文字もじ式しき の 応用おうよう

この 章しょう で 学まなぶ こと

文字もじ式しき は 「計算けいさん を 楽らく に する 道具どうぐ」 だけ で は ありません。 「いつ で も 成なり立たつ 性質せいしつ を 説明せつめい する 道具どうぐ」 で も あります。 この 章しょう で は その 力ちから を 体験たいけん し ます。

• 偶数ぐうすう・奇数きすう・倍数ばいすう を 文字もじ式しき で 表あらわす
• 連続する整数れんぞくするせいすう を 文字もじ式しき で 表あらわす
• 文字もじ式しき を 使つかって 数すう の 性質せいしつ を 説明せつめい (論証ろんしょう) する
• 図形づけい や 表ひょう から 規則性きそくせい を 見み つけ、 文字もじ式しき で 表あらわす
• 等式 の 変形とうしき の へんけい で 公式こうしき を 別べつ の 文字もじ に つい て 解とく

ポイント: 「具体ぐたい例れい で 確たしかめる」 → 「文字もじ に 置おき 換かえて 説明せつめい」 — この 流ながれ が 中学ちゅうがく数学すうがく の 中心ちゅうしん で す。 数学すうがく の 「証明しょうめい」 へ の 第一歩だいいっぽ。

1. 偶数ぐうすう・奇数きすう・倍数ばいすう を 文字もじ式しき で

整数せいすう を 文字もじ で 表あらわす

ふつう 整数せいすう を $n$ と おき ます。 $n$ が 整数せいすう で ある と いう こと は、 $n$ に は 0、 1、 -1、 2、 -2、 3 … の どれ で も 入はいる、 と いう こと。

表あらわす もの	文字もじ式しき	説明せつめい
**[[偶数	ぐうすう]]**	$2n$
**[[奇数	きすう]]**	$2n+1$ または $2n-1$
3 の 倍数ばいすう	$3n$
5 で わる と 2 あまる 数かず	$5n+2$

連続れんぞく する 整数せいすう

表あらわす もの	文字もじ式しき
連続れんぞく する 2 つ の 整数せいすう	$n$、 $n+1$
連続れんぞく する 3 つ の 整数せいすう	$n-1$、 $n$、 $n+1$ (まんなか を $n$)
連続れんぞく する 2 つ の 偶数ぐうすう	$2n$、 $2n+2$
連続れんぞく する 2 つ の 奇数きすう	$2n-1$、 $2n+1$

大事だいじ: 連続れんぞく整数せいすう を 表あらわす とき は 「まんなか を 文字もじ に おく」 と 計算けいさん が 楽らく に なる こと が 多おおい。

2. 数かず の 性質せいしつ を 説明せつめい する

例題れいだい 1: 連続れんぞく する 3 つ の 整数せいすう の 和わ

例題れいだい

問題もんだい	説明せつめい
連続れんぞく する 3 つ の 整数せいすう の 和わ は 3 の 倍数ばいすう で ある こと を 説明せつめい せよ。	まんなか を $n$ と おく と、 3 数かず は $n-1$、 $n$、 $n+1$。 和わ = $(n-1)+n+(n+1)=3n$。 $n$ が 整数せいすう だから $3n$ は 3 の 倍数ばいすう。 ☐

例題れいだい 2: 偶数ぐうすう + 奇数きすう

例題れいだい

問題もんだい	説明せつめい
偶数ぐうすう と 奇数きすう の 和わ は 奇数きすう で ある こと を 説明せつめい せよ。	偶数ぐうすう を $2m$、 奇数きすう を $2n+1$ ($m$、 $n$ は 整数せいすう) と おく。 和わ = $2m+2n+1=2(m+n)+1$。 $m+n$ は 整数せいすう だから、 $2(m+n)+1$ は 奇数きすう。 ☐

大事だいじ: 「説明せつめい (証明しょうめい) せよ」 と あれば、 ① 文字もじ で 設定せってい ② 計算けいさん ③ 「○ の 倍数ばいすう / ○ で ある」 と 結論けつろん の 3 段階だんかい を 守まもる。

3. 規則きそく性せい を 見みつけて 文字もじ式しき で 表あらわす

マッチ棒ぼう の 例れい

正方形せいほうけい を マッチ棒ぼう で 横よこ に つなげて 作つくる と き、 何なん本ほん必要ひつよう か。

正方形せいほうけい の 数かず	マッチ棒ぼう の 本数ほんすう
1	4
2	7
3	10
4	13
$n$	$3n+1$

理由りゆう: 1 個こ目め は 4 本ほん、 以降いこう 1 個こ増ふやす ごと に 3 本ほん ずつ ふえる。 「最初さいしょ の 1 本ほん + 3 本$\times$個数こすう」 と 考かんがえる と $1+3n=3n+1$。

「ご石いし の 並ならび」 の 例れい

「正三角形せいさんかっけい の 形かたち に ご石いし を 1 辺$n$個 ずつ 並ならべる と、 ご石いし は いくつ 必要ひつよう か」 など、 図ず から 数かず を 取とり出だして 式しき化か する 練習れんしゅう を します。

1 辺$n$	ご石いし の 数かず
2	3
3	6
4	10
$n$	$\frac{n(n+1)}{2}$ (高校こうこう で 学まなぶ。 中なか 1 で は 表ひょう で 法則ほうそく を 確認かくにん する だけ で 十分じゅうぶん)

大事だいじ: 表ひょう に して 差さ を 見みる こと が 規則きそく性せい を 見抜みぬく コツ。 「毎回まいかい何なに ふえる か」 が 一定いってい なら、 $\square n+△$ の 形かたち に なる。

やって みよう: マッチ棒ぼう で 正三角形せいさんかっけい を $n$個こ横よこ に つなげる と マッチ棒ぼう は 何なん本ほん必要ひつよう か。 (答こたえ: 1 個こ目め 3 本ほん、 以降いこう 2 本ほん ずつ → $2n+1$)

4. 等式とうしき の 変形へんけい

公式こうしき を 別べつ の 文字もじ に つい て 解とく

$y=2x+5$ を $x$ に つい て 解とく と:

$y=2x+5⟹y-5=2x⟹x=\frac{y-5}{2}$

例題れいだい

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
$\ell =2(a+b)$ を $b$ に つい て 解とけ	両辺りょうへん を 2 で わる: $\frac{\ell }{2}=a+b$。 $a$ を 移項いこう: $b=\frac{\ell }{2}-a$
$S=\frac{1}{2}ah$ を $h$ に つい て 解とけ	両辺りょうへん を 2 倍ばい: $2S=ah$。 両辺りょうへん を $a$ で わる: $h=\frac{2S}{a}$
$V=\pi r^{2}h$ を $h$ に つい て 解とけ	両辺りょうへん を $\pi r^2$ で わる: $h=\frac{V}{\pi r^2}$

大事だいじ: 等式とうしき の 変形へんけい は 方程式ほうていしき を 解とく の と 同おなじ 操作そうさ。 求もとめる 文字もじ を 「左辺さへん へ、 1 つ だけ」 残のこす。

やって みよう: $a=bc+d$ を $c$ に つい て 解とけ。 (答こたえ: $c=\frac{a-d}{b}$)

5. 整数せいすう の 性質せいしつ を 探さぐる (発展はってん)

「連続れんぞく整数せいすう の 積せき」

連続れんぞく する 2 つ の 整数せいすう の 積$n(n+1)$ は 必かならず 偶数ぐうすう で ある。 理由りゆう: $n$ と $n+1$ の どちら か が 必かならず 偶数ぐうすう だ から。

文字もじ で 説明せつめい:

• $n$ が 偶数ぐうすう なら $n=2m$ → $n(n+1)=2m(n+1)$ は 偶数ぐうすう。
• $n$ が 奇数きすう なら $n+1$ が 偶数ぐうすう → $(n+1)=2m$ で $n(n+1)=2mn$ は 偶数ぐうすう。 ☐

「3 連続れんぞく の 積せき」

連続れんぞく する 3 つ の 整数せいすう の 積$n(n+1)(n+2)$ は 必かならず 6 の 倍数ばいすう で ある。 (3 つ の うち 必かならず 偶数ぐうすう が 1 つ 以上いじょう + 3 の 倍数ばいすう が 1 つ ある ため。 中学ちゅうがく で は 表ひょう や 例れい で 確認かくにん する 程度ていど で よい)

まとめ

• 偶数ぐうすう = $2n$、 奇数きすう = $2n+1$、 連続れんぞく整数せいすう は まんなか を 文字もじ に
• 「数かず の 性質せいしつ を 説明せつめい」 = ① 文字もじ で 設定せってい ② 計算けいさん ③ 結論けつろん を 言葉ことば で
• 規則性きそくせい は 表ひょう を 作つくって 差さ を 見みる → $\square n+△$ の 形かたち を 探さがす
• 等式 の 変形とうしき の へんけい は 方程式ほうていしき を 解とく の と 同おなじ 手順てじゅん
• 文字もじ式しき は 「計算けいさん の 道具どうぐ」 + 「説明せつめい の 道具どうぐ」 の 二に役やく