文字もじと式しき — 文字もじ式しきの表あらわし方かた・代入だいにゅう・同類項どうるいこう

この章しょうで学まなぶこと

数かずのかわりに 文字もじ を使つかうと、 たくさんの数かずを 1 つの式しきであらわせます。 これが中学ちゅうがく数学すうがくで一番いちばん大おおきなステップです。

• 数かずのかわりに文字もじを使つかうよさを知しる
• 文字式もじしき の書かき方かたのきまりを身みにつける
• 文字もじに数かずを 代入だいにゅう して式しきの値ねを求もとめられる
• 項こう と 係数けいすう を区別くべつできる
• 同類項どうるいこう をまとめて式しきを簡単かんたんにできる
• 文字もじ式しきの加減かげんと、 数かずをかける計算けいさんができる

ポイント: 1 個こ 100 円えん のりんごを $x$個買かうと、 代金だいきんは $100imesx$円 = $100x$円。 1 つの式しきで 「何なん個こ買かっても」 通用つうようする表現ひょうげんができるのが文字もじの力ちからです。

1. 文字もじを使つかった式しき

数かずのかわりに文字もじを使つかう

「鉛筆えんぴつ 1 本ほん 80 円えん。 $x$本買かうと代金だいきんはいくらか」 というとき、 代金だいきんは

$80imesx=80xext\left(円\right)$

と書かけます。 $x$ が 3 なら 240 円えん、 $x$ が 5 なら 400 円えん。 文字もじを使つかうと どんな個数こすうでも 1 つの式しき で表現ひょうげんできます。

文字もじ式しきの表あらわし方かた (きまり)

ルール	例れい	注意ちゅうい
かけ算ざんの $imes$ は省略しょうりゃく	$aimesb=ab$	順番じゅんばんはアルファベット順じゅんがふつう
数かずと文字もじの積せきは数かずを先さき	$ximes5=5x$	$x5$ とは書かかない
$1$ や $-1$ の係数けいすうは省略しょうりゃく	$1imesa=a$、 $-1imesa=-a$	$1a$ とは書かかない
累乗るいじょう は 指数しすう で	$aimesa=a^2$、 $aimesaimesa=a^3$
わり算ざんは分数ぶんすうで	$adiv3=dfraca3$	$adivb=dfracab$

例題れいだい

式しき (もと)	文字もじ式しきのきまりにしたがう
$aimes3$	$3a$
$yimesyimesy$	$y^3$
$ximes(-2)$	$-2x$
$(a+b)imes4$	$4(a+b)$
$5divx$	$dfrac5x$

やってみよう: $bimesaimes(-1)$ を文字もじ式しきのきまりで書かけ。 (答えこたえ: $-ab$)

2. 数量すうりょうを文字もじ式しきで表あらわす

言葉ことばを式しきになおす

場面ばめん	文字もじ式しき
1 個$x$円のりんご 5 個この代金だいきん	$5x$円
1 本$a$円のえんぴつを $b$本買かう代金だいきん	$ab$円
時速じそく$v$ km で $t$ 時間じかん走はしったきょり	$vt$ km
$a$個あるりんごを $5$人で等ひとしく分わけると 1 人ひと	$dfraca5$個
$x$ の $20$	$dfrac20100x=dfrac15x=0.2x$

大事だいじ: 「はやさ」 ・ 「割合わりあい」 ・ 「単位たんい換算かんさん」 は文字もじ式しきで書かくと 公式こうしき として整理せいりしやすい。

例題れいだい

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
1 個$a$円のパンを 3 個こと、 1 個$b$円のジュースを 2 個こ買かった。 代金だいきんを文字もじ式しきであらわせ。	パン: $3a$円、 ジュース: $2b$円、 合計ごうけい$3a+2b$円
$x$ km の道みちを時速じそく$4$ km で歩あるいた。 かかった時間じかんを文字もじ式しきで表あらわせ。	時間じかん = きょり $div$ はやさ = $dfracx4$時間じかん

やってみよう: 「$a$円の品物しなものを $30$引ひきで買かったときの代金だいきん」 を文字もじ式しきで表あらわせ。 (答えこたえ: $a-0.3a=0.7a$円)

3. 代入だいにゅうと式しきの値ね

文字もじに数かずをあてはめることを 代入だいにゅう といい、 そのときに計算けいさんした数かずを 式しきの値ね といいます。

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
$x=3$ のとき、 $2x+5$ の値ねを求もとめよ。	$2imes3+5=6+5=11$
$x=-2$ のとき、 $3x-4$ の値ねを求もとめよ。	$3imes(-2)-4=-6-4=-10$
$a=-1$ のとき、 $a^2+2a$ の値ねを求もとめよ。	$(-1{)}^2+2imes(-1)=1-2=-1$

大事だいじ: 負まけの数かずを代入だいにゅうするときは 必かならずカッコ をつけて書かく。 $x^2$ に $x=-3$ を代入だいにゅうすると $(-3{)}^2=9$ であって、 $-3^2=-9$ ではない。

やってみよう: $a=4,b=-2$ のとき、 $a+3b$ の値ねを求もとめよ。 (答えこたえ: $4+3imes(-2)=-2$)

4. 項こうと係数けいすう

項こうの見みつけ方かた

加法かほう (たし算さん) で結むすばれた 1 つひとつのまとまり を 項こう といいます。

式しき	項こう
$3x+5$	$3x$、 $5$
$4a-7b+2$	$4a$、 $-7b$、 $2$
$-x+6y-9$	$-x$、 $6y$、 $-9$

係数けいすうとは

文字もじをふくむ項こうで、 文字もじの前まえにある数すう をその文字もじの 係数けいすう といいます。

項こう	文字もじ	係数けいすう
$5x$	$x$	$5$
$-7y$	$y$	$-7$
$a$	$a$	$1$ (省略しょうりゃくされている)
$-b$	$b$	$-1$
$dfracx3$	$x$	$dfrac13$

大事だいじ: 係数けいすうは 符号ふごうこみ で答こたえる。 $-7y$ の係数けいすうは $-7$ であって $7$ ではない。

5. 同類項どうるいこうをまとめる

同類項どうるいこうとは

文字もじの部分ぶぶんが まったく同おなじ 項こう ($3x$ と $-2x$ など) を 同類項どうるいこう といいます。 同類項どうるいこうは 1 つにまとめられます。

$3x+5x=(3+5)x=8x$ $7a-4a=(7-4)a=3a$ $3x+2yquad\left(ext同類項ではないのでまとめられない\right)$

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
$4x+3+2x-8$	$x$ どうし: $4x+2x=6x$、 数かずどうし: $3-8=-5$、 答えこたえ $6x-5$
$5a-7b+3a+4b$	$a$: $5a+3a=8a$、 $b$: $-7b+4b=-3b$、 答えこたえ $8a-3b$
$2x+3-(x-5)$	カッコをはずす: $2x+3-x+5=x+8$

大事だいじ: カッコの前まえが マイナス のとき、 カッコをはずすと中なかの符号ふごうが すべてひっくり返かえる。 例れい: $-(x-5)=-x+5$。

やってみよう: $6x-4-3x+9$ を簡単かんたんにせよ。 (答えこたえ: $3x+5$)

6. 文字もじ式しきと数かずの計算けいさん

数かずをかける計算けいさん

$3imes(2x+5)=3imes2x+3imes5=6x+15$

これを 分配法則ぶんぱいほうそく といいます。 すべての項こうにかけます。

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
$4(x-3)$	$4imesx+4imes(-3)=4x-12$
$-2(3a+5)$	$-2imes3a+(-2)imes5=-6a-10$
$(8x-12)div4$	$dfrac8x4-dfrac124=2x-3$

加減かげんが混まじった計算けいさん

$2(3x-1)+3(x+4)=6x-2+3x+12=9x+10$

やってみよう: $5(x-2)-2(x+1)$ を計算けいさんせよ。 (答えこたえ: $3x-12$)

まとめ

• 数かずのかわりに 文字もじ を使つかうと、 量りょうの関係かんけいを 1 つの式しきで表あらわせる
• かけ算ざんの $imes$ は省略しょうりゃく、 数かずは文字もじの前まえ、 累乗るいじょうは指数しすうで
• 文字もじに数かずをあてはめることを 代入だいにゅう、 結果けっかを 式しきの値ね
• たし算さんで結むすばれた各かくまとまりが 項こう、 文字もじの前まえの数かずが 係数けいすう (符号ふごうこみ)
• 同類項どうるいこう は文字もじ部分ぶぶんが同おなじ項こう。 係数けいすうをたし合あわせて 1 つにまとめる
• カッコの前まえが $-$ なら、 はずしたときに中なかの符号ふごうがすべて反転はんてんする