この 章 で 学ぶ こと
小学校 で 学んだ 図形 を、 中学 で は 記号 と 用語 で きちんと 整理 し、 さらに コンパス と 定規 だけ で 図 を かく (作図) 力 を つけて いき ます。
- 直線・線分・半直線 の ちがい を 区別 できる
- 平行 ・ 垂直 を 記号 で 表す
- 円 に 関する 用語 (弧・弦・中心角) を 知る
- 作図 の 基本 (垂直二等分線、 角の二等分線、 垂線) が できる
- 平行移動・回転移動・対称移動 で 図形 を 動かせる
- 線対称 と 点対称 を 区別 できる
ポイント: 中学 の 図形 は 「コンパス と 定規 だけ で 必要 な 線 を 作れる」 こと が ゴール。 これ が 後 の 証明 や 高校数学 へ つながる 基礎 で す。
1. 直線・線分・半直線
| 名前 | 記号 (例) | 説明 |
|---|
| **[[直線 | ちょくせん]]** | 直線AB |
| **[[線分 | せんぶん]]** | 線分AB |
| **[[半直線 | はんちょくせん]]** | 半直線AB |
線分AB の 長さ を AB と 書き ます (記号 が 同じ で も、 図形 か 長さ か は 文脈 で 区別)。
角
頂点O を 端 と する 2 つ の 半直線 で 作る 図形 を 角 と いい、 ∠AOB で 表し ます。
2. 平行 と 垂直
記号
- 平行: 2 直線ℓ、 m が 平行 → ℓ∥m
- 垂直: 2 直線ℓ、 m が 垂直 → ℓ⊥m
距離
| 距離 | 定義 |
|---|
| 点 と 直線 の きょり | 点 から 直線 に おろした 垂線 の 長さ |
| 平行 な 2 直線 の きょり | 一方 の 直線上 の 点 から、 もう 一方 の 直線 に おろした 垂線 の 長さ |
大事: 「点 から 直線 まで の 一番 みじかい 道のり」 = 垂線 の 長さ。
3. 円 に 関する 用語
| 用語 | 記号 | 説明 |
|---|
| **[[弧 | こ]]** | 弧AB (AB⌢) |
| **[[弦 | つる]]** | 弦AB |
| **[[直径 | ちょっけい]]** | — |
| **[[中心角 | ちゅうしんかく]]** | ∠AOB |
| **[[接線 | せっせん]]** | — |
大事: 円 の 接線 は、 接点 を 通る 半径 と 垂直 で ある。
4. 基本 の 作図
中学 で は コンパス と 定規 だけ を 使って 線 を 引きます (定規 の 目盛 は 使わ ない)。
① 垂直二等分線
線分AB の 垂直二等分線 = AB の まんなか を 通り、 AB に 垂直 な 直線。
| 手順 | やる こと |
|---|
| ① | A を 中心 に、 AB の 半分 より 大きい 半径 で 円弧 を かく |
| ② | B を 中心 に、 ① と 同じ 半径 で 円弧 を かく |
| ③ | 2 つ の 円弧 の 交点 (上 と 下) を むすぶ |
性質: 垂直二等分線上 の 点 は、 A と B から の きょり が 等しい。
② 角 の 二等分線
∠XOY の 角の二等分線 = ∠XOY を 半分 に 分ける 半直線。
| 手順 | やる こと |
|---|
| ① | O を 中心 に 円弧 を かき、 OX、 OY と の 交点 を P、 Q と する |
| ② | P、 Q を 中心 に 同じ 半径 で 円弧 を かき、 交点 を R と する |
| ③ | O と R を むすぶ |
性質: 角の二等分線上 の 点 は、 角 の 2 辺 から の きょり が 等しい。
③ 垂線 (点 から 直線 へ)
直線ℓ上 に ない 点P から ℓ へ の 垂線。
| 手順 | やる こと |
|---|
| ① | P を 中心 に 円弧 を かき、 ℓ と の 交点 を A、 B と する |
| ② | A、 B を 中心 に 同じ 半径 で 円弧 を かき、 交点 (も う 1 つ) を C と する |
| ③ | P と C を むすぶ |
やって みよう: 三角形ABC の 3 辺 の 垂直二等分線 を 引く と、 1 点 で 交わる。 その 点 を 中心 に 円 を かく と、 3 頂点 を 通る 円 (外接円) に な る。
5. 図形 の 移動
① 平行移動
図形 の すべて の 点 を 同じ 方向 に 同じ 長さ だけ ずらす 動かし方。
性質: 対応 する 点 を むすぶ 線分 は すべて 平行 で 長さ が 等しい。
② 回転移動
ある 点 (回転 の 中心) を 中心 に、 図形 を 同じ 角度 だけ 回す 動かし方。
性質: 対応 する 点 と 中心 を むすぶ 線分 は 長さ が 等しく、 中心 を はさむ 角度 は すべて 等しい。
③ 対称移動
ある 直線 (対称 の 軸) を おりめ に、 図形 を 折り 返す 動かし方。
性質: 対応 する 2 点 を むすぶ 線分 は、 対称 の 軸 で 垂直 に 二等分 さ れ る。
6. 線対称 と 点対称
線対称
1 本 の 直線 で 折り 返す と ぴったり 重なる 図形 を 線対称 な 図形 と いい、 その 直線 を 対称軸 と いい ます。
| 図形 | 対称軸 の 数 |
|---|
| 二等辺三角形 | 1 本 |
| 正三角形 | 3 本 |
| 長方形 | 2 本 |
| 正方形 | 4 本 |
| 円 | 無数 |
点対称
1 つ の 点 を 中心 に 180∘回転 する と ぴったり 重なる 図形 を 点対称 な 図形 と いい、 その 点 を 対称 の 中心 と いい ます。
| 図形 | 点対称 か |
|---|
| 平行四辺形 | はい |
| 長方形 | はい |
| 正方形 | はい |
| 正六角形 | はい |
| 二等辺三角形 (正三角形 で ない) | いいえ |
やって みよう: 「正三角形」 は 線対称 か 点対称 か。 (答え: 線対称 のみ。 180∘回転 して も もと に 重なら ない の で 点対称 で は ない)
まとめ
- 直線・線分・半直線 は 「両端 が ある か」 「片方 だけ か」 で 区別
- 平行 ∥、 垂直 ⊥ の 記号 を 使う
- 円 で は 弧・弦・中心角・接線 を 区別
- 作図 は コンパス と 定規 だけ。 垂直二等分線・角の二等分線・垂線 が 基本
- 図形 の 移動 は 平行移動・回転移動・対称移動 の 3 種
- 線対称 = 折って 重なる、 点対称 = 180∘回して 重なる