文字もじと式しき — 文字もじ式しきの表あらわし方かた・代入だいにゅう・同類項どうるいこう

この 章しょう で 学まなぶ こと

数かず の かわり に 文字もじ を 使つかう と、 たくさん の 数かず を 1 つ の 式しき で あらわせ ます。 これ が 中学ちゅうがく数学すうがく で 一番いちばん大おおきな ステップ です。

• 数かず の かわり に 文字もじ を 使つかう よさ を 知しる
• 文字式もじしき の 書かき方かた の きまり を 身み に つける
• 文字もじ に 数かず を 代入だいにゅう して 式しき の 値ね を 求もとめられる
• 項こう と 係数けいすう を 区別くべつ できる
• 同類項どうるいこう を まとめて 式しき を 簡単かんたん に できる
• 文字もじ式しき の 加減かげん と、 数かず を かけ る 計算けいさん が できる

ポイント: 1 個こ 100 円えん の りんご を $x$個買かう と、 代金だいきん は $100imesx$円 = $100x$円。 1 つ の 式しき で 「何なん個こ買かって も」 通用つうよう する 表現ひょうげん が できる の が 文字もじ の 力ちから です。

1. 文字もじを使つかった式しき

数かず の かわり に 文字もじ を 使つかう

「鉛筆えんぴつ 1 本ほん 80 円えん。 $x$本買かう と 代金だいきん は いくら か」 と いう とき、 代金だいきん は

$80imesx=80xext\left(円\right)$

と 書かけ ます。 $x$ が 3 なら 240 円えん、 $x$ が 5 なら 400 円えん。 文字もじ を 使つかう と どんな 個数こすう でも 1 つ の 式しき で 表現ひょうげん できます。

文字もじ式しき の 表あらわし 方かた (きまり)

ルール	例れい	注意ちゅうい
かけ算ざん の $imes$ は 省略しょうりゃく	$aimesb=ab$	順番じゅんばん は アルファベット 順じゅん が ふつう
数かず と 文字もじ の 積つむ は 数かず を 先さき	$ximes5=5x$	$x5$ と は 書かか ない
$1$ や $-1$ の 係数けいすう は 省略しょうりゃく	$1imesa=a$、 $-1imesa=-a$	$1a$ と は 書かか ない
累乗るいじょう は 指数しすう で	$aimesa=a^2$、 $aimesaimesa=a^3$
わり算ざん は 分数ぶんすう で	$adiv3=dfraca3$	$adivb=dfracab$

例題れいだい

式しき (もと)	文字もじ式しき の きまり に したがう
$aimes3$	$3a$
$yimesyimesy$	$y^3$
$ximes(-2)$	$-2x$
$(a+b)imes4$	$4(a+b)$
$5divx$	$dfrac5x$

やって みよう: $bimesaimes(-1)$ を 文字もじ式しき の きまり で 書かけ。 (答こたえ: $-ab$)

2. 数量すうりょう を 文字もじ式しき で 表あらわす

言葉ことば を 式しき に なおす

場面ばめん	文字もじ式しき
1 個$x$円 の りんご 5 個こ の 代金だいきん	$5x$円
1 本$a$円 の えんぴつ を $b$本買かう 代金だいきん	$ab$円
時速じそく$v$ km で $t$時間じかん走はしった きょり	$vt$ km
$a$個 ある りんご を $5$人 で 等ひとしく 分わける と 1 人ひと	$dfraca5$個
$x$ の $20$	$dfrac20100x=dfrac15x=0.2x$

大事だいじ: 「は や さ」 ・ 「割合わりあい」 ・ 「単位たんい換算かんさん」 は 文字もじ式しき で 書かく と 公式こうしき と して 整理せいり し やすい。

例題れいだい

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
1 個$a$円 の パン を 3 個こ と、 1 個$b$円 の ジュース を 2 個こ買かった。 代金だいきん を 文字もじ式しき で あらわせ。	パン: $3a$円、 ジュース: $2b$円、 合計ごうけい$3a+2b$円
$x$ km の 道みち を 時速じそく$4$ km で 歩あるいた。 かかった 時間じかん を 文字もじ式しき で 表あらわせ。	時間じかん = きょり $div$ はやさ = $dfracx4$時間じかん

やって みよう: 「$a$円 の 品物しなもの を $30$引ひき で 買かった とき の 代金だいきん」 を 文字もじ式しき で 表あらわせ。 (答こたえ: $a-0.3a=0.7a$円)

3. 代入だいにゅう と 式しき の 値ね

文字もじ に 数かず を あてはめる こと を 代入だいにゅう と いい、 その とき に 計算けいさん した 数かず を 式しき の 値ね と いいます。

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
$x=3$ の とき、 $2x+5$ の 値ね を 求もとめよ。	$2imes3+5=6+5=11$
$x=-2$ の とき、 $3x-4$ の 値ね を 求もとめよ。	$3imes(-2)-4=-6-4=-10$
$a=-1$ の とき、 $a^2+2a$ の 値ね を 求もとめよ。	$(-1{)}^2+2imes(-1)=1-2=-1$

大事だいじ: 負まけ の 数かず を 代入だいにゅう する とき は 必かならず カッコ を つけ て 書かく。 $x^2$ に $x=-3$ を 代入だいにゅう する と $(-3{)}^2=9$ で あって、 $-3^2=-9$ で は ない。

やって みよう: $a=4,b=-2$ の とき、 $a+3b$ の 値ね を 求もとめよ。 (答こたえ: $4+3imes(-2)=-2$)

4. 項こう と 係数けいすう

項こう の 見みつけ方かた

加法かほう (たし算さん) で 結むすばれた 1 つ ひとつ の まとまり を 項こう と いいます。

式しき	項こう
$3x+5$	$3x$、 $5$
$4a-7b+2$	$4a$、 $-7b$、 $2$
$-x+6y-9$	$-x$、 $6y$、 $-9$

係数けいすう と は

文字もじ を ふくむ 項こう で、 文字もじ の 前まえ に ある 数かず を その 文字もじ の 係数けいすう と いい ます。

項こう	文字もじ	係数けいすう
$5x$	$x$	$5$
$-7y$	$y$	$-7$
$a$	$a$	$1$ (省略しょうりゃく されて いる)
$-b$	$b$	$-1$
$dfracx3$	$x$	$dfrac13$

大事だいじ: 係数けいすう は 符号ふごう こみ で 答こたえる。 $-7y$ の 係数けいすう は $-7$ で あって $7$ で は ない。

5. 同類項どうるいこう を まとめる

同類項どうるいこう と は

文字もじ の 部分ぶぶん が まったく 同おなじ 項こう ($3x$ と $-2x$ など) を 同類項どうるいこう と いい ます。 同類項どうるいこう は 1 つ に まとめられ ます。

$3x+5x=(3+5)x=8x$ $7a-4a=(7-4)a=3a$ $3x+2yquad\left(ext同類項ではないのでまとめられない\right)$

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
$4x+3+2x-8$	$x$ どうし: $4x+2x=6x$、 数かず どうし: $3-8=-5$、 答こたえ $6x-5$
$5a-7b+3a+4b$	$a$: $5a+3a=8a$、 $b$: $-7b+4b=-3b$、 答こたえ $8a-3b$
$2x+3-(x-5)$	カッコ を はずす: $2x+3-x+5=x+8$

大事だいじ: カッコ の 前まえ が マイナス の とき、 カッコ を はずす と 中なか の 符号ふごう が すべて ひっくり返かえる。 例れい: $-(x-5)=-x+5$。

やって みよう: $6x-4-3x+9$ を 簡単かんたん に せよ。 (答こたえ: $3x+5$)

6. 文字もじ式しき と 数かず の 計算けいさん

数かず を かける 計算けいさん

$3imes(2x+5)=3imes2x+3imes5=6x+15$

これ を 分配法則ぶんぱいほうそく と いい ます。 すべて の 項こう に かけ ます。

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
$4(x-3)$	$4imesx+4imes(-3)=4x-12$
$-2(3a+5)$	$-2imes3a+(-2)imes5=-6a-10$
$(8x-12)div4$	$dfrac8x4-dfrac124=2x-3$

加減かげん が 混まじった 計算けいさん

$2(3x-1)+3(x+4)=6x-2+3x+12=9x+10$

やって みよう: $5(x-2)-2(x+1)$ を 計算けいさん せよ。 (答こたえ: $3x-12$)

まとめ

• 数かず の かわり に 文字もじ を 使つかう と、 量りょう の 関係かんけい を 1 つ の 式しき で 表あらわせる
• かけ算ざん の $imes$ は 省略しょうりゃく、 数かず は 文字もじ の 前まえ、 累乗るいじょう は 指数しすう で
• 文字もじ に 数かず を あてはめる こと を 代入だいにゅう、 結果けっか を 式しき の 値ね
• たし算さん で 結むすばれた 各かく まとまり が 項こう、 文字もじ の 前まえ の 数かず が 係数けいすう (符号ふごう こみ)
• 同類項どうるいこう は 文字もじ部分ぶぶん が 同おなじ 項こう。 係数けいすう を たし合あわせて 1 つ に まとめる
• カッコ の 前まえ が $-$ なら、 はずした とき に 中なか の 符号ふごう が すべて 反転はんてん する