確率かくりつ — 同様どうように確たしからしい・樹き形がた図ず・確率かくりつの公式こうしき

この 章しょう で 学まなぶ こと

「こ の こ と が ど の く ら い 起おこし こ り や す い か」 を 数すう字じ で 表ひょう す の が 確率かくりつ で す。 中なか 2 で 学まなぶ 確率かくりつ は、 高校こうこう の 場合の数ばあいのかず・順列じゅんれつ・組合せくみあわせ へ つ な が り、 さ ら に は 統とう計けい学がく の 土ど台だい に な り ま す。

• 確率かくりつ と 「起おこし こ り や す さ」 の 関かん係けい が わかる
• 同様に確からしいどうようにたしからしい の 意い味み を 説せつ明めい で きる
• 樹形図じゅけいず・表ひょう で 場ば合あい の 数かず を 数えかぞ られる
• 確率の公式かくりつのこうしき $P=\frac{場ば}{合あい}$ を 使つかえ る
• さい こ ろ・コイン・玉たま の 典てん型けい例 が 解とけ る

1. 確率かくりつ と は

確率かくりつ = 「そ の こ と が 起おこる 度合あい」 を 0 か ら 1 ま で の 数かず で 表ひょう し た も の。

確率かくりつ の 値ね	意い味み
$0$	絶ぜっ対たい に 起おこ ら な い (例れい: さい こ ろ で 「7 が 出でる」)
$\frac{1}{2}$	半分はんぶん の 度合あい (例れい: コイン で 「表ひょう が 出でる」)
$1$	必かならず 起おこる (例れい: 1 〜 6 の どれ か が 出でる)

確率かくりつ は % (パーセント) で 言いう こと も あ り ま す。 $\frac{1}{2}=0.5=50\%$。

2. 同様どうよう に 確 か ら し い

確率かくりつ を 求もとめる に は、 す べ て の 結けっ果か が 同どう じ よ う に 起おこし こ る と い う 前ぜん提てい が 必ひつ要よう で す。 こ れ を 同様に確からしいどうようにたしからしい と 言げん い ま す。

例れい

場面ばめん	同様どうよう に 確 か ら し い か	理り由ゆう
公こう正せい な さい こ ろ で 1 〜 6 が 出でる	○	ど の 目め も 同どう じ 重みおも
公こう正せい な コイン で 表ひょう・裏うら	○	形かたち が 対たい称しょう
5 個こ の 赤玉あかだま と 3 個こ の 白玉しらたま か ら 1 個こ取とる	○	ど の 玉たま も 同どう じ 確率かくりつ (玉だま 1 個こ ずつ で 数かず え る)
「明日あした雨あめ が 降くだ る か 降くだ ら な い か」 で 確率かくりつ$\frac{1}{2}$	✕	雨あめ と 晴はれ は 同どう じ 度合どあい い で は な い

大事だいじ: 「2 つ し か な い か ら $\frac{1}{2}$」 は 間違まちがい。 「同様どうよう に 確 か ら し い」 を 確かく認にん し て か ら 確率かくりつ を 計けい算さん す る こと。

3. 確率かくりつ の 公式こうしき

す べ て の 結けっ果か が 同様どうよう に 確 か ら し い と き、

$P\left(A\right)=\frac{出 来 事 A が 起 こ る 場ば合あい の 数}{全ぜん}$

例題れいだい 1 (さい こ ろ)

公こう正せい な さい こ ろ を 1 回かい振ふる。 「3 以い上じょう の 目め が 出でる」 確率かくりつ は？

解とき方かた:

• 全ぜん体たい の 場ば合あい: $\{1,2,3,4,5,6\}$ → 6 通とおり
• 起おこる 場ば合あい: $\{3,4,5,6\}$ → 4 通とおり

$P=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

4. 樹き形がた図ず で 数かず え る

「2 回かい振ふる」「2 個こ取とる」 の よ う に、 複ふく数すう の 出来事できごと が 重おも な る と き は 樹形図じゅけいず が 役やく に 立たつ ち ま す。

例題れいだい 2 (コイン 2 枚まい)

公こう正せい な コイン を 2 枚まい投なげ る。 「2 枚まい と も 表ひょう」 の 確率かくりつ は？

樹じゅ形がた図ず:

1 枚まい目め   2 枚まい目め
  表ひょう ─┬─ 表ひょう  (表ひょう表ひょう)
      └─ 裏うら  (表裏ひょうり)
  裏うら ─┬─ 表ひょう  (裏表うらおもて)
      └─ 裏うら  (裏うら裏うら)

全ぜん体たい 4 通とおり、 「表ひょう表ひょう」 は 1 通とおり。

$P=\frac{1}{4}$

大事だいじ: 「2 枚まい投なげ て 表ひょう の 数かず は 0、 1、 2 の 3 通とおり だ か ら $\frac{1}{3}$」 は 誤あやま り。 「同様どうよう に 確 か ら し い の は 4 通とおり」 で 数かぞえ ま す。

5. 表ひょう で 数かず え る (さい こ ろ 2 個こ)

さい こ ろ を 2 つ 振ふる と き は、 6 × 6 の 表おもて を 作さく る と わかり や す い。

1個こ目め \ 2個こ目め	1	2	3	4	5	6
1	(1,1)	(1,2)	(1,3)	(1,4)	(1,5)	(1,6)
2	(2,1)	(2,2)	(2,3)	(2,4)	(2,5)	(2,6)
3	(3,1)	(3,2)	(3,3)	(3,4)	(3,5)	(3,6)
4	(4,1)	(4,2)	(4,3)	(4,4)	(4,5)	(4,6)
5	(5,1)	(5,2)	(5,3)	(5,4)	(5,5)	(5,6)
6	(6,1)	(6,2)	(6,3)	(6,4)	(6,5)	(6,6)

全ぜん体たい 36 通とおり。

例題れいだい 3

さい こ ろ 2 個こ を 同どう時じ に 振ふる。 「目め の 和わ が 7」 の 確率かくりつ は？

当とう て は ま る もの: $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$ → 6 通とおり

$P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$

例題れいだい 4

同どう じ 設せっ定てい で 「目め の 積つむ が 偶ぐう数すう」 の 確率かくりつ は？

逆ぎゃく を 数かず え る (奇数きすう の 場ば合あい):

積つむ が 奇数きすう ⇔ 両方りょうほう と も 奇数きすう ($1,3,5$ の 3 通とおり ずつ) → $3\times 3=9$通とおり

積つむ が 偶数ぐうすう = $36-9=27$通とおり

$P=\frac{27}{36}=\frac{3}{4}$

ポイント: 「起おこ る 場合ばあい を 直接ちょくせつ数すう え に く い と き、 反はん対たい (起おこ ら な い 場ば合あい) を 数かず え て 全ぜん体たい か ら 引 く」 は 大事だいじ な テクニック。

6. 玉たま を 取とり出だす

例題れいだい 5 (1 個こ取とる)

袋ふくろ に 赤玉あかだま 3 個こ、 白玉しらたま 2 個こ が 入はいって い る。 1 個こ取とり 出で す と き、 赤玉あかだま で あ る 確率かくりつ は？

解とき方かた: 「ど の 玉たま も 同様どうよう に 確 か ら し い」 と 考こう え る。 全ぜん体たい 5 個こ、 赤玉あかだま 3 個こ。

$P=\frac{3}{5}$

例題れいだい 6 (2 個こ同時どうじ に 取とる)

同どう じ 袋ふくろ か ら 同時どうじ に 2 個こ 取とり 出で す。 「2 個こ と も 赤あか玉だま」 の 確率かくりつ は？

樹じゅ形がた図ず (玉だま に 番ばん号ごう を つ け る) — 赤あか 1, 赤あか 2, 赤あか 3, 白しろ 1, 白しろ 2:

5 個こ か ら 2 個こ を 選せん ぶ 組合くみあい せ = $\frac{5\times 4}{2}=10$通とおり

(中ちゅう 2 で は 樹き形がた図ず で 数かず え 上うえ げる)

赤玉あかだま 2 個こ の 組合くみあい せ = $\frac{3\times 2}{2}=3$通とおり

$P=\frac{3}{10}$

7. 確率かくりつ の 性せい質しつ

性せい質しつ	説せつ明めい
① $0\le P\left(A\right)\le 1$	確率かくりつ は 必 ず 0 〜 1 の 間ま
② 必 ず 起おこし こ る $P=1$	例れい: さい こ ろ で 「1 〜 6 の どれ か」
③ 絶対ぜったい起おこ ら な い $P=0$	例れい: さい こ ろ で 「7 が 出で る」
④ 起おこ ら な い 確率かくりつ$=1-P\left(A\right)$	「余よ事象じしょう」 の 性質せいしつ

例題れいだい 7 (余よ事象じしょう)

さい こ ろ を 振ふ る と き、 「1 で な い 目め が 出で る」 確率かくりつ は？

「1 が 出で る」 確率かくりつ = $\frac{1}{6}$。 余よ事象じしょう は

$1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$

8. ふりかえり

• 確率かくりつ は 0 か ら 1 の 間ま の 数かず と わかる
• 同様に確からしいどうようにたしからしい の 意い味み と 大事だいじ さ が 言げん え る
• 確率の公式かくりつのこうしき $P=\frac{全ぜん}{体たい}$ が 使つかえ る
• 樹形図じゅけいず で 場ば合あい の 数かず を 数かず え られ る
• さい こ ろ 2 個こ の 6 × 6 の 表おもて が 書しょ け る
• 「目め の 和わ」「目め の 積せき」 等ひとし の 典てん型けい例 が 解かい け る
• 「反はん対たい (余よ事象じしょう) を 数かず え て 引 く」 テクニック が 使つかえ る
• [ ]$P\left(起 こ ら な い\right)=1-P\left(起 こ る\right)$ を 使し え る