一いち次じ関数かんすうの応用おうよう

この章しょうで学まなぶこと

第だい 3 章しょうで学まなんだ 一次関数いちじかんすう を、 実じっ際さい の問もん題だい に使つかいます。 そして 連立方程式れんりつほうていしき とのつながりを体たい感かん します。

• 2 元 1 次方程式2げん1じほうていしき は直ちょく線せん と同おなじことを知しる
• 2 直ちょく線せん の 交点こうてん を 連立れんりつ方程式ほうていしき で求もとめられる
• 動点どうてん と面めん積せき の関かん係けい を一いち次じ関かん数すう で表あらわせる
• 速はやさのグラフ (ダイヤグラムだいやぐらむ) を読よみとれる

ポイント: 「直ちょく線せん = 2 元もと 1 次じ方程式ほうていしきのグラフ」、 「交こう点てん = 連立れんりつの解かい」。 この 2 つが 一次関数いちじかんすう と 連立方程式れんりつほうていしき の橋わたわたし です。

1. 直線ちょくせんの式しきをいろいろな形かたちで書かく

中なか 1 では 比ひ例れい を $y=ax$ と書かきました。 中なか 2 では 一いち次じ関かん数すう を 2 つの形かたち で書かけます。

形かたち	例れい	特とく徴ちょう
$y=$ の形かたち	$y=2x+3$	グラフをかきやすい
2 元もと 1 次じ方程式ほうていしきの形かたち	$2x-y+3=0$	連立れんりつを解ときやすい

どちらも 同おなじ直ちょく線せん を表あらわします ($y=2x+3$ を移い項こう すれば $-2x+y-3=0$、 つまり $2x-y+3=0$)。

例れい

2 元もと 1 次つぎ	$y=$ の形かたち
$x+y=5$	$y=-x+5$
$2x-3y=6$	$y=\frac{2}{3}x-2$
$4x+2y=8$	$y=-2x+4$

2. 連立れんりつ方程式ほうていしきとグラフの交点こうてん

2 直ちょく線せん の 交点こうてん = 連立れんりつ方程式ほうていしきの解かい です。

例題れいだい 1

$\{y=2x+1y=-x+4$

解とき方かた ① 連立れんりつで

代入法だいにゅうほう で $2x+1=-x+4$、 $3x=3$、 $x=1$。 $y=3$。

答えこたえ: 交点こうてん$(1,3)$

解とき方かた ② グラフで

それぞれの直ちょく線せん をかいて、 交まじわる点てんを読よみ取とる。 結けっ果か は同おなじで交点こうてん$(1,3)$。

大事だいじ: 「グラフでわかること」 を 「式しきで確かく認にん」、 または 逆ぎゃく を行おこなう練れん習しゅう をすると、 関かん数すう と方程てい式のつながりが体たい感かん できます。

例題れいだい 2 (3 つの直ちょく線せん)

3 直ちょく線せん $y=x$、 $y=-x+4$、 $y=2$ で囲かこまれた 三角形さんかくけい の頂ちょう点てん を求もとめよ。

解とき方かた: 2 本ほんずつ連立れんりつを解とく。

連立れんりつ	交こう点てん
$y=x$ と $y=-x+4$	$(2,2)$
$y=x$ と $y=2$	$(2,2)$ ← 上うえと同おなじ
$y=-x+4$ と $y=2$	$(2,2)$ ← 上うえと同おなじ

→ 3 直ちょく線せん が 1 点てん で交まじわっている (三角形さんかくけいができない)。

別べつの例れいで試しし てみる:

3 直ちょく線せん $y=x+2$、 $y=-x+4$、 $y=0$ の場ば合あい:

連立れんりつ	交こう点てん
$y=x+2$ と $y=-x+4$	$(1,3)$
$y=x+2$ と $y=0$	$(-2,0)$
$y=-x+4$ と $y=0$	$(4,0)$

頂ちょう点てん $(1,3)$、 $(-2,0)$、 $(4,0)$ の三角形さんかくけい。

ポイント: 「3 直ちょく線せん で三角形さんかくけいができるか」 は 3 つの連立れんりつ を解といてみて判はん断だん します。

3. 座標ざひょう平面へいめん上じょうの図形ずけい

三角形さんかくけいの面めん積せき

座ざ標ひょう平面へいめん上じょうの三角形さんかくけいの面めん積せき は、 「底てい辺へん × 高たかさ ÷ 2」 で求もとめます。

例れい: 頂ちょう点てん $A(0,0)$、 $B(4,0)$、 $C(2,3)$ の三角形さんかくけい。

底てい辺へん $AB=4$、 高たかさ = 点$C$ の $y$座ざ標ひょう = $3$。

$$面めん積せき=4×32=6\text{面めん積せき} = \frac{4 \times 3}{2} = 6

直ちょく線せん と $x$軸・$y$軸の切きり取とり

直ちょく線せん $y=-2x+6$ が $x$ 軸じく と $y$軸で切きり取とる三角形さんかくけいの面めん積せき を求もとめよ。

解とき方かた:

• $x$切片せつ: $y=0$ として、 $0=-2x+6$、 $x=3$
• $y$切片せつ: $x=0$ として、 $y=6$
• 直角ちょっかく三角形さんかくけいの底てい辺へん $3$、 高たかさ $6$

$$面めん積せき=3×62=9\text{面めん積せき} = \frac{3 \times 6}{2} = 9

4. 動どう点てんと面めん積せき の関かん係けい

動点どうてん とは、 「ある図づ形けい の上うえを動うごく点てん」 のこと。 中なか 2 入試にゅうしの 超ちょう頻ひん出しゅつ 単たん元げん です。

例題れいだい 3

1 辺あたり 6 cm の正方形せいほうけい ABCD があり、 点てん P は B から出発しゅっぱつして辺あたり BC 上うえを C まで毎秒まいびょう 1 cm で動うごく。 $x$秒びょう後ごの三角形さんかくけい ABP の面めん積せき を $y$ cm² とするとき、 $y$ を $x$ の式しきで表あらわせ。

考かんがえ方かた: 三角形さんかくけい ABP は、 底てい辺へん $BP=x$ cm、 高たかさ $AB=6$ cm。

$y=\frac{x\times 6}{2}=3x$

(範はん囲い: $0\le x\le 6$)

これは 比例ひれい ($y=ax$、 $a=3$、 $b=0$)。

例題れいだい 4 (折おれ線せんのグラフ)

1 辺あたり 4 cm の正方形せいほうけいを点てん P が B → C → D と動うごく。 $x$秒びょう後ごの三角形さんかくけい ABP の面めん積せき を $y$ で。

フェーズ ① ($0\le x\le 4$) P は BC 上うえ。 高たかさ $4$、 底てい辺へん $x$。

$y=2x$

フェーズ ② ($4\le x\le 8$) P は CD 上うえ。 三角形さんかくけいの高たかさがだんだん変かわるが、 底てい辺へん AB = $4$、 高たかさ = $4$ で一いっ定てい。

$y=8$

→ グラフは 「最初さいしょは直ちょく線せん (傾きかたむき 2)、 途と中ちゅう で横よこ一いち直ちょく線せん (8)」 という 折おれ線せん になります。

5. ダイヤグラム (速はやさのグラフ)

時じ間かん を横よこ軸じく、 道のりのり をたて軸じく に取とったグラフを ダイヤグラムだいやぐらむ と言いいます。

読よみとりポイント

グラフの様よう子す	意い味み
右みぎ上あがり	進すすんでいる
横よこ一いち直ちょく線せん	止とまっている
右みぎ下さがり	戻もどっている
傾きかたむき	速はやさ (急きゅう = 速はやい、 ゆるやか = おそい)

例題れいだい 5 (出会であい)

A 君きみが家いえを出でて 1 時じ間かん後に B 君きみが同おなじ道みちを追おいかける。 A は時じ速そく 4 km、 B は時じ速そく 6 km。 B が A に追おいつくのは B が出しゅっ発ぱつ して何なん時じ間かん後か。

式しき: B が出しゅっ発ぱつ して $x$時じ間かん後に追おいつくとする。 そのとき、 A は (1 + x) 時じ間かん歩あるいている。

道のりのり が等しひとい:

$4(1+x)=6x$ $4+4x=6x\Rightarrow 2x=4\Rightarrow x=2$

答えこたえ: B が出しゅっ発ぱつ して 2 時じ間かん後。

グラフで解とくと

A のグラフ: $y=4t$ (傾きかたむき 4) B のグラフ: $y=6(t-1)$ (傾きかたむき 6、 1 時じ間かん遅おくれて出しゅっ発ぱつ)

連立れんりつすると同おなじ答えこたえになります。

6. ふりかえり

• 2 元もと 1 次じ方程式ほうていしき と 直ちょく線せん が同おなじことだとわかる
• 2 直ちょく線せん の 交点こうてん = 連立れんりつの解かいと言いえる
• [ ]座ざ標ひょう平面へいめん上じょうの三角形さんかくけいの 面めん積せき が求もとめられる
• [ ]直ちょく線せん と $x$軸・$y$軸でできる三角形さんかくけいの面めん積せき が求もとめられる
• [ ]動点どうてん問もん題だい で 時じ間かん と面めん積せき の関かん係けい を式しきにできる
• フェーズごとに場ば合あい分わけして 折おれ線せん のグラフがかける
• ダイヤグラムだいやぐらむ で速ささ の様よう子す が読よみとれる
• 「出会であい」 問もん題だい を連立れんりつかグラフで解とける