中なか 1 数学すうがく総そう復習ふくしゅう

この章しょうで学まなぶこと

中なか 1 数学すうがく 9 章しょうの内容ないようを、 単独たんどくではなく 互たがいにつながり合あう形かたち で整理せいりします。 中なか 2 で学まなぶ 「連立方程式れんりつほうていしき」 「一次関数いちじかんすう」 「合同と証明ごうどうとしょうめい」 「確率かくりつ」 への 橋きょうわたし です。

• 各かく章しょうのキーワードを 1 ページで見渡みわたす
• 「計算けいさん → 文字もじ式しき → 方程式ほうていしき」 の流ながれをつかむ
• 「関数かんすう ↔ 図形ずけい ↔ データ」 のつながりを知しる
• つまずきやすい 5 大だいポイントをおさらいする
• 中なか 2 で何なにを学まなぶかを知しり、 学習がくしゅうの見通みとおしをもつ

ポイント: 中なか 1 数学すうがくはバラバラの 9 単元たんげんではなく、 「数かずの世界せかいを広ひろげ → 文字もじで一般いっぱん化か → 関数かんすう・図形ずけい・データで応用おうよう」 という 1 本ほんの物語ものがたり。

1. 9 章しょうのキーワード一覧いちらん

章しょう	テーマ	キーワード
1	正負せいふの数かず	符号ふごう、 絶対値ぜったいち、 加減乗除かげんじょうじょ、 累乗るいじょう
2	文字もじと式しき	代入だいにゅう、 項こう、 係数けいすう、 同類項どうるいこう
3	一いち次じ方程式ほうていしき	等式の性質とうしきのせいしつ、 移項いこう、 検算けんざん、 文章ぶんしょう題だい
4	比例ひれいと反比例はんぴれい	比例ひれい $y=ax$、 反比例はんぴれい $y=dfracax$、 座標ざひょう
5	平面へいめん図形ずけい	作図さくず、 線対称せんたいしょう、 点対称てんたいしょう、 図形ずけいの移動いどう
6	空間くうかん図形ずけい	角柱かくちゅう・角錐かくすい・球きゅう、 体積たいせき、 表面積ひょうめんせき
7	データの分析ぶんせき	度数分布表どすうぶんぷひょう、 平均値へいきんち・中央値ちゅうおうち・最頻値さいひんち、 相対度数そうたいどすう
8	文字もじ式しきの応用おうよう	規則きそく性せい、 数かずの性質せいしつ、 等式の変形とうしきのへんけい
9	表ひょうとグラフの応用おうよう	比例ひれい・反比例はんぴれいの応用おうよう、 グラフの交点こうてん

2. 計算けいさん → 文字もじ式しき → 方程式ほうていしきの流ながれ

中なか 1 で一番いちばん大事だいじなストーリー

1. 計算けいさん (1 章しょう): 負まけの数かずをふくむ四則しそくができる
2. 文字もじ式しき (2 章しょう): 数かずのかわりに文字もじを使つかい、 同類項どうるいこうをまとめる
3. 方程式ほうていしき (3 章しょう): 文字もじをふくむ等式とうしきを解とく
4. 応用おうよう (8 章しょう): 文字もじ式しきで規則きそく性せいや性質せいしつを説明せつめいし、 等式とうしきを変形へんけいする

すべての出発しゅっぱつ点てんは 負まけの数かずが出でたときの符号ふごうミスをしないこと。 ここがくずれると全部ぜんぶがくずれる。

例題れいだい (横断おうだん)

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
$-3x+5=2x-10$ を解とけ。	移項いこうで $-3x-2x=-10-5$、 $-5x=-15$、 $x=3$。 検算けんざん: 左$=-9+5=-4$、 右$=6-10=-4$ ✓
$a=-2$ のとき、 $a^2-3a+1$ の値ねを求もとめよ。	$(-2{)}^2-3imes(-2)+1=4+6+1=11$
$dfrac2x-34=dfracx+12$ を解とけ。	両辺りょうへん 4 倍ばい: $2x-3=2(x+1)$、 $2x-3=2x+2$、 $-3=2$ → 解かいなし

大事だいじ: 「解かいなし」 「すべての数かず」 という答えこたえもあり得える。 計算けいさんを進すすめて 「明あきらかに矛盾むじゅん」 「明あきらかに恒等こうとう」 となればそれが答えこたえ。

3. 関数かんすう ↔ 図形ずけい ↔ データのつながり

関数かんすうと図形ずけい

• 比例ひれい$y=ax$ → グラフは 原点げんてんを通とおる直線ちょくせん ($x$軸となす角かくで 「直線ちょくせんの急きゅうさ」 が決きまる)
• 反比例はんぴれい$y=dfracax$ → グラフは 双曲線そうきょくせん

関数かんすうとデータ

• 表ひょうでデータを整理せいりする → ヒストグラムを描えがくことは関数かんすうをグラフにするのと同おなじ発想はっそう
• $dfracext度数ext合計$ = 相対そうたい度数どすう = 「割合わりあい」 — 比例ひれい ・ 反比例はんぴれいの 「比例ひれい定数ていすう」 と同おなじく 「比ひを取とり出だす」 操作そうさ

図形ずけいとデータ

• 図形ずけいの 「面積めんせき一定いってい → 縦たてと横よこが反比例はんぴれい」 「縦たて一定いってい → 横よこと面積めんせきが比例ひれい」 は、 関数かんすうを図形ずけいに当あてはめた例れい
• 立体りったいの体積たいせきが 「底そこ面積めんせき$imes$高さ」 で比例ひれいすることも、 関数かんすうの見方みかた

大事だいじ: 中なか 1 数学すうがくの 9 章しょうは 「数すう — 文字もじ — 関数かんすう — 図形ずけい — データ」 の 5 本ほんの柱はしら、 それぞれが互たがいに支ささえ合あう。

4. つまずきやすい 5 大だいポイント

① 負まけの数かずの累乗るいじょう

式しき	値ね
$(-3{)}^2$	$+9$
$-3^2$	$-9$
$(-2{)}^3$	$-8$

カッコの有無うむ で答えこたえが変かわる。

② 移項いこうの符号ふごうを変かえ忘わすれる

$x+5=8Rightarrowx=8-5$ であって、 $x=8+5$ ではない。 「辺あたりをうつしたら符号ふごうが変かわる」 を必かならず確認かくにん。

③ 分母ぶんぼを払はらうときのカッコ

$dfracx-32=5$ → 両辺りょうへん 2 倍ばいで $x-3=10$。 これを $x-3=5imes2$ と書かくとき、 $x-3=10$ を 絶対ぜったいにカッコで守まもる こと。 例れい: $dfracx-32+1=4$ では両辺りょうへん 2 倍ばいして $x-3+2=8$ (1 にも 2 をかける!)。

④ 比例ひれいと反比例はんぴれいの取とり違ちがえ

状況じょうきょう	どちらか
「同おなじ道みちを歩あるく速はやさと時間じかん」	反比例はんぴれい
「同おなじ速はやさで進すすむ時間じかんと道のりみちのり」	比例ひれい
「面積めんせき一定いっていの長方形ちょうほうけいの縦たてと横よこ」	反比例はんぴれい

「何なにが一定いっていか」 を探さがすことがコツ。

⑤ 球たまの公式こうしき

• 体積たいせき: $V=dfrac43pi{r}^3$
• 表面積ひょうめんせき: $S=4pi{r}^2$

「分数ぶんすうの $dfrac43$ と $4$」 のどちらが体積たいせきでどちらが表面積ひょうめんせきか、 確実かくじつに覚おぼえる。

5. 文章ぶんしょう題だいを解とく 5 ステップ (再掲さいけい)

1. 何なにを $x$ におくか を決きめる
2. 問題もんだいの関係かんけい を言葉ことばで書かく
3. 方程式ほうていしき に直なおす
4. 方程式ほうていしきを解とく
5. 問題もんだいの文ぶんと合あうか 確認かくにんし、 単位たんいをつけて答こたえる

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
ある整数せいすうを 4 倍ばいして 6 を加くわえると、 元もとの整数せいすうの 7 倍ばいから 9 をひいた数かずに等ひとしくなる。 この整数せいすうを求もとめよ。	元もとの整数せいすうを $x$ とおく: $4x+6=7x-9$、 $-3x=-15$、 $x=5$。 答えこたえ 5
体育館たいいくかんに長ながいすがある。 1 きゃくに 4 人ひとずつすわると 6 人ひとがすわれず、 5 人ひとずつすわると 1 きゃく余あまる。 長ながいすは何なにきゃくあるか。	長ながいす $x$ きゃくとおく。 人数にんずうは 2 通とおりに表あらわせる: $4x+6=5(x-1)$、 $4x+6=5x-5$、 $x=11$。 答えこたえ 11 きゃく

6. 中なか 2 への橋はしわたし

中なか 2 では中なか 1 で学まなんだことを土台どだいに、 さらに広ひろい数学すうがくへ進すすみます。

中なか 1 で学まなんだこと	中なか 2 で学まなぶこと
一いち次じ方程式ほうていしき	連立れんりつ方程式ほうていしき (2 つの文字もじを同時どうじに解とく)
比例ひれい・反比例はんぴれい	一いち次じ関数かんすう $y=ax+b$
平面へいめん図形ずけい (作図さくず)	平行へいこうと合同ごうどう (証明しょうめい)
データの分析ぶんせき	箱ばこひげ図ずと確率かくりつ
文字もじ式しきの応用おうよう	多項式たこうしきの計算けいさん ・ 文字もじ式しきの利用りよう

まとめ

• 中なか 1 数学すうがく = 「数かずを広ひろげ、 文字もじで一般いっぱん化かし、 関数かんすう・図形ずけい・データへ応用おうようする」 1 つの物語ものがたり
• 計算けいさん → 文字もじ式しき → 方程式ほうていしきの 3 段だんロケット が中心ちゅうしん
• つまずきやすい 5 ポイント (累乗るいじょう・移項いこう・分母ぶんぼを払はらう・比ひ反たんの区別くべつ・球たまの公式こうしき) を復習ふくしゅう
• 文章ぶんしょう題だいの 5 ステップを体からだにしみこませる
• 中なか 2 へは 「連立れんりつ方程式ほうていしき・一いち次じ関数かんすう・合同ごうどうと証明しょうめい」 へつながる