数学すうがく 1年ねん｜データの分析ぶんせき

この章しょうで学まなぶこと

世よの中なかには数かずの集あつまり (データでーた) があふれています。 「数かずが多おおい」 とわけがわからなくなるので、 整理せいりし、 数かずで特とくちょうをつかむ ことが大切たいせつです。

• 度数分布表どすうぶんぷひょう と ヒストグラムひすとぐらむ を作つくれる・読よめる
• 階級かいきゅう・階級の幅かいきゅうのはば・度数どすう・相対度数そうたいどすう・累積度数るいせきどすう の用語ようごを区別くべつできる
• 平均値へいきんち・中央値ちゅうおうち・最頻値さいひんち の求もとめ方かたと違ちがいを知しる
• 範囲はんい でデータの散ちらばりがわかる
• 代表値だいひょうち を場面ばめんで使つかい分わける
• 相対度数そうたいどすう を 確率かくりつの見当けんとう として利用りようできる

ポイント: 中なか 1 では 「ばらばらの数かずをひとまとめに見みる」 ことが目標もくひょう。 中なか 2 での 「箱はこひげ図ず」、 中なか 3 での 「標本ひょうほん調査ちょうさ」 へつながります。

1. 度数どすう分布ぶんぷ表ひょう

用語ようご

用語ようご	意味いみ
階級かいきゅう	データを区切くぎった区間くかん (例れい: 50 cm 以上いじょう 60 cm 未み満まん)
階級の幅かいきゅうのはば	区間くかんのはば (例れい: 10 cm)
度数どすう	その階級かいきゅうに入はいるデータの個数こすう
階級値かいきゅうち	階級かいきゅうのまんなかの値あたい (例れい: 50〜60 → 55)
累積度数るいせきどすう	その階級かいきゅうまでの度数どすうの合計ごうけい
相対度数そうたいどすう	$\frac{}{}$

例れい — 50 m 走はしの記録きろく

階級かいきゅう (秒びょう)	階級かいきゅう値ち	度数どすう (人じん)	累積るいせき度数どすう	相対そうたい度数どすう
$7.0$〜$8.0$	$7.5$	$2$	$2$	$0.05$
$8.0$〜$9.0$	$8.5$	$10$	$12$	$0.25$
$9.0$〜$10.0$	$9.5$	$18$	$30$	$0.45$
$10.0$〜$11.0$	$10.5$	$8$	$38$	$0.20$
$11.0$〜$12.0$	$11.5$	$2$	$40$	$0.05$
合計ごうけい	—	$40$	—	$1.00$

大事だいじ: 「○以上いじょう △未満みまん」 の表記ひょうきで、 境目さかいめの値あたい (ちょうど 8.0 秒びょう) は 下かの階級かいきゅう に入はいる。

2. ヒストグラムと度数どすう折おれ線せん

ヒストグラム

度数分布表どすうぶんぷひょうを棒ぼうで表あらわしたものが ヒストグラムひすとぐらむ。 棒ぼうと棒ぼうの間まは すきまなく 並ならべる (棒グラフぼうグラフと違ちがう点てん)。

度数どすう折おれ線せん

各かく階級かいきゅうの 階級かいきゅう値ち の上うえに度数どすうを点てんで打うち、 直線ちょくせんで結むすんだもの。 両端りょうたんは 0 度数どすうまで下おろす。

大事だいじ: ヒストグラムは 山さんの形かたち を見みる。 「左ひだりにかたよる」 「中央ちゅうおうに集あつまる」 「2 つの山やま」 など、 形かたちからデータの性質せいしつを読よみ取とる。

3. 代表だいひょう値ち

たくさんのデータを 1 つの値あたい で代表だいひょうさせたものを 代表値だいひょうち といい、 主おもに 3 つあります。

平均へいきん値ち

すべてのデータをたして個数こすうでわったもの。

$平均値=\frac{}{}$

例: $4,6,8,10,12$ の平均へいきん = $\frac{40}{5}=8$

中央ちゅうおう値ち (メジアン)

データを 小ちいさい順じゅんに並ならべたときのまんなか の値あたい。

個数こすう	中央ちゅうおう値ちの求もとめ方かた
奇き数すう個こ	まんなかの 1 個こ
偶数ぐうすう個こ	まんなか 2 個この平均へいきん

例れい: $1,3,5,7,9$ → 中央ちゅうおう値ち$5$ 例: $1,3,5,7,9,11$ → 中央ちゅうおう値ち$\frac{5+7}{2}=6$

最頻値さいひんち (モード)

データの中なかで 一いち番ばん多おおく出でてくる 値あたい。 度数どすう分布ぶんぷ表ひょうでは 度数どすうが最大さいだいの階級かいきゅうの階級値かいきゅうち。

例題れいだい

例題れいだい

データ	平均へいきん	中央ちゅうおう	最さい頻しき
$5,7,7,8,10,10,10,12,15$	$\frac{84}{9}\fallingdotseq 9.3$	$10$	$10$
$20,30,40,50,60$	$40$	$40$	なし (全部ぜんぶ 1 回かいずつ)

やってみよう: $4,6,6,8,11$ の平均へいきん値ちと中央ちゅうおう値ちと最頻値さいひんちを求もとめよ。 (答えこたえ: 平均へいきん$7$、 中央ちゅうおう$6$、 最さい頻しき$6$)

4. 範囲はんいと散ちらばり

範囲はんい (レンジ)

データの 最大値さいだいちから最小値さいしょうちをひいた値あたい。 散ちらばりの大おおざっぱな目安めやす。

$範囲=\left(最大値\right)-\left(最小値\right)$

例: $5,7,9,12,15$ → 範囲はんい$15-5=10$

代表だいひょう値ちと散ちらばり

比くらべるもの	例れい
A 組くみ: 50, 60, 70, 80, 90	平均へいきん 70、 範囲はんい 40
B 組くみ: 60, 65, 70, 75, 80	平均へいきん 70、 範囲はんい 20

平均へいきんは同おなじでも、 B 組くみの方ほうが ばらつきが小ちいさい ことが範囲はんいでわかる。

大事だいじ: 平均へいきんだけではデータの全体ぜんたい像ぞうがわからない。 散ちらばり もあわせて見みる。

5. 代表だいひょう値ちの使つかい分わけ

状況じょうきょう	適てきした代表だいひょう値ち	理由りゆう
ふつうの連続れんぞくしたデータ (身長しんちょう、 テスト点てん)	平均へいきん値ち	全体ぜんたいをバランスよく反映はんえい
極端きょくたんに大おおきな (小ちいさな) 値あたい が混こんじる	中央ちゅうおう値ち	平均へいきんは外はずれ値ちに引ひっ張ぱられる
「人気にんきの商品しょうひん」 「最もっとも多おおい反応はんのう」	最頻値さいひんち	一番いちばん多おおく出でる値あたいを知しりたい

例れい: 給料きゅうりょうのデータで、 1 人ひとだけものすごく高たかい給料きゅうりょうの人ひとがいると平均へいきんは大おおきくふくらむ。 こういうときは 中央ちゅうおう値ち が実感じっかんに近ちかい。

6. 相対そうたい度数どすうと確率かくりつの見当けんとう

相対そうたい度数どすうとは

ある階級かいきゅうの度数どすうが 全体ぜんたいに占しめる割合わりあい。

$相対度数=\frac{}{}$

すべての階級かいきゅうの相対そうたい度数どすうをたすと 1 になる。

「確率かくりつの見当けんとう」 として

実験じっけんや観察かんさつを多数たすう行おこなうと、 ある事ことがらの起おこる 相対そうたい度数どすう が一定いっていの値あたいに近ちかづくことがある。 このとき、 その値あたいを 「起おこりやすさ (確率かくりつ) の見当けんとう」 と考かんがえることができる。

例れい: コインを 100 回かい投なげて表ひょうが 53 回かい出でた → 「表ひょうの出でる相対そうたい度数どすう = 0.53」、 「表ひょうの出でる確率かくりつ ≒ 0.5」 と見当けんとうをつける。

大事だいじ: 「相対度数そうたいどすうが多数たすう試行しこうで一定いっていの値あたいに近ちかづく」 という見方みかたが、 中なか 2 以降いこうで学まなぶ 「確率かくりつ」 へつながる。

まとめ

• データは 度数分布表どすうぶんぷひょう や ヒストグラムひすとぐらむ で整理せいりする
• 代表値だいひょうち = 平均へいきん値ち・中央ちゅうおう値ち・最頻値さいひんち、 状況じょうきょうで使つかい分わける
• 範囲はんい で散ちらばりの目安めやすがわかる
• 平均へいきんと散ちらばりの 両方りょうほう を見みることが重要じゅうよう
• 相対度数そうたいどすう は全体ぜんたいの中なかでの割合わりあい、 多数たすう試行しこうで 確率かくりつの見当けんとう になる