確率かくりつ — 同様どうように確たしからしい・樹き形がた図ず・確率かくりつの公式こうしき

この章しょうで学まなぶこと

「このことがどのくらい起おこりやすいか」 を数すう字じ で表あらわすのが 確率かくりつ です。 中なか 2 で学まなぶ確率かくりつは、 高校こうこうの 場合の数ばあいのかず・順列じゅんれつ・組合せくみあわせ へつながり、 さらには 統とう計けい学がく の土ど台だい になります。

• 確率かくりつ と 「起おこりやすさ」 の関かん係けい がわかる
• 同様に確からしいどうようにたしからしい の意い味み を説せつ明めい できる
• 樹形図じゅけいず・表ひょう で場ば合あい の数かずを数えかぞ られる
• 確率の公式かくりつのこうしき $P=\frac{}{}$場ば合あい の数全ぜん体たい の場ば合あい の数P = \dfrac{\text{起こる場ば合あい の数}}{\text{全ぜん体たい の場ば合あい の数}} を使つかえる
• さいころ・コインこいん・玉たまの典てん型けい例が解とける

1. 確率かくりつとは

確率かくりつ = 「そのことが起おこる度合あい」 を 0 から 1 までの数すう で表あらわしたもの。

確率かくりつの値ね	意い味み
$0$	絶ぜっ対たい に起おこらない (例れい: さいころで 「7 が出でる」)
$\frac{1}{2}$	半分はんぶんの度合あい (例れい: コインで 「表ひょうが出でる」)
$1$	必かならず起おこる (例れい: 1 〜 6 のどれかが出でる)

確率かくりつは % (パーセント) で言いうこともあります。 $\frac{1}{2}=0.5=50\%$。

2. 同様どうように確たしからしい

確率かくりつを求もとめるには、 すべての結けっ果か が同おなじように起おこる という前ぜん提てい が必ひつ要よう です。 これを 同様に確からしいどうようにたしからしい と言いいます。

例れい

場面ばめん	同様どうように確たしからしいか	理り由ゆう
公こう正せい なさいころで 1 〜 6 が出でる	○	どの目めも同おなじ重みおも
公こう正せい なコインで表ひょう・裏うら	○	形かたちが対たい称しょう
5 個この赤あか玉だまと 3 個この白玉しらたまから 1 個こ取とる	○	どの玉たまも同おなじ確率かくりつ (玉だま 1 個こずつで数かぞえる)
「明日あした雨あめが降ふるか降ふらないか」 で確率かくりつ$\frac{1}{2}$	✕	雨あめと晴はれは同おなじ度合どあいではない

大事だいじ: 「2 つしかないから $\frac{1}{2}$」 は 間違まちがい。 「同様どうように確たしからしい」 を確かく認にん してから確率かくりつを計けい算さん すること。

3. 確率かくりつの公式こうしき

すべての結けっ果か が同様どうように確たしからしい とき、

$P\left(A\right)=\frac{出来事 A が起こる}{}$場ば合あい の数起こりうる全ぜん体たい の場ば合あい の数P(A) = \frac{\text{出来事 } A \text{ が起こる場ば合あい の数}}{\text{起こりうる全ぜん体たい の場ば合あい の数}}

例題れいだい 1 (さいころ)

公こう正せい なさいころを 1 回かい振ふる。 「3 以い上じょう の目めが出でる」 確率かくりつは？

解とき方かた:

• 全ぜん体たい の場ば合あい: $\{1,2,3,4,5,6\}$ → 6 通とおり
• 起おこる場ば合あい: $\{3,4,5,6\}$ → 4 通とおり

$P=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

4. 樹き形がた図ずで数かぞえる

「2 回かい振ふる」「2 個こ取とる」 のように、 複ふく数すう の出来事できごとが重かさなる ときは 樹形図じゅけいず が役やくに立たちます。

例題れいだい 2 (コイン 2 枚まい)

公こう正せい なコインを 2 枚まい投なげる。 「2 枚まいとも表ひょう」 の確率かくりつは？

樹じゅ形がた図ず:

1 枚まい目め   2 枚まい目め
  表ひょう ─┬─ 表ひょう  (表ひょう表ひょう)
      └─ 裏うら  (表裏ひょうり)
  裏うら ─┬─ 表ひょう  (裏表うらおもて)
      └─ 裏うら  (裏うら裏うら)

全ぜん体たい 4 通とおり、 「表ひょう表ひょう」 は 1 通とおり。

$P=\frac{1}{4}$

大事だいじ: 「2 枚まい投なげて表ひょうの数かずは 0、 1、 2 の 3 通とおり だから $\frac{1}{3}$」 は 誤あやまり。 「同様どうように確たしからしいのは 4 通とおり」 で数かぞえます。

5. 表ひょうで数かぞえる (さいころ 2 個こ)

さいころを 2 つ振ふるときは、 6 × 6 の表おもて を作つくるとわかりやすい。

1個こ目め \ 2個こ目め	1	2	3	4	5	6
1	(1,1)	(1,2)	(1,3)	(1,4)	(1,5)	(1,6)
2	(2,1)	(2,2)	(2,3)	(2,4)	(2,5)	(2,6)
3	(3,1)	(3,2)	(3,3)	(3,4)	(3,5)	(3,6)
4	(4,1)	(4,2)	(4,3)	(4,4)	(4,5)	(4,6)
5	(5,1)	(5,2)	(5,3)	(5,4)	(5,5)	(5,6)
6	(6,1)	(6,2)	(6,3)	(6,4)	(6,5)	(6,6)

全ぜん体たい 36 通とおり。

例題れいだい 3

さいころ 2 個こを同どう時じ に振ふる。 「目めの和わが 7」 の確率かくりつは？

当あてはまるもの: $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$ → 6 通とおり

$P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$

例題れいだい 4

同おなじ設せっ定てい で 「目めの積せきが偶ぐう数すう」 の確率かくりつは？

逆ぎゃく を数かぞえる (奇数きすうの場ば合あい):

積せきが奇数きすう ⇔ 両方りょうほうとも奇数きすう ($1,3,5$ の 3 通とおりずつ) → $3\times 3=9$通とおり

積せきが偶数ぐうすう = $36-9=27$通とおり

$P=\frac{27}{36}=\frac{3}{4}$

ポイント: 「起おこる場合ばあいを直接ちょくせつ数かぞえにくいとき、 反はん対たい (起おこらない場ば合あい) を数かぞえて 全ぜん体たい から引ひく」 は大事だいじなテクニック。

6. 玉たまを取とり出だす

例題れいだい 5 (1 個こ取とる)

袋ふくろに赤玉あかだま 3 個こ、 白玉しらたま 2 個こが入はいっている。 1 個こ取とり出だすとき、 赤あか玉だまである確率かくりつは？

解とき方かた: 「どの玉たまも同様どうように確たしからしい」 と考かんがえる。 全ぜん体たい 5 個こ、 赤玉あかだま 3 個こ。

$P=\frac{3}{5}$

例題れいだい 6 (2 個こ同時どうじに取とる)

同おなじ袋ふくろから 同時どうじに 2 個こ 取とり出だす。 「2 個ことも赤あか玉だま」 の確率かくりつは？

樹じゅ形がた図ず (玉だまに番ばん号ごう をつける) — 赤あか 1, 赤あか 2, 赤あか 3, 白しろ 1, 白しろ 2:

5 個こから 2 個こを選えらぶ組合せくみあわせ = $\frac{5\times 4}{2}=10$通とおり

(中ちゅう 2 では樹き形がた図ずで数かぞえ上あげる)

赤玉あかだま 2 個この組合せくみあわせ = $\frac{3\times 2}{2}=3$通とおり

$P=\frac{3}{10}$

7. 確率かくりつの性せい質しつ

性せい質しつ	説せつ明めい
① $0\le P\left(A\right)\le 1$	確率かくりつは必かならず 0 〜 1 の間ま
② 必かならず起おこる $P=1$	例れい: さいころで 「1 〜 6 のどれか」
③ 絶対ぜったい起おこらない $P=0$	例れい: さいころで 「7 が出でる」
④ 起おこらない確率かくりつ$=1-P\left(A\right)$	「余よ事象じしょう」 の性質せいしつ

例題れいだい 7 (余よ事象じしょう)

さいころを振ふるとき、 「1 でない目め が出でる」 確率かくりつは？

「1 が出でる」 確率かくりつ = $\frac{1}{6}$。 余よ事象じしょうは

$1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$

8. ふりかえり

• 確率かくりつ は 0 から 1 の間まの数かずとわかる
• 同様に確からしいどうようにたしからしい の意い味み と大事だいじさが言いえる
• 確率の公式かくりつのこうしき $P=\frac{}{}$全ぜん体たい の数P = \dfrac{\text{起こる数}}{\text{全ぜん体たい の数}} が使つかえる
• 樹形図じゅけいず で場ば合あい の数かずを数かぞえられる
• さいころ 2 個この 6 × 6 の表おもて が書かける
• 「目めの和わ」「目めの積せき」 等とうの典てん型けい例が解とける
• 「反はん対たい (余よ事象じしょう) を数かぞえて引ひく」 テクニックが使つかえる
• [ ]$P\left(起こらない\right)=1-P\left(起こる\right)$ を使つかえる