一いち次じ方程式ほうていしき

この 章しょう で 学まなぶ こと

「ある 数かず を $x$ と おく と、 $2x+3=11$ に なる。 この $x$ を 知しりたい」 — そんな とき に 使つかう 強力きょうりょく な 道具どうぐ が 一次方程式いちじほうていしき です。

• 等式とうしき と 方程式ほうていしき の ちがい を 知しる
• 等式とうしき の 性質せいしつ (両辺りょうへん に 同おなじ 数かず を たす・ひく・かける・わる) を 理解りかい する
• 移項いこう の しくみ を 身み に つける
• 1 元もと 1 次じ方程式ほうていしき の 標準ひょうじゅん的てき な 解とき方かた を 身み に つける
• カッコ・分数ぶんすう・小数しょうすう を ふくむ 方程式ほうていしき を 解とく
• 解かい を 必かならず 検算けんざん する
• 文章ぶんしょう題だい を 方程式ほうていしき を 立たてて 解とく 5 ステップ を 身み に つける

ポイント: 「等式とうしき の 両辺りょうへん を 同おなじ よう に 動うごかして $x=$ … の 形かたち を 作つくる」 — これ が 方程式ほうていしき の 本質ほんしつ。 移項いこう は その 動うごき を 早はやく する 「ショートカット」 です。

1. 等式とうしき と 方程式ほうていしき

等式とうしき と は

= で むすばれた 式しき を 等式とうしき と いい ます。

$3+5=8,2x+1=7,a+b=b+a$

方程式ほうていしき と は

文字もじ を ふくむ 等式とうしき の うち、 その 文字もじ に 特定とくてい の 値ね を 代入だいにゅう した とき だけ 等式とうしき が 成なり立たつ もの を 方程式ほうていしき と いい、 その 値ね を 解かい と いい ます。

$2x+1=7⟹x=3 の とき だけ 成り立つ$

式しき	種類しゅるい	説明せつめい
$3+5=8$	等式とうしき	文字もじ が ない
$2x+1=2x+1$	等式とうしき (恒等こうとう式しき)	$x$ が どんな 値ね でも 成なり立たつ
$2x+1=7$	方程式ほうていしき	$x=3$ の とき だけ 成なり立たつ

大事だいじ: 「方程式ほうていしき を 解とく」 と は 「解かい を すべて 求もとめる」 こと。

2. 等式とうしき の 性質せいしつ

等式とうしき は てんびん に たとえる と わかり やすい です。 両辺りょうへん に 同おなじ こと を すれば、 つりあい は くずれ ません。

性質せいしつ	言い方いかた	式しき
① 加法かほう	両辺りょうへん に 同おなじ 数かず を たして も 等ひとしい	$a=b\Rightarrow a+c=b+c$
② 減法げんぽう	両辺りょうへん から 同おなじ 数かず を ひいて も 等ひとしい	$a=b\Rightarrow a-c=b-c$
③ 乗法じょうほう	両辺りょうへん に 同おなじ 数かず を かけて も 等ひとしい	$a=b\Rightarrow ac=bc$
④ 除法じょほう	両辺りょうへん を 同おなじ $0$ で ない 数かず で わって も 等ひとしい	$a=b\Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{c}$ ($c\ne 0$)

例題れいだい

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
$x-3=5$ を 解とけ	両辺りょうへん に $3$ を たす: $x=5+3=8$
$x+4=9$ を 解とけ	両辺りょうへん から $4$ を ひく: $x=9-4=5$
$3x=12$ を 解とけ	両辺りょうへん を $3$ で わる: $x=12÷3=4$
$\frac{x}{5}=2$ を 解とけ	両辺りょうへん に $5$ を かける: $x=2\times 5=10$

やって みよう: $-2x=8$ を 解とけ。 (答こたえ: 両辺りょうへん を $-2$ で わって $x=-4$)

3. 移項いこう

移項いこう と は

= の 一方いっぽう の 辺あたり に ある 項こう を、 符号ふごう を 変かえて もう 一方いっぽう の 辺あたり に うつす こと を 移項いこう と いい ます。

$x+5=8⟹x=8-5⟹x=3$

これ は 「両辺りょうへん から $5$ を ひく」 操作そうさ と 同おなじ こと。 移項いこう は 等式とうしき の 性質せいしつ の ショートカット です。

移項いこう する 項こう	符号ふごう の 変化へんか
$+5$	$-5$ に なる
$-7$	$+7$ に なる
$+3x$	$-3x$ に なる

例題れいだい

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
$2x+3=11$	$+3$ を 移項いこう: $2x=11-3=8$、 両辺りょうへん を 2 で わる: $x=4$
$5x=2x+9$	$2x$ を 移項いこう: $5x-2x=9$、 $3x=9$、 $x=3$
$4x-7=-3$	$-7$ を 移項いこう: $4x=-3+7=4$、 $x=1$

やって みよう: $3x-5=x+7$ を 解とけ。 (答こたえ: $2x=12$、 $x=6$)

4. 一いち次じ方程式ほうていしき を 解とく 手順てじゅん

標準ひょうじゅん的てき な 5 ステップ

1. カッコ を はずす (分配ぶんぱい法則ほうそく)
2. 分数ぶんすう・小数しょうすう は はらう (両辺りょうへん に 数かず を かける)
3. $x$ を ふくむ 項こう を 左辺さへん へ、 数かず だけ の 項こう を 右辺うへん へ 移項いこう
4. 同類項どうるいこう を まとめる ($ax=b$ の 形かたち に)
5. 両辺りょうへん を $x$ の 係数けいすう で わる ($x=\frac{b}{a}$)

カッコ を ふくむ 例

$3(x-2)=x+4$

ステップ 1: カッコ を はずす → $3x-6=x+4$ ステップ 3: $x$ を 左ひだり、 数かず を 右みぎ → $3x-x=4+6$ ステップ 4: $2x=10$ ステップ 5: $x=5$

分数ぶんすう を ふくむ 例

$\frac{x}{2}+1=\frac{x}{3}+2$

両辺りょうへん に 分母ぶんぼ の 最小公倍数さいしょうこうばいすう $6$ を かけて 分数ぶんすう を はらう:

$3x+6=2x+12$ $3x-2x=12-6$ $x=6$

小数しょうすう を ふくむ 例

$0.3x+0.5=1.4$

両辺りょうへん に $10$ を かけて 整数せいすう化か:

$3x+5=14,3x=9,x=3$

やって みよう: $\frac{x-1}{2}=\frac{x+5}{4}$ を 解とけ。 ヒント: 両辺りょうへん に 4 を かけて、 $2(x-1)=x+5$。 (答こたえ: $x=7$)

5. 解かい の 検算けんざん

求もとめた 解かい が 正ただしい か は、 もと の 方程式ほうていしき に 代入だいにゅう して 確たしかめ ます。

例れい: $2x+3=11$ で $x=4$ と 出でた なら、 左辺さへん = $2\times 4+3=11$、 右辺うへん = $11$、 両辺りょうへん が 等ひとしい の で 正ただしい。

大事だいじ: テスト で は 必かならず 検算けんざん する。 1 ヶ所かしょ の 符号ふごう ミス で 全ぜん問もん不ふ正解せいかい に なる の を 防ふせぐ。

6. 文章ぶんしょう題だい を 方程式ほうていしき で 解とく

5 ステップ

1. 何なに を $x$ と おく か を 決きめる
2. 問題もんだい の 関係かんけい を 文ぶん で 書かく
3. 方程式ほうていしき を 立たてる
4. 方程式ほうていしき を 解とく
5. 問題もんだい の 答こたえ に 合あう か 検算けんざん + 単位たんい を つけて 答こたえる

例題れいだい 1: 個数こすう と 代金だいきん

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
1 個こ 80 円えん の りんご と 1 個こ 60 円えん の みかん を あわせて 12 個こ買かい、 代金だいきん が 880 円えん だった。 りんご は 何なん個こ か。	りんご を $x$個 と おく と、 みかん は $(12-x)$個。 代金だいきん: $80x+60(12-x)=880$。 $80x+720-60x=880$、 $20x=160$、 $x=8$。 答こたえ: りんご 8 個こ

例題れいだい 2: 速はやさ・時間じかん・きょり

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
A さん は 家いえ から 駅えき まで 時速じそく 4 km で 歩あるく と 30 分ぶん おそく 着つき、 時速じそく 6 km で 走はしる と 10 分ぶん早はやく 着つく。 駅えき まで の きょり を 求もとめよ。	きょり $x$ km、 「ちょうど の 時間じかん」 を $t$時間じかん と する と、 $\frac{x}{4}=t+\frac{30}{60}$、 $\frac{x}{6}=t-\frac{10}{60}$。 引ひき算ざん: $\frac{x}{4}-\frac{x}{6}=\frac{40}{60}=\frac{2}{3}$。 両辺りょうへん 12 倍ばい: $3x-2x=8$、 $x=8$。 答こたえ: 8 km

例題れいだい 3: 年齢ねんれい の 問題もんだい

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
父ちち は 今いま 42 才さい、 子こ は 12 才さい。 父ちち の 年齢ねんれい が 子こ の 年齢ねんれい の 3 倍ばい に なる の は 何なん年ねん後ご か。	$x$年ねん後ご と おく: $42+x=3(12+x)$。 $42+x=36+3x$、 $-2x=-6$、 $x=3$。 答こたえ: 3 年ねん後ご

やって みよう: 連続れんぞく する 3 つ の 整数せいすう の 和わ が 75 で ある とき、 まんなか の 数かず は いくつ か。 (答こたえ: まんなか を $x$ と おく → $(x-1)+x+(x+1)=75$、 $3x=75$、 $x=25$)

まとめ

• 方程式ほうていしき は 「文字もじ が 特定とくてい の 値ね の とき だけ 成なり立たつ 等式とうしき」、 その 値ね が 解かい
• 等式とうしき の 性質せいしつ: 両辺りょうへん に 同おなじ 操作そうさ を して も 等ひとしい
• 移項いこう: 符号ふごう を 変かえて 反対はんたい の 辺あたり に うつす
• 解とく 5 ステップ: カッコ を はずす → 分数ぶんすう・小数しょうすう を はらう → 移項いこう → まとめる → 係数けいすう で わる
• 検算けんざん を 必かならず する (もと の 式しき に 代入だいにゅう)
• 文章ぶんしょう題だい は 「何なに を $x$ と おく か」 を 決きめ、 関係かんけい を 式しき に する