連立れんりつ方程式ほうていしき

この章しょうで学まなぶこと

中なか 1 で学まなんだ 1 元もと 1 次方程式ほうていしき ($2x+3=7$ のように文も字じ が 1 つ) を、 文も字じ が 2 つ に拡かく張ちょう します。 これを 連立方程式れんりつほうていしき と言いいます。

• 連立方程式れんりつほうていしき の 解かい とは何なにかがわかる
• 加減法かげんほう で連立れんりつを解とける
• 代入法だいにゅうほう で連立れんりつを解とける
• 分ぶん数すう や 小数しょうすう をふくむ連立れんりつを整せい数すう化かできる
• 文ぶん章しょう題 (速はやさ・割合わりあい・年ねん齢れい・濃のう度ど) を連立れんりつで解とける

ポイント: 連立れんりつ方程式ほうていしきは、 「1 つの文も字じ を消けす」 が基き本ほん戦せん略りゃく。 加減かげん法ほうも代入だいにゅう法ほうも、 結けっ局きょく は 「2 元もと → 1 元もと」 への 消去しょうきょ がねらいです。

1. 連立れんりつ方程式ほうていしきと解かい

つぎのように 2 つ以い上じょう の方程てい式を同どう時じ に成なり立たせる 形かたちを 連立方程式れんりつほうていしき と言いいます。

$\{x+y=52x-y=1$

この連立れんりつを 同どう時じ に満みたす $x$、 $y$ の組くみを 解かい と言いいます。

組くみ	$x+y=5$	$2x-y=1$	どちらも成なり立たつ？
$x=2,y=3$	$5$ ✓	$1$ ✓	○ (これが解かい)
$x=1,y=4$	$5$ ✓	$-2$ ✕	✕
$x=3,y=2$	$5$ ✓	$4$ ✕	✕

大事だいじ: 1 つの式しきだけなら解かいは 無む限げん にあります ($x+y=5$ の解かいは $x=0,y=5$、 $x=1,y=4$、 $x=2,y=3$、…)。 もう 1 本ほんの式しきが加くわわることで、 解かいが 1 組くみにしぼり込こまれ ます。

2. 加減かげん法ほう — 文字もじを消けす

2 つの式しきを 足たし算ざんか引ひき算ざん でつなげて、 1 つの文も字じ を消けします。

例題れいだい 1

$\{x+y=5\cdots ①2x-y=1\cdots ②$

解とき方かた: ① と ② を 足たす と $y$ が消きえます ($+y$ と $-y$ でゼロ)。

$①+②:3x=6\Rightarrow x=2$

これを ① に代入だいにゅう。

$2+y=5\Rightarrow y=3$

答えこたえ: $x=2,y=3$

係数けいすうをそろえてから消けす

文も字じ の前まえの係けい数すう がちがうときは、 両りょう辺へん を何なん倍ばいか してそろえます。

例題れいだい 2

$\{3x+2y=12\cdots ①x+y=5\cdots ②$

解とき方かた: ② を 2 倍ばい して $y$ の係けい数すう をそろえる。

$②\times 2:2x+2y=10\cdots {\prime }^{}$

① $-$ ②' で $y$ を消けす。

$(3x+2y)-(2x+2y)=12-10$ $x=2$

② に代入だいにゅうして、 $2+y=5$、 $y=3$。

ポイント: どちらの文も字じ を消けすかは どちらがラクか で決きめます。 係けい数すう が小ちいさい / 1 倍ばいでそろう方ほうを選えらぶと計けい算さん ミスが減へります。

3. 代入だいにゅう法ほう — 1 つの式しきを入いれる

1 つの式しきを 「$x=$ ○○」 や 「$y=$ ○○」 の形かたちにして、 もう 1 本ほんに 代入だいにゅう します。

例題れいだい 3

$\{y=2x+1\cdots ①3x+y=11\cdots ②$

解とき方かた: ① の $y$ を ② にそのまま入いれる。

$3x+(2x+1)=11$ $5x+1=11\Rightarrow 5x=10\Rightarrow x=2$

これを ① に戻もどして、 $y=2\times 2+1=5$。

答えこたえ: $x=2,y=5$

加減かげん法ほうと代入だいにゅう法ほうの使つかいわけ

状じょう況きょう	おすすめ
「$y=$ ○○」 の形かたちがある	代入だいにゅう法ほう
文も字じ の係けい数すう がそろえやすい	加減かげん法ほう
どちらもいける	自じ分ぶん の好このみで OK

4. 分数ぶんすう・小数しょうすうをふくむ連立れんりつ

分数ぶんすう → 両辺りょうへんを分母ぶんぼでかける

$\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=5$

両りょう辺へん を $6$ (= 2 と 3 の 最小公倍数さいしょうこうばいすう) でかけて 整せい数すう化か。

$3x+2y=30$

小数しょうすう → 両辺りょうへんを 10 や 100 でかける

$0.3x+0.2y=1.2$

両りょう辺へん を $10$ でかけて、

$3x+2y=12$

大事だいじ: 分ぶん数すう や小しょう数すう は そのまま計けい算さん せず、 まず整せい数すう に直なおします。 ミスがぐっと減へります。

5. 文章ぶんしょう題だいの立たて方かた

文ぶん章しょう題を連立れんりつで解とく流ながれ。

5 ステップ

1. 何なにを求もとめるか を確かく認にん (例れい: 「ペンとノートのねだん」)
2. それぞれを 文も字じ でおく ($x$、 $y$)
3. 2 本ほんの関かん係けい を式しきにする
4. 連立れんりつを解とく
5. 答えこたえに単たん位い をつけて、 問もん題だい に合あうか 確かく認にん

例題れいだい 4 (代金だいきん)

1 本ほん 100 円えんのペンと 1 冊さつ 150 円えんのノートを合あわせて 7 個こ買かったら 850 円えんだった。 ペンとノートは何なん個こずつか。

立りつ式しき: ペン $x$本、 ノート $y$冊とおく。

$\{x+y=7100x+150y=850$

下の式しきを 50 でわると $2x+3y=17$。

加減かげん法ほうで解といて $x=4,y=3$。

答えこたえ: ペン 4 本ほん、 ノート 3 冊さつ。

例題れいだい 5 (速はやさ — 速はや・道みち・時じ)

A 君きみは家いえから学校がっこうまで、 行いきは時じ速そく 4 km、 帰かえりは時じ速そく 3 km で歩あるいた。 全ぜん体たい で 1 時じ間かん 45 分ぶんかかった。 家いえから学校がっこうまでの道のりみちのりは何なに km か。

ポイント: 「速はやさ × 時間じかん = 道のりみちのり」 の関かん係けい を使つかう。 この問もん題だい は 道のりみちのりは同おなじ なので 1 文も字じ $x$ で OK だが、 練れん習しゅう として 2 文も字じ で立たててもよい。

行いき $\frac{x}{4}$時じ間かん、 帰かえり $\frac{x}{3}$時じ間かん。 1 時じ間かん 45 分ぶん = $\frac{7}{4}$時じ間かん。

$\frac{x}{4}+\frac{x}{3}=\frac{7}{4}$

両りょう辺へん $\times 12$ で $3x+4x=21$、 $x=3$。

答えこたえ: 3 km。

例題れいだい 6 (濃のう度ど)

8 % の食しょく塩えん水すいと 5 % の食しょく塩えん水すいを混まぜて、 6 % の食しょく塩えん水すいを 300 g つくりたい。 それぞれ何なに g 必ひつ要よう か。

立りつ式しき: 8 % の方$x$ g、 5 % の方$y$ g。

$\{x+y=3000.08x+0.05y=0.06\times 300$

下の式しきを 100 倍ばいして $8x+5y=1800$。

連立れんりつを解とくと、 $x=100,y=200$。

答えこたえ: 8 % を 100 g、 5 % を 200 g。

ポイント: 濃のう度ど問もん題だい は 「食しょく塩えん の量りょう = 食しょく塩えん水すい × 濃のう度ど」 の式しきをつくるのが基き本ほん。

6. ふりかえり

• [ ]連立方程式れんりつほうていしき の 解かい は 「2 本ほんを同どう時じ に満みたす」 1 組くみだとわかる
• [ ]加減法かげんほう で 1 つの文も字じ を 消去しょうきょ できる
• [ ]代入法だいにゅうほう で 1 つの文も字じ を 入いれ替かえ て解とける
• [ ]加減かげんと代入だいにゅうの 使づかいわけ ができる
• [ ]分ぶん数すう・小しょう数すう は 両りょう辺へん をかけて整せい数すう化か できる
• [ ]文ぶん章しょう題で 「何なにを $x$、 何なにを $y$ におくか」 を自じ分ぶん で決きめられる
• [ ]速はやさ・代金だいきん・濃のう度ど の典てん型けい文ぶん章しょう題を連立れんりつで解とける