一いち次じ方程式ほうていしき

この章しょうで学まなぶこと

「ある数かずを $x$ とおくと、 $2x+3=11$ になる。 この $x$ を知しりたい」 — そんなときに使つかう強力きょうりょくな道具どうぐが 一次方程式いちじほうていしき です。

• 等式とうしき と 方程式ほうていしき のちがいを知しる
• 等式の性質とうしきのせいしつ (両辺へんに同おなじ数かずをたす・ひく・かける・わる) を理解りかいする
• 移項いこう のしくみを身みにつける
• 1 元もと 1 次じ方程式ほうていしきの標準ひょうじゅん的てきな解とき方かたを身みにつける
• カッコ・分数ぶんすう・小数しょうすうをふくむ方程式ほうていしきを解とく
• 解かいを必かならず 検算けんざん する
• 文章ぶんしょう題だいを 方程式ほうていしきを立たてて 解とく 5 ステップを身みにつける

ポイント: 「等式とうしきの両辺りょうへんを同おなじように動うごかして $x=$ … の形かたちを作つくる」 — これが方程式ほうていしきの本質ほんしつ。 移項こうはその動うごきを早はやくする 「ショートカット」 です。

1. 等式とうしきと方程式ほうていしき

等式とうしきとは

= でむすばれた式しきを 等式とうしき といいます。

$3+5=8,2x+1=7,a+b=b+a$

方程式ほうていしきとは

文字もじをふくむ等式とうしきのうち、 その文字もじに 特定とくていの値あたいを代入だいにゅうしたときだけ 等式とうしきが成なり立たつものを 方程式ほうていしき といい、 その値あたいを 解かい といいます。

$2x+1=7⟹x=3 の とき だけ 成り立つ$

式しき	種類しゅるい	説明せつめい
$3+5=8$	等式とうしき	文字もじがない
$2x+1=2x+1$	等式とうしき (恒等こうとう式しき)	$x$ がどんな値あたいでも成なり立たつ
$2x+1=7$	方程式ほうていしき	$x=3$ のときだけ成なり立たつ

大事だいじ: 「方程式ほうていしきを解とく」 とは 「解かいをすべて求もとめる」 こと。

2. 等式とうしきの性質せいしつ

等式とうしきは てんびん にたとえるとわかりやすいです。 両辺りょうへんに同おなじことをすれば、 つりあいはくずれません。

性質せいしつ	言いい方かた	式しき
① 加法かほう	両辺りょうへんに同おなじ数かずをたしても等ひとしい	$a=b\Rightarrow a+c=b+c$
② 減法げんぽう	両辺りょうへんから同おなじ数かずをひいても等ひとしい	$a=b\Rightarrow a-c=b-c$
③ 乗法じょうほう	両辺りょうへんに同おなじ数かずをかけても等ひとしい	$a=b\Rightarrow ac=bc$
④ 除法じょほう	両辺りょうへんを同おなじ $0$ でない数かずでわっても等ひとしい	$a=b\Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{c}$ ($c\ne 0$)

例題れいだい

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
$x-3=5$ を解とけ	両辺りょうへんに $3$ をたす: $x=5+3=8$
$x+4=9$ を解とけ	両辺りょうへんから $4$ をひく: $x=9-4=5$
$3x=12$ を解とけ	両辺りょうへんを $3$ でわる: $x=12÷3=4$
$\frac{x}{5}=2$ を解とけ	両辺りょうへんに $5$ をかける: $x=2\times 5=10$

やってみよう: $-2x=8$ を解とけ。 (答えこたえ: 両辺りょうへんを $-2$ でわって $x=-4$)

3. 移項いこう

移項いこうとは

= の一方いっぽうの辺へんにある項こうを、 符号ふごうを変かえて もう一方いっぽうの辺へんにうつすことを 移項いこう といいます。

$x+5=8⟹x=8-5⟹x=3$

これは 「両辺りょうへんから $5$ をひく」 操作そうさと同おなじこと。 移項いこうは 等式とうしきの性質せいしつのショートカット です。

移項いこうする項こう	符号ふごうの変化へんか
$+5$	$-5$ になる
$-7$	$+7$ になる
$+3x$	$-3x$ になる

例題れいだい

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
$2x+3=11$	$+3$ を移項いこう: $2x=11-3=8$、 両辺りょうへんを 2 でわる: $x=4$
$5x=2x+9$	$2x$ を移項いこう: $5x-2x=9$、 $3x=9$、 $x=3$
$4x-7=-3$	$-7$ を移項いこう: $4x=-3+7=4$、 $x=1$

やってみよう: $3x-5=x+7$ を解とけ。 (答えこたえ: $2x=12$、 $x=6$)

4. 一いち次じ方程式ほうていしきを解とく手順てじゅん

標準ひょうじゅん的てきな 5 ステップ

1. カッコをはずす (分配ぶんぱい法則ほうそく)
2. 分数ぶんすう・小数しょうすうははらう (両辺りょうへんに数かずをかける)
3. $x$ をふくむ項こうを左辺さへんへ、 数かずだけの項こうを右辺うへんへ 移項いこう
4. 同類項どうるいこうをまとめる ($ax=b$ の形かたちに)
5. 両辺りょうへんを $x$ の係数けいすうでわる ($x=\frac{b}{a}$)

カッコをふくむ例

$3(x-2)=x+4$

ステップ 1: カッコをはずす → $3x-6=x+4$ ステップ 3: $x$ を左ひだり、 数かずを右みぎ → $3x-x=4+6$ ステップ 4: $2x=10$ ステップ 5: $x=5$

分数ぶんすうをふくむ例

$\frac{x}{2}+1=\frac{x}{3}+2$

両辺りょうへんに 分母ぶんぼの最小公倍数さいしょうこうばいすう $6$ をかけて分数ぶんすうをはらう:

$3x+6=2x+12$ $3x-2x=12-6$ $x=6$

小数しょうすうをふくむ例

$0.3x+0.5=1.4$

両辺りょうへんに $10$ をかけて整数せいすう化か:

$3x+5=14,3x=9,x=3$

やってみよう: $\frac{x-1}{2}=\frac{x+5}{4}$ を解とけ。 ヒント: 両辺りょうへんに 4 をかけて、 $2(x-1)=x+5$。 (答えこたえ: $x=7$)

5. 解かいの検算けんざん

求もとめた解かいが正ただしいかは、 もとの方程式ほうていしきに代入だいにゅう して確たしかめます。

例れい: $2x+3=11$ で $x=4$ と出でたなら、 左辺さへん = $2\times 4+3=11$、 右辺うへん = $11$、 両辺りょうへんが等ひとしいので正ただしい。

大事だいじ: テストでは必かならず検算けんざんする。 1 ヶ所かしょの符号ふごうミスで全ぜん問もん不ふ正解せいかいになるのを防ふせぐ。

6. 文章ぶんしょう題だいを方程式ほうていしきで解とく

5 ステップ

1. 何なにを $x$ とおくか を決きめる
2. 問題もんだいの関係かんけいを文ぶんで書かく
3. 方程式ほうていしきを立たてる
4. 方程式ほうていしきを解とく
5. 問題もんだいの答えこたえに合あうか検算けんざん + 単位たんいをつけて答こたえる

例題れいだい 1: 個数こすうと代金だいきん

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
1 個こ 80 円えんのりんごと 1 個こ 60 円えんのみかんをあわせて 12 個こ買かい、 代金だいきんが 880 円えんだった。 りんごは何なん個こか。	りんごを $x$個とおくと、 みかんは $(12-x)$個。 代金だいきん: $80x+60(12-x)=880$。 $80x+720-60x=880$、 $20x=160$、 $x=8$。 答えこたえ: りんご 8 個こ

例題れいだい 2: 速はやさ・時間じかん・きょり

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
A さんは家いえから駅えきまで時速じそく 4 km で歩あるくと 30 分ぶんおそく着つき、 時速じそく 6 km で走はしると 10 分ぶん早はやく着つく。 駅えきまでのきょりを求もとめよ。	きょり $x$ km、 「ちょうどの時間じかん」 を $t$時間じかんとすると、 $\frac{x}{4}=t+\frac{30}{60}$、 $\frac{x}{6}=t-\frac{10}{60}$。 引ひき算ざん: $\frac{x}{4}-\frac{x}{6}=\frac{40}{60}=\frac{2}{3}$。 両辺りょうへん 12 倍ばい: $3x-2x=8$、 $x=8$。 答えこたえ: 8 km

例題れいだい 3: 年齢ねんれいの問題もんだい

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
父ちちは今いま 42 才さい、 子こは 12 才さい。 父ちちの年齢ねんれいが子この年齢ねんれいの 3 倍ばいになるのは何なん年ねん後ごか。	$x$年ねん後ごとおく: $42+x=3(12+x)$。 $42+x=36+3x$、 $-2x=-6$、 $x=3$。 答えこたえ: 3 年ねん後ご

やってみよう: 連続れんぞくする 3 つの整数せいすうの和わが 75 であるとき、 まんなかの数かずはいくつか。 (答えこたえ: まんなかを $x$ とおく → $(x-1)+x+(x+1)=75$、 $3x=75$、 $x=25$)

まとめ

• 方程式ほうていしき は 「文字もじが特定とくていの値あたいのときだけ成なり立たつ等式とうしき」、 その値あたいが 解かい
• 等式の性質とうしきのせいしつ: 両辺りょうへんに同おなじ操作そうさをしても等ひとしい
• 移項いこう: 符号ふごうを変かえて反対はんたいの辺へんにうつす
• 解とく 5 ステップ: カッコをはずす → 分数ぶんすう・小数しょうすうをはらう → 移項いこう → まとめる → 係数けいすうでわる
• 検算けんざん を必かならずする (もとの式しきに代入だいにゅう)
• 文章ぶんしょう題だいは 「何なにを $x$ とおくか」 を決きめ、 関係かんけいを式しきにする