三角形さんかくけい・四角形しかくけいの面積めんせき — 公式こうしきとその求もとめ方かた

この章しょうで学まなぶこと

4年生ねんせいでは長方形ちょうほうけい・正方形せいほうけいの面積めんせきを学まなびました。 5年生ねんせいでは 三角形さんかくけい・平行四辺形へいこうしへんけい・台形だいけい・ひし形ひしがた の面積めんせきを学まなびます。 どれも長方形ちょうほうけいの面積めんせきをもとにして導みちびけます。

• 平行四辺形へいこうしへんけいの面積めんせき = 底辺ていへん × 高たかさ
• 三角形さんかくけいの面積めんせき = 底辺ていへん × 高たかさ ÷ 2
• 台形だいけいの面積めんせき = (上底じょうてい + 下底かてい) × 高たかさ ÷ 2
• ひし形ひしがたの面積めんせき = 対角線たいかくせん × 対角線たいかくせん ÷ 2

ポイント: 「底辺ていへん」 と 「高たかさ」 はかならず 直角ちょっかくに交まじわる長ながさ を使つかいます。 ななめの辺へんの長ながさを高たかさとまちがえないようにしましょう。

1. 平行四辺形へいこうしへんけいの面積めんせき

平行四辺形へいこうしへんけいは、 はしの三角形さんかくけいを反対はんたい側がわに動うごかすと長方形ちょうほうけいになります。 だから面積めんせきは 底辺ていへん × 高たかさ です。

$平行四辺形の面積=底辺\times 高さ$

例題れいだい: 底辺ていへん$6$ cm、 高たかさ $4$ cm の平行四辺形へいこうしへんけいの面積めんせきを求もとめましょう。

$6\times 4=24 \left(2^{}\right)$

検算けんざん: 同おなじ底辺ていへんと高たかさの長方形ちょうほうけい ($6\times 4=24$) と面積めんせきが等ひとしい。 正ただしい。

大事だいじ: 高たかさは底辺ていへんに 垂直すいちょく な長ながさです。 平行四辺形へいこうしへんけいのななめの辺へんの長ながさではありません。

2. 三角形さんかくけいの面積めんせき

三角形さんかくけいは、 同おなじ三角形さんかくけいをもう1つ合あわせると平行四辺形へいこうしへんけいになります。 だから面積めんせきは平行四辺形へいこうしへんけいの 半分はんぶん、 底辺ていへん × 高たかさ ÷ 2 です。

$三角形の面積=底辺\times 高さ÷2$

例題れいだい: 底辺ていへん$8$ cm、 高たかさ $5$ cm の三角形さんかくけいの面積めんせきを求もとめましょう。

$8\times 5÷2=40÷2=20 \left(2^{}\right)$

検算けんざん: 底辺ていへん$8$、 高たかさ $5$ の平行四辺形へいこうしへんけいは $40$ cm²。 その半分はんぶんが $20$ cm²。 正ただしい。

大事だいじ: $÷2$ をわすれて $40$ cm² としてしまうミスがとても多おおいです。 三角形さんかくけいは最後さいごにかならず $2$ でわります。

3. 台形だいけいの面積めんせき

台形だいけいは、 上うえの辺へん (上底じょうてい) と下したの辺へん (下底かてい) の長ながさがちがう四角形しかくけいです。 面積めんせきは (上底じょうてい + 下底かてい) × 高たかさ ÷ 2 です。

$台形の面積=(上底+下底)\times 高さ÷2$

例題れいだい: 上底じょうてい$3$ cm、 下底かてい$7$ cm、 高たかさ $4$ cm の台形だいけいの面積めんせきを求もとめましょう。

$(3+7)\times 4÷2=10\times 4÷2=40÷2=20 \left(2^{}\right)$

検算けんざん: $(3+7)=10$、 $10\times 4=40$、 $40÷2=20$。 正ただしい。

ポイント: まず 上底じょうていと下底かていをたしてから 高たかさをかけ、 最後さいごに $2$ でわります。 計算けいさんの順番じゅんばんをまちがえないようにしましょう。

4. ひし形ひしがたの面積めんせき

ひし形ひしがたは、 4つの辺へんの長ながさがすべて等ひとしい四角形しかくけいです。 面積めんせきは 2本ほんの対角線たいかくせんをかけて $2$ でわった 大おおきさです。

$ひし形の面積=対角線\times 対角線÷2$

例題れいだい: 対角線たいかくせんが $6$ cm と $8$ cm のひし形ひしがたの面積めんせきを求もとめましょう。

$6\times 8÷2=48÷2=24 \left(2^{}\right)$

検算けんざん: $6\times 8=48$、 $48÷2=24$。 正ただしい。

どう問とわれるか

• 「底辺ていへん$10$ cm、 高たかさ $6$ cm の三角形さんかくけいの面積めんせきを求もとめなさい」 のような 公式こうしきの利用りよう が定番ていばんです。
• 図ずに高たかさとちがう辺へんの長ながさも書かいてあり、 正ただしい高たかさを選えらぶ 力ちからが問とわれます。
• 「面積めんせきが $24$ cm²、 底辺ていへんが $8$ cm の三角形さんかくけいの高たかさを求もとめなさい」 のような 逆ぎゃく向むき の問題もんだいも出でます。

よくまちがえるところ

面積めんせきの公式こうしきは、 どこを高たかさに使つかうか と ÷ 2 をするかどうか で差さがつきます。

まちがい	例れい	直なおし方かた
三角形さんかくけいで ÷ 2 をわすれる	底辺ていへん 8 cm・高たかさ 5 cm を 40 cm² とする	8 × 5 ÷ 2 = 20 cm²
ななめの辺へんを高たかさに使つかう	平行四辺形へいこうしへんけいのななめの辺へん 5 cm を高たかさにする	高たかさは底辺ていへんに垂直すいちょくな長ながさ
台形だいけいで先さきに高たかさをかける	3 + 7 × 4 ÷ 2 と計算けいさんする	(3 + 7) × 4 ÷ 2 = 20 cm²
ひし形ひしがたで辺へんの長ながさを使つかう	1辺へん 5 cm から 5 × 5 ÷ 2 とする	ひし形ひしがたは 対角線たいかくせん × 対角線たいかくせん ÷ 2

いちばん多おおいのは ÷ 2 のわすれ です。 三角形さんかくけいは 「同おなじ三角形さんかくけいを2つ合あわせると平行四辺形へいこうしへんけいになる」 から半分はんぶんにします。 台形だいけいも、 同おなじ台形だいけいを逆さかさにして合あわせると平行四辺形へいこうしへんけいになるので半分はんぶんです。 なぜ半分はんぶんなのか をわかっていると、 わすれにくくなります。 答えこたえを出だしたら 「この三角形さんかくけいは、 同おなじ底辺ていへんと高たかさの長方形ちょうほうけいの半分はんぶんくらいの広ひろさか」 と図ずで見みくらべましょう。

面積めんせきの公式こうしきを使つかい分わける

図形ずけい	公式こうしき	気きをつけること
長方形ちょうほうけい	たて × 横よこ	÷ 2 はしない
平行四辺形へいこうしへんけい	底辺ていへん × 高たかさ	高たかさは底辺ていへんに垂直すいちょく。 ÷ 2 はしない
三角形さんかくけい	底辺ていへん × 高たかさ ÷ 2	÷ 2 をわすれない
台形だいけい	(上底じょうてい + 下底かてい) × 高たかさ ÷ 2	先さきにたし算さんをする
ひし形ひしがた	対角線たいかくせん × 対角線たいかくせん ÷ 2	辺へんの長ながさは使つかわない

図ずに長ながさがいくつも書かいてあるときは、 底辺ていへんに対たいして直角ちょっかくの印しるしがついている長ながさ をさがします。 それが高たかさです。

逆ぎゃく向むきの問題もんだいも、 公式こうしきを変形へんけいすれば求もとめられます。

求もとめるもの	式しき	例れい
三角形さんかくけいの高たかさ	面積めんせき × 2 ÷ 底辺ていへん	24 × 2 ÷ 8 = 6 cm
平行四辺形へいこうしへんけいの底辺ていへん	面積めんせき ÷ 高たかさ	24 ÷ 4 = 6 cm

大事だいじ: 三角形さんかくけいの高たかさを求もとめるときは、 先さきに 2 をかけて から底辺ていへんでわります。 いきなり 面積めんせき ÷ 底辺ていへん とすると答えこたえが半分はんぶんになってしまいます。

自分じぶんでチェック

• 三角形さんかくけいの面積めんせきで ÷ 2 をわすれずに計算けいさんできる
• 高たかさが底辺ていへんに垂直すいちょくな長ながさだと言いえる
• 台形だいけいは (上底じょうてい + 下底かてい) を先さきに計算けいさんすると言いえる
• ひし形ひしがたは対角線たいかくせんどうしをかけて ÷ 2 すると言いえる
• 面積めんせきから高たかさや底辺ていへんを逆ぎゃくに求もとめられる

まとめ

• 平行四辺形へいこうしへんけい = 底辺ていへん × 高たかさ
• 三角形さんかくけい = 底辺ていへん × 高たかさ ÷ 2 ($÷2$ をわすれない)
• 台形だいけい = (上底じょうてい + 下底かてい) × 高たかさ ÷ 2
• ひし形ひしがた = 対角線たいかくせん × 対角線たいかくせん ÷ 2
• 高たかさは底辺ていへんに 垂直すいちょく な長ながさを使つかう

次じ章しょうでは、 立方体りっぽうたい・直方体ちょくほうたいの体積たいせき を学まなびます。