一いち次じ関数かんすうの応用おうよう

この 章しょう で 学まなぶ こと

第だい 3 章しょう で 学まなん だ 一次関数いちじかんすう を、 実じっ際さい の 問もん題だい に 使つかい ます。 そして 連立方程式れんりつほうていしき と の つなが り を 体たい感かん し ま す。

• 2 元もと 1 次じ方程式ほうていしき は 直ちょく線せん と 同おなじ こと を 知しる
• 2 直ちょく線せん の 交点こうてん を 連立れんりつ方程式ほうていしき で 求もとめ られる
• 動点どうてん と 面めん積せき の 関かん係けい を 一いち次じ関かん数すう で 表あらわせ る
• 速はやさ の グラフ (ダイヤグラム) を 読よみ とれ る

ポイント: 「直ちょく線せん = 2 元もと 1 次じ方程式ほうていしき の グラフ」、 「交こう点てん = 連立れんりつ の 解かい」。 こ の 2 つ が 一次関数いちじかんすう と 連立方程式れんりつほうていしき の 橋わたわたし で す。

1. 直線ちょくせん の 式しき を いろいろ な 形かたち で 書かく

中なか 1 で は 比ひ例れい を $y=ax$ と 書かき ま し た。 中なか 2 で は 一いち次じ関かん数すう を 2 つ の 形かたち で 書かけ ま す。

形かたち	例れい	特とく徴ちょう
$y=$ の 形かたち	$y=2x+3$	グラフ を かき やすい
2 元もと 1 次じ方程式ほうていしき の 形かたち	$2x-y+3=0$	連立れんりつ を 解とき やすい

どち ら も 同おなじ 直ちょく線せん を 表あらわし ま す ($y=2x+3$ を 移い項こう す れ ば $-2x+y-3=0$、 つまり $2x-y+3=0$)。

例れい

2 元もと 1 次つぎ	$y=$ の 形かたち
$x+y=5$	$y=-x+5$
$2x-3y=6$	$y=\frac{2}{3}x-2$
$4x+2y=8$	$y=-2x+4$

2. 連立れんりつ方程式ほうていしき と グラフ の 交点こうてん

2 直ちょく線せん の 交点こうてん = 連立れんりつ方程式ほうていしき の 解かい で す。

例題れいだい 1

$\{y=2x+1y=-x+4$

解とき方かた ① 連立れんりつ で

代入だいにゅう法ほう で $2x+1=-x+4$、 $3x=3$、 $x=1$。 $y=3$。

答こたえ: 交点こうてん$(1,3)$

解とき方かた ② グラフ で

それぞれ の 直ちょく線せん を かい て、 交まじわる 点てん を 読よみ 取とる。 結けっ果か は 同おなじ で 交点こうてん$(1,3)$。

大事だいじ: 「グラフ で わかる こと」 を 「式しき で 確かく認にん」、 ま た は 逆ぎゃく を 行あるき う 練れん習しゅう を す る と、 関かん数すう と 方程てい式 の つなが り が 体たい感かん で き ま す。

例題れいだい 2 (3 つ の 直ちょく線せん)

3 直ちょく線せん$y=x$、 $y=-x+4$、 $y=2$ で 囲かこま れ た 三角形さんかっけい の 頂ちょう点てん を 求もとめよ。

解とき方かた: 2 本ほん ずつ 連立れんりつ を 解とく。

連立れんりつ	交こう点てん
$y=x$ と $y=-x+4$	$(2,2)$
$y=x$ と $y=2$	$(2,2)$ ← 上うえ と 同おなじ
$y=-x+4$ と $y=2$	$(2,2)$ ← 上うえ と 同おなじ

→ 3 直ちょく線せん が 1 点てん で 交まじわって い る (三角形さんかっけい が で き な い)。

別べつ の 例れい で 試しし て み る:

3 直ちょく線せん$y=x+2$、 $y=-x+4$、 $y=0$ の 場ば合あい:

連立れんりつ	交こう点てん
$y=x+2$ と $y=-x+4$	$(1,3)$
$y=x+2$ と $y=0$	$(-2,0)$
$y=-x+4$ と $y=0$	$(4,0)$

頂ちょう点てん$(1,3)$、 $(-2,0)$、 $(4,0)$ の 三角形さんかっけい。

ポイント: 「3 直ちょく線せん で 三角形さんかっけい が で き る か」 は 3 つ の 連立れんりつ を 解とい て み て 判はん断だん し ま す。

3. 座標ざひょう平面へいめん上じょう の 図形づけい

三角形さんかっけい の 面めん積せき

座ざ標ひょう平面へいめん上じょう の 三角形さんかっけい の 面めん積せき は、 「底てい辺へん × 高たかさ ÷ 2」 で 求もとめ ま す。

例れい: 頂ちょう点てん$A(0,0)$、 $B(4,0)$、 $C(2,3)$ の 三角形さんかっけい。

底てい辺へん$AB=4$、 高たかさ = 点$C$ の $y$座ざ標ひょう = $3$。

$面めん積せき=\frac{4\times 3}{2}=6$

直ちょく線せん と $x$軸・$y$軸 の 切きり 取とり

直ちょく線せん$y=-2x+6$ が $x$軸 と $y$軸 で 切きり取とる 三角形さんかっけい の 面めん積せき を 求もとめよ。

解とき方かた:

• $x$切片せつ: $y=0$ と し て、 $0=-2x+6$、 $x=3$
• $y$切片せつ: $x=0$ と し て、 $y=6$
• 直角ちょっかく三角形さんかっけい の 底てい辺へん$3$、 高たかさ $6$

$面めん積せき=\frac{3\times 6}{2}=9$

4. 動どう点てん と 面めん積せき の 関かん係けい

動点どうてん とは、 「ある 図づ形けい の 上うえ を 動うごく 点てん」 の こと。 中なか 2 入試にゅうし の 超ちょう頻ひん出しゅつ 単たん元げん で す。

例題れいだい 3

1 辺あたり 6 cm の 正方形せいほうけい ABCD が あり、 点てん P は B か ら 出発しゅっぱつ し て 辺あたり BC 上うえ を C ま で 毎秒まいびょう 1 cm で 動うごく。 $x$秒びょう後ご の 三角形さんかっけい ABP の 面めん積せき を $y$ cm² と す る と き、 $y$ を $x$ の 式しき で 表あらわせ。

考かんがえ方かた: 三角形さんかっけい ABP は、 底てい辺へん$BP=x$ cm、 高たかさ $AB=6$ cm。

$y=\frac{x\times 6}{2}=3x$

(範はん囲い: $0\le x\le 6$)

これ は 比例ひれい ($y=ax$、 $a=3$、 $b=0$)。

例題れいだい 4 (折おれ線せん の グラフ)

1 辺あたり 4 cm の 正方形せいほうけい を 点てん P が B → C → D と 動うごく。 $x$秒びょう後ご の 三角形さんかっけい ABP の 面めん積せき を $y$ で。

フェーズ ① ($0\le x\le 4$) P は BC 上うえ。 高たかさ $4$、 底てい辺へん$x$。

$y=2x$

フェーズ ② ($4\le x\le 8$) P は CD 上うえ。 三角形さんかっけい の 高たかさ が だんだん 変かわる が、 底てい辺へん AB = $4$、 高たかさ = $4$ で 一いっ定てい。

$y=8$

→ グラフ は 「最初さいしょ は 直ちょく線せん (傾かたむき 2)、 途と中ちゅう で 横よこ一いち直ちょく線せん (8)」 と いう 折おれ 線せん に な り ま す。

5. ダイヤグラム (速はやさ の グラフ)

時じ間かん を 横よこ軸じく、 道のりのり を たて軸じく に 取とった グラフ を ダイヤグラム と 言げん い ま す。

読よみ とり ポイント

グラフ の 様よう子す	意い味み
右みぎ上あがり	進すすん で い る
横よこ一いち直ちょく線せん	止とまって い る
右みぎ下さがり	戻もど っ て い る
傾かたむき	速はやさ (急きゅう = 速はやい、 ゆるやか = おそ い)

例題れいだい 5 (出会であい)

A 君きみ が 家いえ を 出で て 1 時じ間かん後 に B 君きみ が 同おなじ 道みち を 追おい かけ る。 A は 時じ速そく 4 km、 B は 時じ速そく 6 km。 B が A に 追おいつ く の は B が 出しゅっ発ぱつ し て 何なん時じ間かん後 か。

式しき: B が 出しゅっ発ぱつ し て $x$時じ間かん後 に 追おいつく と す る。 そ の と き、 A は (1 + x) 時じ間かん歩あるい て い る。

道のりのり が 等しひとい:

$4(1+x)=6x$ $4+4x=6x\Rightarrow 2x=4\Rightarrow x=2$

答こたえ: B が 出しゅっ発ぱつ し て 2 時じ間かん後。

グラフ で 解とく と

A の グラフ: $y=4t$ (傾かたむき 4) B の グラフ: $y=6(t-1)$ (傾かたむき 6、 1 時じ間かん遅 れ て 出しゅっ発ぱつ)

連立れんりつ す る と 同おなじ 答こたえ に な り ま す。

6. ふりかえり

• 2 元もと 1 次じ方程式ほうていしき と 直ちょく線せん が 同おなじ こと だ と わかる
• 2 直ちょく線せん の 交点こうてん = 連立れんりつ の 解かい と 言いえ る
• [ ]座ざ標ひょう平面へいめん上じょう の 三角形さんかっけい の 面めん積せき が 求もとめ られる
• [ ]直ちょく線せん と $x$軸・$y$軸 で でき る 三角形さんかっけい の 面めん積せき が 求もとめ られる
• [ ]動点どうてん問もん題だい で 時じ間かん と 面めん積せき の 関かん係けい を 式しき に で きる
• フェーズ ご と に 場ば合あい分 け し て 折おれ 線せん の グラフ が かけ る
• ダイヤグラム で 速ささ の 様よう子す が 読よみ とれ る
• 「出会であい」 問もん題だい を 連立れんりつ か グラフ で 解とけ る