文字もじ式しきの応用おうよう

この章しょうで学まなぶこと

文字式もじしきは 「計算けいさんを楽らくにする道具どうぐ」 だけではありません。 「いつでも成なり立たつ性質せいしつを説明せつめいする道具どうぐ」 でもあります。 この章しょうではその力ちからを体験たいけんします。

• 偶数ぐうすう・奇数きすう・倍数ばいすう を文字もじ式しきで表あらわす
• 連続する整数れんぞくするせいすう を文字もじ式しきで表あらわす
• 文字もじ式しきを使つかって 数の性質すう の せいしつ を説明せつめい (論証ろんしょう) する
• 図形ずけいや表ひょうから 規則性きそくせい を見みつけ、 文字もじ式しきで表あらわす
• 等式の変形とうしき の へんけい で公式こうしきを別べつの文字もじについて解かいく

ポイント: 「具体ぐたい例れいで確たしかめる」 → 「文字もじに置き換えおきかえて説明せつめい」 — この流ながれが中学ちゅうがく数学すうがくの中心ちゅうしんです。 数学すうがくの 「証明しょうめい」 への第一歩だいいっぽ。

1. 偶数ぐうすう・奇数きすう・倍数ばいすうを文字もじ式しきで

整数せいすうを文字もじで表あらわす

ふつう整数せいすうを $n$ とおきます。 $n$ が 整数せいすう であるということは、 $n$ には 0、 1、 -1、 2、 -2、 3 … のどれでも入はいる、 ということ。

表あらわすもの	文字もじ式しき	説明せつめい
偶数ぐうすう	$2n$	2 の倍数ばいすう
奇数きすう	$2n+1$ または $2n-1$	偶数ぐうすうに 1 をたすかひく
3 の倍数ばいすう	$3n$
5 でわると 2 あまる数すう	$5n+2$

連続れんぞくする整数せいすう

表あらわすもの	文字もじ式しき
連続れんぞくする 2 つの整数せいすう	$n$、 $n+1$
連続れんぞくする 3 つの整数せいすう	$n-1$、 $n$、 $n+1$ (まんなかを $n$)
連続れんぞくする 2 つの偶数ぐうすう	$2n$、 $2n+2$
連続れんぞくする 2 つの奇数きすう	$2n-1$、 $2n+1$

大事だいじ: 連続れんぞく整数せいすうを表あらわすときは 「まんなかを文字もじにおく」 と計算けいさんが楽らくになることが多おおい。

2. 数かずの性質せいしつを説明せつめいする

例題れいだい 1: 連続れんぞくする 3 つの整数せいすうの和わ

例題れいだい

問題もんだい	説明せつめい
連続れんぞくする 3 つの整数せいすうの和わは 3 の倍数ばいすう であることを説明せつめいせよ。	まんなかを $n$ とおくと、 3 数かずは $n-1$、 $n$、 $n+1$。 和わ = $(n-1)+n+(n+1)=3n$。 $n$ が整数せいすうだから $3n$ は 3 の倍数ばいすう。 ☐

例題れいだい 2: 偶数ぐうすう + 奇数きすう

例題れいだい

問題もんだい	説明せつめい
偶数ぐうすうと奇数きすうの和わは 奇数きすう であることを説明せつめいせよ。	偶数ぐうすうを $2m$、 奇数きすうを $2n+1$ ($m$、 $n$ は整数せいすう) とおく。 和わ = $2m+2n+1=2(m+n)+1$。 $m+n$ は整数せいすうだから、 $2(m+n)+1$ は 奇数きすう。 ☐

大事だいじ: 「説明せつめい (証明しょうめい) せよ」 とあれば、 ① 文字もじで設定せってい ② 計算けいさん ③ 「○ の倍数ばいすう / ○ である」 と結論けつろん の 3 段階だんかいを守まもる。

3. 規則きそく性せいを見みつけて文字もじ式しきで表あらわす

マッチ棒ぼうの例れい

正方形せいほうけいをマッチ棒ぼうで横よこにつなげて作つくるとき、 何なん本ほん必要ひつようか。

正方形せいほうけいの数かず	マッチ棒ぼうの本数ほんすう
1	4
2	7
3	10
4	13
$n$	$3n+1$

理由りゆう: 1 個こ目めは 4 本ほん、 以降いこう 1 個こ増ふやすごとに 3 本ほんずつふえる。 「最初さいしょの 1 本ほん + 3 本$\times$個数こすう」 と考かんがえると $1+3n=3n+1$。

「ご石いしの並ならび」 の例れい

「正せい三角形さんかくけいの形かたちにご石いしを 1 辺へん $n$個ずつ並ならべると、 ご石いしはいくつ必要ひつようか」 など、 図ずから数かずを取とり出だして式しき化かする練習れんしゅうをします。

1 辺へん$n$	ご石いしの数かず
2	3
3	6
4	10
$n$	$\frac{n(n+1)}{2}$ (高校こうこうで学まなぶ。 中なか 1 では表ひょうで法則ほうそくを確認かくにんするだけで十分じゅうぶん)

大事だいじ: 表ひょうにして差さを見みる ことが規則きそく性せいを見抜みぬくコツ。 「毎回まいかい何なにふえるか」 が一定いっていなら、 $\square n+△$ の形かたちになる。

やってみよう: マッチ棒ぼうで正三しょうさん角かく形を $n$個こ横よこにつなげるとマッチ棒ぼうは何なん本ほん必要ひつようか。 (答えこたえ: 1 個こ目め 3 本ほん、 以降いこう 2 本ほんずつ → $2n+1$)

4. 等式とうしきの変形へんけい

公式こうしきを別べつの文字もじについて解とく

$y=2x+5$ を $x$ について解とくと:

$y=2x+5⟹y-5=2x⟹x=\frac{y-5}{2}$

例題れいだい

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
$\ell =2(a+b)$ を $b$ について解とけ	両辺りょうへんを 2 でわる: $\frac{\ell }{2}=a+b$。 $a$ を移項いこう: $b=\frac{\ell }{2}-a$
$S=\frac{1}{2}ah$ を $h$ について解とけ	両辺りょうへんを 2 倍ばい: $2S=ah$。 両辺りょうへんを $a$ でわる: $h=\frac{2S}{a}$
$V=\pi r^{2}h$ を $h$ について解とけ	両辺りょうへんを $\pi r^2$ でわる: $h=\frac{V}{\pi r^2}$

大事だいじ: 等式とうしきの変形へんけいは 方程式ほうていしきを解とくのと同おなじ操作そうさ。 求もとめる文字もじを 「左辺さへんへ、 1 つだけ」 残のこす。

やってみよう: $a=bc+d$ を $c$ について解とけ。 (答えこたえ: $c=\frac{a-d}{b}$)

5. 整数せいすうの性質せいしつを探さぐる (発展はってん)

「連続れんぞく整数せいすうの積せき」

連続れんぞくする 2 つの整数せいすうの積$n(n+1)$ は 必かならず偶数ぐうすう である。 理由りゆう: $n$ と $n+1$ のどちらかが必かならず偶数ぐうすうだから。

文字もじで説明せつめい:

• $n$ が偶数ぐうすうなら $n=2m$ → $n(n+1)=2m(n+1)$ は偶数ぐうすう。
• $n$ が奇数きすうなら $n+1$ が偶数ぐうすう → $(n+1)=2m$ で $n(n+1)=2mn$ は偶数ぐうすう。 ☐

「3 連続れんぞくの積せき」

連続れんぞくする 3 つの整数せいすうの積$n(n+1)(n+2)$ は 必かならず 6 の倍数ばいすう である。 (3 つのうち必かならず偶数ぐうすうが 1 つ以上いじょう + 3 の倍数ばいすうが 1 つあるため。 中学ちゅうがくでは表ひょうや例れいで確認かくにんする程度ていどでよい)

まとめ

• 偶数ぐうすう = $2n$、 奇数きすう = $2n+1$、 連続れんぞく整数せいすう はまんなかを文字もじに
• 「数かずの性質せいしつを説明せつめい」 = ① 文字もじで設定せってい ② 計算けいさん ③ 結論けつろんを言葉ことばで
• 規則性きそくせい は表ひょうを作つくって差さを見みる → $\square n+△$ の形かたちを探さがす
• 等式の変形とうしき の へんけい は方程式ほうていしきを解とくのと同おなじ手順てじゅん
• 文字もじ式しきは 「計算けいさんの道具どうぐ」 + 「説明せつめいの道具どうぐ」 の二に役やく