この 章 で 学ぶ こと
中 1 数学 9 章 の 内容 を、 単独 で は なく 互い に つながり 合う 形 で 整理 し ます。 中 2 で 学ぶ 「連立方程式」 「一次関数」 「合同 と 証明」 「確率」 へ の 橋 わ た し で す。
- 各章 の キー ワード を 1 ペー ジ で 見渡 す
- 「計算 → 文字式 → 方程式」 の 流れ を つかむ
- 「関数 ↔ 図形 ↔ データ」 の つながり を 知る
- つまずき や すい 5 大 ポイント を おさら い する
- 中 2 で 何 を 学ぶ か を 知り、 学習 の 見通し を も つ
ポイント: 中 1 数学 は バラ バラ の 9 単元 で は なく、 「数 の 世界 を 広げ → 文字 で 一般化 → 関数・図形・デ ー タ で 応用」 と い う 1 本 の 物語。
1. 9 章 の キー ワード 一覧
| 章 | テーマ | キー ワード |
|---|
| 1 | 正負の数 | 符号、 [[絶対値 |
| 2 | 文字と式 | [[代入 |
| 3 | 一次方程式 | [[等式 |
| 4 | 比例 と 反比例 | [[比例 |
| 5 | 平面図形 | [[作図 |
| 6 | 空間図形 | [[角柱 |
| 7 | データ の 分析 | [[度数分布表 |
| 8 | 文字式 の 応用 | 規則性、 数 の 性質、 [[等式 の 変形 |
| 9 | 表 と グラフ の 応用 | 比例・反比例 の 応用、 グラフ の 交点 |
2. 計算 → 文字式 → 方程式 の 流れ
中 1 で 一番大事 な ストーリー
- 計算 (1 章): 負 の 数 を ふく む 四則 が で きる
- 文字式 (2 章): 数 の かわり に 文字 を 使い、 同類項 を まとめる
- 方程式 (3 章): 文字 を ふく む 等式 を 解く
- 応用 (8 章): 文字式 で 規則性 や 性質 を 説明 し、 等式 を 変形 する
すべて の 出発点 は 負 の 数 が 出 た と き の 符号 ミス を し な い こ と。 こ こ が く ず れ る と 全部 が く ず れ る。
例題 (横断)
例題
| 問題 | 解法 |
|---|
| −3x+5=2x−10 を 解け。 | 移項 で −3x−2x=−10−5、 −5x=−15、 x=3。 検算: 左=−9+5=−4、 右=6−10=−4 ✓ |
| a=−2 の とき、 a2−3a+1 の 値 を 求めよ。 | (−2)2−3imes(−2)+1=4+6+1=11 |
| dfrac2x−34=dfracx+12 を 解け。 | 両辺 4 倍: 2x−3=2(x+1)、 2x−3=2x+2、 −3=2 → 解 な し |
大事: 「解 な し」 「すべて の 数」 と い う 答え も あり 得 る。 計算 を 進めて 「明らか に 矛盾」 「明らか に 恒等」 と な れ ば そ れ が 答え。
3. 関数 ↔ 図形 ↔ デ ー タ の つ な が り
関数 と 図形
- 比例y=ax → グラフ は 原点 を 通る 直線 (x軸 と なす 角 で 「直線 の 急 さ」 が 決まる)
- 反比例y=dfracax → グラフ は 双曲線
関数 と データ
- 表 で デ ー タ を 整理 する → ヒストグラム を 描く こ と は 関数 を グラフ に する の と 同 じ 発想
- dfracext度数ext合計 = 相対度数 = 「割合」 — 比例 ・ 反比例 の 「比例定数」 と 同 じ く 「比 を 取り 出 す」 操作
図形 と デ ー タ
- 図形 の 「面積一定 → 縦 と 横 が 反比例」 「縦一定 → 横 と 面積 が 比例」 は、 関数 を 図形 に 当て は め た 例
- 立体 の 体積 が 「底面積imes高 さ」 で 比例 す る こ と も、 関数 の 見方
大事: 中 1 数学 の 9 章 は 「数 — 文字 — 関数 — 図形 — デ ー タ」 の 5 本 の 柱、 そ れ ぞ れ が 互い に 支え 合う。
4. つまずき や す い 5 大 ポ イ ン ト
① 負 の 数 の 累乗
| 式 | 値 |
|---|
| (−3)2 | +9 |
| −32 | −9 |
| (−2)3 | −8 |
カッコ の 有無 で 答え が 変わる。
② 移項 の 符号 を 変え 忘 れ る
x+5=8Rightarrowx=8−5 で あって、 x=8+5 で は ない。 「辺 を う つ し た ら 符号 が 変 わ る」 を 必ず 確認。
③ 分母 を 払う と き の カ ッ コ
dfracx−32=5 → 両辺 2 倍 で x−3=10。 こ れ を x−3=5imes2 と 書 く と き、 x−3=10 を 絶対 に カ ッ コ で 守 る こ と。 例: dfracx−32+1=4 で は 両辺 2 倍 し て x−3+2=8 (1 に も 2 を か け る!)。
④ 比例 と 反比例 の 取り違 え
| 状況 | どちら か |
|---|
| 「同 じ 道 を 歩 く 速 さ と 時間」 | 反比例 |
| 「同 じ 速 さ で 進 む 時間 と 道 の り」 | 比例 |
| 「面積一定 の 長方形 の 縦 と 横」 | 反比例 |
「何 が 一定 か」 を 探 す こ と が コ ツ。
⑤ 球 の 公式
- 体積: V=dfrac43pir3
- 表面積: S=4pir2
「分数 の dfrac43 と 4」 の どちら が 体積 で どちら が 表面積 か、 確実 に 覚える。
5. 文章題 を 解 く 5 ス テ ッ プ (再掲)
- 何 を x に お く か を 決め る
- 問題 の 関係 を 言葉 で 書 く
- 方程式 に 直 す
- 方程式 を 解 く
- 問題 の 文 と 合う か 確認 し、 単位 を つ け て 答え る
例題
| 問題 | 解法 |
|---|
| あ る 整数 を 4 倍 し て 6 を 加え る と、 元 の 整数 の 7 倍 か ら 9 を ひ い た 数 に 等 し く な る。 こ の 整数 を 求 め よ。 | 元 の 整数 を x と お く: 4x+6=7x−9、 −3x=−15、 x=5。 答え 5 |
| 体育館 に 長 い す が あ る。 1 きゃ く に 4 人 ず つ す わ る と 6 人 が す わ れ ず、 5 人 ず つ す わ る と 1 きゃ く 余 る。 長 い す は 何 きゃ く あ る か。 | 長 い す x きゃ く と お く。 人数 は 2 通 り に 表 せ る: 4x+6=5(x−1)、 4x+6=5x−5、 x=11。 答え 11 きゃ く |
6. 中 2 へ の 橋 わ た し
中 2 で は 中 1 で 学 ん だ こ と を 土台 に、 さ ら に 広 い 数学 へ 進 み ま す。
| 中 1 で 学 ん だ こ と | 中 2 で 学 ぶ こ と |
|---|
| 一次方程式 | 連立方程式 (2 つ の 文字 を 同時 に 解 く) |
| 比例・反比例 | 一次関数 y=ax+b |
| 平面図形 (作図) | 平行 と 合同 (証明) |
| データ の 分析 | 箱 ひ げ 図 と 確率 |
| 文字式 の 応用 | 多項式 の 計算 ・ 文字式 の 利用 |
まとめ
- 中 1 数学 = 「数 を 広げ、 文字 で 一般化 し、 関数・図形・データ へ 応用 す る」 1 つ の 物語
- 計算 → 文字式 → 方程式 の 3 段 ロ ケ ッ ト が 中心
- つまずき や す い 5 ポ イ ン ト (累乗・移項・分母 を 払 う・比反 の 区別・球 の 公式) を 復習
- 文章題 の 5 ス テ ッ プ を 体 に し み こ ま せ る
- 中 2 へ は 「連立方程式・一次関数・合同 と 証明」 へ つ な が る