データの分布ぶんぷ

この章しょうで学まなぶこと

中なか 1 では 度数分布表どすうぶんぷひょう や ヒストグラムひすとぐらむ でデータを 「おおまかに見みる」 方法ほうほうを学まなびました。 中なか 2 ではさらに進すすんで、 四分位数しぶんいすう と 箱ひげ図はこひげず で 「散ちらばり」 を数すう字じと図ずで比較ひかく できるようになります。

• 四分位数しぶんいすう ($Q_1$、 $Q_2$、 $Q_3$) の求もとめ方かたがわかる
• 四分位範囲しぶんいはんい (IQR) の意い味みを言いえる
• 箱ひげ図はこひげず がかける・読よめる
• 外れ値はずれち の見みつけ方かたがわかる
• 複ふく数すうのデータの分ぶん布ぷを比較ひかくできる

ポイント: 中なか 1 の 平均値へいきんち・中央値ちゅうおうち・最頻値さいひんち と中なか 2 の 四分位数しぶんいすう を合あわせて 「データを 代だい表ひょう値あたい + 散ちらばり」 で見みる力ちからがつきます。

1. データを並ならべる

中なか 2 のデータ単元たんげんは、 まず データを小ちいさい順じゅんに並ならべる ことから始はじまります。

例れい: 9 人ひとのテストの点てん (10 点てん満点まんてん)

$4,\hspace{0.25em} 7,\hspace{0.25em} 5,\hspace{0.25em} 8,\hspace{0.25em} 6,\hspace{0.25em} 3,\hspace{0.25em} 9,\hspace{0.25em} 6,\hspace{0.25em} 7$

小ちいさい順じゅんに並ならべる:

$3,\hspace{0.25em} 4,\hspace{0.25em} 5,\hspace{0.25em} 6,\hspace{0.25em} 6,\hspace{0.25em} 7,\hspace{0.25em} 7,\hspace{0.25em} 8,\hspace{0.25em} 9$

2. 中央ちゅうおう値ち (第だい 2 四分位数しぶんいすう)

中なか 1 で学まなんだ 中央値ちゅうおうち は、 「並ならべたときの真まん中なか」 の値あたい。 別名べつめい 第 2 四分位数だい 2 よんふんいすう ($Q_2$) とも言いいます。

データの個こ数すう	中ちゅう央おう値あたい
奇き数すう 個こ (例れい: 9 個こ)	真まん中なかの 1 個こ (5 番ばん目め)
偶ぐう数すう 個こ (例れい: 8 個こ)	真まん中なかの 2 個この平均へいきん

上うえの 9 個この例れいでは、 5 番ばん目めの 6 が中央ちゅうおう値ち。

3. 第だい 1 四分位数しぶんいすうと第だい 3 四分位数しぶんいすう

データを 真まん中なかで半はん分ぶん にして、 さらに それぞれの半はん分ぶんの中央ちゅうおう を取とります。

名な前まえ	意い味み
第 1 四分位数だい 1 よんふんいすう ($Q_1$)	下しも半分はんぶんの中央ちゅうおう値ち
第 2 四分位数だい 2 よんふんいすう ($Q_2$)	全ぜん体たいの中央ちゅうおう値ち
第 3 四分位数だい 3 よんふんいすう ($Q_3$)	上うえ半分はんぶんの中央ちゅうおう値ち

例れい (9 個このデータ)

$3,\hspace{0.25em} 4,\hspace{0.25em} 5,\hspace{0.25em} 6,\hspace{0.25em} 6,\hspace{0.25em} 7,\hspace{0.25em} 7,\hspace{0.25em} 8,\hspace{0.25em} 9$

(中央ちゅうおう値ち$Q_2=6$、 5 番ばん目め)

中央ちゅうおう値ち$Q_2$ を 除のぞいた 下しも半はん分ぶんと上うえ半はん分ぶん:

下しも半はん分ぶん	$3,4,5,6$
上うえ半はん分ぶん	$7,7,8,9$

値あたい	求もとめ方かた	結けっ果か
$Q_1$	下しも半はん分ぶん $3,4,5,6$ の中央ちゅうおう (4 個こ → 2 個この平均へいきん)	$\frac{4+5}{2}=4.5$
$Q_2$	全ぜん体たいの中央ちゅうおう	$6$
$Q_3$	上うえ半はん分ぶん $7,7,8,9$ の中央ちゅうおう	$\frac{7+8}{2}=7.5$

大事だいじ: データの個こ数すうが 奇き数すう のときは、 中央ちゅうおう値ちを 除のぞいて 上下じょうげを分わける (この教科書きょうかしょの流りゅう儀ぎ)。 偶ぐう数すうのときは真まん中なかで半はん分ぶん。

4. 四よん分ふん位い範囲はんい (IQR)

四分位範囲しぶんいはんい (IQR、 Inter Quartile Range) は、

$IQR=Q_3-Q_1$

「真まん中なか 50 % の散ちらばりの幅はば」 を表あらわします。

上うえの例

$IQR=7.5-4.5=3$

なぜ IQR を使つかうか

範囲はんい = (最大値さいだいち) − (最小値さいしょうち) は、 1 つの極きょく端たんな値ちで大おおきく変かわってしまいます。 IQR は 真まん中なかの 50 % だけを見みるので、 外れ値の影響はずれちのえいきょうを受うけにくい 安あん定ていした指し標ひょうです。

指し標ひょう	影えい響きょうを受うけるか
平均へいきん値あたい	受うけやすい
中央ちゅうおう値ち	受うけにくい
範はん囲い	受うけやすい
IQR	受うけにくい

5. 五ご数すう要約ようやくと箱はこひげ図ず

データの散ちらばりを 5 つの数すう字じ でまとめるのが 五数要約ごすうようやく。

略りゃく称しょう	意い味み
最小値さいしょうち	いちばん小ちいさい値あたい
$Q_1$	第だい 1 四分位数しぶんいすう
$Q_2$	中央ちゅうおう値ち
$Q_3$	第だい 3 四分位数しぶんいすう
最大値さいだいち	いちばん大おおきい値あたい

上うえの例れいの五ご数すう要約ようやく

$[3,\hspace{0.25em} 4.5,\hspace{0.25em} 6,\hspace{0.25em} 7.5,\hspace{0.25em} 9]$

箱はこひげ図ずのかき方かた

1. 横よこ軸じくに数直ちょく線せんをかく
2. 箱ばこ を $Q_1$ から $Q_3$ まで
3. 箱はこの中なかに $Q_2$ の線せん を引ひく
4. ひげ を最さい小しょうから箱はこの左ひだり、 箱はこの右みぎから最さい大だいまで

最小さいしょう              Q1   Q2   Q3              最大さいだい
  3              4.5   6   7.5               9
  |---ひげ---|------箱ばこ-------|---ひげ---|
                    

読よみ方かたのポイント

見みるポイント	何なにがわかるか
箱ばこの位い置ち	データが どこあたりに集中しゅうちゅう しているか
箱ばこの幅はば	散ちらばり (IQR)
ひげの長ながさ	外はずれやすさ
中央ちゅうおう線せんが箱はこのどこ	データの 左右さゆう の偏かたより

6. 外はずれ値ち

ほかのデータから 大おおきく離はなれた 値あたいを 外れ値はずれち と言いいます。 一般いっぱんにはつぎの範はん囲いを外はずれたものを外はずれ値ちとみなします。

$Q_1-1.5\times IQR$未み満まんQ_1 - 1.5 \times \text{IQR} \quad \text{未み満まん} $Q_3+1.5\times IQR超 え$

上うえの例れいで

• IQR $=3$、 $1.5\times 3=4.5$
• 下か限げん: $Q_1-4.5=4.5-4.5=0$
• 上じょう限げん: $Q_3+4.5=7.5+4.5=12$

⇒ 0 未満みまんや 12 超ちょうがあれば外はずれ値ち。 このデータでは なし。

大事だいじ: 「外はずれ値ちだから削けずる」 とは限かぎりません。 入試にゅうしでは 「なぜ外はずれたか」 を考えかんがえさせる問題もんだいが多おおい (機械きかいの故障こしょう、 入力にゅうりょくミス、 例外れいがい的てきな出来事できごと等とう)。

7. データの比較ひかく

複ふく数すうのグループを比くらべるとき、 箱ばこひげ図ずを並ならべてかく と違ちがいが一目ひとめでわかります。

例れい

クラス A	$Q_1=5,Q_2=7,Q_3=8$
クラス B	$Q_1=4,Q_2=6,Q_3=9$

観点かんてん	クラス A	クラス B
中央ちゅうおう値ち	7	6
IQR	3	5
散ちらばり	小ちいさい	大おおきい
全体ぜんたいとして	安定あんてい して高たかい	ばらつき が大おおきい

ポイント: 「平均へいきんだけではなく散ちらばりも見みる」 が中なか 2 データのメインメッセージ。 代だい表ひょう値あたい + IQR のセットで見みる習しゅう慣かんをつける。

8. ふりかえり

• [ ]データを並ならべて 中央ちゅうおう値ち ($Q_2$) が求もとめられる
• 第 1 四分位数だい 1 よんふんいすう ($Q_1$)・第 3 四分位数だい 3 よんふんいすう ($Q_3$) の求もとめ方かたがわかる
• 四分位範囲しぶんいはんい (IQR) = $Q_3-Q_1$ が計けい算さんできる
• IQR は外はずれ値ちの影えい響きょうを受うけにくい ことが言いえる
• 五数要約ごすうようやく から 箱ひげ図はこひげず がかける
• 外れ値はずれち の範はん囲い ($Q_1-1.5IQR$、 $Q_3+1.5IQR$) を知しっている
• 2 つ以い上じょうのデータを 箱ばこひげ図ず で比較ひかくできる