この 章 で 学ぶ こと
中 1 で は 1 つ の 文字 (x や a) を 使った 式 を 学びました。 中 2 で は さらに 進んで、 2 つ 以上 の 文字 が 入った 式 を 自由 に あつかえる ように なります。
- 単項式 と 多項式 の ちがい が わかる
- 同類項 を まとめ られる ように なる
- 指数法則 を 使って 単項式 の 乗除 が できる
- 多項式 と 単項式 の 乗法・除法 が できる
- 文字式 を 使って 整数 の 性質 を 説明 できる
ポイント: 中 1 の 「文字式」 が 「単語」 だ と すれば、 中 2 の 「式 の 計算」 は 「文章」 です。 これ から 学ぶ 連立方程式 や 一次関数 の 道具箱 に なります。
1. 単項式 と 多項式
単項式 と は
数 や 文字 の かけ算 だけ で でき て いる 式 を 単項式 と 言います。
| 例 | 説明 |
|---|
| 3x | 数3 と 文字x の 積 |
| −2ab | 数−2 と 文字a、 b の 積 |
| x2 | x×x の 積 (1 つ の 単項式) |
| 5 | 数 だけ も 単項式 |
多項式 と は
単項式 を + や - で つない だ 式 を 多項式 と 言います。 つない だ 1 つ 1 つ の 単項式 を 項 と 言います。
3x2−5x+2
この 式 の 項 は 3x2、 −5x、 +2 の 3 つ です。
大事: マイナス が 付いて いる と き は、 マイナス まで が その 項 の 一部。 上 の 例 で は −5x で 1 つ の 項 と 数えます。
次数
文字 が 何個 かけ 合わさって いる か を 次数 と 言います。
| 単項式 | 次数 | 説明 |
|---|
| 5x | 1 | x が 1 個 |
| 3x2 | 2 | x×x で 2 個 |
| −2ab | 2 | a と b で 2 個 |
| 4x2y | 3 | x が 2 個 + y が 1 個 |
| 7 | 0 | 文字 が ない |
多項式 の 次数 は、 その 中 で いちばん 次数 の 高い 項 の 次数 です。
| 多項式 | 次数 |
|---|
| 3x2−5x+2 | 2 (最高 は 3x2) |
| 4xy−7 | 2 (最高 は 4xy) |
2. 同類項 を まとめる
文字 の 部分 が 完全 に 同じ 項 を 同類項 と 言います。
| 同類項 か | 例 |
|---|
| ○ | 3x と 5x (x が 同じ) |
| ○ | −2x2 と 7x2 (x2 が 同じ) |
| ○ | 4ab と −ab (ab が 同じ) |
| ✕ | 3x と 5x2 (次数 が ちがう) |
| ✕ | 2ab と 2a (b の あり なし で ちがう) |
まとめ方 (係数 を 足す)
同類項 は、 数 の 部分 (係数) を 足し算 で まとめ られます。
3x+5x=(3+5)x=8x
7a2−2a2=(7−2)a2=5a2
例題 1
つぎ の 式 を 計算 しなさい。
4x+3y−2x+5y
解き方: 同類項 ごと に まとめます。
=(4x−2x)+(3y+5y)=2x+8y
大事: x と y は ちがう 文字 な の で、 これ 以上 まとめ られません。 2x+8y が 答え です。
3. 多項式 の 加法・減法
加法 (足し算)
カッコ を そのまま はずして、 同類項 を まとめます。
例: (3x+2y)+(5x−y)
=3x+2y+5x−y=8x+y
減法 (引き算)
引く 方 の 式 の すべて の 項 の 符号 を 反対 に して 足します。
例: (3x+2y)−(5x−y)
=3x+2y−5x+y=−2x+3y
ポイント: 「引く カッコ を はずす と き は、 中 の 符号 が 全部 反対 に なる」。 ここ で ミス を しやすい の で 注意。
4. 指数法則
同じ 文字 を かけ算 する と き の ルール を 指数法則 と 言います。
ルール ① かけ算 (指数 を 足す)
xm×xn=xm+n
例: x2×x3=x2+3=x5
(なぜ? x2=xx、 x3=xxx、 つない だ ら xxxxx=x5)
ルール ② 累乗 の 累乗 (指数 を かける)
(xm)n=xm×n
例: (x2)3=x2×3=x6
ルール ③ かけ算 を まとめ て 累乗
(xy)n=xnyn
例: (2x)3=23x3=8x3
単項式 の 乗法 (まとめ)
| 計算 | 結果 |
|---|
| 3x×4y | 12xy (係数 かける、 文字 かける) |
| 2x2×5x3 | 10x5 (指数 を 足す) |
| (−3a)2 | 9a2 (符号 と 数 を 2 乗) |
5. 単項式 の 除法
わり算 は 分数 で 書く
6x3÷2x=2x6x3=3x2
(係数6÷2=3、 文字 は x3÷x=x2)
例題 2
12a2b÷3ab=3ab12a2b=4a
大事: 分母 と 同じ 文字 が 分子 に あれ ば 1 つ ずつ 消し合えます (aa2=a、 bb=1)。
6. 多項式 と 単項式 の 乗法・除法
乗法 (分配法則)
a(b+c)=ab+ac
例: 3x(2x+5y)=3x×2x+3x×5y=6x2+15xy
除法 (1 つずつ わる)
(a+b)÷c=ca+cb
例: (6x2+8x)÷2x=2x6x2+2x8x=3x+4
7. 文字式 で 説明する (整数 の 性質)
中 2 で は、 文字式 を 使って 「いつ で も そう なる こと」 を 説明 できる ように なります。
例題 3 「2 つ の 偶数 の 和 は 偶数」 を 説明 せよ
書き方:
m、 n を 整数 と する と、 2 つ の 偶数 は それぞれ 2m、 2n と 表せる。
その 和 は 2m+2n=2(m+n)。
m+n は 整数 な の で、 2(m+n) は 偶数 で ある。
よって、 2 つ の 偶数 の 和 は 偶数 で ある。 (証終)
文字 を どう おく か
| 整数 の 種類 | 文字 で の 表し方 |
|---|
| 偶数 | 2n (n は 整数) |
| 奇数 | 2n+1 または 2n−1 |
| 連続 する 3 つ の 整数 | n−1、 n、 n+1 |
| 2 けた の 整数 | 10a+b (a は 十 の 位、 b は 一 の 位) |
ポイント: 「いつ で も」 を 言う に は、 具体的 な 数 で なく 文字 で 書く の が 大事。 2+4=6 は 1 つ の 例 で、 説明 に は なりません。
8. 等式 の 変形
1 つ の 等式 を、 ある 文字 に つい て 解いた 形 に 直す こと を 等式の変形 と 言います。 中 3 の 2 次方程式 や 高校 の 公式変形 で 大活躍 します。
例題 4
2x+3y=12 を y に つい て 解け。
解き方: y を 残し て、 ほか を 反対側 に 移項。
3y=12−2x
両辺 を 3 で わって、
y=312−2x=4−32x
9. ふりかえり
この 章 で 学ん だ こと を ふりかえりましょう。