空間くうかん図形づけい — 角柱かくちゅう円柱えんちゅう・角錐かくすい円錐えんすい・体積たいせきと表面積ひょうめんせき

この 章しょう で 学まなぶ こと

平面へいめん から 立体りったい へ — 「奥行おくゆき」 を ふくむ 図形づけい を 考かんがえます。 立体りったい を 紙かみ に 表あらわす 方法ほうほう (見取り図みとりず・展開図てんかいず)、 そして 体積たいせき と 表面積ひょうめんせき の 求もとめ方かた を 学まなび ます。

• 多面体ためんたい と 回転体かいてんたい を 区別くべつ できる
• 角柱かくちゅう・円柱えんちゅう・角錐かくすい・円錐えんすい・球きゅう の 名前なまえ と 性質せいしつ を 知しる
• 見取り図みとりず と 展開図てんかいず を かける
• 直線ちょくせん と 平面へいめん、 平面へいめん と 平面へいめん の 位置いち関係かんけい を 知しる
• 立体りったい の 体積たいせき を 公式こうしき で 求もとめられる
• 立体りったい の 表面積ひょうめんせき を 展開てんかい図ず から 求もとめられる

ポイント: 立体りったい の 体積たいせき・表面積ひょうめんせき は すべて 平面へいめん図形づけい の 公式こうしき の 組くみ合あわせ。 焦あせらず 「底面ていめん は 何なに か」 「側面そくめん を 開ひらく と どんな 形かたち か」 を 落おち着ついて 整理せいり し ま しょう。

1. 立体りったい の 種類しゅるい

角柱かくちゅう と 円柱えんちゅう (柱ばしら体たい)

底面ていめん が 多角たかく形がた → 角柱かくちゅう (三さん角柱かくちゅう、 四よん角柱かくちゅう、 五ご角柱かくちゅう…) 底面ていめん が 円えん → 円柱えんちゅう

特とくちょう: 2 つ の 底面ていめん が 平行へいこう で 合同ごうどう、 側面そくめん は 長方形ちょうほうけい (円柱えんちゅう の 側面そくめん は 開ひらく と 長方形ちょうほうけい)。

角錐かくすい と 円錐えんすい (錐きり体たい)

底面ていめん が 多角たかく形がた で 1 点てん (頂点ちょうてん) に 集あつまる → 角錐かくすい 底面ていめん が 円えん で 1 点てん に 集あつまる → 円錐えんすい

特とくちょう: 底面ていめん は 1 つ、 側面そくめん は 三角形さんかっけい (円錐えんすい の 側面そくめん は 開ひらく と おうぎ形がた)。

球たま

ある 点てん (中心ちゅうしん) から の きょり が 等ひとしい 点てん の 集あつまり が 球きゅう。 切きり口くち は どこ で 切きって も 円えん。

多面体ためんたい

平面へいめん だけ で かこまれた 立体りったい を 多面体ためんたい、 すべて の 面めん が 合同ごうどう な 正多角形せいたかっけい で どの 頂点ちょうてん も 同おなじ 形かたち の もの を 正多面体せいためんたい と いい、 5 種類しゅるい だけ ある。

名前なまえ	面めん の 形かたち	面めん の 数かず
正せい四よん面体めんてい	正三角形せいさんかっけい	4
正せい六面体ろくめんたい (立方体りっぽうたい)	正方形せいほうけい	6
正せい八はち面体めんてい	正三角形せいさんかっけい	8
正せい十じゅう二に面体めんてい	正五角形せいごかっけい	12
正せい二に十じゅう面体めんてい	正三角形せいさんかっけい	20

大事だいじ: 「正多面体せいためんたい は 5 種類しゅるい しか ない」 — これ は 古代こだい ギリシャ 以来いらい知しられて いる 美うつくしい 事実じじつ。

2. 見取みとり図ず と 展開てんかい図ず

図ず	何なに を 表あらわす か
**[[見取り図	みとりず]]**
**[[展開図	てんかいず]]**
**[[投影図	とうえいず]]**

主おもな 立体りったい の 展開てんかい図ず

立体りったい	展開てんかい図ず の 構成こうせい
三角柱さんかくちゅう	長方形ちょうほうけい 3 枚まい + 三角形さんかっけい 2 枚まい
四よん角柱かくちゅう (直方体ちょくほうたい)	長方形ちょうほうけい 4 枚まい + 上下じょうげ の 長方形ちょうほうけい 2 枚まい
円柱えんちゅう	長方形ちょうほうけい 1 枚まい + 円えん 2 枚まい。 長方形ちょうほうけい の 横よこ = 底面ていめん円周えんしゅう = $2\pi r$
三さん角錐かくすい	三角形さんかっけい 4 枚まい
円錐えんすい	おうぎ形がた 1 枚まい + 円えん 1 枚まい

円錐えんすい の 側面そくめん (おうぎ形がた の 弧こ)

円錐えんすい の 側面そくめん を 開ひらく と おうぎ形がた。 その 弧こ の 長ながさ は 底面ていめん の 円周えんしゅう と 同おなじ。

底面ていめん の 半径はんけい$r$、 母線ぼせん の 長ながさ $\ell$ なら、 側面そくめん の おうぎ形がた の 中心ちゅうしん角かく $\theta$ は

$\theta ={360}^{\circ }\times \frac{r}{\ell }$

3. 直線ちょくせん と 平面へいめん の 位置いち関係かんけい

2 直線ちょくせん の 関係かんけい (空間くうかん)

関係かんけい	説明せつめい
交まじわる	1 点てん で 出会であう
平行へいこう	同おなじ 平面へいめん上じょう で 交まじわら ない
**[[ねじれ の 位置	ねじれ の いち]]**

大事だいじ: 「ねじれ の 位置ねじれ の いち」 は 平面へいめん で は 起おこら ず、 空間くうかん だけ の 関係かんけい。 直方体ちょくほうたい の 「上うえ の 辺あたり」 と 「右側みぎがわ の たて の 辺あたり」 が ねじれ の 位置いち の 例れい。

直線ちょくせん と 平面へいめん の 関係かんけい

関係かんけい	説明せつめい
直線ちょくせん が 平面へいめん上じょう に ある	直線ちょくせん上じょう の すべて の 点てん が 平面へいめん上じょう
1 点てん で 交まじわる	「直線ちょくせん が 平面へいめん を つきさす」
平行へいこう	共有きょうゆう点てん が ない

4. 体積たいせき の 公式こうしき

角柱かくちゅう ・ 円柱えんちゅう

$V=\left(底面積\right)\times \left(高さ\right)$

立体りったい	公式こうしき
直方体ちょくほうたい	$V=abc$ ($a$、 $b$、 $c$ は 縦たて・横よこ・高たかさ)
三角柱さんかくちゅう	$V=\frac{1}{2}\times 底辺\times 高さ\times 柱 の 高さ$
円柱えんちゅう	$V=\pi r^{2}h$

角錐かくすい ・ 円錐えんすい

$V=\frac{1}{3}\times \left(底面積\right)\times \left(高さ\right)$

「柱はしら体たい の 3 分ぶん の 1」 が ポイント。

立体りったい	公式こうしき
円錐えんすい	$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$
角錐かくすい	$V=\frac{1}{3}\times 底面積\times 高さ$

球たま

半径はんけい$r$ の 球たま の 体積たいせき:

$V=\frac{4}{3}\pi r^3$

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
半径はんけい 3 cm、 高たかさ 5 cm の 円柱えんちゅう の 体積たいせき	$V=\pi \times 3^2\times 5=45\pi$ cm³
底面ていめん半径はんけい 4 cm、 高たかさ 9 cm の 円錐えんすい の 体積たいせき	$V=\frac{1}{3}\pi \times 4^2\times 9=48\pi$ cm³
半径はんけい 6 cm の 球たま の 体積たいせき	$V=\frac{4}{3}\pi \times 6^3=288\pi$ cm³

やって みよう: 1 辺あたり 5 cm の 立方体りっぽうたい の 体積たいせき を 求もとめよ。 (答こたえ: $V=5^3=125$ cm³)

5. 表面積ひょうめんせき

表面積ひょうめんせき の 求もとめ方かた

展開てんかい図ず を イメージ し、 すべて の 面めん の 面積めんせき を たす。

立体りったい	表面積ひょうめんせき の 構成こうせい
角柱かくちゅう	底面ていめん 2 枚まい + 側面そくめん (長方形ちょうほうけい) の 合計ごうけい
円柱えんちゅう	底面ていめん ($\pi r^2$) $\times 2$ + 側面そくめん ($2\pi r\times h$)
角錐かくすい	底面ていめん 1 枚まい + 三角形さんかっけい の 側面そくめん
円錐えんすい	底面ていめん ($\pi r^2$) + 側面そくめん (おうぎ形がた)

円錐えんすい の 側面そくめん (おうぎ形がた) の 面積めんせき

底面ていめん半径はんけい$r$、 母線ぼせん$\ell$ の 円錐えんすい の 側面そくめん おうぎ形がた の 面積めんせき は

$S_{}=\pi r\ell$

球たま

半径はんけい$r$ の 球たま の 表面積ひょうめんせき:

$S=4\pi r^2$

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
半径はんけい 3 cm、 高たかさ 5 cm の 円柱えんちゅう の 表面積ひょうめんせき	底面ていめん$\pi \times 3^2=9\pi$ を 2 枚まい + 側面そくめん$2\pi \times 3\times 5=30\pi$、 合計ごうけい$9\pi \times 2+30\pi =48\pi$ cm²
底面ていめん半径はんけい 4 cm、 母線ぼせん 6 cm の 円錐えんすい の 表面積ひょうめんせき	底面ていめん$\pi \times 4^2=16\pi$、 側面そくめん$\pi \times 4\times 6=24\pi$、 合計ごうけい$40\pi$ cm²
半径はんけい 5 cm の 球たま の 表面積ひょうめんせき	$S=4\pi \times 5^2=100\pi$ cm²

大事だいじ: 球たま の 公式こうしき は 「体積たいせき は $\frac{4}{3}\pi r^3$、 表面積ひょうめんせき は $4\pi r^2$」 — 「$\frac{4}{3}$ と $4$」 を セット で 覚おぼえる。

やって みよう: 半径はんけい 2 cm、 高たかさ 7 cm の 円柱えんちゅう の 表面積ひょうめんせき を 求もとめよ。 (答こたえ: $4\pi \times 2+28\pi =8\pi +28\pi =36\pi$ cm²)

まとめ

• 柱はしら体たい (角柱かくちゅう・円柱えんちゅう) は 底面ていめん が 2 つ で 合同ごうどう、 錐きり体たい (角錐かくすい・円錐えんすい) は 底面ていめん 1 つ で 頂点ちょうてん へ
• 正多面体せいためんたい は 5 種類しゅるい だけ
• 展開図てんかいず は 立体りったい を 切きり 開ひらいた 平面へいめん図ず、 表面積ひょうめんせき計算けいさん の 出発しゅっぱつ点てん
• ねじれ の 位置ねじれ の いち は 「同おなじ 平面へいめん に なく、 交まじわら ない」 空間くうかん だけ の 関係かんけい
• 体積たいせき: 柱はしら = 底そこ面積めんせき$\times$高さ、 錐きり = $\frac{1}{3}\times$底そこ面積めんせき$\times$高さ
• 球たま: $V=\frac{4}{3}\pi r^3$、 $S=4\pi r^2$
• 円錐えんすい側面そくめん おうぎ形がた の 面積めんせき = $\pi r\ell$ (覚おぼえる と 速はやい)