連立れんりつ方程式ほうていしき

この 章しょう で 学まなぶ こと

中なか 1 で 学まなんだ 1 元もと 1 次じ方程式ほうていしき ($2x+3=7$ の よう に 文も字じ が 1 つ) を、 文も字じ が 2 つ に 拡かく張ちょう します。 これ を 連立方程式れんりつほうていしき と 言いいます。

• 連立方程式れんりつほうていしき の 解かい と は 何なに か が わかる
• 加減法かげんほう で 連立れんりつ を 解とけ る
• 代入法だいにゅうほう で 連立れんりつ を 解とけ る
• 分ぶん数すう や 小数しょうすう を ふくむ 連立れんりつ を 整せい数すう化か で きる
• 文ぶん章しょう題 (速はやさ・割合わりあい・年ねん齢れい・濃のう度ど) を 連立れんりつ で 解とけ る

ポイント: 連立れんりつ方程式ほうていしき は、 「1 つ の 文も字じ を 消けす」 が 基き本ほん戦せん略りゃく。 加減かげん法ほう も 代入だいにゅう法ほう も、 結けっ局きょく は 「2 元もと → 1 元もと」 へ の 消去しょうきょ が ねらい です。

1. 連立れんりつ方程式ほうていしき と 解かい

つぎ の よう に 2 つ 以い上じょう の 方程てい式 を 同どう時じ に 成なり立たせる 形かたち を 連立方程式れんりつほうていしき と 言いいます。

$\{x+y=52x-y=1$

この 連立れんりつ を 同どう時じ に 満みたす $x$、 $y$ の 組くみ を 解かい と 言いいます。

組くみ	$x+y=5$	$2x-y=1$	どちら も 成なり立たつ？
$x=2,y=3$	$5$ ✓	$1$ ✓	○ (これ が 解かい)
$x=1,y=4$	$5$ ✓	$-2$ ✕	✕
$x=3,y=2$	$5$ ✓	$4$ ✕	✕

大事だいじ: 1 つ の 式しき だけ なら 解かい は 無む限げん に あります ($x+y=5$ の 解かい は $x=0,y=5$、 $x=1,y=4$、 $x=2,y=3$、…)。 もう 1 本ほん の 式しき が 加くわわる こと で、 解かい が 1 組くみ に しぼり込こまれ ます。

2. 加減かげん法ほう — 文字もじ を 消けす

2 つ の 式しき を 足たし算ざん か 引ひき算ざん で つなげて、 1 つ の 文も字じ を 消けします。

例題れいだい 1

$\{x+y=5\cdots ①2x-y=1\cdots ②$

解とき方かた: ① と ② を 足たす と $y$ が 消きえます ($+y$ と $-y$ で ゼロ)。

$①+②:3x=6\Rightarrow x=2$

これ を ① に 代入だいにゅう。

$2+y=5\Rightarrow y=3$

答こたえ: $x=2,y=3$

係数けいすう を そろえ て から 消けす

文も字じ の 前まえ の 係けい数すう が ちがう と き は、 両りょう辺へん を 何なん倍ばい か して そろえ ます。

例題れいだい 2

$\{3x+2y=12\cdots ①x+y=5\cdots ②$

解とき方かた: ② を 2 倍ばい し て $y$ の 係けい数すう を そろえる。

$②\times 2:2x+2y=10\cdots {\prime }^{}$

① $-$ ②' で $y$ を 消けす。

$(3x+2y)-(2x+2y)=12-10$ $x=2$

② に 代入だいにゅう し て、 $2+y=5$、 $y=3$。

ポイント: どちら の 文も字じ を 消けす か は どちら が ラク か で 決きめ ます。 係けい数すう が 小ちいさい / 1 倍ばい で そろう 方かた を 選えらぶ と 計けい算さん ミス が 減へり ます。

3. 代入だいにゅう法ほう — 1 つ の 式しき を 入いれる

1 つ の 式しき を 「$x=$ ○○」 や 「$y=$ ○○」 の 形かたち に し て、 もう 1 本ほん に 代入だいにゅう し ます。

例題れいだい 3

$\{y=2x+1\cdots ①3x+y=11\cdots ②$

解とき方かた: ① の $y$ を ② に そのまま 入いれる。

$3x+(2x+1)=11$ $5x+1=11\Rightarrow 5x=10\Rightarrow x=2$

これ を ① に 戻もどし て、 $y=2\times 2+1=5$。

答こたえ: $x=2,y=5$

加減かげん法ほう と 代入だいにゅう法ほう の 使つかい わけ

状じょう況きょう	おすすめ
「$y=$ ○○」 の 形かたち が ある	代入だいにゅう法ほう
文も字じ の 係けい数すう が そろえ やすい	加減かげん法ほう
どちら も いける	自じ分ぶん の 好このみ で OK

4. 分数ぶんすう・小数しょうすう を ふくむ 連立れんりつ

分数ぶんすう → 両辺りょうへん を 分母ぶんぼ で かける

$\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=5$

両りょう辺へん を $6$ (= 2 と 3 の 最小公倍数さいしょうこうばいすう) で かけ て 整せい数すう化か。

$3x+2y=30$

小数しょうすう → 両辺りょうへん を 10 や 100 で かける

$0.3x+0.2y=1.2$

両りょう辺へん を $10$ で かけ て、

$3x+2y=12$

大事だいじ: 分ぶん数すう や 小しょう数すう は そのまま 計けい算さん せ ず、 まず 整せい数すう に 直なおし ます。 ミス が ぐっと 減へり ます。

5. 文章ぶんしょう題だい の 立たて方かた

文ぶん章しょう題 を 連立れんりつ で 解とく 流ながれ。

5 ステップ

1. 何なに を 求もとめる か を 確かく認にん (例れい: 「ペン と ノート の ねだん」)
2. それぞれ を 文も字じ で おく ($x$、 $y$)
3. 2 本ほん の 関かん係けい を 式しき に する
4. 連立れんりつ を 解とく
5. 答こたえ に 単たん位い を つけ て、 問もん題だい に 合あう か 確かく認にん

例題れいだい 4 (代金だいきん)

1 本ほん 100 円えん の ペン と 1 冊さつ 150 円えん の ノート を 合あわせ て 7 個こ買かったら 850 円えん だった。 ペン と ノート は 何なん個こ ずつ か。

立りつ式しき: ペン $x$本、 ノート $y$冊 と おく。

$\{x+y=7100x+150y=850$

下 の 式しき を 50 で わる と $2x+3y=17$。

加減かげん法ほう で 解とい て $x=4,y=3$。

答こたえ: ペン 4 本ほん、 ノート 3 冊さつ。

例題れいだい 5 (速はやさ — 速はや・道みち・時じ)

A 君きみ は 家いえ から 学校がっこう まで、 行いき は 時じ速そく 4 km、 帰かえり は 時じ速そく 3 km で 歩あるいた。 全ぜん体たい で 1 時じ間かん 45 分ぶん かかった。 家いえ から 学校がっこう まで の 道みち の り は 何なに km か。

ポイント: 「速そくさ × 時とき[[間|かん]|かん = 道のりのり」 の 関かん係けい を 使つかう。 この 問もん題だい は 道どう の り は 同おなじ な の で 1 文も字じ$x$ で OK だが、 練れん習しゅう と し て 2 文も字じ で 立たて て も よい。

行いき $\frac{x}{4}$時じ間かん、 帰かえり $\frac{x}{3}$時じ間かん。 1 時じ間かん 45 分ぶん = $\frac{7}{4}$時じ間かん。

$\frac{x}{4}+\frac{x}{3}=\frac{7}{4}$

両りょう辺へん$\times 12$ で $3x+4x=21$、 $x=3$。

答こたえ: 3 km。

例題れいだい 6 (濃のう度ど)

8 % の 食しょく塩えん水すい と 5 % の 食しょく塩えん水すい を 混まぜ て、 6 % の 食しょく塩えん水すい を 300 g つくり たい。 それぞれ 何なに g 必ひつ要よう か。

立りつ式しき: 8 % の 方$x$ g、 5 % の 方$y$ g。

$\{x+y=3000.08x+0.05y=0.06\times 300$

下 の 式しき を 100 倍ばい し て $8x+5y=1800$。

連立れんりつ を 解とく と、 $x=100,y=200$。

答こたえ: 8 % を 100 g、 5 % を 200 g。

ポイント: 濃のう度ど問もん題だい は 「食しょく塩えん の 量りょう = 食しょく塩えん水すい × 濃のう度ど」 の 式しき を つくる の が 基き本ほん。

6. ふりかえり

• [ ]連立方程式れんりつほうていしき の 解かい は 「2 本ほん を 同どう時じ に 満みたす」 1 組くみ だ と わかる
• [ ]加減法かげんほう で 1 つ の 文も字じ を 消去しょうきょ で きる
• [ ]代入法だいにゅうほう で 1 つ の 文も字じ を 入いれ替かえ て 解とけ る
• [ ]加減かげん と 代入だいにゅう の 使づかい わけ が で きる
• [ ]分ぶん数すう・小しょう数すう は 両りょう辺へん を かけ て 整せい数すう化か で きる
• [ ]文ぶん章しょう題 で 「何なに を $x$、 何なに を $y$ に おく か」 を 自じ分ぶん で 決きめ られる
• [ ]速はやさ・代金だいきん・濃のう度ど の 典てん型けい文ぶん章しょう題 を 連立れんりつ で 解とけ る