三角形さんかくけいと四角形しかくけい

この章しょうで学まなぶこと

第だい 5 章しょうで学まなんだ 合同ごうどう と 証明しょうめい を使つかって、 特とく別べつな三角形さんかくけい と 特とく別べつな四角形しかくけい の性せい質しつを確かく認にんします。 高校こうこうの 三角比さんかくひ や ベクトルべくとる へつながる大事だいじな章しょうです。

• 二等辺三角形にとうへんさんかくけい の 2 つの性せい質しつが言いえる
• 直角三角形ちょっかくさんかっけい の合同ごうどう条件じょうけん (2 つ) を言いえる
• 平行四辺形へいこうしへんけい になる 5 つの条件じょうけんが言いえる
• 平行四辺形へいこうしへんけいの仲なか間ま (長方形ちょうほうけい・ひし形ひしがた・正方形せいほうけい) の関かん係けいがわかる
• 平行線と面積へいこうせんとめんせき (等積変形とうせきへんけい) の性せい質しつが使つかえる

1. 二等辺三角形にとうへんさんかくけいの性せい質しつ

二等辺三角形にとうへんさんかくけい = 「2 辺へんが等しひとい」 三角形さんかくけい。 等しひとい辺へんとはさまれた角かくを 頂角ちょうかく、 残のこりの 2 つの角かくを 底角ていかく と言いう。

2 つの大事だいじな性せい質しつ

性せい質しつ ①	2 つの底角ていかくは等しひとい
性せい質しつ ②	頂角ちょうかくの二に等とう分線ぶんせんは底てい辺へんを垂直すいちょくに二に等とう分ぶんする

例題れいだい 1

$AB=AC$ の二に等とう辺へん三角形さんかくけい ABC で頂角ちょうかく $\angle A=50°$。 $\angle B$ を求もとめよ。

考かんがえ方かた: 底角ていかく $\angle B=\angle C$。 内ない角かくの和わから $\angle B+\angle C=180°-50°=130°$。 ⇒ $\angle B=65°$。

二等辺三角形にとうへんさんかくけいになる条件じょうけん

逆ぎゃくに、 「2 つの角かくが等しひとい」 三角形さんかくけいは二に等とう辺へん三角形さんかくけい である。 (性せい質しつと条件じょうけんが互いたがに入いれ替かわる)

正三角形せいさんかくけい

すべての辺へんが等しひとい三角形さんかくけいを 正三角形せいさんかくけい と言いう。 すべての角かくも $60°$ ($=180°÷3$)。 二に等とう辺へん三角形さんかくけいの 特とく別べつな場ば合あい。

2. 直角ちょっかく三角形さんかくけいの合同ごうどう条件じょうけん

普通ふつうの三角形さんかくけいの合同ごうどう条件じょうけん (SSS、 SAS、 ASA) に加くわえて、 直角ちょっかく三角形さんかくけいだけ の合同ごうどう条件じょうけんが 2 つあります。

条件じょうけん ①	斜しゃ辺へんと 1 つの鋭角えいがそれぞれ等しひとい
条件じょうけん ②	斜しゃ辺へんと他たの 1 辺へんがそれぞれ等しひとい

(斜しゃ辺へん = 直角ちょっかくの反はん対たい側がわの辺へん、 直角ちょっかく三角形さんかくけいの一番いちばん長ながい辺へん)

大事だいじ: 直角ちょっかく三角形さんかくけいでは、 「斜しゃ辺へん」 と 「もう 1 つ」 の情じょう報ほうだけで合同ごうどうが言いえます。 入試にゅうしでは 「直角ちょっかく + 斜しゃ辺へん」 が出でてきたらこの 2 条件じょうけんを思おもい出だす。

3. 平行四辺形へいこうしへんけいの性せい質しつ

平行四辺形へいこうしへんけい = 「2 組くみの対たい辺へんがそれぞれ平行へいこう な四角形しかくけい」。

4 つの大事だいじな性せい質しつ

①	2 組くみの対たい辺へんはそれぞれ等しひとい
②	2 組くみの対たい角かくはそれぞれ等しひとい
③	対たい角かく線せんは互いたがにそれぞれの中ちゅう点てんで交まじわる
④	となり合あう角かくの和わは $180°$

4. 平行四辺形へいこうしへんけいになる条件じょうけん

逆ぎゃくに、 つぎの どれか 1 つ を満みたせば平行四辺形へいこうしへんけいである。

条件じょうけん ①	2 組くみの対たい辺へんがそれぞれ 平行へいこう (定てい義ぎ)
条件じょうけん ②	2 組くみの対たい辺へんがそれぞれ 等しひとい
条件じょうけん ③	2 組くみの対たい角かくがそれぞれ 等しひとい
条件じょうけん ④	対たい角かく線せんが互いたがにそれぞれの中ちゅう点てんで交まじわる
条件じょうけん ⑤	1 組くみの対たい辺へんが平行へいこうで等しひとい

ポイント: ⑤ は 「平行へいこう + 等しひとい」 が 1 組くみで十分ぶん という強力きょうりょくな条件じょうけん。 証しょう明めい問もん題だいでよく使つかうので覚おぼえておくこと。

5. 特別とくべつな平行四辺形へいこうしへんけい

平行四辺形へいこうしへんけいの中なかで、 とくに強つよい条件じょうけんを満みたすものには名な前まえがあります。

名な前まえ	条件じょうけん (平行四辺形へいこうしへんけい + α)
長方形ちょうほうけい	4 つの角かくがすべて直角ちょっかく
ひし形ひしがた	4 辺へんがすべて等しひとい
正方形せいほうけい	長方形ちょうほうけいであり、 ひし形ひしがたでもある

関かん係けい (図ずで)

上うえへ行いくほど条件じょうけんが強つよくなる
正方形せいほうけい (長方形ちょうほうけい ∩ ひし形ひしがた)
↑ ↑
長方形ちょうほうけい ひし形ひしがた
↑ ↑
平行四辺形へいこうしへんけい
↑
四角形しかくけい

対たい角かく線せんの性せい質しつ

図づ形けい	対たい角かく線せんの特とく徴ちょう
平行四辺形へいこうしへんけい	互いたがに中ちゅう点てんで交まじわる
長方形ちょうほうけい	+ 長ながさが等しひとい
ひし形ひしがた	+ 垂直すいちょくに交まじわる
正方形せいほうけい	+ 長ながさが等しひとく、 垂直すいちょく

6. 平行へいこう線せんと面積めんせき (等とう積せき変形へんけい)

2 直ちょく線せん $\ell \parallel m$ があり、 その間かんに三角形さんかくけいの頂ちょう点てん $A$、 $B$ があるとき:

同おなじ底てい辺へん BC をもち、 もう一ひとつの頂ちょう点てんが平行へいこうな直ちょく線せん上じょうにある三角形さんかくけいは、 すべて面積めんせきが等しひとい

例題れいだい 2

三角形さんかくけい ABC があり、 点てん C を通とおり辺へん AB に平行へいこうな直ちょく線せん上じょうで頂ちょう点てんを D に動うごかして三角形さんかくけい ABD をつくる。 三角形さんかくけい ABC と三角形さんかくけい ABD の面積めんせきを比くらべよ。

考かんがえ方かた: 底てい辺へん AB が共きょう通つう、 高たかさも等しひとい (平行へいこうだから距きょ離りが一いっ定てい)。

⇒ 面積めんせきは等しひとい。

これを使つかって 「複ふく雑ざつな図づ形けいをシンプルな三角形さんかくけいに変かえて面積めんせきを求もとめる」 操そう作さを 等積変形とうせきへんけい と言いい、 入試にゅうしでよく出でます。

例題れいだい 3

四角形しかくけい ABCD の頂ちょう点てんを D を直ちょく線せん AC に平行へいこうな線せんで移うつして、 三角形さんかくけいにして面積めんせきを求もとめよ (等とう積せき変形へんけい)。

手て順じゅん:

1. 対たい角かく線せん AC を引ひく
2. 点てん D を通とおり AC に平行へいこうな直ちょく線せんを引ひく
3. その直ちょく線せんと直ちょく線せん BC の交こう点てんを E とする
4. 三角形さんかくけい ACE の面積めんせき = 三角形さんかくけい ACD の面積めんせき (底てい辺へん AC、 平行へいこうで高たかさ同おなじ)
5. ⇒ 四角形しかくけい ABCD = 三角形さんかくけい ABC + 三角形さんかくけい ACD = 三角形さんかくけい ABC + 三角形さんかくけい ACE = 三角形さんかくけい ABE

四角形しかくけいが 三角形さんかくけい 1 つ に変かわりました。

7. ふりかえり

• 二等辺三角形にとうへんさんかくけい の 「底角ていかくが等しひとい」 「頂角ちょうかくの二に等分とうぶん線せんが底てい辺へんを垂直すいちょくに二に等分とうぶん」 を言いえる
• 直角三角形ちょっかくさんかっけい の合同ごうどう条件じょうけん 2 つ (斜しゃ辺へん + 鋭角えい、 斜しゃ辺へん + 1 辺へん) を言いえる
• 平行四辺形へいこうしへんけい の 4 つの性せい質しつ (対たい辺へん / 対たい角かく / 対たい角かく線せん / 隣となり角かく) が言いえる
• [ ]平行四辺形へいこうしへんけいになる 5 つの条件じょうけん を言いえる
• 長方形ちょうほうけい・ひし形ひしがた・正方形せいほうけい の関かん係けいと対たい角かく線せんの特とく徴ちょうがわかる
• 等積変形とうせきへんけい で面積めんせきを変かえずに形かたちを変かえられる