この 章 で 学ぶ こと
数 の かわり に 文字 を 使う と、 たくさん の 数 を 1 つ の 式 で あらわせ ます。 これ が 中学数学 で 一番大きな ステップ です。
- 数 の かわり に 文字 を 使う よさ を 知る
- 文字式 の 書き方 の きまり を 身 に つける
- 文字 に 数 を 代入 して 式 の 値 を 求められる
- 項 と 係数 を 区別 できる
- 同類項 を まとめて 式 を 簡単 に できる
- 文字式 の 加減 と、 数 を かけ る 計算 が できる
ポイント: 1 個 100 円 の りんご を x個買う と、 代金 は 100imesx円 = 100x円。 1 つ の 式 で 「何個買って も」 通用 する 表現 が できる の が 文字 の 力 です。
1. 文字を使った式
数 の かわり に 文字 を 使う
「鉛筆 1 本 80 円。 x本買う と 代金 は いくら か」 と いう とき、 代金 は
80imesx=80xext(円)
と 書け ます。 x が 3 なら 240 円、 x が 5 なら 400 円。 文字 を 使う と どんな 個数 でも 1 つ の 式 で 表現 できます。
文字式 の 表し 方 (きまり)
| ルール | 例 | 注意 |
|---|
| かけ算 の imes は 省略 | aimesb=ab | 順番 は アルファベット 順 が ふつう |
| 数 と 文字 の 積 は 数 を 先 | ximes5=5x | x5 と は 書か ない |
| 1 や −1 の 係数 は 省略 | 1imesa=a、 −1imesa=−a | 1a と は 書か ない |
| 累乗 は 指数 で | aimesa=a2、 aimesaimesa=a3 | |
| わり算 は 分数 で | adiv3=dfraca3 | adivb=dfracab |
例題
| 式 (もと) | 文字式 の きまり に したがう |
|---|
| aimes3 | 3a |
| yimesyimesy | y3 |
| ximes(−2) | −2x |
| (a+b)imes4 | 4(a+b) |
| 5divx | dfrac5x |
やって みよう: bimesaimes(−1) を 文字式 の きまり で 書け。 (答え: −ab)
2. 数量 を 文字式 で 表す
言葉 を 式 に なおす
| 場面 | 文字式 |
|---|
| 1 個x円 の りんご 5 個 の 代金 | 5x円 |
| 1 本a円 の えんぴつ を b本買う 代金 | ab円 |
| 時速v km で t時間走った きょり | vt km |
| a個 ある りんご を 5人 で 等しく 分ける と 1 人 | dfraca5個 |
| x の 20 | dfrac20100x=dfrac15x=0.2x |
大事: 「は や さ」 ・ 「割合」 ・ 「単位換算」 は 文字式 で 書く と 公式 と して 整理 し やすい。
例題
例題
| 問題 | 解法 |
|---|
| 1 個a円 の パン を 3 個 と、 1 個b円 の ジュース を 2 個買った。 代金 を 文字式 で あらわせ。 | パン: 3a円、 ジュース: 2b円、 合計3a+2b円 |
| x km の 道 を 時速4 km で 歩いた。 かかった 時間 を 文字式 で 表せ。 | 時間 = きょり div はやさ = dfracx4時間 |
やって みよう: 「a円 の 品物 を 30引き で 買った とき の 代金」 を 文字式 で 表せ。 (答え: a−0.3a=0.7a円)
3. 代入 と 式 の 値
文字 に 数 を あてはめる こと を 代入 と いい、 その とき に 計算 した 数 を 式 の 値 と いいます。
例題
| 問題 | 解法 |
|---|
| x=3 の とき、 2x+5 の 値 を 求めよ。 | 2imes3+5=6+5=11 |
| x=−2 の とき、 3x−4 の 値 を 求めよ。 | 3imes(−2)−4=−6−4=−10 |
| a=−1 の とき、 a2+2a の 値 を 求めよ。 | (−1)2+2imes(−1)=1−2=−1 |
大事: 負 の 数 を 代入 する とき は 必ず カッコ を つけ て 書く。 x2 に x=−3 を 代入 する と (−3)2=9 で あって、 −32=−9 で は ない。
やって みよう: a=4,b=−2 の とき、 a+3b の 値 を 求めよ。 (答え: 4+3imes(−2)=−2)
4. 項 と 係数
項 の 見つけ方
加法 (たし算) で 結ばれた 1 つ ひとつ の まとまり を 項 と いいます。
| 式 | 項 |
|---|
| 3x+5 | 3x、 5 |
| 4a−7b+2 | 4a、 −7b、 2 |
| −x+6y−9 | −x、 6y、 −9 |
係数 と は
文字 を ふくむ 項 で、 文字 の 前 に ある 数 を その 文字 の 係数 と いい ます。
| 項 | 文字 | 係数 |
|---|
| 5x | x | 5 |
| −7y | y | −7 |
| a | a | 1 (省略 されて いる) |
| −b | b | −1 |
| dfracx3 | x | dfrac13 |
大事: 係数 は 符号 こみ で 答える。 −7y の 係数 は −7 で あって 7 で は ない。
5. 同類項 を まとめる
同類項 と は
文字 の 部分 が まったく 同じ 項 (3x と −2x など) を 同類項 と いい ます。 同類項 は 1 つ に まとめられ ます。
3x+5x=(3+5)x=8x
7a−4a=(7−4)a=3a
3x+2yquad(ext同類項ではないのでまとめられない)
例題
| 問題 | 解法 |
|---|
| 4x+3+2x−8 | x どうし: 4x+2x=6x、 数 どうし: 3−8=−5、 答え 6x−5 |
| 5a−7b+3a+4b | a: 5a+3a=8a、 b: −7b+4b=−3b、 答え 8a−3b |
| 2x+3−(x−5) | カッコ を はずす: 2x+3−x+5=x+8 |
大事: カッコ の 前 が マイナス の とき、 カッコ を はずす と 中 の 符号 が すべて ひっくり返る。 例: −(x−5)=−x+5。
やって みよう: 6x−4−3x+9 を 簡単 に せよ。 (答え: 3x+5)
6. 文字式 と 数 の 計算
数 を かける 計算
3imes(2x+5)=3imes2x+3imes5=6x+15
これ を 分配法則 と いい ます。 すべて の 項 に かけ ます。
例題
| 問題 | 解法 |
|---|
| 4(x−3) | 4imesx+4imes(−3)=4x−12 |
| −2(3a+5) | −2imes3a+(−2)imes5=−6a−10 |
| (8x−12)div4 | dfrac8x4−dfrac124=2x−3 |
加減 が 混じった 計算
2(3x−1)+3(x+4)=6x−2+3x+12=9x+10
やって みよう: 5(x−2)−2(x+1) を 計算 せよ。 (答え: 3x−12)
まとめ
- 数 の かわり に 文字 を 使う と、 量 の 関係 を 1 つ の 式 で 表せる
- かけ算 の imes は 省略、 数 は 文字 の 前、 累乗 は 指数 で
- 文字 に 数 を あてはめる こと を 代入、 結果 を 式 の 値
- たし算 で 結ばれた 各 まとまり が 項、 文字 の 前 の 数 が 係数 (符号 こみ)
- 同類項 は 文字部分 が 同じ 項。 係数 を たし合わせて 1 つ に まとめる
- カッコ の 前 が − なら、 はずした とき に 中 の 符号 が すべて 反転 する