平面へいめん図形ずけい — 作図さくず・平行へいこう垂直すいちょく・図形ずけいの移動いどう

この章しょうで学まなぶこと

小学校しょうがっこうで学まなんだ図形ずけいを、 中学ちゅうがくでは 記号きごうと用語ようごできちんと整理せいり し、 さらに コンパスと定規じょうぎだけで図ずをかく (作図さくず) 力ちからをつけていきます。

• 直線ちょくせん・線分せんぶん・半直線はんちょくせん のちがいを区別くべつできる
• 平行へいこう ・ 垂直すいちょく を記号きごうで表あらわす
• 円えん に関かんする用語ようご (弧こ・弦つる・中心角ちゅうしんかく) を知しる
• 作図さくず の基本きほん (垂直すいちょく二に等分とうぶん線せん、 角かくの二に等分とうぶん線せん、 垂線すいせん) ができる
• 平行移動へいこういどう・回転移動かいてんいどう・対称移動たいしょういどう で図形ずけいを動うごかせる
• 線対称せんたいしょう と 点対称てんたいしょう を区別くべつできる

ポイント: 中学ちゅうがくの図形ずけいは 「コンパスと定規じょうぎだけで必要ひつような線せんを作つくれる」 ことがゴール。 これが後ごの証明しょうめいや高校こうこう数学すうがくへつながる基礎きそです。

1. 直線ちょくせん・線分せんぶん・半はん直線ちょくせん

名前なまえ	記号きごう (例れい)	説明せつめい
直線ちょくせん	直線ちょくせん$AB$	2 点$A$、 $B$ を通とおる、 両側りょうがわに限かぎりなくのびる線せん
線分せんぶん	線分せんぶん$AB$	2 点$A$、 $B$ を結むすぶまっすぐな線せん (両端りょうたんあり)
半直線はんちょくせん	半はん直線ちょくせん$AB$	$A$ を端はじとし、 $B$ の方向ほうこうへ限かぎりなくのびる線せん

線分せんぶん $AB$ の長ながさを $AB$ と書かきます (記号きごうが同おなじでも、 図形ずけいか長ながさかは文脈ぶんみゃくで区別くべつ)。

角かく

頂点ちょうてん$O$ を端はじとする 2 つの半はん直線ちょくせんで作つくる図形ずけいを 角かく といい、 $\angle AOB$ で表あらわします。

2. 平行へいこうと垂直すいちょく

記号きごう

• 平行へいこう: 2 直線ちょくせん$\ell$、 $m$ が平行へいこう → $\ell \parallel m$
• 垂直すいちょく: 2 直線ちょくせん$\ell$、 $m$ が垂直すいちょく → $\ell \perp m$

距離きょり

距離きょり	定義ていぎ
点てんと直線ちょくせんのきょり	点てんから直線ちょくせんにおろした 垂線すいせん の長ながさ
平行へいこうな 2 直線ちょくせんのきょり	一方いっぽうの直線ちょくせん上じょうの点てんから、 もう一方いっぽうの直線ちょくせんにおろした垂線すいせんの長ながさ

大事だいじ: 「点てんから直線ちょくせんまでの一番いちばんみじかい道のりみちのり」 = 垂線すいせんの長ながさ。

3. 円えんに関かんする用語ようご

用語ようご	記号きごう	説明せつめい
弧こ	弧$AB$ ()	円えんの周しゅう上じょうの一部いちぶ
弦つる	弦$AB$	円えんの周しゅう上じょうの 2 点てんを結むすぶ線分せんぶん
直径ちょっけい	—	中心ちゅうしんを通とおる弦つる (一番いちばん長ながい弦つる)
中心角ちゅうしんかく	$\angle AOB$	弧$AB$ に対たいする、 中心ちゅうしん$O$ を頂点ちょうてんとする角かく
接線せっせん	—	円えんと 1 点てんだけで交まじわる直線ちょくせん

大事だいじ: 円えんの 接線せっせん は、 接点せってんを通とおる半径はんけいと 垂直すいちょく である。

4. 基本きほんの作図さくず

中学ちゅうがくではコンパスと定規じょうぎだけを使つかって線せんを引ひきます (定規じょうぎの目盛めもりは使つかわない)。

① 垂直すいちょく二に等分とうぶん線せん

線分せんぶん $AB$ の 垂直二等分線すいちょくにとうぶんせん = $AB$ のまんなかを通とおり、 $AB$ に垂直すいちょくな直線ちょくせん。

手順てじゅん	やること
①	$A$ を中心ちゅうしんに、 $AB$ の半分はんぶんより大おおきい半径はんけいで円弧えんこをかく
②	$B$ を中心ちゅうしんに、 ① と同おなじ半径はんけいで円弧えんこをかく
③	2 つの円弧えんこの交点こうてん (上うえと下した) をむすぶ

性質せいしつ: 垂直すいちょく二に等分とうぶん線上せんじょうの点てんは、 $A$ と $B$ からのきょりが等ひとしい。

② 角かくの二に等分とうぶん線せん

$\angle XOY$ の 角の二等分線かくのにとうぶんせん = $\angle XOY$ を半分はんぶんに分わける半はん直線ちょくせん。

手順てじゅん	やること
①	$O$ を中心ちゅうしんに円弧えんこをかき、 $OX$、 $OY$ との交点こうてんを $P$、 $Q$ とする
②	$P$、 $Q$ を中心ちゅうしんに同おなじ半径はんけいで円弧えんこをかき、 交点こうてんを $R$ とする
③	$O$ と $R$ をむすぶ

性質せいしつ: 角かくの二に等分とうぶん線上せんじょうの点てんは、 角かくの 2 辺あたりからのきょりが等ひとしい。

③ 垂線すいせん (点てんから直線ちょくせんへ)

直線ちょくせん$\ell$上にない点$P$ から $\ell$ への 垂線すいせん。

手順てじゅん	やること
①	$P$ を中心ちゅうしんに円弧えんこをかき、 $\ell$ との交点こうてんを $A$、 $B$ とする
②	$A$、 $B$ を中心ちゅうしんに同おなじ半径はんけいで円弧えんこをかき、 交点こうてん (もう 1 つ) を $C$ とする
③	$P$ と $C$ をむすぶ

やってみよう: 三角形さんかくけい$ABC$ の 3 辺あたりの垂直すいちょく二に等分とうぶん線せんを引ひくと、 1 点てんで交まじわる。 その点てんを中心ちゅうしんに円えんをかくと、 3 頂点ちょうてんを通とおる円えん (外接円がいせつえん) になる。

5. 図形ずけいの移動いどう

① 平行へいこう移動いどう

図形ずけいのすべての点てんを 同おなじ方向ほうこうに同おなじ長ながさ だけずらす動うごかし方かた。

性質せいしつ: 対応たいおうする点てんをむすぶ線分せんぶんは すべて平行へいこうで長ながさが等ひとしい。

② 回転かいてん移動いどう

ある点てん (回転の中心かいてんのちゅうしん) を中心ちゅうしんに、 図形ずけいを 同おなじ角度かくど だけ回まわす動うごかし方かた。

性質せいしつ: 対応たいおうする点てんと中心ちゅうしんをむすぶ線分せんぶんは 長ながさが等ひとしく、 中心ちゅうしんをはさむ角度かくどは すべて等ひとしい。

③ 対称たいしょう移動いどう

ある直線ちょくせん (対称の軸たいしょうのじく) をおりめに、 図形ずけいを折おり返かえす動うごかし方かた。

性質せいしつ: 対応たいおうする 2 点てんをむすぶ線分せんぶんは、 対称たいしょうの軸じくで 垂直すいちょくに二に等分とうぶん される。

6. 線せん対称たいしょうと点てん対称たいしょう

線せん対称たいしょう

1 本ほんの直線ちょくせんで折おり返かえすとぴったり重かさなる図形ずけいを 線対称せんたいしょう な図形ずけいといい、 その直線ちょくせんを 対称軸たいしょうじく といいます。

図形ずけい	対称たいしょう軸じくの数かず
二等辺三角形にとうへんさんかっけい	1 本ほん
正三角形せいさんかっけい	3 本ほん
長方形ちょうほうけい	2 本ほん
正方形せいほうけい	4 本ほん
円えん	無数むすう

点てん対称たいしょう

1 つの点てんを中心ちゅうしんに ${180}^{\circ }$回転かいてんするとぴったり重かさなる図形ずけいを 点対称てんたいしょう な図形ずけいといい、 その点てんを 対称の中心たいしょうのちゅうしん といいます。

図形ずけい	点てん対称たいしょうか
平行四辺形へいこうしへんけい	はい
長方形ちょうほうけい	はい
正方形せいほうけい	はい
正六角形せいろっかっけい	はい
二等辺三角形にとうへんさんかっけい (正三角形せいさんかっけいでない)	いいえ

やってみよう: 「正三角形せいさんかっけい」 は線せん対称たいしょうか点てん対称たいしょうか。 (答えこたえ: 線せん対称たいしょうのみ。 ${180}^{\circ }$回転かいてんしてももとに重かさならないので点てん対称たいしょうではない)

まとめ

• 直線ちょくせん・線分せんぶん・半直線はんちょくせん は 「両端りょうたんがあるか」 「片方かたほうだけか」 で区別くべつ
• 平行へいこう $\parallel$、 垂直すいちょく $\perp$ の記号きごうを使つかう
• 円えんでは 弧こ・弦つる・中心角ちゅうしんかく・接線せっせん を区別くべつ
• 作図さくず はコンパスと定規じょうぎだけ。 垂直すいちょく二に等分とうぶん線せん・角かくの二に等分とうぶん線せん・垂線すいせん が基本きほん
• 図形ずけいの移動いどうは 平行移動へいこういどう・回転移動かいてんいどう・対称移動たいしょういどう の 3 種たね
• 線対称せんたいしょう = 折おって重かさなる、 点対称てんたいしょう = ${180}^{\circ }$回まわして重かさなる