分数ぶんすうのたし算さん・ひき算さん — 通分つうぶんと約分やくぶん

この章しょうで学まなぶこと

分母ぶんぼがちがう 分数ぶんすう どうしのたし算さん・ひき算さんを学まなびます。 通分つうぶんして分母ぶんぼをそろえるのがポイントです。

• 約分やくぶん (分母ぶんぼと分子ぶんしを同おなじ数かずでわって小ちいさくする)
• 通分つうぶん (分母ぶんぼをそろえる)
• 分母ぶんぼのちがう分数ぶんすうのたし算さん・ひき算さん
• 帯分数たいぶんすうの計算けいさん

ポイント: たし算さん・ひき算さんをするには、 まず 分母ぶんぼをそろえる (通分つうぶん) ことが必要ひつようです。 答えこたえが約分やくぶんできるときは、 かならず約分やくぶん して、 いちばん小ちいさい分数ぶんすうにしましょう。

1. 約分やくぶん

分数ぶんすうの 分母ぶんぼと分子ぶんしを同おなじ数かずでわって 小ちいさくすることを 約分やくぶん といいます。 分数ぶんすうの大おおきさは変かわりません。

例題れいだい: $\frac{8}{12}$ を約分やくぶんしましょう。

$8$ と $12$ の最大公約数さいだいこうやくすうは $4$。 分母ぶんぼと分子ぶんしを $4$ でわります。

$\frac{8}{12}=\frac{8÷4}{12÷4}=\frac{2}{3}$

検算けんざん: $\frac{2}{3}$ の分母ぶんぼと分子ぶんしに $4$ をかけると $\frac{8}{12}$ にもどります。 正ただしい。

大事だいじ: 約分やくぶんは 最大公約数さいだいこうやくすうでわると一いち度どで終おわり ます。 小ちいさい数かずで何なん回かいかに分わけてわってもかまいませんが、 最後さいごにこれ以上いじょう約分やくぶんできないことを確たしかめましょう。

2. 通分つうぶん

分母ぶんぼのちがう分数ぶんすうを、 分母ぶんぼをそろえた分数ぶんすうになおす ことを 通分つうぶん といいます。 分母ぶんぼを 最小公倍数さいしょうこうばいすう にそろえます。

例題れいだい: $\frac{1}{3}$ と $\frac{1}{4}$ を通分つうぶんしましょう。

$3$ と $4$ の最小公倍数さいしょうこうばいすうは $12$。 分母ぶんぼを $12$ にそろえます。

$\frac{1}{3}=\frac{4}{12},\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$

検算けんざん: $\frac{1}{3}$ は分母ぶんぼ分子ぶんしに $4$ をかけて $\frac{4}{12}$、 $\frac{1}{4}$ は $3$ をかけて $\frac{3}{12}$。 大おおきさは変かわっていません。 正ただしい。

3. 分母ぶんぼのちがう分数ぶんすうのたし算さん・ひき算さん

通分つうぶんして分母ぶんぼをそろえてから、 分子ぶんしどうしを計算けいさん します。 答えこたえが約分やくぶんできるときは約分やくぶんします。

例題れいだい: $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$ を計算けいさんしましょう。

分母ぶんぼ$2$ と $3$ の最小公倍数さいしょうこうばいすうは $6$。

$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$

検算けんざん: $\frac{5}{6}$ はこれ以上いじょう約分やくぶんできません。 $\frac{1}{2}=0.5$、 $\frac{1}{3}=0.333\dots$、 たすと約$0.833$。 $\frac{5}{6}=0.833\dots$ と合あいます。 正ただしい。

例題れいだい: $\frac{5}{6}-\frac{1}{4}$ を計算けいさんしましょう。

分母ぶんぼ$6$ と $4$ の最小公倍数さいしょうこうばいすうは $12$。

$\frac{5}{6}-\frac{1}{4}=\frac{10}{12}-\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$

検算けんざん: $\frac{7}{12}$ はこれ以上いじょう約分やくぶんできません。 $\frac{5}{6}\approx 0.833$、 $\frac{1}{4}=0.25$、 ひくと約$0.583$。 $\frac{7}{12}=0.583\dots$ と合あいます。 正ただしい。

4. 帯おび分数ぶんすうの計算けいさん

整数せいすうと分数ぶんすうを合あわせた $1\frac{2}{3}$ のような分数ぶんすうを 帯分数たいぶんすう といいます。 たし算さん・ひき算さんでは、 整数せいすう部分ぶぶんと分数ぶんすう部分ぶぶんに分わけて計算けいさんするか、 仮分数かぶんすうになおして計算けいさんします。

例題れいだい: $1\frac{1}{2}+\frac{2}{3}$ を計算けいさんしましょう。

仮かり分数ぶんすうになおします。 $1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。 分母ぶんぼ$2$ と $3$ の最小公倍数さいしょうこうばいすうは $6$。

$\frac{3}{2}+\frac{2}{3}=\frac{9}{6}+\frac{4}{6}=\frac{13}{6}=2\frac{1}{6}$

検算けんざん: $1\frac{1}{2}=1.5$、 $\frac{2}{3}=0.666\dots$、 たすと約$2.166$。 $2\frac{1}{6}=2.166\dots$ と合あいます。 正ただしい。

どう問とわれるか

• 「$\frac{12}{18}$ を約分やくぶんしなさい」 のような 約分やくぶん が出でます。
• 「$\frac{2}{5}+\frac{1}{3}$ を計算けいさんしなさい」 のような 分母ぶんぼのちがう分数ぶんすうの計算けいさん が定番ていばんです。
• 「$2\frac{1}{4}-1\frac{1}{2}$ を計算けいさんしなさい」 のような 帯たい分数ぶんすうの計算けいさん も出でます。

よくまちがえるところ

分数ぶんすうのたし算さん・ひき算さんでは、 通分つうぶんと約分やくぶん の2か所しょでつまずきます。

まちがい	例れい	直なおし方かた
分母ぶんぼをそろえずに分子ぶんしだけたす	1/2 + 1/3 を 2/5 とする	通分つうぶんして 3/6 + 2/6 = 5/6
通分つうぶんのとき分子ぶんしにかけわすれる	1/3 を分母ぶんぼだけ12にして 1/12 とする	分母ぶんぼに4をかけたら分子ぶんしにも4をかけて 4/12
約分やくぶんをしわすれる	答えこたえを 6/12 のままにする	最大公約数さいだいこうやくすう 6 でわって 1/2
帯おび分数ぶんすうのひき算さんでくり下さげられない	2と1/4 - 1と1/2 で 1/4 - 1/2 ができずに止とまる	仮かり分数ぶんすう 9/4 - 3/2 に直なおす

いちばん多おおいのは 分母ぶんぼをそろえずにたす まちがいです。 1/2 と 1/3 は 「1つ分ぶんの大おおきさ」 がちがうので、 そのままではたせません。 6等分とうぶんにそろえると 3/6 と 2/6 になり、 はじめて分子ぶんしどうしをたせます。 答えこたえの 5/6 は 1 より少すこし小ちいさい数かずで、 まちがえた 2/5 (1の半分はんぶんより小ちいさい) とは大おおきさがまるでちがいます。 答えこたえのだいたいの大おおきさ を見みると、 このまちがいはすぐ見みつかります。

通分つうぶんの手順てじゅん

順番じゅんばん	すること	例れい (5/6 - 1/4)
1	分母ぶんぼの最小公倍数さいしょうこうばいすうを求もとめる	6 と 4 の最小公倍数さいしょうこうばいすうは 12
2	分母ぶんぼを何なん倍ばいしたかを見みる	6 は2倍ばい、 4 は3倍ばい
3	分子ぶんしにも同おなじ数かずをかける	5 × 2 = 10、 1 × 3 = 3
4	分子ぶんしどうしを計算けいさんする	10 - 3 = 7 で 7/12
5	約分やくぶんできるか確たしかめる	7 と 12 に共通きょうつうの約数やくすうはないのでこのまま

たしかめは、 小数しょうすうになおしてくらべる のがかんたんです。

分数ぶんすう	だいたいの小数しょうすう
1/2	0.5
1/3	0.33
5/6	0.83
7/12	0.58

大事だいじ: 帯おび分数ぶんすうのひき算さんは、 仮かり分数ぶんすうに直なおしてから 計算けいさんするとくり下さがりで迷まよいません。 2と1/4 = 9/4、 1と1/2 = 3/2 = 6/4 なので、 9/4 - 6/4 = 3/4 です。

自分じぶんでチェック

• 分母ぶんぼがちがう分数ぶんすうは、 通分つうぶんしてから計算けいさんすると言いえる
• 通分つうぶんのとき、 分母ぶんぼと分子ぶんしに同おなじ数かずをかけられる
• 答えこたえを約分やくぶんして、 もっとも簡単かんたんな分数ぶんすうにできる
• 帯おび分数ぶんすうを仮かり分数ぶんすうに直なおして計算けいさんできる
• 答えこたえのだいたいの大おおきさを小数しょうすうで見当けんとうできる

まとめ

• 約分やくぶん = 分母ぶんぼ分子ぶんしを同おなじ数かずでわる、 通分つうぶん = 分母ぶんぼを最小公倍数さいしょうこうばいすうにそろえる
• たし算さん・ひき算さんは、 通分つうぶんしてから分子ぶんしどうしを計算けいさんする
• 答えこたえが約分やくぶんできるときは、 かならず約分やくぶんする
• 帯分数たいぶんすうは仮分数かぶんすうになおすと計算けいさんしやすい

次じ章しょうでは、 三角形さんかくけい・四角形しかくけいの面積めんせき を学まなびます。