空間くうかん図形ずけい — 角柱かくちゅう円柱えんちゅう・角錐かくすい円錐えんすい・体積たいせきと表面積ひょうめんせき

この章しょうで学まなぶこと

平面へいめんから立体りったいへ — 「奥行おくゆき」 をふくむ図形ずけいを考えかんがえます。 立体りったいを紙かみに表あらわす方法ほうほう (見取り図みとりず・展開図てんかいず)、 そして 体積たいせき と 表面積ひょうめんせき の求もとめ方かたを学まなびます。

• 多面体ためんたい と 回転体かいてんたい を区別くべつできる
• 角柱かくちゅう・円柱えんちゅう・角錐かくすい・円錐えんすい・球きゅう の名前なまえと性質せいしつを知しる
• 見取り図みとりず と 展開図てんかいず をかける
• 直線ちょくせんと平面へいめん、 平面へいめんと平面へいめんの位置いち関係かんけいを知しる
• 立体りったいの 体積たいせき を公式こうしきで求もとめられる
• 立体りったいの 表面積ひょうめんせき を展開図てんかいずから求もとめられる

ポイント: 立体りったいの体積たいせき・表面積ひょうめんせきは すべて平面図形へいめんずけいの公式こうしきの組み合わせくみあわせ。 焦あせらず 「底面ていめんは何なにか」 「側面そくめんを開ひらくとどんな形かたちか」 を落おち着ついて整理せいりしましょう。

1. 立体りったいの種類しゅるい

角柱かくちゅうと円柱えんちゅう (柱ばしら体たい)

底面ていめんが多角形たかくけい → 角柱かくちゅう (三さん角柱かくちゅう、 四よん角柱かくちゅう、 五ご角柱かくちゅう…) 底面ていめんが円えん → 円柱えんちゅう

特とくちょう: 2 つの底面ていめんが平行へいこうで合同ごうどう、 側面そくめんは 長方形ちょうほうけい (円柱えんちゅうの側面そくめんは開ひらくと長方形ちょうほうけい)。

角錐かくすいと円錐えんすい (錐すい体たい)

底面ていめんが多角形たかくけいで 1 点てん (頂点ちょうてん) に集あつまる → 角錐かくすい 底面ていめんが円えんで 1 点てんに集あつまる → 円錐えんすい

特とくちょう: 底面ていめんは 1 つ、 側面そくめんは 三角形さんかくけい (円錐えんすいの側面そくめんは開ひらくとおうぎ形がた)。

球きゅう

ある点てん (中心ちゅうしん) からのきょりが等ひとしい点てんの集あつまりが 球きゅう。 切きり口くちはどこで切きっても 円えん。

多面体ためんたい

平面へいめんだけでかこまれた立体りったいを 多面体ためんたい、 すべての面めんが合同ごうどうな正多角形せいたかっけいでどの頂点ちょうてんも同おなじ形かたちのものを 正多面体せいためんたい といい、 5 種類しゅるいだけある。

名前なまえ	面めんの形かたち	面めんの数かず
正せい四よん面体めんてい	正三角形せいさんかくけい	4
正せい六面体ろくめんたい (立方体りっぽうたい)	正方形せいほうけい	6
正せい八はち面体めんてい	正三角形せいさんかくけい	8
正せい十じゅう二に面体めんてい	正五角形せいごかくけい	12
正せい二に十じゅう面体めんてい	正三角形せいさんかくけい	20

大事だいじ: 「正多面体せいためんたいは 5 種類しゅるいしかない」 — これは古代こだいギリシャ以来いらい知しられている美うつくしい事実じじつ。

2. 見取り図みとりずと展開図てんかいず

図ず	何なにを表あらわすか
見取り図みとりず	立体りったいを立体りったいらしく平面へいめんにかいた図ず (ななめから見みた図ず)
展開図てんかいず	立体りったいの面めんを切きり開ひらいて、 平面へいめんにひろげた図ず
投影図とうえいず	真上まうえ・正面しょうめん・横よこから見みた図ずを組み合わせくみあわせたもの

主おもな立体りったいの展開図てんかいず

立体りったい	展開図てんかいずの構成こうせい
三角柱さんかくちゅう	長方形ちょうほうけい 3 枚まい + 三角形さんかくけい 2 枚まい
四よん角柱かくちゅう (直方体ちょくほうたい)	長方形ちょうほうけい 4 枚まい + 上下じょうげの長方形ちょうほうけい 2 枚まい
円柱えんちゅう	長方形ちょうほうけい 1 枚まい + 円えん 2 枚まい。 長方形ちょうほうけいの横よこ = 底面ていめん円周えんしゅう = $2\pi r$
三さん角錐かくすい	三角形さんかくけい 4 枚まい
円錐えんすい	おうぎ形がた 1 枚まい + 円えん 1 枚まい

円錐えんすいの側面そくめん (おうぎ形がたの弧こ)

円錐えんすいの側面そくめんを開ひらくと おうぎ形がた。 その弧この長ながさは 底面ていめんの円周えんしゅうと同おなじ。

底面ていめんの半径はんけい$r$、 母線ぼせんの長ながさ $\ell$ なら、 側面そくめんのおうぎ形がたの 中心ちゅうしん角かく $\theta$ は

$\theta ={360}^{\circ }\times \frac{r}{\ell }$

3. 直線ちょくせんと平面へいめんの位置いち関係かんけい

2 直線ちょくせんの関係かんけい (空間くうかん)

関係かんけい	説明せつめい
交まじわる	1 点てんで出会であう
平行へいこう	同おなじ平面へいめん上じょうで交まじわらない
ねじれの位置ねじれのいち	同おなじ平面へいめん上じょうになく、 交まじわらない

大事だいじ: 「ねじれの位置ねじれのいち」 は平面へいめんでは起おこらず、 空間くうかんだけの関係かんけい。 直方体ちょくほうたいの 「上うえの辺へん」 と 「右側みぎがわのたての辺へん」 がねじれの位置いちの例れい。

直線ちょくせんと平面へいめんの関係かんけい

関係かんけい	説明せつめい
直線ちょくせんが平面へいめん上じょうにある	直線ちょくせん上じょうのすべての点てんが平面へいめん上じょう
1 点てんで交まじわる	「直線ちょくせんが平面へいめんをつきさす」
平行へいこう	共有きょうゆう点てんがない

4. 体積たいせきの公式こうしき

角柱かくちゅう ・ 円柱えんちゅう

$V=\left(底面積\right)\times \left(高さ\right)$

立体りったい	公式こうしき
直方体ちょくほうたい	$V=abc$ ($a$、 $b$、 $c$ は縦たて・横よこ・高たかさ)
三角柱さんかくちゅう	$V=\frac{1}{2}\times 底辺\times 高さ\times 柱 の 高さ$
円柱えんちゅう	$V=\pi r^{2}h$

角錐かくすい ・ 円錐えんすい

$V=\frac{1}{3}\times \left(底面積\right)\times \left(高さ\right)$

「柱はしら体たいの 3 分ぶんの 1」 がポイント。

立体りったい	公式こうしき
円錐えんすい	$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$
角錐かくすい	$V=\frac{1}{3}\times 底面積\times 高さ$

球きゅう

半径はんけい$r$ の球きゅうの体積たいせき:

$V=\frac{4}{3}\pi r^3$

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
半径はんけい 3 cm、 高たかさ 5 cm の円柱えんちゅうの体積たいせき	$V=\pi \times 3^2\times 5=45\pi$ cm³
底面ていめん半径はんけい 4 cm、 高たかさ 9 cm の円錐えんすいの体積たいせき	$V=\frac{1}{3}\pi \times 4^2\times 9=48\pi$ cm³
半径はんけい 6 cm の球きゅうの体積たいせき	$V=\frac{4}{3}\pi \times 6^3=288\pi$ cm³

やってみよう: 1 辺へん 5 cm の立方体りっぽうたいの体積たいせきを求もとめよ。 (答えこたえ: $V=5^3=125$ cm³)

5. 表面積ひょうめんせき

表面積ひょうめんせきの求もとめ方かた

展開図てんかいずをイメージし、 すべての面めんの面積めんせきをたす。

立体りったい	表面積ひょうめんせきの構成こうせい
角柱かくちゅう	底面ていめん 2 枚まい + 側面そくめん (長方形ちょうほうけい) の合計ごうけい
円柱えんちゅう	底面ていめん ($\pi r^2$) $\times 2$ + 側面そくめん ($2\pi r\times h$)
角錐かくすい	底面ていめん 1 枚まい + 三角形さんかくけいの側面そくめん
円錐えんすい	底面ていめん ($\pi r^2$) + 側面そくめん (おうぎ形がた)

円錐えんすいの側面そくめん (おうぎ形がた) の面積めんせき

底面ていめん半径はんけい$r$、 母線ぼせん$\ell$ の円錐えんすいの側面そくめんおうぎ形がたの面積めんせきは

$S_{}=\pi r\ell$

球きゅう

半径はんけい$r$ の球きゅうの表面積ひょうめんせき:

$S=4\pi r^2$

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
半径はんけい 3 cm、 高たかさ 5 cm の円柱えんちゅうの表面積ひょうめんせき	底面ていめん$\pi \times 3^2=9\pi$ を 2 枚まい + 側面そくめん$2\pi \times 3\times 5=30\pi$、 合計ごうけい$9\pi \times 2+30\pi =48\pi$ cm²
底面ていめん半径はんけい 4 cm、 母線ぼせん 6 cm の円錐えんすいの表面積ひょうめんせき	底面ていめん$\pi \times 4^2=16\pi$、 側面そくめん$\pi \times 4\times 6=24\pi$、 合計ごうけい$40\pi$ cm²
半径はんけい 5 cm の球きゅうの表面積ひょうめんせき	$S=4\pi \times 5^2=100\pi$ cm²

大事だいじ: 球きゅうの公式こうしきは 「体積たいせきは $\frac{4}{3}\pi r^3$、 表面積ひょうめんせきは $4\pi r^2$」 — 「$\frac{4}{3}$ と $4$」 をセットで覚おぼえる。

やってみよう: 半径はんけい 2 cm、 高たかさ 7 cm の円柱えんちゅうの表面積ひょうめんせきを求もとめよ。 (答えこたえ: $4\pi \times 2+28\pi =8\pi +28\pi =36\pi$ cm²)

まとめ

• 柱はしら体たい (角柱かくちゅう・円柱えんちゅう) は 底面ていめんが 2 つで合同ごうどう、 錐すい体たい (角錐かくすい・円錐えんすい) は 底面ていめん 1 つで頂点ちょうてんへ
• 正多面体せいためんたい は 5 種類しゅるいだけ
• 展開図てんかいず は立体りったいを切きり開ひらいた平面へいめん図ず、 表面積ひょうめんせき計算けいさんの出発しゅっぱつ点てん
• ねじれの位置ねじれのいち は 「同おなじ平面へいめんになく、 交まじわらない」 空間くうかんだけの関係かんけい
• 体積たいせき: 柱はしら = 底そこ面積めんせき$\times$高さ、 錐すい = $\frac{1}{3}\times$底そこ面積めんせき$\times$高さ
• 球きゅう: $V=\frac{4}{3}\pi r^3$、 $S=4\pi r^2$
• 円錐えんすい側面そくめんおうぎ形がたの面積めんせき = $\pi r\ell$ (覚おぼえると速はやい)