この 章 で 学ぶ こと
「こ の こ と が ど の く ら い 起 こ り や す い か」 を 数字 で 表 す の が 確率 で す。 中 2 で 学ぶ 確率 は、 高校 の 場合の数・順列・組合せ へ つ な が り、 さ ら に は 統計学 の 土台 に な り ま す。
- 確率 と 「起 こ り や す さ」 の 関係 が わかる
- 同様に確からしい の 意味 を 説明 で きる
- 樹形図・表 で 場合 の 数 を 数え られる
- 確率の公式 P=<ruby>全<rt>ぜん</rt></ruby><ruby>体<rt>たい</rt></ruby> の <ruby>場<rt>ば</rt></ruby><ruby>合<rt>あい</rt></ruby> の 数起 こ る <ruby>場<rt>ば</rt></ruby><ruby>合<rt>あい</rt></ruby> の 数 を 使え る
- さい こ ろ・コイン・玉 の 典型例 が 解け る
1. 確率 と は
確率 = 「そ の こ と が 起こる 度合い」 を 0 か ら 1 ま で の 数 で 表 し た も の。
| 確率 の 値 | 意味 |
|---|
| 0 | 絶対 に 起こ ら な い (例: さい こ ろ で 「7 が 出る」) |
| 21 | 半分 の 度合い (例: コイン で 「表 が 出る」) |
| 1 | 必ず 起こる (例: 1 〜 6 の どれ か が 出る) |
確率 は % (パーセント) で 言う こと も あ り ま す。 21=0.5=50%。
2. 同様 に 確 か ら し い
確率 を 求める に は、 す べ て の 結果 が 同 じ よ う に 起 こ る と い う 前提 が 必要 で す。 こ れ を 同様に確からしい と 言 い ま す。
例
| 場面 | 同様 に 確 か ら し い か | 理由 |
|---|
| 公正 な さい こ ろ で 1 〜 6 が 出る | ○ | ど の 目 も 同 じ 重み |
| 公正 な コイン で 表・裏 | ○ | 形 が 対称 |
| 5 個 の 赤玉 と 3 個 の 白玉 か ら 1 個取る | ○ | ど の 玉 も 同 じ 確率 (玉 1 個 ずつ で 数 え る) |
| 「明日雨 が 降 る か 降 ら な い か」 で 確率21 | ✕ | 雨 と 晴れ は 同 じ 度合 い で は な い |
大事: 「2 つ し か な い か ら 21」 は 間違い。 「同様 に 確 か ら し い」 を 確認 し て か ら 確率 を 計算 す る こと。
3. 確率 の 公式
す べ て の 結果 が 同様 に 確 か ら し い と き、
P(A)=起 こ り う る <ruby>全<rt>ぜん</rt></ruby><ruby>体<rt>たい</rt></ruby> の <ruby>場<rt>ば</rt></ruby><ruby>合<rt>あい</rt></ruby> の 数出 来 事 A が 起 こ る <ruby>場<rt>ば</rt></ruby><ruby>合<rt>あい</rt></ruby> の 数
例題 1 (さい こ ろ)
公正 な さい こ ろ を 1 回振る。 「3 以上 の 目 が 出る」 確率 は?
解き方:
- 全体 の 場合: {1,2,3,4,5,6} → 6 通り
- 起こる 場合: {3,4,5,6} → 4 通り
P=64=32
4. 樹形図 で 数 え る
「2 回振る」「2 個取る」 の よ う に、 複数 の 出来事 が 重 な る と き は 樹形図 が 役 に 立 ち ま す。
例題 2 (コイン 2 枚)
公正 な コイン を 2 枚投げ る。 「2 枚 と も 表」 の 確率 は?
樹形図:
1 枚目 2 枚目
表 ─┬─ 表 (表表)
└─ 裏 (表裏)
裏 ─┬─ 表 (裏表)
└─ 裏 (裏裏)
全体 4 通り、 「表表」 は 1 通り。
P=41
大事: 「2 枚投げ て 表 の 数 は 0、 1、 2 の 3 通り だ か ら 31」 は 誤 り。 「同様 に 確 か ら し い の は 4 通り」 で 数え ま す。
5. 表 で 数 え る (さい こ ろ 2 個)
さい こ ろ を 2 つ 振る と き は、 6 × 6 の 表 を 作 る と わかり や す い。
| 1個目 \ 2個目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) |
| 5 | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5,5) | (5,6) |
| 6 | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,5) | (6,6) |
全体 36 通り。
例題 3
さい こ ろ 2 個 を 同時 に 振る。 「目 の 和 が 7」 の 確率 は?
当 て は ま る もの: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) → 6 通り
P=366=61
例題 4
同 じ 設定 で 「目 の 積 が 偶数」 の 確率 は?
逆 を 数 え る (奇数 の 場合):
積 が 奇数 ⇔ 両方 と も 奇数 (1,3,5 の 3 通り ずつ) → 3×3=9通り
積 が 偶数 = 36−9=27通り
P=3627=43
ポイント: 「起こ る 場合 を 直接数 え に く い と き、 反対 (起こ ら な い 場合) を 数 え て 全体 か ら 引 く」 は 大事 な テクニック。
6. 玉 を 取り出す
例題 5 (1 個取る)
袋 に 赤玉 3 個、 白玉 2 個 が 入って い る。 1 個取り 出 す と き、 赤玉 で あ る 確率 は?
解き方: 「ど の 玉 も 同様 に 確 か ら し い」 と 考 え る。 全体 5 個、 赤玉 3 個。
P=53
例題 6 (2 個同時 に 取る)
同 じ 袋 か ら 同時 に 2 個 取り 出 す。 「2 個 と も 赤玉」 の 確率 は?
樹形図 (玉 に 番号 を つ け る) — 赤 1, 赤 2, 赤 3, 白 1, 白 2:
5 個 か ら 2 個 を 選 ぶ 組合 せ = 25×4=10通り
(中 2 で は 樹形図 で 数 え 上 げる)
赤玉 2 個 の 組合 せ = 23×2=3通り
P=103
7. 確率 の 性質
| 性質 | 説明 |
|---|
| ① 0≤P(A)≤1 | 確率 は 必 ず 0 〜 1 の 間 |
| ② 必 ず 起 こ る P=1 | 例: さい こ ろ で 「1 〜 6 の どれ か」 |
| ③ 絶対起こ ら な い P=0 | 例: さい こ ろ で 「7 が 出 る」 |
| ④ 起こ ら な い 確率=1−P(A) | 「余事象」 の 性質 |
例題 7 (余事象)
さい こ ろ を 振 る と き、 「1 で な い 目 が 出 る」 確率 は?
「1 が 出 る」 確率 = 61。 余事象 は
1−61=65
8. ふりかえり