体積たいせき — 立方体りっぽうたい・直方体ちょくほうたいと容積ようせき

この章しょうで学まなぶこと

ものの 「かさ (大おおきさ)」 を表あらわす 体積たいせき を学まなびます。 立方体りっぽうたいや直方体ちょくほうたいの体積たいせきを、 公式こうしきを使つかって求もとめられるようにします。

• 体積たいせきの意味いみと単位たんい (cm³・m³)
• 立方体りっぽうたいの体積たいせき = 1辺へん × 1辺へん × 1辺へん
• 直方体ちょくほうたいの体積たいせき = たて × 横よこ × 高たかさ
• 容積ようせきと、 体積たいせきとかさかさ (L) の関係かんけい

ポイント: 面積めんせきは 「広ひろさ」 で $2^{}$、 体積たいせきは 「かさ」 で $3^{}$ です。 単位たんいの右みぎ上じょうの数字すうじ ($2$ と $3$) のちがいに注意ちゅういしましょう。

1. 体積たいせきの意味いみ

$1$辺へんが $1$ cm の立方体りっぽうたいの大おおきさを $1$立方りっぽうセンチメートル ($1 3^{}$) といいます。 体積たいせきは、 この $1 3^{}$ の立方体りっぽうたいがいくつ分ふんあるかで表あらわします。

大事だいじ: 体積たいせきの単位たんい$3^{}$ は、 $1 3^{}$ の立方体りっぽうたいがいくつ入はいるかを表あらわします。 「立方りっぽうセンチメートル」 と読よみます。

2. 直方体ちょくほうたいの体積たいせき

直方体ちょくほうたいの体積たいせきは たて × 横よこ × 高たかさ で求もとめられます。

$直方体の体積=たて\times 横\times 高さ$

例題れいだい: たて $4$ cm、 横$5$ cm、 高たかさ $3$ cm の直方体ちょくほうたいの体積たいせきを求もとめましょう。

$4\times 5\times 3=60 \left(3^{}\right)$

検算けんざん: 底そこの面積めんせき$4\times 5=20$ cm² に高たかさ $3$ cm をかけて $60$ cm³。 正ただしい。

ポイント: 直方体ちょくほうたいの体積たいせきは 底そこの面積めんせき × 高たかさ とも考えかんがえられます。 底そこの面積めんせき = たて × 横よこ だからです。

3. 立方体りっぽうたいの体積たいせき

立方体りっぽうたいは、 たて・横よこ・高たかさがすべて同おなじ長ながさです。 体積たいせきは 1辺へん × 1辺へん × 1辺へん です。

$立方体の体積=1辺\times 1辺\times 1辺$

例題れいだい: $1$辺へんが $4$ cm の立方体りっぽうたいの体積たいせきを求もとめましょう。

$4\times 4\times 4=64 \left(3^{}\right)$

検算けんざん: $4\times 4=16$、 $16\times 4=64$。 正ただしい。

4. 容積ようせきと単位たんいの関係かんけい

入いれ物ものの内側うちがわいっぱいに入はいる水みずなどの体積たいせきを 容積ようせき といいます。 求もとめ方かたは体積たいせきと同おなじですが、 内ない側がわの長ながさ を使つかいます。

体積たいせきの単位たんいには、 つぎのような関係かんけいがあります。

単位たんい	関係かんけい
$1 3^{}$	$=\mathrm{1,000,000} 3^{}$
$1 L$	$=\mathrm{1,000} 3^{}$
$1 mL$	$=1 3^{}$

例題れいだい: 内側うちがわがたて $10$ cm、 横$20$ cm、 高たかさ $15$ cm の水みずそうに、 水みずは何なに L 入はいりますか。

体積たいせきを求もとめます。

$10\times 20\times 15=3000 \left(3^{}\right)$

$1 L=1000 3^{}$ なので、

$3000÷1000=3 \left(L\right)$

検算けんざん: $3$ L $=3000$ cm³。 もとの体積たいせきと合あいます。 正ただしい。

大事だいじ: $1 L=1000 3^{}$ です。 cm³ から L になおすには $1000$ でわります。 単位たんいの換算かんさんをまちがえないようにしましょう。

どう問とわれるか

• 「たて $6$ cm、 横$4$ cm、 高たかさ $5$ cm の直方体ちょくほうたいの体積たいせき」 のような 公式こうしきの利用りよう が定番ていばんです。
• 「内うちのりが…の水みずそうに水みずは何なに L 入はいるか」 のような 容積ようせきと単位たんい換算かんさん が出でます。
• 「直方体ちょくほうたいを組み合わせくみあわせた立体りったいの体積たいせき」 を、 2つの直方体ちょくほうたいに分わけて求もとめる問題もんだいも出でます。

よくまちがえるところ

体積たいせきでは、 単位たんいの換算かんさん のまちがいがとくに多おおく見みられます。

まちがい	例れい	直なおし方かた
cm² と cm³ を取とりちがえる	体積たいせきの答えこたえを 60 cm² と書かく	体積たいせきは cm³
1 L を 100 cm³ とする	3000 cm³ を 30 L とする	1 L = 1000 cm³ なので 3 L
1 m³ を 10000 cm³ とする	m² の換算かんさんと同おなじにしてしまう	たて・横よこ・高たかさの3つが100倍ばいで 1000000 cm³
容積ようせきで外側そとがわの長ながさを使つかう	板いたの厚あつさをふくめた長ながさで計算けいさんする	容積ようせきは内側うちがわ (内うちのり) の長ながさ

いちばん多おおいのは 1 m³ の換算かんさん です。 面積めんせき (m²) は たてと横よこの2つが100倍ばいなので 100 × 100 = 10000 倍ばいでしたが、 体積たいせき (m³) は たて・横よこ・高たかさの3つ が100倍ばいになるので 100 × 100 × 100 = 1000000 倍ばいです。 「2乗じょうなら100を2回かい、 3乗じょうなら100を3回かいかける」 と考かんがえると取とりちがえません。

体積たいせきとかさの単位たんい

単位たんい	同おなじ大おおきさ	目安めやす
1 mL	1 cm³	小こさじ1杯はいより少すこし少すくない
1 dL	100 mL = 100 cm³	コップ半分はんぶんくらい
1 L	1000 mL = 1000 cm³	牛乳ぎゅうにゅうパック1本ほん
1 m³	1000000 cm³ = 1000 L	1辺へん 1 m の立方体りっぽうたい

換算かんさんの向むきも、 表ひょうにすると迷まよいません。

直なおす向むき	すること	例れい
cm³ → L	1000 でわる	3000 cm³ = 3 L
L → cm³	1000 をかける	5 L = 5000 cm³
m³ → cm³	1000000 をかける	2 m³ = 2000000 cm³

大事だいじ: 小ちいさい単位たんいに直なおすと数かずは 大おおきく、 大おおきい単位たんいに直なおすと数かずは 小ちいさく なります。 答えこたえを出だしたら 「大おおきくなるはずか、 小ちいさくなるはずか」 を先さきに考えかんがえて、 けたを確たしかめましょう。

自分じぶんでチェック

• 直方体ちょくほうたいの体積たいせきが たて × 横よこ × 高たかさ だと言いえる
• 体積たいせきの単位たんいが cm³・m³ だと言いえる
• 1 L = 1000 cm³ と言いえる
• 1 m³ = 1000000 cm³ と言いえる
• 容積ようせきは内側うちがわの長ながさで求もとめると言いえる

まとめ

• 直方体ちょくほうたいの体積たいせき = たて × 横よこ × 高たかさ (= 底そこの面積めんせき × 高たかさ)
• 立方体りっぽうたいの体積たいせき = 1辺へん × 1辺へん × 1辺へん
• 容積ようせきは内側うちがわの長ながさで求もとめる
• $1 3^{}=\mathrm{1,000,000} 3^{}$、 $1 L=1000 3^{}$

次章しょうでは、 平均へいきんと単位量あたりの大きさたんいりょうあたりのおおきさ を学まなびます。