約数やくすうと倍数ばいすう — 公約こうやく数すう・公倍数こうばいすうの見みつけ方かた

この章しょうで学まなぶこと

整数せいすうを 「わり切きれる・わり切きれない」 で見みていく単元たんげんです。 約数やくすう と 倍数ばいすう をしっかり区別くべつし、 2つの数かずに共通きょうつうするものを見みつけられるようにします。

• 約数やくすうと倍数ばいすうの意味いみ
• 公約数こうやくすうと最大公約数さいだいこうやくすう
• 公倍数こうばいすうと最小公倍数さいしょうこうばいすう
• 偶数ぐうすうと奇数きすう

ポイント: 約数やくすうは 「その数かずをわり切きる数すう」、 倍数ばいすうは 「その数かずを何なん倍ばいかした数すう」 です。 言葉ことばが似にているので、 どちらの話はなしか注意ちゅういしましょう。

1. 約数やくすう

ある整数せいすうを わり切きることのできる整数せいすう を、 その数かずの 約数やくすう といいます。

例題れいだい: $12$ の約数やくすうをすべて書かきましょう。

$12$ をわり切きれる数かずを小ちいさい順じゅんにさがします。

$1, 2, 3, 4, 6, 12$

検算けんざん: $12÷1=12$、 $12÷2=6$、 $12÷3=4$、 $12÷4=3$、 $12÷6=2$、 $12÷12=1$。 どれもわり切きれるので正ただしい。 $5$ や $7$ などはわり切きれないので約数やくすうではありません。

大事だいじ: $1$ と、 その数すう自身じしん (ここでは $12$) は、 かならず約数やくすうになります。 約数やくすうをさがすときは 「かけて $12$ になる2つの数かずの組くみ」 ($1\times 12, 2\times 6, 3\times 4$) を考かんがえると、 もれなく見みつかります。

2. 公約こうやく数すうと最大公約数さいだいこうやくすう

2つの整数せいすうに 共通きょうつうする約数やくすう を 公約数こうやくすう、 その中なかでいちばん大おおきいものを 最大公約数さいだいこうやくすう といいます。

例題れいだい: $12$ と $18$ の公約こうやく数すうと最大公約数さいだいこうやくすうを求もとめましょう。

• $12$ の約数やくすう … $1,2,3,4,6,12$
• $18$ の約数やくすう … $1,2,3,6,9,18$

両方りょうほうに出でてくる数かず (公約こうやく数すう) は $1,2,3,6$。 いちばん大おおきいのは $6$。

$公約数=1, 2, 3, 6最大公約数=6$

検算けんざん: $12÷6=2$、 $18÷6=3$ で、 どちらもわり切きれます。 正ただしい。

ポイント: 最大公約数さいだいこうやくすうは、 分数ぶんすうの約分やくぶんでも使つかいます。 大おおきい数かずの約数やくすうのうち、 小ちいさいほうの数かずもわり切きれるものをさがすと早はやく見みつかります。

3. 公倍数こうばいすうと最小公倍数さいしょうこうばいすう

ある数かずを $1$倍、 $2$倍、 $3$倍… した数かずを 倍数ばいすう といいます。 2つの整数せいすうに 共通きょうつうする倍数ばいすう を 公倍数こうばいすう、 その中なかでいちばん小ちいさいものを 最小公倍数さいしょうこうばいすう といいます。

例題れいだい: $4$ と $6$ の最小公倍数さいしょうこうばいすうを求もとめましょう。

• $4$ の倍数ばいすう … $4,8,12,16,20,24,\dots$
• $6$ の倍数ばいすう … $6,12,18,24,\dots$

両方りょうほうに出でてくる数かず (公倍数こうばいすう) は $12,24,\dots$。 いちばん小ちいさいのは $12$。

$最小公倍数=12$

検算けんざん: $12÷4=3$、 $12÷6=2$ で、 どちらもわり切きれます。 $12$ より小ちいさい共通きょうつうの倍数ばいすうはないので正ただしい。

大事だいじ: 公倍数こうばいすうは、 最小公倍数さいしょうこうばいすうの倍数ばいすう ($12,24,36,\dots$) になっています。 大おおきいほうの数かず ($6$) の倍数ばいすうを順じゅんに書かき、 小ちいさいほうの数かず ($4$) でもわり切きれる最初さいしょのものをさがすと早はやいです。

4. 偶数ぐうすうと奇数きすう

$2$ でわり切きれる整数せいすうを 偶数ぐうすう ($0,2,4,6,\dots$)、 わり切きれない整数せいすうを 奇数きすう ($1,3,5,7,\dots$) といいます。

ポイント: $0$ は偶数ぐうすうです。 一いちの位くらいが $0,2,4,6,8$ なら偶数ぐうすう、 $1,3,5,7,9$ なら奇数きすうと、 一いちの位くらいだけで見分みわけられます。

どう問とわれるか

• 「$24$ の約数やくすうをすべて書かきなさい」 のような 約数やくすうの列挙れっきょ が出でます。
• 「$8$ と $12$ の最小公倍数さいしょうこうばいすうを求もとめなさい」 「$18$ と $24$ の最大公約数さいだいこうやくすうを求もとめなさい」 が定番ていばんです。
• 文章ぶんしょう題だいでは 「たて $4$ cm、 横$6$ cm のタイルをすき間まなく並ならべて正方形せいほうけいを作つくる、 いちばん小ちいさい正方形せいほうけいの一いち辺へん」 (最小公倍数さいしょうこうばいすう) のように出でます。

よくまちがえるところ

約数やくすうと倍数ばいすうは、 ことばが似にているために取とりちがえる のがいちばんの原因げんいんです。

まちがい	例れい	直なおし方かた
約数やくすうと倍数ばいすうを取とりちがえる	12 の約数やくすうを聞きかれて 12, 24, 36 と答こたえる	約数やくすうはわり切きる数かず、 倍数ばいすうは何なん倍ばいかした数かず
1 とその数すう自身じしんを書かきわすれる	12 の約数やくすうを 2, 3, 4, 6 だけとする	1 と 12 もかならず約数やくすう
最大公約数さいだいこうやくすうと最小公倍数さいしょうこうばいすうを逆ぎゃくにする	4 と 6 の最小公倍数さいしょうこうばいすうを 2 とする	2 は最大公約数さいだいこうやくすう。 最小公倍数さいしょうこうばいすうは 12
0 を偶数ぐうすうにふくめない	偶数ぐうすうを 2, 4, 6, … だけとする	0 も偶数ぐうすう

いちばん多おおいのは 約数やくすうと倍数ばいすうの取とりちがえ です。 見分みわけ方かたはかんたんで、 答えこたえがもとの数かずより大おおきくなるなら倍数ばいすう、 小ちいさいか同おなじなら約数やくすう です。 12 の約数やくすうは 1, 2, 3, 4, 6, 12 で、 どれも 12 以下いか。 12 の倍数ばいすうは 12, 24, 36, … で、 どれも 12 以上いじょうです。 書かき出だしたあとに大おおきさを見みれば、 まちがいにすぐ気きづけます。

公約こうやく数すう・公倍数こうばいすうの見みつけ方かた

求もとめるもの	手順てじゅん	例れい (12 と 18)
最大公約数さいだいこうやくすう	小ちいさいほうの数かずの約数やくすうを大おおきい順じゅんに書かき、 もう一方いっぽうをわり切きる最初さいしょの数かず	12 の約数やくすう 12, 6, … → 18 をわり切きるのは 6
公約こうやく数すう	最大公約数さいだいこうやくすうの約数やくすうがすべて公約こうやく数すう	6 の約数やくすう 1, 2, 3, 6
最小公倍数さいしょうこうばいすう	大おおきいほうの数かずの倍数ばいすうを書かき、 もう一方いっぽうでわり切きれる最初さいしょの数かず	18, 36 → 36 は 12 でわり切きれる
公倍数こうばいすう	最小公倍数さいしょうこうばいすうの倍数ばいすうがすべて公倍数こうばいすう	36, 72, 108, …

約数やくすうをもれなく書かくには、 かけて その数かずになる2つの組くみ で考えかんがえます。

数かず	かけ算ざんの組くみ	約数やくすう
12	1 × 12、 2 × 6、 3 × 4	1, 2, 3, 4, 6, 12
24	1 × 24、 2 × 12、 3 × 8、 4 × 6	1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

大事だいじ: 公約こうやく数すうは 最大公約数さいだいこうやくすうの約数やくすう、 公倍数こうばいすうは 最小公倍数さいしょうこうばいすうの倍数ばいすう になります。 これを知しっていると、 全部ぜんぶ書かき出ださなくても答えこたえられます。

自分じぶんでチェック

• 約数やくすうはもとの数すう以下いか、 倍数ばいすうはもとの数すう以上いじょうになると言いえる
• 12 の約数やくすうを、 かけ算ざんの組くみを使つかってもれなく書かける
• 12 と 18 の最大公約数さいだいこうやくすう 6 を求もとめられる
• 4 と 6 の最小公倍数さいしょうこうばいすう 12 を求もとめられる
• 0 が偶数ぐうすうだと言いえる

まとめ

• 約数やくすう = その数かずをわり切きる整数せいすう、 倍数ばいすう = その数かずを何なん倍ばいかした数かず
• 公約数こうやくすうの中なかで最大さいだいのものが最大公約数さいだいこうやくすう
• 公倍数こうばいすうの中なかで最小さいしょうのものが最小公倍数さいしょうこうばいすう
• $2$ でわり切きれるのが偶数ぐうすう ($0$ もふくむ)、 わり切きれないのが奇数きすう

次章しょうでは、 分数ぶんすうのたし算たしざん・ひき算ひきざん を学まなびます。