式しきの計算けいさん — 単項式たんこうしき・多項式たこうしき・指数しすう法則ほうそくと整数せいすうの性質せいしつ

この 章しょう で 学まなぶ こと

中なか 1 で は 1 つ の 文も字じ ($x$ や $a$) を 使つかった 式しき を 学まなびました。 中なか 2 で は さらに 進すすんで、 2 つ 以い上じょう の 文も字じ が 入はいった 式しき を 自じ由ゆう に あつかえる ように なります。

• 単項式たんこうしき と 多項式たこうしき の ちがい が わかる
• 同類項どうるいこう を まとめ られる ように なる
• 指数法則しすうほうそく を 使つかって 単たん項こう式しき の 乗じょう除じょ が できる
• 多項式たこうしき と 単項式たんこうしき の 乗じょう法ほう・除じょ法ほう が できる
• 文も字じ式しき を 使つかって 整数せいすう の 性せい質しつ を 説せつ明めい できる

ポイント: 中なか 1 の 「文も字じ式しき」 が 「単たん語ご」 だ と すれば、 中なか 2 の 「式しき の 計けい算さん」 は 「文ぶん章しょう」 です。 これ から 学まなぶ 連立方程式れんりつほうていしき や 一次関数いちじかんすう の 道どう具ぐ箱ばこ に なります。

1. 単項式たんこうしき と 多項式たこうしき

単項式たんこうしき と は

数かず や 文も字じ の かけ算ざん だけ で でき て いる 式しき を 単項式たんこうしき と 言いいます。

例れい	説せつ明めい
$3x$	数$3$ と 文も字じ$x$ の 積つむ
$-2ab$	数$-2$ と 文も字じ$a$、 $b$ の 積つむ
$x^2$	$x\times x$ の 積つむ (1 つ の 単たん項こう式しき)
$5$	数かず だけ も 単たん項こう式しき

多項式たこうしき と は

単たん項こう式しき を + や - で つない だ 式しき を 多項式たこうしき と 言いいます。 つない だ 1 つ 1 つ の 単たん項こう式しき を 項こう と 言いいます。

$3x^2-5x+2$

この 式しき の 項こう は $3x^2$、 $-5x$、 $+2$ の 3 つ です。

大事だいじ: マイナス が 付ついて いる と き は、 マイナス まで が その 項こう の 一いち部ぶ。 上うえ の 例れい で は $-5x$ で 1 つ の 項こう と 数かぞえます。

次数じすう

文も字じ が 何なん個こ かけ 合あわさって いる か を 次数じすう と 言いいます。

単たん項こう式しき	次じ数すう	説せつ明めい
$5x$	1	$x$ が 1 個こ
$3x^2$	2	$x\times x$ で 2 個こ
$-2ab$	2	$a$ と $b$ で 2 個こ
$4x^{2}y$	3	$x$ が 2 個こ + $y$ が 1 個こ
$7$	0	文も字じ が ない

多項式たこうしき の 次数じすう は、 その 中なか で いちばん 次じ数すう の 高たかい 項こう の 次じ数すう です。

多た項こう式しき	次じ数すう
$3x^2-5x+2$	$2$ (最さい高こう は $3x^2$)
$4xy-7$	$2$ (最さい高こう は $4xy$)

2. 同類項どうるいこう を まとめる

文も字じ の 部ぶ分ぶん が 完かん全ぜん に 同おなじ 項こう を 同類項どうるいこう と 言いいます。

同どう類るい項こう か	例れい
○	$3x$ と $5x$ ($x$ が 同おなじ)
○	$-2x^2$ と $7x^2$ ($x^2$ が 同おなじ)
○	$4ab$ と $-ab$ ($ab$ が 同おなじ)
✕	$3x$ と $5x^2$ (次じ数すう が ちがう)
✕	$2ab$ と $2a$ ($b$ の あり なし で ちがう)

まとめ方かた (係数けいすう を 足たす)

同どう類るい項こう は、 数すう の 部ぶ分ぶん (係けい数すう) を 足たし算ざん で まとめ られます。

$3x+5x=(3+5)x=8x$ $7a^2-2a^2=(7-2)a^2=5a^2$

例題れいだい 1

つぎ の 式しき を 計けい算さん しなさい。

$4x+3y-2x+5y$

解とき方かた: 同どう類るい項こう ごと に まとめます。

$=(4x-2x)+(3y+5y)=2x+8y$

大事だいじ: $x$ と $y$ は ちがう 文も字じ な の で、 これ 以い上じょう まとめ られません。 $2x+8y$ が 答こたえ です。

3. 多項式たこうしき の 加法かほう・減法げんぽう

加法かほう (足たし算ざん)

カッコ を そのまま はずして、 同どう類るい項こう を まとめます。

例れい: $(3x+2y)+(5x-y)$

$=3x+2y+5x-y=8x+y$

減法げんぽう (引ひき算ざん)

引ひく 方かた の 式しき の すべて の 項こう の 符ふ号ごう を 反はん対たい に して 足たします。

例れい: $(3x+2y)-(5x-y)$

$=3x+2y-5x+y=-2x+3y$

ポイント: 「引ひく カッコ を はずす と き は、 中なか の 符ふ号ごう が 全ぜん部ぶ 反はん対たい に なる」。 ここ で ミス を しやすい の で 注ちゅう意い。

4. 指数しすう法則ほうそく

同おなじ 文も字じ を かけ算ざん する と き の ルール を 指数法則しすうほうそく と 言いいます。

ルール ① かけ算ざん (指数しすう を 足たす)

$x^m\times x^n=x^{m+n}$

例れい: $x^2\times x^3=x^{2+3}=x^5$

(なぜ？ $x^2=xx$、 $x^3=xxx$、 つない だ ら $xxxxx=x^5$)

ルール ② 累乗るいじょう の 累乗るいじょう (指数しすう を かける)

$(x^m{)}^n=x^{m\times n}$

例れい: $(x^2{)}^3=x^{2\times 3}=x^6$

ルール ③ かけ算ざん を まとめ て 累乗るいじょう

$(xy{)}^n=x^n{y}^n$

例れい: $(2x{)}^3=2^3{x}^3=8x^3$

単項式たんこうしき の 乗法じょうほう (まとめ)

計けい算さん	結けっ果か
$3x\times 4y$	$12xy$ (係けい数すう かける、 文も字じ かける)
$2x^2\times 5x^3$	$10x^5$ (指し数すう を 足たす)
$(-3a{)}^2$	$9a^2$ (符ふ号ごう と 数かず を 2 乗じょう)

5. 単項式たんこうしき の 除法じょほう

わり算ざん は 分数ぶんすう で 書かく

$6x^3÷2x=\frac{6x^3}{2x}=3x^2$

(係けい数すう$6÷2=3$、 文も字じ は $x^3÷x=x^2$)

例題れいだい 2

$12a^{2}b÷3ab=\frac{12a^{2}b}{3ab}=4a$

大事だいじ: 分ぶん母ぼ と 同おなじ 文も字じ が 分ぶん子し に あれ ば 1 つ ずつ 消けし合あえます ($\frac{a^2}{a}=a$、 $\frac{b}{b}=1$)。

6. 多項式たこうしき と 単項式たんこうしき の 乗法じょうほう・除法じょほう

乗法じょうほう (分配ぶんぱい法則ほうそく)

$a(b+c)=ab+ac$

例れい: $3x(2x+5y)=3x\times 2x+3x\times 5y=6x^2+15xy$

除法じょほう (1 つずつ わる)

$(a+b)÷c=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}$

例れい: $(6x^2+8x)÷2x=\frac{6x^2}{2x}+\frac{8x}{2x}=3x+4$

7. 文字もじ式しき で 説明せつめいする (整数せいすう の 性せい質しつ)

中なか 2 で は、 文も字じ式しき を 使つかって 「いつ で も そう なる こと」 を 説せつ明めい できる ように なります。

例題れいだい 3 「2 つ の 偶数ぐうすう の 和わ は 偶ぐう数すう」 を 説せつ明めい せよ

書かき方かた:

$m$、 $n$ を 整せい数すう と する と、 2 つ の 偶数ぐうすう は それぞれ $2m$、 $2n$ と 表あらわせる。

その 和わ は $2m+2n=2(m+n)$。

$m+n$ は 整せい数すう な の で、 $2(m+n)$ は 偶ぐう数すう で ある。

よって、 2 つ の 偶ぐう数すう の 和わ は 偶ぐう数すう で ある。 (証しょう終おわり)

文字もじ を どう おく か

整せい数すう の 種しゅ類るい	文も字じ で の 表あらわし方かた
偶ぐう数すう	$2n$ ($n$ は 整せい数すう)
奇き数すう	$2n+1$ または $2n-1$
連れん続ぞく する 3 つ の 整せい数すう	$n-1$、 $n$、 $n+1$
2 けた の 整せい数すう	$10a+b$ ($a$ は 十じゅう の 位くらい、 $b$ は 一いち の 位くらい)

ポイント: 「いつ で も」 を 言いう に は、 具ぐ体たい的 な 数かず で なく 文も字じ で 書かく の が 大事だいじ。 $2+4=6$ は 1 つ の 例れい で、 説せつ明めい に は なりません。

8. 等式とうしき の 変形へんけい

1 つ の 等とう式しき を、 ある 文も字じ に つい て 解といた 形かたち に 直なおす こと を 等式の変形とうしきのへんけい と 言いいます。 中なか 3 の 2 次方程式2 じほうていしき や 高校こうこう の 公式こうしき変形へんけい で 大だい活かつ躍やく します。

例題れいだい 4

$2x+3y=12$ を $y$ に つい て 解とけ。

解とき方かた: $y$ を 残のこし て、 ほか を 反はん対たい側がわ に 移い項こう。

$3y=12-2x$

両りょう辺へん を 3 で わって、

$y=\frac{12-2x}{3}=4-\frac{2}{3}x$

9. ふりかえり

この 章しょう で 学まなん だ こと を ふりかえりましょう。

• [ ]単項式たんこうしき (積せき だけ) と 多項式たこうしき (項こう が 複ふく数すう) の ちがい が 言いえる
• [ ]多た項こう式しき の 次数じすう は 「いちばん 次じ数すう が 高たかい 項こう」 と わかる
• [ ]同類項どうるいこう は 文も字じ の 部ぶ分ぶん が 同おなじ 項こう で、 係けい数すう を 足たし て まとめる
• [ ]引ひき算ざん の カッコ を はずす と き は すべて の 符ふ号ごう が 反はん対たい に なる
• [ ]指数法則しすうほうそく$x^m\times x^n=x^{m+n}$ と $(x^m{)}^n=x^{m\times n}$ を 使つかい わけ できる
• [ ]分配法則ぶんぱいほうそく$a(b+c)=ab+ac$ で 多た項こう式しき と 単たん項こう式しき の 乗じょう法ほう が できる
• [ ]偶数ぐうすう = $2n$、 奇数きすう = $2n+1$ など 文も字じ の 置おき方かた が わかる
• 1 つ の 等とう式しき を ある 文も字じ に つい て 解とく (等式の変形とうしきのへんけい) が できる