平行へいこうと合同ごうどう

この 章しょう で 学まなぶ こと

中なか 1 で は 「平へい面めん図づ形けい と 立りっ体たい図づ形けい」 を 学まなび ま し た。 中なか 2 か ら は 「な ぜ そう 言いえ る か を 証しょう明めい す る」 こと が テーマ に な り ま す。

• 対頂角たいちょうかく・同位角どういかく・錯角さっかく が 区く別べつ で きる
• 平行線へいこうせん と 角かく の 性せい質しつ (条じょう件けん) が 言いえ る
• 多角形たかくがた の 内ない角かく の 和わ と 外がい角かく の 和わ を 求もとめ られる
• 三角形さんかっけい の 合同条件ごうどうじょうけん 3 つ を 言いえ る
• 証明しょうめい の 書かき方かた が わかる

ポイント: 「証しょう明めい」 = 「だれ が 見み て も 正ただし い と 言いえ る 説せつ明めい」。 中なか 1 ま で の 「な んと な く そう 思 う」 を、 中なか 2 か ら は 論ろん理り的てき な 言こと葉ば で 説せつ明めい し ま す。

1. 対頂角たいちょうかく・同位どうい角かく・錯角さっかく

2 直ちょく線せん が 交まじわる と、 4 つ の 角かく が で き ま す。

対頂角たいちょうかく

向むかいか い 合あった 角かく を 対頂角たいちょうかく と 言げん い ま す。 対頂ちょう角 は 等しひとい (これ は 自じ明めい な 性せい質しつ、 中なか 2 で は 公こう認にん し て 使つかう)。

図ず の 角かく (4 つ)	名な前まえ
①と③	対頂ちょう角 (等しひとい)
②と④	対頂ちょう角 (等しひとい)
①と②	隣となり 合あう ( 足たし て $180°$ )

同位どうい角かく・錯角さっかく

2 直ちょく線せん に 1 本ほん の 直ちょく線せん が 横切よこぎる (= 横切よこぎり) と、 8 つ の 角かく が で き ま す。 そ の 中なか で:

名な前まえ	場ば所しょ
**[[同位角	どういかく]]**
**[[錯角	さっかく]]**

大事だいじ: 同どう位い角 は F (エ フ) の 形かたち、 錯さっ角かく は Z (ゼッ ト) の 形かたち。 図ず を 見みて 文も字じ の 形かたち で 覚さとし え る と わかり やすい。

2. 平行へいこう線せん の 性せい質しつ と 条件じょうけん

平行へいこう線せん の 性せい質しつ (平行へいこう → 角かく)

2 直ちょく線せん が 平行へいこう な ら ば、

• 同位角どういかく は 等しひとい
• 錯角さっかく は 等しひとい

平行へいこう線せん の 条じょう件けん (角かく → 平行へいこう)

逆ぎゃく に、 同どう位い角 か 錯さっ角かく が 等しひとけ れ ば、 2 直ちょく線せん は 平行へいこう で あ る。

例題れいだい 1

図ず で 直ちょく線せん$\ell$ と $m$ は 平行へいこう。 角$a=70°$ の と き、 角$b$、 $c$ を 求もとめよ。

考かんがえ方かた:

角かく	関かん係けい	答こたえ え
$a$ と $b$	同どう位い角 → 等しひとい	$b=70°$
$b$ と $c$	隣となり合あう ($180°$)	$c=110°$

ポイント: 平行へいこう が 出で て きたら、 まず 「同どう位い角」「錯さっ角かく」 と マーク を つける こと。 これ だけ で 解とけ る 問もん題だい が 多おお い。

3. 三角形さんかっけい の 内ない角かく と 外がい角かく

内ない角かく の 和わ

三角形さんかっけい の 内ない角かく の 和わ は $180°$ (中ちゅう 1 で 既き習しゅう)。

外がい角かく

頂ちょう点てん の 内ない角かく の 隣となり の 角かく ($180°$ から 内ない角かく を 引ひいた もの) を 外角がいかく と 言げん い ま す。

大事だいじ な 性せい質しつ

三角形さんかっけい の 1 つ の 外がい角かく = それ ま で とな り 合ごう わな い 2 つ の 内ない角かく の 和わ

例れい: 内ない角かく が $60°$、 $80°$、 $40°$ の 三角形さんかっけい。 $40°$ の 外がい角かく = $180°-40°=140°=60°+80°$。

4. 多角たかく形がた の 内ない角かく・外がい角かく

多角たかく形がた の 内ない角かく の 和

$n$角形かくがた の 内ない角かく の 和わ は

$180°\times (n-2)$

$n$	形かたち	内ない角かく の 和わ
3	三角形さんかっけい	$180°$
4	四角形しかっけい	$360°$
5	五角形ごかっけい	$540°$
6	六角形ろっかっけい	$720°$
8	八はち角形かくがた	$1080°$

理り由ゆう: $n$角形かくがた は 1 つ の 頂ちょう点てん か ら 対たい角かく線せん を 引ひい て $(n-2)$個 の 三角形さんかっけい に 分わけ られる。 1 つ あた り $180°$ な の で 合ごう計けい$180°\times (n-2)$。

多角たかく形がた の 外がい角かく の 和わ

$n$ に かか わ ら ず、 多角たかく形がた の 外がい角かく の 和わ は つね に $360°$。

大事だいじ: 内ない角かく の 和わ は 「$n$ で 変かわる」、 外がい角かく の 和わ は 「ど の $n$ で も $360°$」。 これ は 入試にゅうし で 何なん度ど も 問とわ れ ます。

正多角形せいたかっけい

「全ぜん て の 辺あたり と 内ない角かく が 等しひとい」 多角たかく形がた を 正多角形せいたかっけい と 言げん う。 1 つ の 内ない角かく や 外がい角かく は 簡かん単たん に 求もとまる。

正$n$角形かくがた	1 つ の 外がい角かく	1 つ の 内ない角かく
正三角形せいさんかっけい	$120°$	$60°$
正方形せいほうけい	$90°$	$90°$
正五角形せいごかっけい	$72°$	$108°$
正六角形せいろっかっけい	$60°$	$120°$
正せい八はち角形かくがた	$45°$	$135°$

(1 つ の 外がい角かく = $360°÷n$、 1 つ の 内ない角かく = $180°-$外がい角かく)

5. 三角形さんかっけい の 合同ごうどう と 合同ごうどう条件じょうけん

合同ごうどう と は

形かたち と 大おおきさ が 完かん全ぜん に 同おなじ (重かさね 合ごう わ せ ら れ る) 図づ形けい を 合同ごうどう と 言げん う。 記き号ごう $\equiv$ で 表あらわす。

例れい: $△ABC\equiv △DEF$ と 書かい た ら、 対たい応おう す る 頂ちょう点てん が 同おなじ 順じゅん番ばん に 並ならぶ ($A\to D$、 $B\to E$、 $C\to F$)。

合同ごうどう条件じょうけん (3 つ)

2 つ の 三角形さんかっけい が、 つぎ の どれ か 1 つ を 満みつる た せ ば 合同ごうどう で あ る。

①	3 辺あたり が それぞれ 等しひとい (SSS)
②	2 辺あたり と そ の 間ま の 角かく が それぞれ 等しひとい (SAS)
③	1 辺あたり と そ の 両端りょうたん の 角かく が それぞれ 等しひとい (ASA)

大事だいじ: 「2 辺あたり と 間かん で ない 角かく」 は NG (合同ごうどう と は 限かぎらな い)。 「辺あたり と 角かく の 並なみ び 方かた」 が 大事だいじ。

6. 証明しょうめい の 書かき方かた

証明しょうめい の 流ながれ

1. 仮か定てい (与あたえ ら れ て い る こと) を 書かく
2. 結けつ論ろん (示しめし た い こと) を 書かく
3. 仮か定てい か ら、 公こう認にん さ れ た 性せい質しつ を 順じゅん に 使つかって 結けつ論ろん へ つな げ る

例題れいだい 2

$AB=AC$、 $D$ は $BC$ の 中点ちゅうてん と す る。 $△ABD\equiv △ACD$ で あ る こと を 示しめせ。

証しょう明めい:

$△ABD$ と $△ACD$ で、

$AB=AC$ (仮か定てい) …①

$BD=CD$ ($D$ は $BC$ の 中点ちゅうてん) …②

$AD$ は 共きょう通つう …③

①、②、③ よ り、 3 辺あたり が それぞれ 等しひとい (SSS) の で、

$△ABD\equiv △ACD$ (証しょう終おわり)

書かき方かた の コツ

ポイント	くわしく
三角形さんかっけい の 名な前まえ を 先さき に 書かく	「$△ABD$ と $△ACD$ で」
対たい応おう す る 順じゅん に 文も字じ を 並なみ べ る	$AB\leftrightarrow AC$、 $BD\leftrightarrow CD$
1 つ ず つ 理り由ゆう を 添 え る	「仮か定てい」「共きょう通つう」「中点ちゅうてん」 等ひとし
最後さいご に 合同ごうどう条件じょうけん を 明めい示じ	「3 辺あたり が」 「2 辺あたり と そ の 間ま の 角かく が」 等ひとし

7. ふりかえり

• 対頂角たいちょうかく が 等しひとい こと を 言いえ る
• 同位角どういかく (F の 形かたち)、 錯角さっかく (Z の 形かたち) が 区く別べつ で きる
• [ ]平行へいこう線せん の 性せい質しつ (平行へいこう → 同どう位い・錯等しひとい)、 条じょう件けん (同どう位い・錯等しひとい → 平行へいこう) が わかる
• [ ]$n$角形かくがた の 内ない角かく の 和わ = $180°\times (n-2)$ が 言いえ る
• [ ]多角たかく形がた の 外がい角かく の 和わ は つね に $360°$ と 知しって い る
• [ ]三角形さんかっけい の 3 つ の 合同条件ごうどうじょうけん (SSS、 SAS、 ASA) を 言いえ る
• 証明しょうめい の 書かき方かた (仮か定てい → 理り由ゆう → 合同ごうどう条件じょうけん → 結けつ論ろん) が わかる