データの分布ぶんぷ

この 章しょう で 学まなぶ こと

中なか 1 で は 度数分布表どすうぶんぷひょう や ヒストグラム で データ を 「お お ま か に 見み る」 方法ほうほう を 学がく び ま し た。 中なか 2 で は さ ら に 進すすむ ん で、 四分位数しぶんいすう と 箱ひげ図はこひげず で 「散ち ら ば り」 を 数すう字じ と 図ず で 比較ひかく で きる よう に な り ま す。

• 四分位数しぶんいすう ($Q_1$、 $Q_2$、 $Q_3$) の 求もとめ め 方かた が わかる
• 四分位範囲よんふんいはんい (IQR) の 意い味み を 言いえ る
• 箱ひげ図はこひげず が かけ る・読 め る
• 外れ値はずれち の 見みつけ方かた が わかる
• 複ふく数すう の データ の 分ぶん布ぷ を 比較ひかく で きる

ポイント: 中なか 1 の 平均値へいきんち・中央値ちゅうおうち・最頻値さいひんち と 中なか 2 の 四分位数しぶんいすう を 合ごう わ せ て 「データ を 代だい表ひょう値ち + 散ちらばり」 で 見み る 力ちから が つ き ま す。

1. データ を 並なみ べ る

中なか 2 の データ 単元たんげん は、 まず データ を 小ちいさ い 順じゅん に 並なみ べ る こと か ら 始はじめ ま り ま す。

例れい: 9 人ひと の テスト の 点てん (10 点てん満点まんてん)

$4,\hspace{0.25em} 7,\hspace{0.25em} 5,\hspace{0.25em} 8,\hspace{0.25em} 6,\hspace{0.25em} 3,\hspace{0.25em} 9,\hspace{0.25em} 6,\hspace{0.25em} 7$

小ちいさ い 順じゅん に 並なみ べ る:

$3,\hspace{0.25em} 4,\hspace{0.25em} 5,\hspace{0.25em} 6,\hspace{0.25em} 6,\hspace{0.25em} 7,\hspace{0.25em} 7,\hspace{0.25em} 8,\hspace{0.25em} 9$

2. 中央ちゅうおう値ち (第だい 2 四よん分ふん位い数すう)

中なか 1 で 学まなんだ 中央値ちゅうおうち は、 「並なみ べ た と き の 真しん ん 中ちゅう」 の 値ね。 別名べつめい 第 2 四分位数だい 2 よんふんいすう ($Q_2$) と も 言げん い ま す。

データ の 個こ数すう	中ちゅう央おう値
奇き数すう 個こ (例れい: 9 個こ)	真まん中なか の 1 個こ (5 番ばん目め)
偶ぐう数すう 個こ (例れい: 8 個こ)	真しん ん 中なか の 2 個こ の 平へい均きん

上うえ の 9 個こ の 例れい で は、 5 番ばん目め の 6 が 中央ちゅうおう値ち。

3. 第だい 1 四よん分ふん位い数すう と 第だい 3 四よん分ふん位い数すう

データ を 真まん中なか で 半はん分ぶん に し て、 さ ら に そ れ ぞ れ の 半はん分ぶん の 中央ちゅうおう を 取と り ま す。

名な前まえ	意い味み
**[[第 1 四分位数	だい 1 よんふんいすう]]** ($Q_1$)
**[[第 2 四分位数	だい 2 よんふんいすう]]** ($Q_2$)
**[[第 3 四分位数	だい 3 よんふんいすう]]** ($Q_3$)

例れい (9 個こ の データ)

$3,\hspace{0.25em} 4,\hspace{0.25em} 5,\hspace{0.25em} 6,\hspace{0.25em} 6,\hspace{0.25em} 7,\hspace{0.25em} 7,\hspace{0.25em} 8,\hspace{0.25em} 9$

(中央ちゅうおう値ち$Q_2=6$、 5 番ばん目め)

中央ちゅうおう値ち$Q_2$ を 除じょ い た 下しも半はん分ぶん と 上うえ半はん分ぶん:

下しも半はん分ぶん	$3,4,5,6$
上うえ半はん分ぶん	$7,7,8,9$

値ね	求もとめ め 方かた	結けっ果か
$Q_1$	下しも半はん分ぶん$3,4,5,6$ の 中央ちゅうおう (4 個こ → 2 個こ の 平へい均きん)	$\frac{4+5}{2}=4.5$
$Q_2$	全ぜん体たい の 中央ちゅうおう	$6$
$Q_3$	上うえ半はん分ぶん$7,7,8,9$ の 中央ちゅうおう	$\frac{7+8}{2}=7.5$

大事だいじ: データ の 個こ数すう が 奇き数すう の と き は、 中央ちゅうおう値ち を 除じょ い て 上下じょうげ を 分ぶん け る (この 教科書きょうかしょ の 流りゅう儀ぎ)。 偶ぐう数すう の と き は 真しん ん 中なか で 半はん分ぶん。

4. 四よん分ふん位い範囲はんい (IQR)

四分位範囲よんふんいはんい (IQR、 Inter Quartile Range) は、

$IQR=Q_3-Q_1$

「真しん ん 中なか 50 % の 散ち ら ば り の 幅はば」 を 表ひょう し ま す。

上うえ の 例

$IQR=7.5-4.5=3$

なぜ IQR を 使し う か

範囲はんい = (最さい大だい値ね) − (最さい小しょう値ね) は、 1 つ の 極きょく端たん な 値ね で 大おおき く 変へん わ っ て し ま い ま す。 IQR は 真しん ん 中なか の 50 % だけ を 見み る の で、 外れ値はずれち の 影えい響きょう を 受 け に く い 安あん定てい し た 指し標ひょう で す。

指し標ひょう	影えい響きょう を 受 け る か
平へい均きん値	受 け や す い
中央ちゅうおう値ち	受 け に く い
範はん囲い	受 け や す い
IQR	受 け に く い

5. 五ご数すう要約ようやく と 箱はこひげ図ず

データ の 散ち ら ば り を 5 つ の 数すう字じ で ま と め る の が 五数要約ごすうようやく。

略りゃく称しょう	意い味み
最さい小しょう値ね	い ち ば ん 小しょう さ い 値ね
$Q_1$	第だい 1 四よん分ふん位い数すう
$Q_2$	中央ちゅうおう値ち
$Q_3$	第だい 3 四よん分ふん位い数すう
最さい大だい値ね	い ち ば ん 大おおき い 値ね

上うえ の 例れい の 五ご数すう要約ようやく

$[3,\hspace{0.25em} 4.5,\hspace{0.25em} 6,\hspace{0.25em} 7.5,\hspace{0.25em} 9]$

箱はこひげ図ず の かき方かた

1. 横よこ軸じく に 数直ちょく線せん を かく
2. 箱ばこ を $Q_1$ か ら $Q_3$ ま で
3. 箱はこ の 中なか に $Q_2$ の 線せん を 引ひく
4. ひげ を 最さい小しょう か ら 箱はこ の 左ひだり、 箱はこ の 右みぎ か ら 最さい大だい ま で

最小さいしょう              Q1   Q2   Q3              最大さいだい
  3              4.5   6   7.5               9
  |---ひげ---|------箱ばこ-------|---ひげ---|
                    

読よみ 方かた の ポイント

見み る ポイント	何なに が わかる か
箱ばこ の 位い置ち	データ が ど こ あ た り に 集中しゅうちゅう し て い る か
箱ばこ の 幅はば	散ち ら ばり (IQR)
ひげ の 長ながさ	外はずれ や す さ
中央ちゅうおう線せん が 箱はこ の どこ	データ の 左右さゆう の 偏へん り

6. 外はずれ値ち

ほか の データ か ら 大おおき く 離はなれ れ た 値ね を 外れ値はずれち と 言げん い ま す。 一般いっぱん に は つ ぎ の 範はん囲い を 外そと れ た もの を 外そと れ 値ね と み な し ま す。

$Q_1-1.5\times IQR未み満まん$ $Q_3+1.5\times IQR超 え$

上うえ の 例れい で

• IQR $=3$、 $1.5\times 3=4.5$
• 下か限げん: $Q_1-4.5=4.5-4.5=0$
• 上じょう限げん: $Q_3+4.5=7.5+4.5=12$

⇒ 0 未満みまん や 12 超ちょう が あ れ ば 外そと れ 値ね。 こ の データ で は な し。

大事だいじ: 「外そと れ 値ね だ か ら 削けず る」 と は 限きり り ま せ ん。 入試にゅうし で は 「な ぜ 外そと れ た か」 を 考こう え させ る 問題もんだい が 多おお い (機械きかい の 故障こしょう、 入力にゅうりょく ミ ス、 例外れいがい的てき な 出来事できごと等とう)。

7. データ の 比較ひかく

複ふく数すう の グループ を 比ひ べ る と き、 箱ばこ ひげ 図ず を 並なみ べ て かく と 違 い が 一目いちもく で わか り ま す。

例れい

クラス A	$Q_1=5,Q_2=7,Q_3=8$
クラス B	$Q_1=4,Q_2=6,Q_3=9$

観点かんてん	クラス A	クラス B
中央ちゅうおう値ち	7	6
IQR	3	5
散ち ら ば り	小ちいさ い	大おおき い
全体ぜんたい と し て	安定あんてい し て 高こう い	ば ら つ き が 大だい き い

ポイント: 「平均へいきん だ け で は な く 散ち ら ば り も 見み る」 が 中なか 2 デ ー タ の メイン メッセ ー ジ。 代だい表ひょう値ち + IQR の セッ ト で 見み る 習しゅう慣かん を つ け る。

8. ふりかえり

• データ を 並なみ べ て 中央ちゅうおう値ち ($Q_2$) が 求もとめ め られる
• 第 1 四分位数だい 1 よんふんいすう ($Q_1$)・第 3 四分位数だい 3 よんふんいすう ($Q_3$) の 求もとめ め 方かた が わかる
• 四分位範囲よんふんいはんい (IQR) = $Q_3-Q_1$ が 計けい算さん で きる
• IQR は 外そと れ 値ね の 影えい響きょう を 受 け に く い こと が 言いえ る
• 五数要約ごすうようやく か ら 箱ひげ図はこひげず が かけ る
• 外れ値はずれち の 範はん囲い ($Q_1-1.5IQR$、 $Q_3+1.5IQR$) を 知ち っ て い る
• 2 つ 以い上じょう の デ ー タ を 箱ばこ ひげ 図ず で 比較ひかく で き る