この章で学ぶこと
中 1 では 1 つの文字 (x や a) を使った式を学びました。 中 2 ではさらに進んで、 2 つ以上 の文字 が入った式を自由 にあつかえるようになります。
- 単項式 と 多項式 のちがいがわかる
- 同類項 をまとめられるようになる
- 指数法則 を使って単項式の乗除 ができる
- 多項式 と 単項式 の乗法・除法 ができる
- 文字式を使って 整数 の性質 を説明 できる
ポイント: 中 1 の 「文字式」 が 「単語」 だとすれば、 中 2 の 「式の計算」 は 「文章」 です。 これから学ぶ 連立方程式 や 一次関数 の 道具箱 になります。
1. 単項式と多項式
単項式とは
数や文字 の かけ算だけ でできている式を 単項式 と言います。
| 例 | 説明 |
|---|
| 3x | 数3 と文字 x の積 |
| −2ab | 数−2 と文字 a、 b の積 |
| x2 | x×x の積 (1 つの単項式) |
| 5 | 数だけも単項式 |
多項式とは
単項式を + や - でつないだ式を 多項式 と言います。 つないだ 1 つ 1 つの単項式を 項 と言います。
3x2−5x+2
この式の 項 は 3x2、 −5x、 +2 の 3 つ です。
大事: マイナス が付いているときは、 マイナスまでが その項の一部。 上の例では −5x で 1 つの項と数えます。
次数
文字 が 何個かけ合わさっているか を 次数 と言います。
| 単項式 | 次数 | 説明 |
|---|
| 5x | 1 | x が 1 個 |
| 3x2 | 2 | x×x で 2 個 |
| −2ab | 2 | a と b で 2 個 |
| 4x2y | 3 | x が 2 個 + y が 1 個 |
| 7 | 0 | 文字 がない |
多項式 の 次数 は、 その中で いちばん次数 の高い項 の次数 です。
| 多項式 | 次数 |
|---|
| 3x2−5x+2 | 2 (最高 は 3x2) |
| 4xy−7 | 2 (最高 は 4xy) |
2. 同類項をまとめる
文字 の部分 が 完全 に同じ 項を 同類項 と言います。
| 同類項か | 例 |
|---|
| ○ | 3x と 5x (x が同じ) |
| ○ | −2x2 と 7x2 (x2 が同じ) |
| ○ | 4ab と −ab (ab が同じ) |
| ✕ | 3x と 5x2 (次数 がちがう) |
| ✕ | 2ab と 2a (b のありなしでちがう) |
まとめ方 (係数を足す)
同類項は、 数の部分 (係数) を足し算 でまとめられます。
3x+5x=(3+5)x=8x
7a2−2a2=(7−2)a2=5a2
例題 1
つぎの式を計算 しなさい。
4x+3y−2x+5y
解き方: 同類項ごとにまとめます。
=(4x−2x)+(3y+5y)=2x+8y
大事: x と y は ちがう文字 なので、 これ以上 まとめられません。 2x+8y が答えです。
3. 多項式の加法・減法
加法 (足し算)
カッコをそのままはずして、 同類項をまとめます。
例: (3x+2y)+(5x−y)
=3x+2y+5x−y=8x+y
減法 (引き算)
引く方の式の すべての項の符号 を反対 にして足します。
例: (3x+2y)−(5x−y)
=3x+2y−5x+y=−2x+3y
ポイント: 「引くカッコをはずすときは、 中の符号 が 全部 反対 になる」。 ここでミスをしやすいので注意。
4. 指数法則
同じ文字 をかけ算するときのルールを 指数法則 と言います。
ルール ① かけ算 (指数を足す)
xm×xn=xm+n
例: x2×x3=x2+3=x5
(なぜ? x2=xx、 x3=xxx、 つないだら xxxxx=x5)
ルール ② 累乗の累乗 (指数をかける)
(xm)n=xm×n
例: (x2)3=x2×3=x6
ルール ③ かけ算をまとめて累乗
(xy)n=xnyn
例: (2x)3=23x3=8x3
単項式の乗法 (まとめ)
| 計算 | 結果 |
|---|
| 3x×4y | 12xy (係数 かける、 文字 かける) |
| 2x2×5x3 | 10x5 (指数 を足す) |
| (−3a)2 | 9a2 (符号 と数を 2 乗) |
5. 単項式の除法
わり算は分数で書く
6x3÷2x=2x6x3=3x2
(係数 6÷2=3、 文字 は x3÷x=x2)
例題 2
12a2b÷3ab=3ab12a2b=4a
大事: 分母 と同じ文字 が分子 にあれば 1 つずつ消し合えます (aa2=a、 bb=1)。
6. 多項式と単項式の乗法・除法
乗法 (分配法則)
a(b+c)=ab+ac
例: 3x(2x+5y)=3x×2x+3x×5y=6x2+15xy
除法 (1 つずつわる)
(a+b)÷c=ca+cb
例: (6x2+8x)÷2x=2x6x2+2x8x=3x+4
7. 文字式で説明する (整数の性質)
中 2 では、 文字式を使って 「いつでもそうなること」 を説明 できるようになります。
例題 3 「2 つの 偶数 の和は偶数」 を説明 せよ
書き方:
m、 n を整数 とすると、 2 つの 偶数 はそれぞれ 2m、 2n と表せる。
その和は 2m+2n=2(m+n)。
m+n は整数 なので、 2(m+n) は偶数 である。
よって、 2 つの偶数 の和は偶数 である。 (証終)
文字をどうおくか
| 整数 の種類 | 文字 での表し方 |
|---|
| 偶数 | 2n (n は整数) |
| 奇数 | 2n+1 または 2n−1 |
| 連続 する 3 つの整数 | n−1、 n、 n+1 |
| 2 けたの整数 | 10a+b (a は十の位、 b は一の位) |
ポイント: 「いつでも」 を言うには、 具体的な数でなく文字 で書く のが大事。 2+4=6 は 1 つの例 で、 説明 にはなりません。
8. 等式の変形
1 つの等式 を、 ある文字 について 解いた形 に直すことを 等式の変形 と言います。 中 3 の 2 次方程式 や高校の 公式変形 で大活躍します。
例題 4
2x+3y=12 を y について解け。
解き方: y を残して、 ほかを反対側に移項。
3y=12−2x
両辺 を 3 でわって、
y=312−2x=4−32x
9. ふりかえり
この章で学んだことをふりかえりましょう。