この 章 で 学ぶ こと
中 1 で 学んだ 1 元 1 次方程式 (2x+3=7 の よう に 文字 が 1 つ) を、 文字 が 2 つ に 拡張 します。 これ を 連立方程式 と 言います。
- 連立方程式 の 解 と は 何 か が わかる
- 加減法 で 連立 を 解け る
- 代入法 で 連立 を 解け る
- 分数 や 小数 を ふくむ 連立 を 整数化 で きる
- 文章題 (速さ・割合・年齢・濃度) を 連立 で 解け る
ポイント: 連立方程式 は、 「1 つ の 文字 を 消す」 が 基本戦略。 加減法 も 代入法 も、 結局 は 「2 元 → 1 元」 へ の 消去 が ねらい です。
1. 連立方程式 と 解
つぎ の よう に 2 つ 以上 の 方程式 を 同時 に 成り立たせる 形 を 連立方程式 と 言います。
{x+y=52x−y=1
この 連立 を 同時 に 満たす x、 y の 組 を 解 と 言います。
| 組 | x+y=5 | 2x−y=1 | どちら も 成り立つ? |
|---|
| x=2,y=3 | 5 ✓ | 1 ✓ | ○ (これ が 解) |
| x=1,y=4 | 5 ✓ | −2 ✕ | ✕ |
| x=3,y=2 | 5 ✓ | 4 ✕ | ✕ |
大事: 1 つ の 式 だけ なら 解 は 無限 に あります (x+y=5 の 解 は x=0,y=5、 x=1,y=4、 x=2,y=3、…)。 もう 1 本 の 式 が 加わる こと で、 解 が 1 組 に しぼり込まれ ます。
2. 加減法 — 文字 を 消す
2 つ の 式 を 足し算 か 引き算 で つなげて、 1 つ の 文字 を 消します。
例題 1
{x+y=5⋯①2x−y=1⋯②
解き方: ① と ② を 足す と y が 消えます (+y と −y で ゼロ)。
①+②:3x=6⇒x=2
これ を ① に 代入。
2+y=5⇒y=3
答え: x=2,y=3
係数 を そろえ て から 消す
文字 の 前 の 係数 が ちがう と き は、 両辺 を 何倍 か して そろえ ます。
例題 2
{3x+2y=12⋯①x+y=5⋯②
解き方: ② を 2 倍 し て y の 係数 を そろえる。
②×2:2x+2y=10⋯②′
① − ②' で y を 消す。
(3x+2y)−(2x+2y)=12−10
x=2
② に 代入 し て、 2+y=5、 y=3。
ポイント: どちら の 文字 を 消す か は どちら が ラク か で 決め ます。 係数 が 小さい / 1 倍 で そろう 方 を 選ぶ と 計算 ミス が 減り ます。
3. 代入法 — 1 つ の 式 を 入れる
1 つ の 式 を 「x= ○○」 や 「y= ○○」 の 形 に し て、 もう 1 本 に 代入 し ます。
例題 3
{y=2x+1⋯①3x+y=11⋯②
解き方: ① の y を ② に そのまま 入れる。
3x+(2x+1)=11
5x+1=11⇒5x=10⇒x=2
これ を ① に 戻し て、 y=2×2+1=5。
答え: x=2,y=5
加減法 と 代入法 の 使い わけ
| 状況 | おすすめ |
|---|
| 「y= ○○」 の 形 が ある | 代入法 |
| 文字 の 係数 が そろえ やすい | 加減法 |
| どちら も いける | 自分 の 好み で OK |
4. 分数・小数 を ふくむ 連立
分数 → 両辺 を 分母 で かける
2x+3y=5
両辺 を 6 (= 2 と 3 の 最小公倍数) で かけ て 整数化。
3x+2y=30
小数 → 両辺 を 10 や 100 で かける
0.3x+0.2y=1.2
両辺 を 10 で かけ て、
3x+2y=12
大事: 分数 や 小数 は そのまま 計算 せ ず、 まず 整数 に 直し ます。 ミス が ぐっと 減り ます。
5. 文章題 の 立て方
文章題 を 連立 で 解く 流れ。
5 ステップ
- 何 を 求める か を 確認 (例: 「ペン と ノート の ねだん」)
- それぞれ を 文字 で おく (x、 y)
- 2 本 の 関係 を 式 に する
- 連立 を 解く
- 答え に 単位 を つけ て、 問題 に 合う か 確認
例題 4 (代金)
1 本 100 円 の ペン と 1 冊 150 円 の ノート を 合わせ て 7 個買ったら 850 円 だった。 ペン と ノート は 何個 ずつ か。
立式: ペン x本、 ノート y冊 と おく。
{x+y=7100x+150y=850
下 の 式 を 50 で わる と 2x+3y=17。
加減法 で 解い て x=4,y=3。
答え: ペン 4 本、 ノート 3 冊。
例題 5 (速さ — 速・道・時)
A 君 は 家 から 学校 まで、 行き は 時速 4 km、 帰り は 時速 3 km で 歩いた。 全体 で 1 時間 45 分 かかった。 家 から 学校 まで の 道 の り は 何 km か。
ポイント: 「速さ × 時[[間|かん]|かん = 道のり」 の 関係 を 使う。 この 問題 は 道 の り は 同じ な の で 1 文字x で OK だが、 練習 と し て 2 文字 で 立て て も よい。
行き 4x時間、 帰り 3x時間。 1 時間 45 分 = 47時間。
4x+3x=47
両辺×12 で 3x+4x=21、 x=3。
答え: 3 km。
例題 6 (濃度)
8 % の 食塩水 と 5 % の 食塩水 を 混ぜ て、 6 % の 食塩水 を 300 g つくり たい。 それぞれ 何 g 必要 か。
立式: 8 % の 方x g、 5 % の 方y g。
{x+y=3000.08x+0.05y=0.06×300
下 の 式 を 100 倍 し て 8x+5y=1800。
連立 を 解く と、 x=100,y=200。
答え: 8 % を 100 g、 5 % を 200 g。
ポイント: 濃度問題 は 「食塩 の 量 = 食塩水 × 濃度」 の 式 を つくる の が 基本。
6. ふりかえり
- [ ]連立方程式 の 解 は 「2 本 を 同時 に 満たす」 1 組 だ と わかる
- [ ]加減法 で 1 つ の 文字 を 消去 で きる
- [ ]代入法 で 1 つ の 文字 を 入れ替え て 解け る
- [ ]加減 と 代入 の 使い わけ が で きる
- [ ]分数・小数 は 両辺 を かけ て 整数化 で きる
- [ ]文章題 で 「何 を x、 何 を y に おく か」 を 自分 で 決め られる
- [ ]速さ・代金・濃度 の 典型文章題 を 連立 で 解け る