この 章 で 学ぶ こと
平面 から 立体 へ — 「奥行き」 を ふくむ 図形 を 考えます。 立体 を 紙 に 表す 方法 (見取り図・展開図)、 そして 体積 と 表面積 の 求め方 を 学び ます。
- 多面体 と 回転体 を 区別 できる
- 角柱・円柱・角錐・円錐・球 の 名前 と 性質 を 知る
- 見取り図 と 展開図 を かける
- 直線 と 平面、 平面 と 平面 の 位置関係 を 知る
- 立体 の 体積 を 公式 で 求められる
- 立体 の 表面積 を 展開図 から 求められる
ポイント: 立体 の 体積・表面積 は すべて 平面図形 の 公式 の 組み合わせ。 焦らず 「底面 は 何 か」 「側面 を 開く と どんな 形 か」 を 落ち着いて 整理 し ま しょう。
1. 立体 の 種類
角柱 と 円柱 (柱体)
底面 が 多角形 → 角柱 (三角柱、 四角柱、 五角柱…)
底面 が 円 → 円柱
特ちょう: 2 つ の 底面 が 平行 で 合同、 側面 は 長方形 (円柱 の 側面 は 開く と 長方形)。
角錐 と 円錐 (錐体)
底面 が 多角形 で 1 点 (頂点) に 集まる → 角錐
底面 が 円 で 1 点 に 集まる → 円錐
特ちょう: 底面 は 1 つ、 側面 は 三角形 (円錐 の 側面 は 開く と おうぎ形)。
球
ある 点 (中心) から の きょり が 等しい 点 の 集まり が 球。 切り口 は どこ で 切って も 円。
多面体
平面 だけ で かこまれた 立体 を 多面体、 すべて の 面 が 合同 な 正多角形 で どの 頂点 も 同じ 形 の もの を 正多面体 と いい、 5 種類 だけ ある。
| 名前 | 面 の 形 | 面 の 数 |
|---|
| 正四面体 | 正三角形 | 4 |
| 正六面体 (立方体) | 正方形 | 6 |
| 正八面体 | 正三角形 | 8 |
| 正十二面体 | 正五角形 | 12 |
| 正二十面体 | 正三角形 | 20 |
大事: 「正多面体 は 5 種類 しか ない」 — これ は 古代 ギリシャ 以来知られて いる 美しい 事実。
2. 見取り図 と 展開図
| 図 | 何 を 表す か |
|---|
| **[[見取り図 | みとりず]]** |
| **[[展開図 | てんかいず]]** |
| **[[投影図 | とうえいず]]** |
主な 立体 の 展開図
| 立体 | 展開図 の 構成 |
|---|
| 三角柱 | 長方形 3 枚 + 三角形 2 枚 |
| 四角柱 (直方体) | 長方形 4 枚 + 上下 の 長方形 2 枚 |
| 円柱 | 長方形 1 枚 + 円 2 枚。 長方形 の 横 = 底面円周 = 2πr |
| 三角錐 | 三角形 4 枚 |
| 円錐 | おうぎ形 1 枚 + 円 1 枚 |
円錐 の 側面 (おうぎ形 の 弧)
円錐 の 側面 を 開く と おうぎ形。 その 弧 の 長さ は 底面 の 円周 と 同じ。
底面 の 半径r、 母線 の 長さ ℓ なら、 側面 の おうぎ形 の 中心角 θ は
θ=360∘×ℓr
3. 直線 と 平面 の 位置関係
2 直線 の 関係 (空間)
| 関係 | 説明 |
|---|
| 交わる | 1 点 で 出会う |
| 平行 | 同じ 平面上 で 交わら ない |
| **[[ねじれ の 位置 | ねじれ の いち]]** |
大事: 「ねじれ の 位置」 は 平面 で は 起こら ず、 空間 だけ の 関係。 直方体 の 「上 の 辺」 と 「右側 の たて の 辺」 が ねじれ の 位置 の 例。
直線 と 平面 の 関係
| 関係 | 説明 |
|---|
| 直線 が 平面上 に ある | 直線上 の すべて の 点 が 平面上 |
| 1 点 で 交わる | 「直線 が 平面 を つきさす」 |
| 平行 | 共有点 が ない |
4. 体積 の 公式
角柱 ・ 円柱
V=(底面積)×(高さ)
| 立体 | 公式 |
|---|
| 直方体 | V=abc (a、 b、 c は 縦・横・高さ) |
| 三角柱 | V=21×底辺×高さ×柱 の 高さ |
| 円柱 | V=πr2h |
角錐 ・ 円錐
V=31×(底面積)×(高さ)
「柱体 の 3 分 の 1」 が ポイント。
| 立体 | 公式 |
|---|
| 円錐 | V=31πr2h |
| 角錐 | V=31×底面積×高さ |
球
半径r の 球 の 体積:
V=34πr3
例題
| 問題 | 解法 |
|---|
| 半径 3 cm、 高さ 5 cm の 円柱 の 体積 | V=π×32×5=45π cm³ |
| 底面半径 4 cm、 高さ 9 cm の 円錐 の 体積 | V=31π×42×9=48π cm³ |
| 半径 6 cm の 球 の 体積 | V=34π×63=288π cm³ |
やって みよう: 1 辺 5 cm の 立方体 の 体積 を 求めよ。 (答え: V=53=125 cm³)
5. 表面積
表面積 の 求め方
展開図 を イメージ し、 すべて の 面 の 面積 を たす。
| 立体 | 表面積 の 構成 |
|---|
| 角柱 | 底面 2 枚 + 側面 (長方形) の 合計 |
| 円柱 | 底面 (πr2) ×2 + 側面 (2πr×h) |
| 角錐 | 底面 1 枚 + 三角形 の 側面 |
| 円錐 | 底面 (πr2) + 側面 (おうぎ形) |
円錐 の 側面 (おうぎ形) の 面積
底面半径r、 母線ℓ の 円錐 の 側面 おうぎ形 の 面積 は
S側=πrℓ
球
半径r の 球 の 表面積:
S=4πr2
例題
| 問題 | 解法 |
|---|
| 半径 3 cm、 高さ 5 cm の 円柱 の 表面積 | 底面π×32=9π を 2 枚 + 側面2π×3×5=30π、 合計9π×2+30π=48π cm² |
| 底面半径 4 cm、 母線 6 cm の 円錐 の 表面積 | 底面π×42=16π、 側面π×4×6=24π、 合計40π cm² |
| 半径 5 cm の 球 の 表面積 | S=4π×52=100π cm² |
大事: 球 の 公式 は 「体積 は 34πr3、 表面積 は 4πr2」 — 「34 と 4」 を セット で 覚える。
やって みよう: 半径 2 cm、 高さ 7 cm の 円柱 の 表面積 を 求めよ。 (答え: 4π×2+28π=8π+28π=36π cm²)
まとめ
- 柱体 (角柱・円柱) は 底面 が 2 つ で 合同、 錐体 (角錐・円錐) は 底面 1 つ で 頂点 へ
- 正多面体 は 5 種類 だけ
- 展開図 は 立体 を 切り 開いた 平面図、 表面積計算 の 出発点
- ねじれ の 位置 は 「同じ 平面 に なく、 交わら ない」 空間 だけ の 関係
- 体積: 柱 = 底面積×高さ、 錐 = 31×底面積×高さ
- 球: V=34πr3、 S=4πr2
- 円錐側面 おうぎ形 の 面積 = πrℓ (覚える と 速い)