この 章 で 学ぶ こと
中 1 で は 「平面図形 と 立体図形」 を 学び ま し た。 中 2 か ら は 「な ぜ そう 言え る か を 証明 す る」 こと が テーマ に な り ま す。
- 対頂角・同位角・錯角 が 区別 で きる
- 平行線 と 角 の 性質 (条件) が 言え る
- 多角形 の 内角 の 和 と 外角 の 和 を 求め られる
- 三角形 の 合同条件 3 つ を 言え る
- 証明 の 書き方 が わかる
ポイント: 「証明」 = 「だれ が 見 て も 正し い と 言え る 説明」。 中 1 ま で の 「な んと な く そう 思 う」 を、 中 2 か ら は 論理的 な 言葉 で 説明 し ま す。
1. 対頂角・同位角・錯角
2 直線 が 交わる と、 4 つ の 角 が で き ま す。
対頂角
向か い 合った 角 を 対頂角 と 言 い ま す。 対頂角 は 等しい (これ は 自明 な 性質、 中 2 で は 公認 し て 使う)。
| 図 の 角 (4 つ) | 名前 |
|---|
| ①と③ | 対頂角 (等しい) |
| ②と④ | 対頂角 (等しい) |
| ①と② | 隣り 合う ( 足し て 180° ) |
同位角・錯角
2 直線 に 1 本 の 直線 が 横切る (= 横切り) と、 8 つ の 角 が で き ま す。 そ の 中 で:
| 名前 | 場所 |
|---|
| **[[同位角 | どういかく]]** |
| **[[錯角 | さっかく]]** |
大事: 同位角 は F (エ フ) の 形、 錯角 は Z (ゼッ ト) の 形。 図 を 見て 文字 の 形 で 覚 え る と わかり やすい。
2. 平行線 の 性質 と 条件
平行線 の 性質 (平行 → 角)
2 直線 が 平行 な ら ば、
- 同位角 は 等しい
- 錯角 は 等しい
平行線 の 条件 (角 → 平行)
逆 に、 同位角 か 錯角 が 等しけ れ ば、 2 直線 は 平行 で あ る。
例題 1
図 で 直線ℓ と m は 平行。 角a=70° の と き、 角b、 c を 求めよ。
考え方:
| 角 | 関係 | 答 え |
|---|
| a と b | 同位角 → 等しい | b=70° |
| b と c | 隣り合う (180°) | c=110° |
ポイント: 平行 が 出 て きたら、 まず 「同位角」「錯角」 と マーク を つける こと。 これ だけ で 解け る 問題 が 多 い。
3. 三角形 の 内角 と 外角
内角 の 和
三角形 の 内角 の 和 は 180° (中 1 で 既習)。
外角
頂点 の 内角 の 隣り の 角 (180° から 内角 を 引いた もの) を 外角 と 言 い ま す。
大事 な 性質
三角形 の 1 つ の 外角 = それ ま で とな り 合 わな い 2 つ の 内角 の 和
例: 内角 が 60°、 80°、 40° の 三角形。 40° の 外角 = 180°−40°=140°=60°+80°。
4. 多角形 の 内角・外角
多角形 の 内角 の 和
n角形 の 内角 の 和 は
180°×(n−2)
| n | 形 | 内角 の 和 |
|---|
| 3 | 三角形 | 180° |
| 4 | 四角形 | 360° |
| 5 | 五角形 | 540° |
| 6 | 六角形 | 720° |
| 8 | 八角形 | 1080° |
理由: n角形 は 1 つ の 頂点 か ら 対角線 を 引い て (n−2)個 の 三角形 に 分け られる。 1 つ あた り 180° な の で 合計180°×(n−2)。
多角形 の 外角 の 和
n に かか わ ら ず、 多角形 の 外角 の 和 は つね に 360°。
大事: 内角 の 和 は 「n で 変わる」、 外角 の 和 は 「ど の n で も 360°」。 これ は 入試 で 何度 も 問わ れ ます。
正多角形
「全 て の 辺 と 内角 が 等しい」 多角形 を 正多角形 と 言 う。 1 つ の 内角 や 外角 は 簡単 に 求まる。
| 正n角形 | 1 つ の 外角 | 1 つ の 内角 |
|---|
| 正三角形 | 120° | 60° |
| 正方形 | 90° | 90° |
| 正五角形 | 72° | 108° |
| 正六角形 | 60° | 120° |
| 正八角形 | 45° | 135° |
(1 つ の 外角 = 360°÷n、 1 つ の 内角 = 180°−外角)
5. 三角形 の 合同 と 合同条件
合同 と は
形 と 大きさ が 完全 に 同じ (重ね 合 わ せ ら れ る) 図形 を 合同 と 言 う。 記号 ≡ で 表す。
例: △ABC≡△DEF と 書い た ら、 対応 す る 頂点 が 同じ 順番 に 並ぶ (A→D、 B→E、 C→F)。
合同条件 (3 つ)
2 つ の 三角形 が、 つぎ の どれ か 1 つ を 満 た せ ば 合同 で あ る。
| ① | 3 辺 が それぞれ 等しい (SSS) |
|---|
| ② | 2 辺 と そ の 間 の 角 が それぞれ 等しい (SAS) |
| ③ | 1 辺 と そ の 両端 の 角 が それぞれ 等しい (ASA) |
大事: 「2 辺 と 間 で ない 角」 は NG (合同 と は 限らな い)。 「辺 と 角 の 並 び 方」 が 大事。
6. 証明 の 書き方
証明 の 流れ
- 仮定 (与え ら れ て い る こと) を 書く
- 結論 (示し た い こと) を 書く
- 仮定 か ら、 公認 さ れ た 性質 を 順 に 使って 結論 へ つな げ る
例題 2
AB=AC、 D は BC の 中点 と す る。 △ABD≡△ACD で あ る こと を 示せ。
証明:
△ABD と △ACD で、
AB=AC (仮定) …①
BD=CD (D は BC の 中点) …②
AD は 共通 …③
①、②、③ よ り、 3 辺 が それぞれ 等しい (SSS) の で、
△ABD≡△ACD (証終)
書き方 の コツ
| ポイント | くわしく |
|---|
| 三角形 の 名前 を 先 に 書く | 「△ABD と △ACD で」 |
| 対応 す る 順 に 文字 を 並 べ る | AB↔AC、 BD↔CD |
| 1 つ ず つ 理由 を 添 え る | 「仮定」「共通」「中点」 等 |
| 最後 に 合同条件 を 明示 | 「3 辺 が」 「2 辺 と そ の 間 の 角 が」 等 |
7. ふりかえり