平行へいこうと合同ごうどう

この章しょうで学まなぶこと

中なか 1 では 「平面図形へいめんずけいと立りっ体たい図づ形けい」 を学まなびました。 中なか 2 からは 「なぜそう言いえるかを 証しょう明めい する」 ことがテーマになります。

• 対頂角たいちょうかく・同位角どういかく・錯角さっかく が区く別べつできる
• 平行線へいこうせん と角かくの性せい質しつ (条じょう件けん) が言いえる
• 多角形たかくけい の 内ない角かくの和わ と 外がい角かくの和わ を求もとめられる
• 三角形さんかくけい の 合同条件ごうどうじょうけん 3 つを言いえる
• 証明しょうめい の書かき方かたがわかる

ポイント: 「証しょう明めい」 = 「だれが見みても正ただしいと言いえる説せつ明めい」。 中なか 1 までの 「なんとなくそう思おもう」 を、 中なか 2 からは 論ろん理り的てきな言こと葉ば で説せつ明めいします。

1. 対頂角たいちょうかく・同位どうい角かく・錯角さっかく

2 直ちょく線せんが交まじわると、 4 つの角かくができます。

対頂角たいちょうかく

向むかい合あった角かくを 対頂角たいちょうかく と言いいます。 対頂ちょう角は等しひとい (これは自じ明めいな性せい質しつ、 中なか 2 では公こう認にんして使つかう)。

図ずの角かく (4 つ)	名な前まえ
①と③	対頂ちょう角 (等しひとい)
②と④	対頂ちょう角 (等しひとい)
①と②	隣となり合あう ( 足たして $180°$ )

同位どうい角かく・錯角さっかく

2 直ちょく線せんに 1 本ほんの直ちょく線せんが横切よこぎる (= 横切よこぎり) と、 8 つの角かくができます。 その中なかで:

名な前まえ	場ば所しょ
同位角どういかく	横切よこぎりの 同おなじ側がわ にあり、 2 直ちょく線せんの 同おなじ高たかさ にある角かく
錯角さっかく	横切よこぎりの 反はん対たい側がわ にあり、 2 直ちょく線せんの間まにある角かく (Z の形かたち)

大事だいじ: 同どう位い角は F (エフ) の形かたち、 錯さっ角かくは Z (ゼット) の形かたち。 図ずを見みて文も字じの形かたちで覚おぼえるとわかりやすい。

2. 平行へいこう線せんの性せい質しつと条件じょうけん

平行へいこう線せんの 性せい質しつ (平行へいこう → 角かく)

2 直ちょく線せんが 平行へいこう ならば、

• 同位角どういかくは等しひとい
• 錯角さっかくは等しひとい

平行へいこう線せんの 条じょう件けん (角かく → 平行へいこう)

逆ぎゃくに、 同どう位い角か錯さっ角かくが 等しひとければ、 2 直ちょく線せんは 平行へいこう である。

例題れいだい 1

図ずで直ちょく線せん $\ell$ と $m$ は平行へいこう。 角$a=70°$ のとき、 角$b$、 $c$ を求もとめよ。

考かんがえ方かた:

角かく	関かん係けい	答えこたえ
$a$ と $b$	同どう位い角 → 等しひとい	$b=70°$
$b$ と $c$	隣となり合あう ($180°$)	$c=110°$

ポイント: 平行へいこうが出でてきたら、 まず 「同どう位い角」「錯さっ角かく」 とマークをつけること。 これだけで解とける問もん題だいが多おおい。

3. 三角形さんかくけいの内ない角かくと外がい角かく

内ない角かくの和わ

三角形さんかくけいの内ない角かくの和わは $180°$ (中ちゅう 1 で既き習しゅう)。

外がい角かく

頂ちょう点てんの内ない角かくの 隣となりの角かく ($180°$ から内ない角かくを引ひいたもの) を 外角がいかく と言いいます。

大事だいじな性せい質しつ

三角形さんかくけいの 1 つの外がい角かく = それまでとなり合あわない 2 つの内ない角かくの和わ

例れい: 内ない角かくが $60°$、 $80°$、 $40°$ の三角形さんかくけい。 $40°$ の外がい角かく = $180°-40°=140°=60°+80°$。

4. 多角形たかくけいの内ない角かく・外がい角かく

多角形たかくけいの内ない角かくの和

$n$角形かくがたの内ない角かくの和わは

$180°\times (n-2)$

$n$	形かたち	内ない角かくの和わ
3	三角形さんかくけい	$180°$
4	四角形しかくけい	$360°$
5	五角形ごかくけい	$540°$
6	六角形ろっかっけい	$720°$
8	八はち角形かくがた	$1080°$

理り由ゆう: $n$角形かくがたは 1 つの頂ちょう点てんから対たい角かく線せんを引ひいて $(n-2)$個の三角形さんかくけいに分わけられる。 1 つあたり $180°$ なので合ごう計けい $180°\times (n-2)$。

多角形たかくけいの外がい角かくの和わ

$n$ にかかわらず、 多角形たかくけいの外がい角かくの和わはつねに $360°$。

大事だいじ: 内ない角かくの和わは 「$n$ で変かわる」、 外がい角かくの和わは 「どの $n$ でも $360°$」。 これは入試にゅうしで何なん度ども問とわれます。

正多角形せいたかっけい

「全すべての辺へんと内ない角かくが等しひとい」 多角形たかくけいを 正多角形せいたかっけい と言いう。 1 つの内ない角かくや外がい角かくは簡かん単たんに求もとまる。

正せい$n$角形かくがた	1 つの外がい角かく	1 つの内ない角かく
正三角形せいさんかくけい	$120°$	$60°$
正方形せいほうけい	$90°$	$90°$
正五角形せいごかくけい	$72°$	$108°$
正六角形せいろっかっけい	$60°$	$120°$
正せい八はち角形かくがた	$45°$	$135°$

(1 つの外がい角かく = $360°÷n$、 1 つの内ない角かく = $180°-$外がい角かく)

5. 三角形さんかくけいの合同ごうどうと合同ごうどう条件じょうけん

合同ごうどうとは

形かたちと大おおきさが 完かん全ぜんに同おなじ (重かさね合あわせられる) 図づ形けいを 合同ごうどう と言いう。 記き号ごう $\equiv$ で表あらわす。

例れい: $△ABC\equiv △DEF$ と書かいたら、 対たい応おうする頂ちょう点てんが同おなじ順じゅん番ばんに並ならぶ ($A\to D$、 $B\to E$、 $C\to F$)。

合同ごうどう条件じょうけん (3 つ)

2 つの三角形さんかくけいが、 つぎのどれか 1 つを満みたせば 合同ごうどう である。

①	3 辺へんがそれぞれ等しひとい (SSS)
②	2 辺へんとその間かんの角かくがそれぞれ等しひとい (SAS)
③	1 辺へんとその両端りょうたんの角かくがそれぞれ等しひとい (ASA)

大事だいじ: 「2 辺へんと 間かんでない 角かく」 は NG (合同ごうどうとは限かぎらない)。 「辺へんと角かくの並ならび方かた」 が大事だいじ。

6. 証明しょうめいの書かき方かた

証明しょうめいの流ながれ

1. 仮か定てい (与あたえられていること) を書かく
2. 結けつ論ろん (示しめしたいこと) を書かく
3. 仮か定ていから、 公こう認にんされた性せい質しつ を順じゅんに使つかって結けつ論ろんへつなげる

例題れいだい 2

$AB=AC$、 $D$ は $BC$ の中点ちゅうてんとする。 $△ABD\equiv △ACD$ であることを示しめせ。

証しょう明めい:

$△ABD$ と $△ACD$ で、

$AB=AC$ (仮か定てい) …①

$BD=CD$ ($D$ は $BC$ の中点ちゅうてん) …②

$AD$ は共きょう通つう …③

①、②、③ より、 3 辺へんがそれぞれ等しひとい (SSS) ので、

$△ABD\equiv △ACD$ (証しょう終おわり)

書かき方かたのコツ

ポイント	くわしく
三角形さんかくけいの名な前まえ を先さきに書かく	「$△ABD$ と $△ACD$ で」
対たい応おうする順じゅん に文も字じを並ならべる	$AB\leftrightarrow AC$、 $BD\leftrightarrow CD$
1 つずつ 理り由ゆうを添そえる	「仮か定てい」「共きょう通つう」「中点ちゅうてん」 等ひとし
最後さいごに 合同ごうどう条件じょうけん を明めい示じ	「3 辺へんが」 「2 辺へんとその間かんの角かくが」 等ひとし

7. ふりかえり

• 対頂角たいちょうかく が等しひといことを言いえる
• 同位角どういかく (F の形かたち)、 錯角さっかく (Z の形かたち) が区く別べつできる
• [ ]平行へいこう線せんの 性せい質しつ (平行へいこう → 同どう位い・錯等しひとい)、 条じょう件けん (同どう位い・錯等しひとい → 平行へいこう) がわかる
• [ ]$n$角形かくがたの 内ない角かくの和わ = $180°\times (n-2)$ が言いえる
• [ ]多角形たかくけいの 外がい角かくの和わ はつねに $360°$ と知しっている
• [ ]三角形さんかくけいの 3 つの合同条件ごうどうじょうけん (SSS、 SAS、 ASA) を言いえる
• 証明しょうめい の書かき方かた (仮か定てい → 理り由ゆう → 合同ごうどう条件じょうけん → 結けつ論ろん) がわかる