中2数学第1章式の計算｜多項式・同類項・指数法則・乗除

この章しょうで学まなぶこと

中なか 1 では 1 つの文も字じ ( $x$ や $a$ ) を使つかった式しきを学まなびました。中なか 2 ではさらに進すすんで、 2 つ以い上じょうの文も字じ が入はいった式しきを自じ由ゆうにあつかえるようになります。

単項式たんこうしき と 多項式たこうしき のちがいがわかる
同類項どうるいこう をまとめられるようになる
指数法則しすうほうそく を使つかって単たん項こう式しきの乗じょう除じょができる
多項式たこうしき と 単項式たんこうしき の乗じょう法ほう・除じょ法ほうができる
文も字じ式しきを使つかって 整数せいすうの性せい質しつ を説せつ明めいできる

ポイント: 中なか 1 の「文も字じ式しき」が「単たん語ご」だとすれば、中なか 2 の「式しきの計けい算さん」は「文ぶん章しょう」です。これから学まなぶ 連立方程式れんりつほうていしき や 一次関数いちじかんすう の 道どう具ぐ箱ばこ になります。

1. 単項式たんこうしきと多項式たこうしき

単項式たんこうしきとは

数かずや文も字じの かけ算ざんだけ でできている式しきを 単項式たんこうしき と言いいます。

例れい	説せつ明めい
$3 x$	数 $3$ と文も字じ $x$ の積せき
$- 2 a b$	数 $- 2$ と文も字じ $a$ 、 $b$ の積せき
$x^{2}$	$x \times x$ の積せき (1 つの単たん項こう式しき)
$5$	数かずだけも単たん項こう式しき

多項式たこうしきとは

単たん項こう式しきを + や - でつないだ式しきを 多項式たこうしき と言いいます。つないだ 1 つ 1 つの単たん項こう式しきを 項こう と言いいます。

3 x^{2} - 5 x + 2

この式しきの 項こう は $3 x^{2}$ 、 $- 5 x$ 、 $+ 2$ の 3 つ です。

大事だいじ: マイナス が付ついているときは、マイナスまでが その項こうの一いち部ぶ。上うえの例れいでは $- 5 x$ で 1 つの項こうと数かぞえます。

次数じすう

文も字じが 何なん個こかけ合あわさっているか を 次数じすう と言いいます。

単たん項こう式しき	次じ数すう	説せつ明めい
$5 x$	1	$x$ が 1 個こ
$3 x^{2}$	2	$x \times x$ で 2 個こ
$- 2 a b$	2	$a$ と $b$ で 2 個こ
$4 x^{2} y$	3	$x$ が 2 個こ + $y$ が 1 個こ
$7$	0	文も字じがない

多項式たこうしきの 次数じすう は、その中なかで いちばん次じ数すうの高たかい項こう の次じ数すうです。

多た項こう式しき	次じ数すう
$3 x^{2} - 5 x + 2$	$2$ (最さい高こうは $3 x^{2}$ )
$4 x y - 7$	$2$ (最さい高こうは $4 x y$ )

2. 同類項どうるいこうをまとめる

文も字じの部ぶ分ぶんが 完かん全ぜんに同おなじ 項こうを 同類項どうるいこう と言いいます。

同どう類るい項こうか	例れい
○	$3 x$ と $5 x$ ( $x$ が同おなじ)
○	$- 2 x^{2}$ と $7 x^{2}$ ( $x^{2}$ が同おなじ)
○	$4 a b$ と $- a b$ ( $a b$ が同おなじ)
✕	$3 x$ と $5 x^{2}$ (次じ数すうがちがう)
✕	$2 a b$ と $2 a$ ( $b$ のありなしでちがう)

まとめ方かた (係数けいすうを足たす)

同どう類るい項こうは、 数すうの部ぶ分ぶん (係けい数すう) を足たし算ざん でまとめられます。

3 x + 5 x = (3 + 5) x = 8 x

7 a^{2} - 2 a^{2} = (7 - 2) a^{2} = 5 a^{2}

例題れいだい 1

つぎの式しきを計けい算さんしなさい。

4 x + 3 y - 2 x + 5 y

解とき方かた: 同どう類るい項こうごとにまとめます。

= (4 x - 2 x) + (3 y + 5 y) = 2 x + 8 y

大事だいじ: $x$ と $y$ は ちがう文も字じ なので、これ以い上じょうまとめられません。 $2 x + 8 y$ が答えこたえです。

3. 多項式たこうしきの加法かほう・減法げんぽう

加法かほう (足たし算ざん)

カッコをそのままはずして、同どう類るい項こうをまとめます。

例れい: $(3 x + 2 y) + (5 x - y)$

= 3 x + 2 y + 5 x - y = 8 x + y

減法げんぽう (引ひき算ざん)

引ひく方ほうの式しきの すべての項こうの符ふ号ごう を反はん対たいにして足たします。

例れい: $(3 x + 2 y) - (5 x - y)$

= 3 x + 2 y - 5 x + y = - 2 x + 3 y

ポイント: 「引ひくカッコをはずすときは、中なかの符ふ号ごうが 全ぜん部ぶ 反はん対たいになる」。ここでミスをしやすいので注ちゅう意い。

4. 指数しすう法則ほうそく

同おなじ文も字じをかけ算ざんするときのルールを 指数法則しすうほうそく と言いいます。

ルール ① かけ算ざん (指数しすうを足たす)

x^{m} \times x^{n} = x^{m + n}

例れい: $x^{2} \times x^{3} = x^{2 + 3} = x^{5}$

(なぜ？ $x^{2} = x x$ 、 $x^{3} = x x x$ 、つないだら $x x x x x = x^{5}$ )

ルール ② 累乗るいじょうの累乗るいじょう (指数しすうをかける)

(x^{m})^{n} = x^{m \times n}

例れい: $(x^{2})^{3} = x^{2 \times 3} = x^{6}$

ルール ③ かけ算ざんをまとめて累乗るいじょう

(x y)^{n} = x^{n} y^{n}

例れい: $(2 x)^{3} = 2^{3} x^{3} = 8 x^{3}$

単項式たんこうしきの乗法じょうほう (まとめ)

計けい算さん	結けっ果か
$3 x \times 4 y$	$12 x y$ (係けい数すうかける、文も字じかける)
$2 x^{2} \times 5 x^{3}$	$10 x^{5}$ (指し数すうを足たす)
$(- 3 a)^{2}$	$9 a^{2}$ (符ふ号ごうと数かずを 2 乗じょう)

5. 単項式たんこうしきの除法じょほう

わり算ざんは分数ぶんすうで書かく

6 x^{3} \div 2 x = \frac{6 x^{3}}{2 x} = 3 x^{2}

(係けい数すう $6 \div 2 = 3$ 、文も字じは $x^{3} \div x = x^{2}$ )

例題れいだい 2

12 a^{2} b \div 3 a b = \frac{12 a^{2} b}{3 a b} = 4 a

大事だいじ: 分ぶん母ぼと同おなじ文も字じが分ぶん子しにあれば 1 つずつ消けし合あえます ( $\frac{a^{2}}{a} = a$ 、 $\frac{b}{b} = 1$ )。

6. 多項式たこうしきと単項式たんこうしきの乗法じょうほう・除法じょほう

乗法じょうほう (分配ぶんぱい法則ほうそく)

a (b + c) = a b + a c

例れい: $3 x (2 x + 5 y) = 3 x \times 2 x + 3 x \times 5 y = 6 x^{2} + 15 x y$

除法じょほう (1 つずつわる)

(a + b) \div c = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}

例れい: $(6 x^{2} + 8 x) \div 2 x = \frac{6 x^{2}}{2 x} + \frac{8 x}{2 x} = 3 x + 4$

7. 文字もじ式しきで説明せつめいする (整数せいすうの性せい質しつ)

中なか 2 では、 文も字じ式しきを使つかって「いつでもそうなること」を説せつ明めい できるようになります。

例題れいだい 3 「2 つの偶数ぐうすうの和わは偶ぐう数すう」を説せつ明めいせよ

書かき方かた:

$m$ 、 $n$ を整せい数すうとすると、 2 つの偶数ぐうすうはそれぞれ $2 m$ 、 $2 n$ と表あらわせる。

その和わは $2 m + 2 n = 2 (m + n)$ 。

$m + n$ は整せい数すうなので、 $2 (m + n)$ は偶ぐう数すうである。

よって、 2 つの偶ぐう数すうの和わは偶ぐう数すうである。 (証しょう終おわり)

文字もじをどうおくか

整せい数すうの種しゅ類るい	文も字じでの表あらわし方かた
偶ぐう数すう	$2 n$ ( $n$ は整せい数すう)
奇き数すう	$2 n + 1$ または $2 n - 1$
連れん続ぞくする 3 つの整せい数すう	$n - 1$ 、 $n$ 、 $n + 1$
2 けたの整せい数すう	$10 a + b$ ( $a$ は十じゅうの位くらい、 $b$ は一いちの位くらい)

ポイント: 「いつでも」を言いうには、 具ぐ体たい的な数かずでなく文も字じで書かく のが大事だいじ。 $2 + 4 = 6$ は 1 つの例れい で、説せつ明めいにはなりません。

8. 等式とうしきの変形へんけい

1 つの等とう式しきを、ある文も字じについて 解といた形かたち に直なおすことを 等式の変形とうしきのへんけい と言いいます。中なか 3 の 2 次方程式2 じほうていしき や高校こうこうの 公式こうしき変形へんけい で大だい活かつ躍やくします。

例題れいだい 4

$2 x + 3 y = 12$ を $y$ について解とけ。

解とき方かた: $y$ を残のこして、ほかを反はん対たい側がわに移い項こう。

3 y = 12 - 2 x

両りょう辺へんを 3 でわって、

y = \frac{12 - 2 x}{3} = 4 - \frac{2}{3} x

9. ふりかえり

この章しょうで学まなんだことをふりかえりましょう。

[ ]単項式たんこうしき (積せきだけ) と多項式たこうしき (項こうが複ふく数すう) のちがいが言いえる
[ ]多た項こう式しきの 次数じすう は「いちばん次じ数すうが高たかい項こう」とわかる
[ ]同類項どうるいこうは 文も字じの部ぶ分ぶんが同おなじ 項こうで、係けい数すうを足たしてまとめる
[ ]引ひき算ざんのカッコをはずすときは すべての符ふ号ごうが反はん対たい になる
[ ]指数法則しすうほうそく $x^{m} \times x^{n} = x^{m + n}$ と $(x^{m})^{n} = x^{m \times n}$ を使つかいわけできる
[ ]分配法則ぶんぱいほうそく $a (b + c) = a b + a c$ で多た項こう式しきと単たん項こう式しきの乗じょう法ほうができる
[ ]偶数ぐうすう = $2 n$ 、奇数きすう = $2 n + 1$ など文も字じの置おき方かたがわかる
1 つの等とう式しきをある文も字じについて解とく (等式の変形とうしきのへんけい) ができる

式しきの計算けいさん — 単項式たんこうしき・多項式たこうしき・指数しすう法則ほうそくと整数せいすうの性質せいしつ

この章しょうで学まなぶこと

1. 単項式たんこうしきと多項式たこうしき

単項式たんこうしきとは

多項式たこうしきとは

次数じすう

2. 同類項どうるいこうをまとめる

まとめ方かた (係数けいすうを足たす)

例題れいだい 1

3. 多項式たこうしきの加法かほう・減法げんぽう

加法かほう (足たし算ざん)

減法げんぽう (引ひき算ざん)

4. 指数しすう法則ほうそく

ルール ① かけ算ざん (指数しすうを足たす)

ルール ② 累乗るいじょうの累乗るいじょう (指数しすうをかける)

ルール ③ かけ算ざんをまとめて累乗るいじょう

単項式たんこうしきの乗法じょうほう (まとめ)

5. 単項式たんこうしきの除法じょほう

わり算ざんは分数ぶんすうで書かく

例題れいだい 2

6. 多項式たこうしきと単項式たんこうしきの乗法じょうほう・除法じょほう

乗法じょうほう (分配ぶんぱい法則ほうそく)

除法じょほう (1 つずつわる)

7. 文字もじ式しきで説明せつめいする (整数せいすうの性せい質しつ)

例題れいだい 3 「2 つの 偶数ぐうすう の和わは偶ぐう数すう」 を説せつ明めい せよ

文字もじをどうおくか

8. 等式とうしきの変形へんけい

例題れいだい 4

9. ふりかえり

例題れいだい 3 「2 つの偶数ぐうすうの和わは偶ぐう数すう」を説せつ明めいせよ