8. 入試にゅうしでの相似そうじのよくあるパターン

(1) 円えんとの融合ゆうごう (次じ章しょうで学まなぶ円周えんしゅう角かくと一緒いっしょに)

例題れいだい 12: 円えんに内接ないせつする四角形しかくけいの対角線たいかくせんでできる 4 つの三角形さんかくけいのうち、 隣となり合あわない 2 つは相似そうじ (円周えんしゅう角かくで角かくが等ひとしい)。

(2) 折おり返かえし図形ずけい

例題れいだい 13: 長方形ちょうほうけいを折おり返かえしてできる三角形さんかくけいの相似そうじを利用りようし、 折おり目めや線分せんぶんの長ながさを求もとめる。

(3) 1 つの図ずに何なん度ども相似そうじが隠かくれる

入試にゅうしでは 1 つの図ずで 3 〜 4 組 の相似そうじが同時どうじに成なり立たつことも。 全部ぜんぶを列挙れっきょして、 必要ひつようなものを選えらぶ力ちからが問とわれる。

9. 章しょう末まつ演習えんしゅう (入試にゅうし形式けいしき)

(1) $△ABC\sim △DEF$、 相似そうじ比ひ 4 : 5。 $△ABC$ の面積めんせきが 32 cm${}^2$ のとき $△DEF$ の面積めんせきを求もとめよ。 (2) $△ABC$ で $BC\parallel DE$、 $AD=5,DB=3,BC=16$ のとき $DE$ の長ながさ。 (3) 中点ちゅうてん連結れんけつ定理ていりを使つかい、 $△ABC$ ($BC=14$ cm) の各かく辺あたりの中点ちゅうてんを結むすんでできる三角形さんかくけいの周しゅうの長ながさを求もとめよ ($AB=10,CA=12$)。 (4) 相似そうじ比ひが 2 : 3 の 直方体ちょくほうたい で、 小ちいさい方ほうの体積たいせきが 24 cm${}^3$ のとき大おおきい方ほうの体積たいせきを求もとめよ。

略解りゃっかい: (1) 面積めんせき比ひ = $4^2:5^2=16:25$ → $△DEF=32\times \frac{25}{16}=50$ cm${}^2$ (2) $AD:AB=5:8$ → $DE=16\times \frac{5}{8}=10$ cm (3) 周しゅう = $\frac{1}{2}(10+12+14)=18$ cm (4) 体積たいせき比ひ = $8:27$、 大おおきい = $24\times \frac{27}{8}=81$ cm${}^3$

章のまとめ:相似そうじの主役しゅやくは 三角形さんかくけいの相似そうじ条件じょうけん (特とくに 2 組くみの角かく) と 相似そうじ比ひ → 面積めんせき比ひ ($a^2$) → 体積たいせき比ひ ($a^3$)。 中点ちゅうてん連結れんけつ定理ていりと平行へいこう線せんと比ひは 「気きづき力りょく」 で差さがつく。

まとめ — 相似そうじな図形ずけいを 3 行くだりで

• 三角形の相似条件さんかっけいのそうじじょうけん は「3 組くみの辺あたりの比ひが等ひとしい」「2 組くみの辺あたりの比ひと挟はさむ角かくが等ひとしい」「2 組くみの角かくが等ひとしい」 の 3 つで、 とくに「2 組くみの角かく」 が頻出ひんしゅつである
• 相似比そうじひ が $a:b$ のとき面積比めんせきひは $a^2:b^2$、 体積比たいせきひは $a^3:b^3$ となり、 次元じげんに応おうじた累乗るいじょうが本質ほんしつである
• 中点連結定理ちゅうてんれんけつていり (中点ちゅうてんを結むすぶ線分せんぶんは第だい三さん辺へんに平行へいこうで長ながさは半分はんぶん) と平行線と線分の比へいこうせんとせんぶんのひは、 補助ほじょ線せんで相似そうじを見みつける眼力がんりきが問とわれる