この 章 で 学ぶ こと
文字式 は 「計算 を 楽 に する 道具」 だけ で は ありません。 「いつ で も 成り立つ 性質 を 説明 する 道具」 で も あります。 この 章 で は その 力 を 体験 し ます。
- 偶数・奇数・倍数 を 文字式 で 表す
- 連続する整数 を 文字式 で 表す
- 文字式 を 使って 数 の 性質 を 説明 (論証) する
- 図形 や 表 から 規則性 を 見 つけ、 文字式 で 表す
- 等式 の 変形 で 公式 を 別 の 文字 に つい て 解く
ポイント: 「具体例 で 確かめる」 → 「文字 に 置き 換えて 説明」 — この 流れ が 中学数学 の 中心 で す。 数学 の 「証明」 へ の 第一歩。
1. 偶数・奇数・倍数 を 文字式 で
整数 を 文字 で 表す
ふつう 整数 を n と おき ます。 n が 整数 で ある と いう こと は、 n に は 0、 1、 -1、 2、 -2、 3 … の どれ で も 入る、 と いう こと。
| 表す もの | 文字式 | 説明 |
|---|
| **[[偶数 | ぐうすう]]** | 2n |
| **[[奇数 | きすう]]** | 2n+1 または 2n−1 |
| 3 の 倍数 | 3n | |
| 5 で わる と 2 あまる 数 | 5n+2 | |
連続 する 整数
| 表す もの | 文字式 |
|---|
| 連続 する 2 つ の 整数 | n、 n+1 |
| 連続 する 3 つ の 整数 | n−1、 n、 n+1 (まんなか を n) |
| 連続 する 2 つ の 偶数 | 2n、 2n+2 |
| 連続 する 2 つ の 奇数 | 2n−1、 2n+1 |
大事: 連続整数 を 表す とき は 「まんなか を 文字 に おく」 と 計算 が 楽 に なる こと が 多い。
2. 数 の 性質 を 説明 する
例題 1: 連続 する 3 つ の 整数 の 和
例題
| 問題 | 説明 |
|---|
| 連続 する 3 つ の 整数 の 和 は 3 の 倍数 で ある こと を 説明 せよ。 | まんなか を n と おく と、 3 数 は n−1、 n、 n+1。 和 = (n−1)+n+(n+1)=3n。 n が 整数 だから 3n は 3 の 倍数。 ☐ |
例題 2: 偶数 + 奇数
例題
| 問題 | 説明 |
|---|
| 偶数 と 奇数 の 和 は 奇数 で ある こと を 説明 せよ。 | 偶数 を 2m、 奇数 を 2n+1 (m、 n は 整数) と おく。 和 = 2m+2n+1=2(m+n)+1。 m+n は 整数 だから、 2(m+n)+1 は 奇数。 ☐ |
大事: 「説明 (証明) せよ」 と あれば、 ① 文字 で 設定 ② 計算 ③ 「○ の 倍数 / ○ で ある」 と 結論 の 3 段階 を 守る。
3. 規則性 を 見つけて 文字式 で 表す
マッチ棒 の 例
正方形 を マッチ棒 で 横 に つなげて 作る と き、 何本必要 か。
| 正方形 の 数 | マッチ棒 の 本数 |
|---|
| 1 | 4 |
| 2 | 7 |
| 3 | 10 |
| 4 | 13 |
| n | 3n+1 |
理由: 1 個目 は 4 本、 以降 1 個増やす ごと に 3 本 ずつ ふえる。 「最初 の 1 本 + 3 本×個数」 と 考える と 1+3n=3n+1。
「ご石 の 並び」 の 例
「正三角形 の 形 に ご石 を 1 辺n個 ずつ 並べる と、 ご石 は いくつ 必要 か」 など、 図 から 数 を 取り出して 式化 する 練習 を します。
| 1 辺n | ご石 の 数 |
|---|
| 2 | 3 |
| 3 | 6 |
| 4 | 10 |
| n | 2n(n+1) (高校 で 学ぶ。 中 1 で は 表 で 法則 を 確認 する だけ で 十分) |
大事: 表 に して 差 を 見る こと が 規則性 を 見抜く コツ。 「毎回何 ふえる か」 が 一定 なら、 □n+△ の 形 に なる。
やって みよう: マッチ棒 で 正三角形 を n個横 に つなげる と マッチ棒 は 何本必要 か。 (答え: 1 個目 3 本、 以降 2 本 ずつ → 2n+1)
4. 等式 の 変形
公式 を 別 の 文字 に つい て 解く
y=2x+5 を x に つい て 解く と:
y=2x+5⟹y−5=2x⟹x=2y−5
例題
例題
| 問題 | 解法 |
|---|
| ℓ=2(a+b) を b に つい て 解け | 両辺 を 2 で わる: 2ℓ=a+b。 a を 移項: b=2ℓ−a |
| S=21ah を h に つい て 解け | 両辺 を 2 倍: 2S=ah。 両辺 を a で わる: h=a2S |
| V=πr2h を h に つい て 解け | 両辺 を πr2 で わる: h=πr2V |
大事: 等式 の 変形 は 方程式 を 解く の と 同じ 操作。 求める 文字 を 「左辺 へ、 1 つ だけ」 残す。
やって みよう: a=bc+d を c に つい て 解け。 (答え: c=ba−d)
5. 整数 の 性質 を 探る (発展)
「連続整数 の 積」
連続 する 2 つ の 整数 の 積n(n+1) は 必ず 偶数 で ある。 理由: n と n+1 の どちら か が 必ず 偶数 だ から。
文字 で 説明:
- n が 偶数 なら n=2m → n(n+1)=2m(n+1) は 偶数。
- n が 奇数 なら n+1 が 偶数 → (n+1)=2m で n(n+1)=2mn は 偶数。
☐
「3 連続 の 積」
連続 する 3 つ の 整数 の 積n(n+1)(n+2) は 必ず 6 の 倍数 で ある。 (3 つ の うち 必ず 偶数 が 1 つ 以上 + 3 の 倍数 が 1 つ ある ため。 中学 で は 表 や 例 で 確認 する 程度 で よい)
まとめ
- 偶数 = 2n、 奇数 = 2n+1、 連続整数 は まんなか を 文字 に
- 「数 の 性質 を 説明」 = ① 文字 で 設定 ② 計算 ③ 結論 を 言葉 で
- 規則性 は 表 を 作って 差 を 見る → □n+△ の 形 を 探す
- 等式 の 変形 は 方程式 を 解く の と 同じ 手順
- 文字式 は 「計算 の 道具」 + 「説明 の 道具」 の 二役