平面へいめん図形づけい — 作図さくず・平行へいこう垂直すいちょく・図形づけいの移動いどう

この 章しょう で 学まなぶ こと

小学校しょうがっこう で 学まなんだ 図形づけい を、 中学ちゅうがく で は 記号きごう と 用語ようご で きちんと 整理せいり し、 さらに コンパス と 定規じょうぎ だけ で 図ず を かく (作図さくず) 力ちから を つけて いき ます。

• 直線ちょくせん・線分せんぶん・半直線はんちょくせん の ちがい を 区別くべつ できる
• 平行へいこう ・ 垂直すいちょく を 記号きごう で 表あらわす
• 円えん に 関かんする 用語ようご (弧こ・弦つる・中心角ちゅうしんかく) を 知しる
• 作図さくず の 基本きほん (垂直すいちょく二に等分とうぶん線せん、 角かくの二に等分とうぶん線せん、 垂線すいせん) が できる
• 平行移動へいこういどう・回転移動かいてんいどう・対称移動たいしょういどう で 図形づけい を 動うごかせる
• 線対称せんたいしょう と 点対称てんたいしょう を 区別くべつ できる

ポイント: 中学ちゅうがく の 図形づけい は 「コンパス と 定規じょうぎ だけ で 必要ひつよう な 線せん を 作つくれる」 こと が ゴール。 これ が 後ご の 証明しょうめい や 高校こうこう数学すうがく へ つながる 基礎きそ で す。

1. 直線ちょくせん・線分せんぶん・半はん直線ちょくせん

名前なまえ	記号きごう (例れい)	説明せつめい
**[[直線	ちょくせん]]**	直線ちょくせん$AB$
**[[線分	せんぶん]]**	線分せんぶん$AB$
**[[半直線	はんちょくせん]]**	半はん直線ちょくせん$AB$

線分せんぶん$AB$ の 長ながさ を $AB$ と 書かき ます (記号きごう が 同おなじ で も、 図形づけい か 長ながさ か は 文脈ぶんみゃく で 区別くべつ)。

角かく

頂点ちょうてん$O$ を 端はじ と する 2 つ の 半はん直線ちょくせん で 作つくる 図形づけい を 角かく と いい、 $\angle AOB$ で 表あらわし ます。

2. 平行へいこう と 垂直すいちょく

記号きごう

• 平行へいこう: 2 直線ちょくせん$\ell$、 $m$ が 平行へいこう → $\ell \parallel m$
• 垂直すいちょく: 2 直線ちょくせん$\ell$、 $m$ が 垂直すいちょく → $\ell \perp m$

距離きょり

距離きょり	定義ていぎ
点てん と 直線ちょくせん の きょり	点てん から 直線ちょくせん に おろした 垂線すいせん の 長ながさ
平行へいこう な 2 直線ちょくせん の きょり	一方いっぽう の 直線ちょくせん上じょう の 点てん から、 もう 一方いっぽう の 直線ちょくせん に おろした 垂線すいせん の 長ながさ

大事だいじ: 「点てん から 直線ちょくせん まで の 一番いちばん みじかい 道みちのり」 = 垂線すいせん の 長ながさ。

3. 円えん に 関かんする 用語ようご

用語ようご	記号きごう	説明せつめい
**[[弧	こ]]**	弧$AB$ ()
**[[弦	つる]]**	弦$AB$
**[[直径	ちょっけい]]**	—
**[[中心角	ちゅうしんかく]]**	$\angle AOB$
**[[接線	せっせん]]**	—

大事だいじ: 円えん の 接線せっせん は、 接点せってん を 通とおる 半径はんけい と 垂直すいちょく で ある。

4. 基本きほん の 作図さくず

中学ちゅうがく で は コンパス と 定規じょうぎ だけ を 使つかって 線せん を 引ひきます (定規じょうぎ の 目盛めもり は 使つかわ ない)。

① 垂直すいちょく二に等分とうぶん線せん

線分せんぶん$AB$ の 垂直二等分線すいちょくにとうぶんせん = $AB$ の まんなか を 通とおり、 $AB$ に 垂直すいちょく な 直線ちょくせん。

手順てじゅん	やる こと
①	$A$ を 中心ちゅうしん に、 $AB$ の 半分はんぶん より 大おおきい 半径はんけい で 円弧えんこ を かく
②	$B$ を 中心ちゅうしん に、 ① と 同おなじ 半径はんけい で 円弧えんこ を かく
③	2 つ の 円弧えんこ の 交点こうてん (上じょう と 下しも) を むすぶ

性質せいしつ: 垂直すいちょく二に等分とうぶん線上せんじょう の 点てん は、 $A$ と $B$ から の きょり が 等ひとしい。

② 角かく の 二に等分とうぶん線せん

$\angle XOY$ の 角の二等分線かくのにとうぶんせん = $\angle XOY$ を 半分はんぶん に 分わける 半はん直線ちょくせん。

手順てじゅん	やる こと
①	$O$ を 中心ちゅうしん に 円弧えんこ を かき、 $OX$、 $OY$ と の 交点こうてん を $P$、 $Q$ と する
②	$P$、 $Q$ を 中心ちゅうしん に 同おなじ 半径はんけい で 円弧えんこ を かき、 交点こうてん を $R$ と する
③	$O$ と $R$ を むすぶ

性質せいしつ: 角かくの二に等分とうぶん線上せんじょう の 点てん は、 角かく の 2 辺あたり から の きょり が 等ひとしい。

③ 垂線すいせん (点てん から 直線ちょくせん へ)

直線ちょくせん$\ell$上 に ない 点$P$ から $\ell$ へ の 垂線すいせん。

手順てじゅん	やる こと
①	$P$ を 中心ちゅうしん に 円弧えんこ を かき、 $\ell$ と の 交点こうてん を $A$、 $B$ と する
②	$A$、 $B$ を 中心ちゅうしん に 同おなじ 半径はんけい で 円弧えんこ を かき、 交点こうてん (も う 1 つ) を $C$ と する
③	$P$ と $C$ を むすぶ

やって みよう: 三角形さんかっけい$ABC$ の 3 辺あたり の 垂直すいちょく二に等分とうぶん線せん を 引ひく と、 1 点てん で 交まじわる。 その 点てん を 中心ちゅうしん に 円えん を かく と、 3 頂点ちょうてん を 通とおる 円えん (外接円がいせつえん) に な る。

5. 図形づけい の 移動いどう

① 平行へいこう移動いどう

図形づけい の すべて の 点てん を 同おなじ 方向ほうこう に 同おなじ 長ながさ だけ ずらす 動うごかし方かた。

性質せいしつ: 対応たいおう する 点てん を むすぶ 線分せんぶん は すべて 平行へいこう で 長ながさ が 等ひとしい。

② 回転かいてん移動いどう

ある 点てん (回転 の 中心かいてん の ちゅうしん) を 中心ちゅうしん に、 図形づけい を 同おなじ 角度かくど だけ 回まわす 動うごかし方かた。

性質せいしつ: 対応たいおう する 点てん と 中心ちゅうしん を むすぶ 線分せんぶん は 長ながさ が 等ひとしく、 中心ちゅうしん を はさむ 角度かくど は すべて 等ひとしい。

③ 対称たいしょう移動いどう

ある 直線ちょくせん (対称 の 軸たいしょう の じく) を おりめ に、 図形づけい を 折おり 返かえす 動うごかし方かた。

性質せいしつ: 対応たいおう する 2 点てん を むすぶ 線分せんぶん は、 対称たいしょう の 軸じく で 垂直すいちょく に 二に等分とうぶん さ れ る。

6. 線せん対称たいしょう と 点てん対称たいしょう

線せん対称たいしょう

1 本ほん の 直線ちょくせん で 折おり 返かえす と ぴったり 重かさなる 図形づけい を 線対称せんたいしょう な 図形づけい と いい、 その 直線ちょくせん を 対称軸たいしょうじく と いい ます。

図形づけい	対称たいしょう軸じく の 数かず
二等辺三角形にとうへんさんかっけい	1 本ほん
正三角形せいさんかっけい	3 本ほん
長方形ちょうほうけい	2 本ほん
正方形せいほうけい	4 本ほん
円えん	無数むすう

点てん対称たいしょう

1 つ の 点てん を 中心ちゅうしん に ${180}^{\circ }$回転かいてん する と ぴったり 重かさなる 図形づけい を 点対称てんたいしょう な 図形づけい と いい、 その 点てん を 対称 の 中心たいしょう の ちゅうしん と いい ます。

図形づけい	点てん対称たいしょう か
平行四辺形へいこうしへんけい	はい
長方形ちょうほうけい	はい
正方形せいほうけい	はい
正六角形せいろっかっけい	はい
二等辺三角形にとうへんさんかっけい (正三角形せいさんかっけい で ない)	いいえ

やって みよう: 「正三角形せいさんかっけい」 は 線せん対称たいしょう か 点てん対称たいしょう か。 (答こたえ: 線せん対称たいしょう のみ。 ${180}^{\circ }$回転かいてん して も もと に 重おもなら ない の で 点てん対称たいしょう で は ない)

まとめ

• 直線ちょくせん・線分せんぶん・半直線はんちょくせん は 「両端りょうたん が ある か」 「片方かたほう だけ か」 で 区別くべつ
• 平行へいこう $\parallel$、 垂直すいちょく $\perp$ の 記号きごう を 使つかう
• 円えん で は 弧こ・弦つる・中心角ちゅうしんかく・接線せっせん を 区別くべつ
• 作図さくず は コンパス と 定規じょうぎ だけ。 垂直すいちょく二に等分とうぶん線せん・角かくの二に等分とうぶん線せん・垂線すいせん が 基本きほん
• 図形づけい の 移動いどう は 平行移動へいこういどう・回転移動かいてんいどう・対称移動たいしょういどう の 3 種たね
• 線対称せんたいしょう = 折おって 重かさなる、 点対称てんたいしょう = ${180}^{\circ }$回まわして 重かさなる