三角形さんかっけいと四角形しかっけい

この 章しょう で 学まなぶ こと

第だい 5 章しょう で 学まなん だ 合同ごうどう と 証明しょうめい を 使し っ て、 特とく別べつ な 三角形さんかっけい と 特とく別べつ な 四角形しかっけい の 性せい質しつ を 確かく認にん し ま す。 高校こうこう の 三角比さんかくひ や ベクトル へ つな がる 大事だいじ な 章しょう で す。

• 二等辺三角形にとうへんさんかっけい の 2 つ の 性せい質しつ が 言いえ る
• 直角三角形ちょっかくさんかっけい の 合同ごうどう条件じょうけん (2 つ) を 言いえ る
• 平行四辺形へいこうしへんけい に なる 5 つ の 条件じょうけん が 言いえ る
• 平行四辺形へいこうしへんけい の 仲なか間ま (長方形ちょうほうけい・ひし形がた・正方形せいほうけい) の 関かん係けい が わかる
• 平行線へいこうせん と 面めん積せき (等積変形とうせきへんけい) の 性せい質しつ が 使つかえ る

1. 二等辺三角形にとうへんさんかっけい の 性せい質しつ

二等辺三角形にとうへんさんかっけい = 「2 辺あたり が 等しひとい」 三角形さんかっけい。 等しひとい 辺あたり と は さ ま れ た 角かく を 頂いただき角かく、 残のこり の 2 つ の 角かく を 底そこ角かく と 言げん う。

2 つ の 大事だいじ な 性せい質しつ

性せい質しつ ①	2 つ の 底そこ角かく は 等しひとい
性せい質しつ ②	頂いただき角かく の 二に等とう分線ぶんせん は 底てい辺へん を 垂すい直ちょく に 二に等とう分ぶん す る

例題れいだい 1

$AB=AC$ の 二に等とう辺あたり三角形さんかっけい ABC で 頂いただき角かく$\angle A=50°$。 $\angle B$ を 求もとめよ。

考かんがえ方かた: 底そこ角かく$\angle B=\angle C$。 内ない角かく の 和わ か ら $\angle B+\angle C=180°-50°=130°$。 ⇒ $\angle B=65°$。

二等辺三角形にとうへんさんかっけい に な る 条件じょうけん

逆ぎゃく に、 「2 つ の 角かく が 等しひとい」 三角形さんかっけい は 二に等とう辺あたり三角形さんかっけい で あ る。 (性せい質しつ と 条件じょうけん が 互いたが に 入いれ替かわる)

正三角形せいさんかっけい

すべて の 辺あたり が 等しひとい 三角形さんかっけい を 正三角形せいさんかっけい と 言げん う。 す べて の 角かく も $60°$ ($=180°÷3$)。 二に等とう辺あたり三角形さんかっけい の 特とく別べつ な 場ば合あい。

2. 直角ちょっかく三角形さんかっけい の 合同ごうどう条件じょうけん

普通ふつう の 三角形さんかっけい の 合同ごうどう条件じょうけん (SSS、 SAS、 ASA) に 加くわえて、 直角ちょっかく三角形さんかっけい だ け の 合同ごうどう条件じょうけん が 2 つ あ り ま す。

条件じょうけん ①	斜しゃ辺へん と 1 つ の 鋭角えい が それ ぞ れ 等しひとい
条件じょうけん ②	斜しゃ辺へん と 他た の 1 辺あたり が それ ぞ れ 等しひとい

(斜しゃ辺へん = 直角ちょっかく の 反はん対たい側がわ の 辺あたり、 直角ちょっかく三角形さんかっけい の 一番いちばん長ながい 辺あたり)

大事だいじ: 直角ちょっかく三角形さんかっけい で は、 「斜しゃ辺へん」 と 「もう 1 つ」 の 情じょう報ほう だけ で 合同ごうどう が 言いえ ま す。 入試にゅうし で は 「直角ちょっかく + 斜しゃ辺へん」 が 出で て き た ら こ の 2 条件じょうけん を 思 い 出で す。

3. 平行四辺形へいこうしへんけい の 性せい質しつ

平行四辺形へいこうしへんけい = 「2 組くみ の 対たい辺へん が それ ぞ れ 平行へいこう な 四角形しかっけい」。

4 つ の 大事だいじ な 性せい質しつ

①	2 組くみ の 対たい辺へん は それ ぞ れ 等しひとい
②	2 組くみ の 対たい角かく は それ ぞ れ 等しひとい
③	対たい角かく線せん は 互いたが に それ ぞ れ の 中ちゅう点てん で 交まじわる
④	となり 合ごう う 角かく の 和わ は $180°$

4. 平行四辺形へいこうしへんけい に な る 条件じょうけん

逆ぎゃく に、 つぎ の どれ か 1 つ を 満みつる た せ ば 平行四辺形へいこうしへんけい で あ る。

条件じょうけん ①	2 組くみ の 対たい辺へん が それ ぞ れ 平行へいこう (定てい義ぎ)
条件じょうけん ②	2 組くみ の 対たい辺へん が それ ぞ れ 等しひとい
条件じょうけん ③	2 組くみ の 対たい角かく が それ ぞ れ 等しひとい
条件じょうけん ④	対たい角かく線せん が 互いたが に そ れ ぞ れ の 中ちゅう点てん で 交まじわる
条件じょうけん ⑤	1 組くみ の 対たい辺へん が 平行へいこう で 等しひとい

ポイント: ⑤ は 「平行へいこう + 等しひとい」 が 1 組くみ で 十分ぶん と いう 強力きょうりょく な 条件じょうけん。 証しょう明めい問もん題だい で よく 使し う の で 覚さとし え て お く こと。

5. 特別とくべつ な 平行四辺形へいこうしへんけい

平行四辺形へいこうしへんけい の 中なか で、 とくに 強つよい 条件じょうけん を 満みつる た す もの に は 名な前まえ が あ り ま す。

名な前まえ	条件じょうけん (平行四辺形へいこうしへんけい + α)
**[[長方形	ちょうほうけい]]**
**[[ひし形	ひしがた]]**
**[[正方形	せいほうけい]]**

関かん係けい (図ず で)

上うえ へ 行あるき く ほ ど 条件じょうけん が 強つよ く な る
正方形せいほうけい (長方形ちょうほうけい ∩ ひし形がた)
↑ ↑
長方形ちょうほうけい ひし形がた
↑ ↑
平行四辺形へいこうしへんけい
↑
四角形しかっけい

対たい角かく線せん の 性せい質しつ

図づ形けい	対たい角かく線せん の 特とく徴ちょう
平行四辺形へいこうしへんけい	互いたが に 中ちゅう点てん で 交まじわる
長方形ちょうほうけい	+ 長ながさ が 等しひとい
ひし形がた	+ 垂すい直ちょく に 交まじわる
正方形せいほうけい	+ 長ながさ が 等しひとく、 垂すい直ちょく

6. 平行へいこう線せん と 面めん積せき (等とう積せき変形へんけい)

2 直ちょく線せん$\ell \parallel m$ が あ り、 そ の 間ま に 三角形さんかっけい の 頂ちょう点てん$A$、 $B$ が あ る と き:

同おなじ 底てい辺へん BC を も ち、 もう 一いち つ の 頂ちょう点てん が 平行へいこう な 直ちょく線せん上じょう に あ る 三角形さんかっけい は、 すべて 面めん積せき が 等しひとい

例題れいだい 2

三角形さんかっけい ABC が あ り、 点てん C を 通とおり 辺あたり AB に 平行へいこう な 直ちょく線せん上じょう で 頂ちょう点てん を D に 動どう か し て 三角形さんかっけい ABD を つく る。 三角形さんかっけい ABC と 三角形さんかっけい ABD の 面めん積せき を 比ひ べ よ。

考かんがえ方かた: 底てい辺へん AB が 共きょう通つう、 高たかさ も 等しひとい (平行へいこう だ か ら 距きょ離り が 一いっ定てい)。

⇒ 面めん積せき は 等しひとい。

これ を 使し っ て 「複ふく雑ざつ な 図づ形けい を シンプル な 三角形さんかっけい に 変へん え て 面めん積せき を 求もとめ め る」 操そう作さ を 等積変形とうせきへんけい と 言げん い、 入試にゅうし で よく 出で ま す。

例題れいだい 3

四角形しかっけい ABCD の 頂ちょう点てん を D を 直ちょく線せん AC に 平行へいこう な 線せん で 移うつり し て、 三角形さんかっけい に し て 面めん積せき を 求もとめよ (等とう積せき変形へんけい)。

手て順じゅん:

1. 対たい角かく線せん AC を 引ひく
2. 点てん D を 通つう り AC に 平行へいこう な 直ちょく線せん を 引ひく
3. その 直ちょく線せん と 直ちょく線せん BC の 交こう点てん を E と す る
4. 三角形さんかっけい ACE の 面めん積せき = 三角形さんかっけい ACD の 面めん積せき (底てい辺へん AC、 平行へいこう で 高こう さ 同どう じ)
5. ⇒ 四角形しかっけい ABCD = 三角形さんかっけい ABC + 三角形さんかっけい ACD = 三角形さんかっけい ABC + 三角形さんかっけい ACE = 三角形さんかっけい ABE

四角形しかっけい が 三角形さんかっけい 1 つ に 変へん わ り ま し た。

7. ふりかえり

• 二等辺三角形にとうへんさんかっけい の 「底そこ角かく が 等しひとい」 「頂いただき角かく の 二に等分とうぶん線せん が 底てい辺へん を 垂直すいちょく に 二に等分とうぶん」 を 言いえ る
• 直角三角形ちょっかくさんかっけい の 合同ごうどう条件じょうけん 2 つ (斜しゃ辺へん + 鋭角えい、 斜しゃ辺へん + 1 辺あたり) を 言いえ る
• 平行四辺形へいこうしへんけい の 4 つ の 性せい質しつ (対たい辺へん / 対たい角かく / 対たい角かく線せん / 隣となり角かく) が 言いえ る
• [ ]平行四辺形へいこうしへんけい に な る 5 つ の 条件じょうけん を 言いえ る
• 長方形ちょうほうけい・ひし形がた・正方形せいほうけい の 関かん係けい と 対たい角かく線せん の 特とく徴ちょう が わかる
• 等積変形とうせきへんけい で 面めん積せき を 変かえ ず に 形かたち を 変かえ られる