正負せいふの数かず — 符号ふごうと絶対ぜったい値ち・四則しそく計算けいさん・累乗るいじょう

この 章しょう で 学まなぶ こと

中学ちゅうがく数学すうがく の 出発しゅっぱつ点てん と なる 章しょう です。 小学校しょうがっこう で は 0 と 0 より 大おおきい 数かず (正せいの数すう) だけ で 計算けいさん して きました。 中学ちゅうがく で は 0 より 小ちいさい 数かず (負の数まけのかず) を 新あたらしく 学まなび、 数かず の 世界せかい を 大おおきく 広ひろげます。

• 正の数せいのかず と 負の数まけのかず の 意味いみ を 知しる
• 符号ふごう (+・−) と 絶対値ぜったいち を 区別くべつ できる
• 数かず直線ちょくせん上じょう で 数かず の 大小だいしょう を 比くらべられる
• 加法かほう ・ 減法げんぽう の 計算けいさん ルール を 身み に つける
• 乗法じょうほう ・ 除法じょほう の 符号ふごう の きまり を 使つかえる
• 四則しそく を 組くみ合あわせた 計算けいさん と 累乗るいじょう の 計算けいさん が できる

ポイント: 「気温きおん が 0 ℃ より 5 ℃ 低ひくい」 「100 円えん の もうけ と 100 円えん の そん」 の よう に、 反対はんたい の 性質せいしつ を 持もつ 量りょう を 1 つ の 数かず で あらわす 道具どうぐ が 負の数まけのかず です。

1. 正せいの数かず と 負まけの数かず

0 より 小ちいさい 数かず

数かず直線ちょくせん を 思おもいうかべて ください。 0 より 右みぎ に ある 数かず が 正の数せいのかず、 0 より 左ひだり に ある 数かず が 負の数まけのかず です。 0 は どちら でも あり ません。

区別くべつ	例れい	書かき方かた
[[正の数	せいのかず]]	$+3$、 $+1.5$、 $+dfrac25$
0	$0$	符号ふごう は つけ ない
[[負の数	まけのかず]]	$-3$、 $-1.5$、 $-dfrac25$

反対はんたい の 性質せいしつ を 持もつ 量りょう

身み の まわり に は、 反対はんたい の 性質せいしつ を 持もつ 量りょう が たくさん あります。 これら は 正の数せいのかず と 負の数まけのかず で 表あらわせます。

場面ばめん	正せいの方向ほうこう	負まけの方向ほうこう
気温きおん	0 ℃ より 高たかい ($+5$ ℃)	0 ℃ より 低ひくい ($-5$ ℃)
お金かね	しゅう入いり ($+1000$円)	しはらい ($-1000$円)
標高ひょうこう	海面かいめん より 上うえ ($+100$ m)	海面かいめん より 下した ($-100$ m)
時とき こく	$5$分ぶん後ご ($+5$分)	$5$分ぶん前まえ ($-5$分)

やって みよう: 「3 階上かいじょう」 を $+3$階 と あらわす とき、 「2 階下かいか」 は どう あらわせる か。 (答こたえ: $-2$階)

数かず直線ちょくせん と 大小だいしょう

数直線すうちょくせん上 で は 右みぎ に いく ほど 大おおきい 数かず と なります。 だから 負まけの数かず どうし では、 絶対ぜったい値ち が 大おおきい ほう が 小ちいさい 数かず です。

例: $-7$ と $-2$ を 比くらべる と、 $-7$ の ほう が 数かず直線ちょくせん で 左ひだり に ある ので です。

2. 絶対ぜったい値ち

絶対ぜったい値ち と は

ある 数かず の 符号ふごう を とった 数かず を、 その 数かず の 絶対値ぜったいち と いいます。 数かず直線ちょくせん で 言いう と 「0 から の きょり」 です。

| 数かず | 絶対ぜったい値ち | |---|---| | $+5$ | $5$ | | $-5$ | $5$ | | $+dfrac23$ | $dfrac23$ | | $0$ | $0$ |

大事だいじ: 絶対値ぜったいち は きょり な ので、 必かならず $0$ か 正せいの数すう に なります。 マイナス の 絶対ぜったい値ち は ありません。

例題れいだい 1

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
$-8$ と $+3$ の 絶対ぜったい値ち を それぞれ 答こたえ なさい。	$-8$ の 絶対ぜったい値ち は $8$。 $+3$ の 絶対ぜったい値ち は $3$。
絶対ぜったい値ち が $4$ で ある 数かず を すべて 答こたえ なさい。	数かず直線ちょくせん で 0 から きょり が 4 の 数かず は 2 つ ある: $+4$ と $-4$。

やって みよう: 絶対ぜったい値ち が $dfrac12$ で ある 数かず を すべて 答こたえ なさい。 (答こたえ: $+dfrac12$ と $-dfrac12$)

3. 加法かほう (たし算さん)

同おなじ 符号ふごう の たし算さん

符号ふごう は そのまま で、 絶対ぜったい値ち を たす。

$(+3)+(+5)=+(3+5)=+8$ $(-3)+(-5)=-(3+5)=-8$

ちがう 符号ふごう の たし算さん

絶対ぜったい値ち が 大おおきい ほう の 符号ふごう を つけて、 大おおきい 絶対ぜったい値ち から 小ちいさい 絶対ぜったい値ち を ひく。

$(+7)+(-3)=+(7-3)=+4$ $(-7)+(+3)=-(7-3)=-4$

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
$(-6)+(-4)$	同どう符号ふごう → $-(6+4)=-10$
$(+8)+(-3)$	異い符号ふごう、 絶対ぜったい値ね大だい は $+8$ → $+(8-3)=+5$
$(-9)+(+9)$	絶対ぜったい値ち が 等ひとしい 反対はんたい符号ふごう → $0$

やって みよう: $(-12)+(+5)$ を 計算けいさん せよ。 (答こたえ: $-7$)

4. 減法げんぽう (ひき算さん)

ひく ことは 「反対はんたい符号ふごう を たす」 こと

$a-b=a+(-b)$

ひき算さん は、 ひく 数かず の 符号ふごう を 変かえて たし算さん に なおす と できます。

もと の 式しき	たし算さん に なおす
$(+5)-(+3)$	$(+5)+(-3)=+2$
$(+5)-(-3)$	$(+5)+(+3)=+8$
$(-5)-(+3)$	$(-5)+(-3)=-8$
$(-5)-(-3)$	$(-5)+(+3)=-2$

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
$(+7)-(-2)$	$(+7)+(+2)=+9$
$(-4)-(+6)$	$(-4)+(-6)=-10$
$0-(-8)$	$0+(+8)=+8$

やって みよう: $(-3)-(-7)$ を 計算けいさん せよ。 (答こたえ: $+4$)

加減かげん の 混まじった 式しき (項こう だけ で 表あらわす)

$+$、 $-$ の カッコ を はずす と、 式しき を 項こう だけ の ならび で 書かけ ます。

$(+5)-(+3)+(-2)-(-7)=5-3-2+7=7$

正の項こう ($5,7$) と 負まけの項こう ($-3,-2$) を まとめ て: $5+7=12$、 $-3+(-2)=-5$、 全体ぜんたい で $12-5=7$。

5. 乗法じょうほう と 除法じょほう

符号ふごう の きまり

組くみ合あわせ	結果けっか の 符号ふごう
$(+)imes(+)$	$+$
$(-)imes(-)$	$+$
$(+)imes(-)$	$-$
$(-)imes(+)$	$-$

同どう符号ふごう → 正ただし、 異い符号ふごう → 負ふ。 これ は 除法じょほう ($div$) でも 同おなじ です。

$(+4)imes(+3)=+12,quad(-4)imes(-3)=+12$ $(+4)imes(-3)=-12,quad(-4)imes(+3)=-12$

例題れいだい

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
$(-5)imes(+6)$	異い符号ふごう → $-\left(5imes6\right)=-30$
$(-8)div(-2)$	同どう符号ふごう → $+\left(8div2\right)=+4$
$(-3)imes(+4)imes(-2)$	負まけ が 2 個こ → $+$、 $3imes4imes2=24$、 答こたえ $+24$

大事だいじ: かけ算ざん が ならんで いる とき は、 負まけの数かず の 個数こすう を 数かぞえて 符号ふごう を 決きめ ます。 偶数ぐうすう個こ → $+$、 奇き数すう個こ → $-$。

累乗るいじょう

同おなじ 数かず を 何なん回かい か かけ た もの を 累乗るいじょう と いいます。

$3^2=3imes3=9,quad{3}^3=3imes3imes3=27$

カッコ の 位置いち に 注意ちゅうい:

式しき	意味いみ	値ね
$(-2{)}^2$	$(-2)imes(-2)$	$+4$
$-2^2$	$-\left(2imes2\right)$	$-4$
$(-2{)}^3$	$(-2)imes(-2)imes(-2)$	$-8$

やって みよう: $(-3{)}^2$ と $-3^2$ を それぞれ 計算けいさん せよ。 (答こたえ: $+9$、 $-9$)

6. 四則しそくの混まじった計算けいさん

計算けいさん の 順序じゅんじょ は 次つぎ の とおり です。

1. カッコ の 中ちゅう を 先さき に
2. 累乗るいじょう を 次つぎ に
3. 乗法じょうほう・除法じょほう ($imes$、 $div$)
4. 最後さいご に 加法かほう・減法げんぽう ($+$、 $-$)

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
$5+(-3)imes2$	乗法じょうほう が 先せん: $(-3)imes2=-6$、 $5+(-6)=-1$
$(-4{)}^2-10div2$	累乗るいじょう: $16$、 除法じょほう: $5$、 $16-5=11$
$-3imes(5-8)$	カッコ: $5-8=-3$、 $-3imes(-3)=+9$

やって みよう: $8-2imes(-3{)}^2$ を 計算けいさん せよ。 (答こたえ: $8-18=-10$)

まとめ

• 0 より 小ちいさい 数かず を 負の数まけのかず と いい、 「$-$」 を つけて 書かく
• 絶対値ぜったいち は 数かず直線ちょくせん上じょう で の 0 から の きょり、 必かならず $0$以上いじょう
• 加法かほう・減法げんぽう は 「同どう符号ふごう → 絶対ぜったい値ち を たす、 異い符号ふごう → 大おおきい 絶対ぜったい値ち から ひく」
• ひき算さん は 「ひく 数かず の 符号ふごう を 変かえて たし算さん に する」
• 乗除じょうじょ は 「同どう符号ふごう → $+$、 異い符号ふごう → $-$」、 負まけ の 個数こすう が 偶数ぐうすう か 奇数きすう か で 符号ふごう が 決きまる
• 計算けいさん の 順序じゅんじょ は 「カッコ → 累乗るいじょう → 乗除じょうじょ → 加減かげん」