相似そうじな図形づけい

この章しょうで学まなぶこと

中学ちゅうがく 2 年ねん で 学まなん だ 合同ごうどう (ごうどうごうどう) は 「形かたち も 大おおきさ も 同おなじ」。 中学ちゅうがく 3 年ねん で 学まなぶ 相似そうじ は 「形 は 同おなじ で 大おおきさ は 違ちがう」。 拡大かくだい・縮小しゅくしょう し て ぴたっ と 重かさなる 関係かんけい です。

入試にゅうし で は 三角形さんかっけい の 相似そうじ を 証明しょうめい する 問題もんだい と、 相似そうじ比ひ から 長ながさ・面積めんせき・体積たいせき を 求もとめる 問題もんだい が 必かならず 出で ます。 図形づけい単元たんげん の 中なか で も 配点はいてん が 大おおきい 重要じゅうよう章しょう。

ゴール:

• 相似そうじ の 定義ていぎ と 表記ひょうき ($△ABC\sim △DEF$) が 理解りかい でき る
• 三角形さんかっけい の 相似そうじ条件じょうけん 3 つ を 暗記あんき し、 証明しょうめい で 適切てきせつ に 使つかえ る
• 相似そうじ比ひ = 1 : 2 → 面積めんせき比ひ = 1 : 4、 体積たいせき比ひ = 1 : 8 を 即答そくとう でき る
• 中点 連結 定理ちゅうてんれんけつていり を 使つかい こな せ る
• 平行へいこう線せん と 比ひ (平行 線 と 線分 の 比へいこうせんとせんぶんのひ) で 線分せんぶん の 長ながさ を 求もとめ られる

1. 相似そうじ と は

2 つ の 図形づけい で、 一方いっぽう を 拡大かくだい ・ 縮小しゅくしょう する と 他方たほう と ぴったり 重おも なる とき、 これ ら は 相似そうじ で ある と いう。 記号きごう は $\sim$。

例れい: $△ABC\sim △DEF$ と 書かく と、

• 対応たいおう する 角かく は 等ひとしい: $\angle A=\angle D, \angle B=\angle E, \angle C=\angle F$
• 対応たいおう する 辺あたり の 比ひ が 等ひとしい: $AB:DE=BC:EF=CA:FD$

この 等ひとしい 比ひ を 相似比そうじひ と いい ます。 相似そうじ比ひ が 1 : 1 なら 合同ごうどう。

表記ひょうき の 鉄則てっそく:相似そうじ を 書かく とき は 対応たいおう順じゅん に 頂点ちょうてん を 並ならべる。 $△ABC\sim △DEF$ なら A↔D、 B↔E、 C↔F。 順序じゅんじょ を 間違まちがえる と 減点げんてん。

2. 三角形さんかっけい の 相似そうじ条件じょうけん (3 つ)

合同ごうどう条件じょうけん (3 辺あたり、 2 辺あたり と 間ま の 角すみ、 1 辺あたり と 両端りょうたん の 角かく) と 似に て いる が、 角 が 1 つ 緩ゆるく なる イメージ。

1. 3 組くみ の 辺あたり の 比ひ が すべて 等ひとしい
2. 2 組くみ の 辺あたり の 比ひ と その 間ま の 角かく が 等ひとしい
3. 2 組くみ の 角かく が それぞれ 等ひとしい

中学ちゅうがく入試にゅうし で は 3 番ばん (2 組くみ の 角かく) が 圧倒的あっとうてき に 出題しゅつだい多おおい。 角度かくど は 平行へいこう線せん の 錯角さっかく / 同位どうい角かく、 共通きょうつう の 角すみ、 円周えんしゅう角かく等とう から 取とる こと が 多おおい。

例題れいだい 1: 相似そうじ の 証明しょうめい

$△ABC$ で、 BC // DE (D は AB 上うえ、 E は AC 上うえ) の とき、 $△ADE\sim △ABC$ を 証明しょうめい せよ。

証明しょうめい

• $\angle A$ は 共通きょうつう ... ①
• $BC$ // $DE$ より、 同位どうい角かく で $\angle ADE=\angle ABC$ ... ②
• ①、 ② より 2 組くみ の 角かく が それぞれ 等ひとしい ので、 $△ADE\sim △ABC$。 (証明しょうめい終おわり)

ポイント: 「平行へいこう線せん が ある」 と 言いわ れ たら 即そく 「同位どうい角かく・錯角さっかく で 角かく を 持もっ て こ よう」。 これ が 相似そうじ証明しょうめい の テンプレ。

3. 相似そうじ比ひ と 線分せんぶん の 長ながさ

相似そうじ比ひ が 分わかる と、 対応たいおう する 辺あたり の 長ながさ が 求もとめ まり ます。

例題れいだい 2: $△ABC\sim △DEF$、 相似そうじ比ひ が 2 : 3、 $AB=8$ cm の とき、 $DE$ の 長ながさ を 求もとめ よ。

$AB:DE=2:3$ なので、

$8:DE=2:3⟹DE=12 cm$

例題れいだい 3: 図ず で BC // DE、 $AD=4,DB=6,BC=15$ の とき $DE$ を 求もとめ よ。

$△ADE\sim △ABC$、 相似そうじ比ひ = $AD:AB=4:10=2:5$。

$DE:BC=2:5⟹DE=15\times \frac{2}{5}=6$

4. 面積めんせき比ひ と 体積たいせき比ひ

相似そうじ な 図形づけい の 大おおきさ の 比ひ が、 何なに と どう 連動れんどう する か を 整理せいり。

量りょう	比ひ
長ながさ (相似そうじ比ひ)	$a:b$
面積めんせき比ひ	$a^2:b^2$
体積たいせき比ひ	$a^3:b^3$

例題れいだい 4: $△ABC\sim △DEF$、 相似そうじ比ひ が 2 : 3 の とき、 面積めんせき比ひ を 求もとめ よ。

$2^2:3^2=4:9$

例題れいだい 5: 半径はんけい比ひ が 1 : 2 の 球たま の 体積たいせき比ひ は?

$1^3:2^3=1:8$

例題れいだい 6 (入試にゅうし頻出ひんしゅつ): 相似そうじ な 三角形さんかっけい で 面積めんせき比ひ が 9 : 16 の とき、 周しゅう の 長ながさ の 比ひ (= 相似そうじ比ひ) は?

$\sqrt{9}:\sqrt{16}=3:4$

鉄則てっそく: 「面積めんせき比ひ から 相似そうじ比ひ を 出だす」 とき は $\sqrt{}$、 「相似そうじ比ひ から 体積たいせき比ひ を 出だす」 とき は 3 乗。 暗記あんき し て 使つかい こな す。

5. 中点ちゅうてん連結れんけつ定理ていり

三角形さんかっけい の 2 辺あたり の 中点ちゅうてん を 結むすん だ 線分せんぶん は、 残のこり の 辺あたり と 平行へいこう で、 長ながさ は その 半分はんぶん。

$△ABC$ で、 M が AB の 中点ちゅうてん、 N が AC の 中点ちゅうてん なら、

$MN\parallel BC,MN=\frac{1}{2}BC$

例題れいだい 7: $△ABC$ で、 AB = 10, AC = 8, BC = 12, M を AB の 中点ちゅうてん、 N を AC の 中点ちゅうてん と する。 MN の 長ながさ を 求もとめ よ。

$MN=\frac{1}{2}\times 12=6$

例題れいだい 8 (応用おうよう): 四角形しかっけい ABCD の 各かく辺あたり の 中点ちゅうてん を P, Q, R, S と する。 四角形しかっけい PQRS は どんな 四角形しかっけい か。

[[考|かんが]え[方|かた]]対角線たいかくせん AC を 引ひく と、 PQ, SR は AC の 中点ちゅうてん連結れんけつ で それぞれ AC // で 長ながさ $\frac{1}{2}AC$。 同様どうよう に PS, QR は BD // で 長ながさ $\frac{1}{2}BD$。 → 向むかい合あう 辺あたり が 平行へいこう で 長ながさ も 等ひとしい → 平行四辺形へいこうしへんけい。

ポイント:中点ちゅうてん連結れんけつ定理ていり は 入試にゅうし で 「気きづける か」 が 鍵かぎ。 中点ちゅうてん が 2 つ 以上いじょう出で たら すぐ 疑うたがう。

6. 平行へいこう線せん と 線分せんぶん の 比ひ

3 本ほん の 平行へいこう線せん が 2 直線ちょくせん に 切せつ られ た とき、 切きり取とられる 線分せんぶん の 比ひ は 等ひとしい。

直線ちょくせん${\ell }_1,{\ell }_2$ が 平行へいこう線せん$a,b,c$ と それぞれ 交まじわる 交点こうてん を $A,B,C$ と $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ と する と、

$AB:BC=A^{\prime }{B}^{\prime }:B^{\prime }{C}^{\prime }$

三角形さんかっけい で の 形かたち (基本きほん中ちゅう の 基本きほん)

$△ABC$ で、 BC に 平行へいこう な 直線ちょくせん が AB を D、 AC を E で 切きる とき、

$AD:DB=AE:EC$ $AD:AB=AE:AC=DE:BC$

例題れいだい 9: $△ABC$ で BC // DE、 $AD=6,DB=4,AE=9$ の とき $EC$ を 求もとめ よ。

$AD:DB=AE:EC⟹6:4=9:EC⟹EC=6$

7. 相似そうじ を 利用りよう する 文章ぶんしょう題だい (入試にゅうし頻出ひんしゅつ)

例れい 1: 影かげ の 長ながさ

例題れいだい 10: 高こう さ 1.6 m の 人ひと の 影かげ が 2 m。 同おなじ 時間じかん の 木き の 影かげ が 7 m。 木き の 高こう さ は?

人ひと と 木き の 三角形さんかっけい (太陽光たいようこう を 斜辺しゃへん と する) は 相似そうじ。

$\frac{1.6}{2}=\frac{x}{7}⟹x=5.6 m$

例れい 2: 鏡かがみ を 使つかう 測量そくりょう

例題れいだい 11: 鏡かがみ を 床ゆか に 置おき、 木き の てっぺん が 鏡かがみ に 映うつる 位置いち から 鏡かがみ まで 1 m、 木き から 鏡かがみ まで 5 m、 観測かんそく者しゃ の 目め の 高こう さ 1.5 m。 木き の 高こう さ は?

入射にゅうしゃ角かく = 反射はんしゃ角かく → 三角形さんかっけい が 相似そうじ。

$\frac{1.5}{1}=\frac{x}{5}⟹x=7.5 m$

8. 入試にゅうし で の 相似そうじ の よく ある パターン

(1) 円えん と の 融合ゆうごう (次じ章しょう で 学まなぶ 円周えんしゅう角かく と 一緒いっしょ に)

例題れいだい 12: 円えん に 内接ないせつ する 四角形しかっけい の 対角線たいかくせん で できる 4 つ の 三角形さんかっけい の うち、 隣となり合ごう わ ない 2 つ は 相似そうじ (円周えんしゅう角かく で 角かく が 等ひとしい)。

(2) 折おり返かえし 図形づけい

例題れいだい 13: 長方形ちょうほうけい を 折おり 返かえし て でき る 三角形さんかっけい の 相似そうじ を 利用りよう し、 折おり 目め や 線分せんぶん の 長ちょう さ を 求もとめる。

(3) 1 つ の 図ず に 何なん度ど も 相似そうじ が 隠かくれる

入試にゅうし では 1 つ の 図ず で 3 〜 4 組 の 相似そうじ が 同時どうじ に 成なり 立たつ こと も。 全部ぜんぶ を 列挙れっきょ し て、 必要ひつよう な もの を 選えらぶ 力ちから が 問もん われる。

9. 章しょう末まつ演習えんしゅう (入試にゅうし形式けいしき)

(1) $△ABC\sim △DEF$、 相似そうじ比ひ 4 : 5。 $△ABC$ の 面積めんせき が 32 cm${}^2$ の とき $△DEF$ の 面積めんせき を 求もとめ よ。 (2) $△ABC$ で $BC\parallel DE$、 $AD=5,DB=3,BC=16$ の とき $DE$ の 長ちょう さ。 (3) 中点ちゅうてん連結れんけつ定理ていり を 使つかい、 $△ABC$ ($BC=14$ cm) の 各かく辺あたり の 中点ちゅうてん を 結むすん で でき る 三角形さんかっけい の 周しゅう の 長ちょう さ を 求もとめ よ ($AB=10,CA=12$)。 (4) 相似そうじ比ひ が 2 : 3 の 直方体ちょくほうたい で、 小ちいさい 方かた の 体積たいせき が 24 cm${}^3$ の とき 大おおきい 方かた の 体積たいせき を 求もとめ よ。

略解りゃっかい: (1) 面積めんせき比ひ = $4^2:5^2=16:25$ → $△DEF=32\times \frac{25}{16}=50$ cm${}^2$ (2) $AD:AB=5:8$ → $DE=16\times \frac{5}{8}=10$ cm (3) 周しゅう = $\frac{1}{2}(10+12+14)=18$ cm (4) 体積たいせき比ひ = $8:27$、 大おおきい = $24\times \frac{27}{8}=81$ cm${}^3$

章 の まとめ:相似そうじ の 主役しゅやく は 三角形さんかっけい の 相似そうじ条件じょうけん (特とく に 2 組くみ の 角かく) と 相似そうじ比ひ → 面積めんせき比ひ ($a^2$) → 体積たいせき比ひ ($a^3$)。 中点ちゅうてん連結れんけつ定理ていり と 平行へいこう線せん と 比ひ は 「気き づき 力ちから」 で 差さ が つく。

まとめ — 相似そうじな図形づけい を 3 行くだりで

• 三角形 の 相似条件そうじじょうけん は「3 組くみの辺あたりの比ひが等ひとしい」「2 組くみの辺あたりの比ひと挟はさむ角かくが等ひとしい」「2 組くみの角かくが等ひとしい」 の 3 つで、 とくに「2 組くみの角かく」 が頻出ひんしゅつである
• 相似比そうじひ が $a:b$ のとき面積めんせき比ひは $a^2:b^2$、 体積たいせき比ひは $a^3:b^3$ となり、 次元じげんに応おうじた累乗るいじょうが本質ほんしつである
• 中点連結定理ちゅうてんれんけつていり (中点ちゅうてんを結むすぶ線分せんぶんは第だい三さん辺へんに平行へいこうで長ながさは半分はんぶん) と平行へいこう線せんと線分せんぶんの比ひは、 補助ほじょ線せんで相似そうじを見みつける眼力がんりきが問とわれる