連立れんりつ方程式ほうていしき

この章しょうで学まなぶこと

中なか 1 で学まなんだ 1 元もと 1 次方程式ほうていしき ($2x+3=7$ のように文も字じが 1 つ) を、 文も字じが 2 つ に拡かく張ちょうします。 これを 連立方程式れんりつほうていしき と言いいます。

• 連立方程式れんりつほうていしき の 解かい とは何なにかがわかる
• 加減法かげんほう で連立れんりつを解とける
• 代入法だいにゅうほう で連立れんりつを解とける
• 分ぶん数すうや小数しょうすう をふくむ連立れんりつを整せい数すう化かできる
• 文ぶん章しょう題 (速はやさ・割合わりあい・年ねん齢れい・濃のう度ど) を連立れんりつで解とける

ポイント: 連立れんりつ方程式ほうていしきは、 「1 つの文も字じを消けす」 が基き本ほん戦せん略りゃく。 加減かげん法ほうも代入だいにゅう法ほうも、 結けっ局きょくは 「2 元もと → 1 元もと」 への 消去しょうきょ がねらいです。

1. 連立れんりつ方程式ほうていしきと解かい

つぎのように 2 つ以い上じょうの方程てい式を同どう時じに成なり立たたせる 形かたちを 連立方程式れんりつほうていしき と言いいます。

$\{x+y=52x-y=1$

この連立れんりつを 同どう時じに満みたす $x$、 $y$ の組くみを 解かい と言いいます。

組くみ	$x+y=5$	$2x-y=1$	どちらも成なり立たつ？
$x=2,y=3$	$5$ ✓	$1$ ✓	○ (これが解かい)
$x=1,y=4$	$5$ ✓	$-2$ ✕	✕
$x=3,y=2$	$5$ ✓	$4$ ✕	✕

大事だいじ: 1 つの式しきだけなら解かいは 無む限げん にあります ($x+y=5$ の解かいは $x=0,y=5$、 $x=1,y=4$、 $x=2,y=3$、…)。 もう 1 本ほんの式しきが加くわわることで、 解かいが 1 組くみにしぼり込こまれ ます。

2. 加減かげん法ほう — 文字もじを消けす

2 つの式しきを 足たし算ざんか引ひき算ざん でつなげて、 1 つの文も字じを消けします。

例題れいだい 1

$\{x+y=5\cdots ①2x-y=1\cdots ②$

解とき方かた: ① と ② を 足たす と $y$ が消きえます ($+y$ と $-y$ でゼロ)。

$①+②:3x=6\Rightarrow x=2$

これを ① に代入だいにゅう。

$2+y=5\Rightarrow y=3$

答えこたえ: $x=2,y=3$

係数けいすうをそろえてから消けす

文も字じの前まえの係けい数すうがちがうときは、 両りょう辺へんを何なん倍ばいか してそろえます。

例題れいだい 2

$\{3x+2y=12\cdots ①x+y=5\cdots ②$

解とき方かた: ② を 2 倍ばい して $y$ の係けい数すうをそろえる。

$②\times 2:2x+2y=10\cdots {\prime }^{}$

① $-$ ②' で $y$ を消けす。

$(3x+2y)-(2x+2y)=12-10$ $x=2$

② に代入だいにゅうして、 $2+y=5$、 $y=3$。

ポイント: どちらの文も字じを消けすかは どちらがラクか で決きめます。 係けい数すうが小ちいさい / 1 倍ばいでそろう方ほうを選えらぶと計けい算さんミスが減へります。

3. 代入だいにゅう法ほう — 1 つの式しきを入いれる

1 つの式しきを 「$x=$ ○○」 や 「$y=$ ○○」 の形かたちにして、 もう 1 本ほんに 代入だいにゅう します。

例題れいだい 3

$\{y=2x+1\cdots ①3x+y=11\cdots ②$

解とき方かた: ① の $y$ を ② にそのまま入いれる。

$3x+(2x+1)=11$ $5x+1=11\Rightarrow 5x=10\Rightarrow x=2$

これを ① に戻もどして、 $y=2\times 2+1=5$。

答えこたえ: $x=2,y=5$

加減かげん法ほうと代入だいにゅう法ほうの使つかいわけ

状じょう況きょう	おすすめ
「$y=$ ○○」 の形かたちがある	代入だいにゅう法ほう
文も字じの係けい数すうがそろえやすい	加減かげん法ほう
どちらもいける	自じ分ぶんの好このみで OK

4. 分数ぶんすう・小数しょうすうをふくむ連立れんりつ

分数ぶんすう → 両辺りょうへんを分母ぶんぼでかける

$\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=5$

両りょう辺へんを $6$ (= 2 と 3 の最小公倍数さいしょうこうばいすう) でかけて 整せい数すう化か。

$3x+2y=30$

小数しょうすう → 両辺りょうへんを 10 や 100 でかける

$0.3x+0.2y=1.2$

両りょう辺へんを $10$ でかけて、

$3x+2y=12$

大事だいじ: 分ぶん数すうや小しょう数すうは そのまま計けい算さんせず、 まず整せい数すうに直なおします。 ミスがぐっと減へります。

5. 文章ぶんしょう題だいの立たて方かた

文ぶん章しょう題を連立れんりつで解とく流ながれ。

5 ステップ

1. 何なにを求もとめるか を確かく認にん (例れい: 「ペンとノートのねだん」)
2. それぞれを 文も字じ でおく ($x$、 $y$)
3. 2 本ほんの関かん係けい を式しきにする
4. 連立れんりつを解とく
5. 答えこたえに単たん位い をつけて、 問もん題だいに合あうか 確かく認にん

例題れいだい 4 (代金だいきん)

1 本ほん 100 円えんのペンと 1 冊さつ 150 円えんのノートを合あわせて 7 個こ買かったら 850 円えんだった。 ペンとノートは何なん個こずつか。

立りつ式しき: ペン $x$本、 ノート $y$冊とおく。

$\{x+y=7100x+150y=850$

下の式しきを 50 でわると $2x+3y=17$。

加減かげん法ほうで解といて $x=4,y=3$。

答えこたえ: ペン 4 本ほん、 ノート 3 冊さつ。

例題れいだい 5 (速はやさ — 速はや・道みち・時じ)

A 君きみは家いえから学校がっこうまで、 行いきは時じ速そく 4 km、 帰かえりは時じ速そく 3 km で歩あるいた。 全ぜん体たいで 1 時じ間かん 45 分ぶんかかった。 家いえから学校がっこうまでの道のりみちのりは何なに km か。

ポイント: 「速はやさ × 時間じかん = 道のりみちのり」 の関かん係けいを使つかう。 この問もん題だいは 道のりみちのりは同おなじ なので 1 文も字じ $x$ で OK だが、 練れん習しゅうとして 2 文も字じで立たててもよい。

行いき $\frac{x}{4}$時じ間かん、 帰かえり $\frac{x}{3}$時じ間かん。 1 時じ間かん 45 分ぶん = $\frac{7}{4}$時じ間かん。

$\frac{x}{4}+\frac{x}{3}=\frac{7}{4}$

両りょう辺へん $\times 12$ で $3x+4x=21$、 $x=3$。

答えこたえ: 3 km。

例題れいだい 6 (濃のう度ど)

8 % の食しょく塩えん水すいと 5 % の食しょく塩えん水すいを混まぜて、 6 % の食しょく塩えん水すいを 300 g つくりたい。 それぞれ何なに g 必ひつ要ようか。

立りつ式しき: 8 % の方$x$ g、 5 % の方$y$ g。

$\{x+y=3000.08x+0.05y=0.06\times 300$

下の式しきを 100 倍ばいして $8x+5y=1800$。

連立れんりつを解とくと、 $x=100,y=200$。

答えこたえ: 8 % を 100 g、 5 % を 200 g。

ポイント: 濃のう度ど問もん題だいは 「食しょく塩えんの量りょう = 食しょく塩えん水すい × 濃のう度ど」 の式しきをつくるのが基き本ほん。

6. ふりかえり

• [ ]連立方程式れんりつほうていしきの 解かい は 「2 本ほんを同どう時じに満みたす」 1 組くみだとわかる
• [ ]加減法かげんほうで 1 つの文も字じを 消去しょうきょ できる
• [ ]代入法だいにゅうほうで 1 つの文も字じを 入いれ替かえ て解とける
• [ ]加減かげんと代入だいにゅうの 使づかいわけ ができる
• [ ]分ぶん数すう・小しょう数すうは 両りょう辺へんをかけて整せい数すう化か できる
• [ ]文ぶん章しょう題で 「何なにを $x$、 何なにを $y$ におくか」 を自じ分ぶんで決きめられる
• [ ]速はやさ・代金だいきん・濃のう度どの典てん型けい文ぶん章しょう題を連立れんりつで解とける