平行へいこうと合同ごうどう

この章しょうで学まなぶこと

中なか 1 では 「平へい面めん図づ形けい と立りっ体たい図づ形けい」 を学まなびました。 中なか 2 からは 「なぜそう言いえるかを 証しょう明めい する」 ことがテーマになります。

• 対頂角たいちょうかく・同位角どういかく・錯角さっかく が区く別べつ できる
• 平行線へいこうせん と角かくの性せい質しつ (条じょう件けん) が言いえる
• 多角形たかっけい の 内ない角かく の和わ と 外がい角かく の和わ を求もとめられる
• 三角形さんかくけい の 合同条件ごうどうじょうけん 3 つを言いえる
• 証明しょうめい の書かき方かたがわかる

ポイント: 「証しょう明めい」 = 「だれが見みても正ただしいと言いえる説せつ明めい」。 中なか 1 までの 「なんとなくそう思おもう」 を、 中なか 2 からは 論ろん理り的てきな言こと葉ば で説せつ明めい します。

1. 対頂角たいちょうかく・同位どうい角かく・錯角さっかく

2 直ちょく線せん が交まじわると、 4 つの角かくができます。

対頂角たいちょうかく

向むかい合あった角かくを 対頂角たいちょうかく と言いいます。 対頂ちょう角は等しひとい (これは自じ明めい な性せい質しつ、 中なか 2 では公こう認にん して使つかう)。

図ずの角かく (4 つ)	名な前まえ
①と③	対頂ちょう角 (等しひとい)
②と④	対頂ちょう角 (等しひとい)
①と②	隣となり合あう ( 足たして $180°$ )

同位どうい角かく・錯角さっかく

2 直ちょく線せん に 1 本ほんの直ちょく線せん が横切よこぎる (= 横切よこぎり) と、 8 つの角かくができます。 その中なかで:

名な前まえ	場ば所しょ
同位角どういかく	横切よこぎ りの 同おなじ側がわ にあり、 2 直ちょく線せん の 同おなじ高たかさ にある角かく
錯角さっかく	横切よこぎ りの 反はん対たい側がわ にあり、 2 直ちょく線せん の間まにある角かく (Z の形かたち)

大事だいじ: 同どう位い角は F (エフ) の形かたち、 錯さっ角かく は Z (ゼット) の形かたち。 図ずを見みて文も字じ の形かたちで覚おぼえるとわかりやすい。

2. 平行へいこう線せんの性せい質しつ と条件じょうけん

平行へいこう線せんの 性せい質しつ (平行へいこう → 角かく)

2 直ちょく線せん が 平行へいこう ならば、

• 同位角どういかく は等しひとい
• 錯角さっかく は等しひとい

平行へいこう線せんの 条じょう件けん (角かく → 平行へいこう)

逆ぎゃくに、 同どう位い角か錯さっ角かく が 等しひとければ、 2 直ちょく線せん は 平行へいこう である。

例題れいだい 1

図ずで直ちょく線せん $\ell$ と $m$ は平行へいこう。 角$a=70°$ のとき、 角$b$、 $c$ を求もとめよ。

考かんがえ方かた:

角かく	関かん係けい	答えこたえ
$a$ と $b$	同どう位い角 → 等しひとい	$b=70°$
$b$ と $c$	隣となり合あう ($180°$)	$c=110°$

ポイント: 平行へいこうが出でてきたら、 まず 「同どう位い角」「錯さっ角かく」 とマークをつけること。 これだけで解とける問もん題だい が多おおい。

3. 三角形さんかくけいの内ない角かく と外がい角かく

内ない角かく の和わ

三角形さんかくけいの内ない角かく の和わは $180°$ (中ちゅう 1 で既き習しゅう)。

外がい角かく

頂ちょう点てん の内ない角かく の 隣となりの角かく ($180°$ から内ない角かく を引ひいたもの) を 外角がいかく と言いいます。

大事だいじな性せい質しつ

三角形さんかくけいの 1 つの外がい角かく = それまでとなり合あわない 2 つの内ない角かく の和わ

例れい: 内ない角かく が $60°$、 $80°$、 $40°$ の三角形さんかくけい。 $40°$ の外がい角かく = $180°-40°=140°=60°+80°$。

4. 多角たかく形がたの内ない角かく・外がい角かく

多角たかく形がたの内ない角かく の和

$n$角形かくがたの内ない角かく の和わは

$180°\times (n-2)$

$n$	形かたち	内ない角かく の和わ
3	三角形さんかくけい	$180°$
4	四角形しかくけい	$360°$
5	五角形ごかっけい	$540°$
6	六角形ろっかっけい	$720°$
8	八はち角形かくがた	$1080°$

理り由ゆう: $n$角形かくがたは 1 つの頂ちょう点てん から対たい角かく線せん を引ひいて $(n-2)$個の三角形さんかくけいに分わけられる。 1 つあたり $180°$ なので合ごう計けい $180°\times (n-2)$。

多角たかく形がたの外がい角かく の和わ

$n$ にかかわらず、 多角たかく形がたの外がい角かく の和かずはつねに $360°$。

大事だいじ: 内ない角かく の和わは 「$n$ で変かわる」、 外がい角かく の和わは 「どの $n$ でも $360°$」。 これは入試にゅうしで何なん度ども問とわれます。

正多角形せいたかっけい

「全すべての辺あたりと内ない角かく が等しひとい」 多角たかく形がたを 正多角形せいたかっけい と言いう。 1 つの内ない角かく や外がい角かく は簡かん単たん に求もとまる。

正$n$角形かくがた	1 つの外がい角かく	1 つの内ない角かく
正三角形せいさんかっけい	$120°$	$60°$
正方形せいほうけい	$90°$	$90°$
正五角形せいごかっけい	$72°$	$108°$
正六角形せいろっかっけい	$60°$	$120°$
正せい八はち角形かくがた	$45°$	$135°$

(1 つの外がい角かく = $360°÷n$、 1 つの内ない角かく = $180°-$外がい角かく)

5. 三角形さんかくけいの合同ごうどうと合同ごうどう条件じょうけん

合同ごうどうとは

形かたちと大おおきさが 完かん全ぜん に同おなじ (重かさね合あわせられる) 図づ形けい を 合同ごうどう と言いう。 記き号ごう $\equiv$ で表あらわす。

例れい: $△ABC\equiv △DEF$ と書かいたら、 対たい応おう する頂ちょう点てん が同おなじ順じゅん番ばん に並ならぶ ($A\to D$、 $B\to E$、 $C\to F$)。

合同ごうどう条件じょうけん (3 つ)

2 つの三角形さんかくけいが、 つぎのどれか 1 つを満みたせば 合同ごうどう である。

①	3 辺あたりがそれぞれ等しひとい (SSS)
②	2 辺あたりとその間かんの角かくがそれぞれ等しひとい (SAS)
③	1 辺あたりとその両端りょうたんの角かくがそれぞれ等しひとい (ASA)

大事だいじ: 「2 辺あたりと 間かんでない 角かく」 は NG (合同ごうどうとは限かぎらない)。 「辺あたりと角かくの並ならび方かた」 が大事だいじ。

6. 証明しょうめいの書かき方かた

証明しょうめいの流ながれ

1. 仮か定てい (与あたえられていること) を書かく
2. 結けつ論ろん (示しめしたいこと) を書かく
3. 仮か定てい から、 公こう認にん された性せい質しつ を順じゅんに使つかって結けつ論ろん へつなげる

例題れいだい 2

$AB=AC$、 $D$ は $BC$ の中点ちゅうてんとする。 $△ABD\equiv △ACD$ であることを示しめせ。

証しょう明めい:

$△ABD$ と $△ACD$ で、

$AB=AC$ (仮か定てい) …①

$BD=CD$ ($D$ は $BC$ の中点ちゅうてん) …②

$AD$ は共きょう通つう …③

①、②、③ より、 3 辺あたりがそれぞれ等しひとい (SSS) ので、

$△ABD\equiv △ACD$ (証しょう終おわり)

書かき方かたのコツ

ポイント	くわしく
三角形さんかくけいの名な前まえ を先さきに書かく	「$△ABD$ と $△ACD$ で」
対たい応おう する順じゅん に文も字じ を並ならべる	$AB\leftrightarrow AC$、 $BD\leftrightarrow CD$
1 つずつ 理り由ゆう を添そえる	「仮か定てい」「共きょう通つう」「中点ちゅうてん」 等ひとし
最後さいごに 合同ごうどう条件じょうけん を明めい示じ	「3 辺あたりが」 「2 辺あたりとその間かんの角かくが」 等ひとし

7. ふりかえり

• 対頂角たいちょうかく が等しひといことを言いえる
• 同位角どういかく (F の形かたち)、 錯角さっかく (Z の形かたち) が区く別べつ できる
• [ ]平行へいこう線せんの 性せい質しつ (平行へいこう → 同どう位い・錯等しひとい)、 条じょう件けん (同どう位い・錯等しひとい → 平行へいこう) がわかる
• [ ]$n$角形かくがたの 内ない角かく の和わ = $180°\times (n-2)$ が言いえる
• [ ]多角たかく形がたの 外がい角かく の和わ はつねに $360°$ と知しっている
• [ ]三角形さんかくけいの 3 つの 合同条件ごうどうじょうけん (SSS、 SAS、 ASA) を言いえる
• 証明しょうめい の書かき方かた (仮か定てい → 理り由ゆう → 合同ごうどう条件じょうけん → 結けつ論ろん) がわかる