正負せいふの数かず — 符号ふごうと絶対ぜったい値ち・四則しそく計算けいさん・累乗るいじょう

この章しょうで学まなぶこと

中学ちゅうがく数学すうがくの出発しゅっぱつ点てんとなる章しょうです。 小学校しょうがっこうでは 0 と 0 より大おおきい数かず (正せいの数すう) だけで計算けいさんしてきました。 中学ちゅうがくでは 0 より小ちいさい数かず (負の数ふのかず) を新あたらしく学まなび、 数かずの世界せかいを大おおきく広ひろげます。

• 正の数せいのすう と 負の数ふのかず の意味いみを知しる
• 符号ふごう (+・−) と 絶対値ぜったいち を区別くべつできる
• 数かず直線ちょくせん上じょうで数かずの大小だいしょうを比くらべられる
• 加法かほう ・ 減法げんぽう の計算けいさんルールを身みにつける
• 乗法じょうほう ・ 除法じょほう の符号ふごうのきまりを使つかえる
• 四則しそくを組み合わせくみあわせた計算けいさんと 累乗るいじょう の計算けいさんができる

ポイント: 「気温きおんが 0 ℃ より 5 ℃ 低ひくい」 「100 円えんのもうけと 100 円えんのそん」 のように、 反対はんたいの性質せいしつを持もつ量りょうを 1 つの数かずであらわす道具どうぐが 負の数ふのかず です。

1. 正せいの数かずと負ふの数かず

0 より小ちいさい数かず

数かず直線ちょくせんを思おもいうかべてください。 0 より右みぎにある数かずが 正の数せいのすう、 0 より左ひだりにある数かずが 負の数ふのかず です。 0 はどちらでもありません。

区別くべつ	例れい	書かき方かた
正の数せいのすう	$+3$、 $+1.5$、 $+dfrac25$	$+$ をつけて書かく (省略しょうりゃくして単たんに $3$ でもよい)
0	$0$	符号ふごうはつけない
負の数ふのかず	$-3$、 $-1.5$、 $-dfrac25$	$-$ を必かならずつける

反対はんたいの性質せいしつを持もつ量りょう

身みのまわりには、 反対はんたいの性質せいしつを持もつ量りょうがたくさんあります。 これらは 正の数せいのすう と 負の数ふのかず で表あらわせます。

場面ばめん	正せいの方向ほうこう	負ふの方向ほうこう
気温きおん	0 ℃ より高たかい ($+5$ ℃)	0 ℃ より低ひくい ($-5$ ℃)
お金かね	しゅう入いり ($+1000$円)	しはらい ($-1000$円)
標高ひょうこう	海面かいめんより上うえ ($+100$ m)	海面かいめんより下した ($-100$ m)
時ときこく	$5$分ぶん後ご ($+5$分)	$5$分ぶん前まえ ($-5$分)

やってみよう: 「3 階上かいじょう」 を $+3$階とあらわすとき、 「2 階下かいか」 はどうあらわせるか。 (答えこたえ: $-2$階)

数かず直線ちょくせんと大小だいしょう

数直線すうちょくせん上では 右みぎにいくほど大おおきい 数かずとなります。 だから負ふの数かずどうしでは、 絶対ぜったい値ちが大おおきいほうが小ちいさい 数かずです。

例: $-7$ と $-2$ を比くらべると、 $-7$ のほうが数すう直線ちょくせんで左ひだりにあるので です。

2. 絶対ぜったい値ち

絶対ぜったい値ちとは

ある数かずの 符号ふごうをとった数すう を、 その数かずの 絶対値ぜったいち といいます。 数かず直線ちょくせんで言いうと 「0 からのきょり」 です。

数かず	絶対ぜったい値ち
$+5$	$5$
$-5$	$5$
$+dfrac23$	$dfrac23$
$0$	$0$

大事だいじ: 絶対値ぜったいちは きょり なので、 必かならず $0$ か 正せいの数すう になります。 マイナスの絶対ぜったい値ちはありません。

例題れいだい 1

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
$-8$ と $+3$ の絶対ぜったい値ちをそれぞれ答えこたえなさい。	$-8$ の絶対ぜったい値ちは $8$。 $+3$ の絶対ぜったい値ちは $3$。
絶対ぜったい値ちが $4$ である数かずをすべて答えこたえなさい。	数かず直線ちょくせんで 0 からきょりが 4 の数かずは 2 つある: $+4$ と $-4$。

やってみよう: 絶対ぜったい値ちが $dfrac12$ である数かずをすべて答えこたえなさい。 (答えこたえ: $+dfrac12$ と $-dfrac12$)

3. 加法かほう (たし算さん)

同おなじ符号ふごうのたし算さん

符号ふごうはそのままで、 絶対ぜったい値ちをたす。

$(+3)+(+5)=+(3+5)=+8$ $(-3)+(-5)=-(3+5)=-8$

ちがう符号ふごうのたし算さん

絶対ぜったい値ちが大おおきいほうの符号ふごうをつけて、 大おおきい絶対ぜったい値ちから小ちいさい絶対ぜったい値ちをひく。

$(+7)+(-3)=+(7-3)=+4$ $(-7)+(+3)=-(7-3)=-4$

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
$(-6)+(-4)$	同どう符号ふごう → $-(6+4)=-10$
$(+8)+(-3)$	異い符号ふごう、 絶対ぜったい値あたい大だいは $+8$ → $+(8-3)=+5$
$(-9)+(+9)$	絶対ぜったい値ちが等ひとしい反対はんたい符号ふごう → $0$

やってみよう: $(-12)+(+5)$ を計算けいさんせよ。 (答えこたえ: $-7$)

4. 減法げんぽう (ひき算さん)

ひくことは 「反対はんたい符号ふごうをたす」 こと

$a-b=a+(-b)$

ひき算さんは、 ひく数すうの 符号ふごうを変かえてたし算さん になおすとできます。

もとの式しき	たし算さんになおす
$(+5)-(+3)$	$(+5)+(-3)=+2$
$(+5)-(-3)$	$(+5)+(+3)=+8$
$(-5)-(+3)$	$(-5)+(-3)=-8$
$(-5)-(-3)$	$(-5)+(+3)=-2$

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
$(+7)-(-2)$	$(+7)+(+2)=+9$
$(-4)-(+6)$	$(-4)+(-6)=-10$
$0-(-8)$	$0+(+8)=+8$

やってみよう: $(-3)-(-7)$ を計算けいさんせよ。 (答えこたえ: $+4$)

加減かげんの混まじった式しき (項こうだけで表あらわす)

$+$、 $-$ のカッコをはずすと、 式しきを 項こう だけのならびで書かけます。

$(+5)-(+3)+(-2)-(-7)=5-3-2+7=7$

正の項こう ($5,7$) と負ふの項こう ($-3,-2$) をまとめて: $5+7=12$、 $-3+(-2)=-5$、 全体ぜんたいで $12-5=7$。

5. 乗法じょうほうと除法じょほう

符号ふごうのきまり

組み合わせくみあわせ	結果けっかの符号ふごう
$(+)imes(+)$	$+$
$(-)imes(-)$	$+$
$(+)imes(-)$	$-$
$(-)imes(+)$	$-$

同どう符号ふごう → 正せい、 異い符号ふごう → 負ふ。 これは除法じょほう ($div$) でも同おなじです。

$(+4)imes(+3)=+12,quad(-4)imes(-3)=+12$ $(+4)imes(-3)=-12,quad(-4)imes(+3)=-12$

例題れいだい

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
$(-5)imes(+6)$	異い符号ふごう → $-\left(5imes6\right)=-30$
$(-8)div(-2)$	同どう符号ふごう → $+\left(8div2\right)=+4$
$(-3)imes(+4)imes(-2)$	負ふが 2 個こ → $+$、 $3imes4imes2=24$、 答えこたえ $+24$

大事だいじ: かけ算ざんがならんでいるときは、 負ふの数かずの個数こすう を数かぞえて符号ふごうを決きめます。 偶数ぐうすう個こ → $+$、 奇き数すう個こ → $-$。

累乗るいじょう

同おなじ数かずを何なん回かいかかけたものを 累乗るいじょう といいます。

$3^2=3imes3=9,quad{3}^3=3imes3imes3=27$

カッコの位置いちに注意ちゅうい:

式しき	意味いみ	値あたい
$(-2{)}^2$	$(-2)imes(-2)$	$+4$
$-2^2$	$-\left(2imes2\right)$	$-4$
$(-2{)}^3$	$(-2)imes(-2)imes(-2)$	$-8$

やってみよう: $(-3{)}^2$ と $-3^2$ をそれぞれ計算けいさんせよ。 (答えこたえ: $+9$、 $-9$)

6. 四則しそくの混まじった計算けいさん

計算けいさんの順序じゅんじょは次つぎのとおりです。

1. カッコの中ちゅう を先さきに
2. 累乗るいじょう を次つぎに
3. 乗法じょうほう・除法じょほう ($imes$、 $div$)
4. 最後さいごに 加法かほう・減法げんぽう ($+$、 $-$)

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
$5+(-3)imes2$	乗法じょうほうが先せん: $(-3)imes2=-6$、 $5+(-6)=-1$
$(-4{)}^2-10div2$	累乗るいじょう: $16$、 除法じょほう: $5$、 $16-5=11$
$-3imes(5-8)$	カッコ: $5-8=-3$、 $-3imes(-3)=+9$

やってみよう: $8-2imes(-3{)}^2$ を計算けいさんせよ。 (答えこたえ: $8-18=-10$)

まとめ

• 0 より小ちいさい数かずを 負の数ふのかず といい、 「$-$」 をつけて書かく
• 絶対値ぜったいち は数すう直線ちょくせん上じょうでの 0 からのきょり、 必かならず $0$以上いじょう
• 加法かほう・減法げんぽうは 「同どう符号ふごう → 絶対ぜったい値ちをたす、 異い符号ふごう → 大おおきい絶対ぜったい値ちからひく」
• ひき算さんは 「ひく数すうの符号ふごうを変かえてたし算さんにする」
• 乗除じょうじょは 「同どう符号ふごう → $+$、 異い符号ふごう → $-$」、 負ふの個数こすうが偶数ぐうすうか奇数きすうかで符号ふごうが決きまる
• 計算けいさんの順序じゅんじょは 「カッコ → 累乗るいじょう → 乗除じょうじょ → 加減かげん」