平均へいきんと単位たんい量りょうあたりの大おおきさ — そろえて比くらべる

この章しょうで学まなぶこと

ばらばらの数かずを 「ならした大おおきさ」 で見みる 平均へいきん と、 2種類しゅるいの量りょうを組み合わせくみあわせて比くらべる 単位量あたりの大きさたんいりょうあたりのおおきさ を学まなびます。

• 平均へいきん = 合計ごうけい ÷ 個数こすう
• 単位量あたりの大きさたんいりょうあたりのおおきさ (1あたりにそろえて比くらべる)
• 人口密度じんこうみつど (1 km² あたりの人数にんずう)
• 速さはやさ = 道のりみちのり ÷ 時間じかん

ポイント: 平均へいきんも、 こみぐあいも、 速はやさも、 すべて 「1つあたりにそろえて比くらべる」 という同おなじ考かんがえ方かたです。

1. 平均へいきん

いくつかの数かずを、 でこぼこをならして同おなじ大おおきさにそろえたものを 平均へいきん といいます。

$平均=合計÷個数$

例題れいだい: 4回かいのテストの点てんが $80,75,90,95$点でした。 平均へいきん点てんを求もとめましょう。

$(80+75+90+95)÷4=340÷4=85 \left(点\right)$

検算けんざん: $80+75=155$、 $155+90=245$、 $245+95=340$。 $340÷4=85$。 正ただしい。

大事だいじ: 平均へいきんから逆ぎゃくに 合計ごうけい も求もとめられます。 「合計ごうけい = 平均へいきん × 個数こすう」 です。 平均へいきん$85$点が $4$回なら、 合計ごうけいは $85\times 4=340$点です。

2. 単位たんい量りょうあたりの大おおきさ

広ひろさと人数にんずうのように 2種類しゅるいの量りょう を組み合わせくみあわせて比くらべるときは、 「1つあたり」 にそろえます。

例題れいだい: 部屋へや A は $6$ m² に $9$人、 部屋へや B は $8$ m² に $10$人います。 どちらがこんでいますか。

$1$ m² あたりの人数にんずうを求もとめます。

• 部屋へや A … $9÷6=1.5$ (人じん/m²)
• 部屋へや B … $10÷8=1.25$ (人じん/m²)

$1$ m² あたりの人数にんずうが多おおいほうがこんでいます。 答えこたえは 部屋へや A。

検算けんざん: $1.5\times 6=9$、 $1.25\times 8=10$。 もとの人数にんずうにもどります。 正ただしい。

ポイント: 「$1$ m² あたり何なん人にん」 なら 数すうが多おおいほうがこんでいる。 どちらを 「$1$」 にそろえたかをはっきりさせましょう。

3. 人口じんこう密度みつど

$1$ km² あたりに何なん人にん住すんでいるかを 人口密度じんこうみつど といいます。

$人口密度=人口÷2^{})$

例題れいだい: 面積めんせき$200$ km²、 人口じんこう$80000$人の市しの人口じんこう密度みつどを求もとめましょう。

$80000÷200=400 \left(2^{}\right)$

検算けんざん: $400\times 200=80000$。 もとの人口じんこうにもどります。 正ただしい。

4. 速はやさ

道のりみちのりと時間じかんを組み合わせくみあわせた 「1時間じかんあたりに進すすむ道のりみちのり」 が 速さはやさ です。

$速さ=道のり÷時間$

例題れいだい: $120$ km を $3$時間じかんで進すすむ自動車じどうしゃの速はやさ (時速じそく) を求もとめましょう。

$120÷3=40 \left(km/時\right)$

検算けんざん: $40\times 3=120$。 もとの道のりみちのりにもどります。 正ただしい。 時速じそく$40$ km です。

大事だいじ: 公式こうしきを変形へんけいすると 「道のりみちのり = 速はやさ × 時間じかん」、 「時間じかん = 道のりみちのり ÷ 速はやさ」 も求もとめられます。 何なにを求もとめるかで使つかい分わけましょう。

どう問とわれるか

• 「5人にんの体重たいじゅうの平均へいきんを求もとめなさい」 のような 平均へいきん が定番ていばんです。
• 「平均へいきんが…のとき合計ごうけいを求もとめなさい」 のような 逆ぎゃく向むき も出でます。
• 「どちらの自動車じどうしゃが速はやいか」 「どちらの部屋へやがこんでいるか」 のような 単位たんい量りょうあたりで比くらべる 文章ぶんしょう題だいが出でます。

よくまちがえるところ

平均へいきんと単位たんい量りょうあたりの大おおきさでは、 何なんでわるのか を取とりちがえるまちがいが目立めだちます。

まちがい	例れい	直なおし方かた
0 の回かいを個数こすうに入いれない	5日にちのうち0冊さつの日ひをのぞいて 合計ごうけい ÷ 4 とする	0 の日ひも日数にっすうに数かぞえて 合計ごうけい ÷ 5
平均へいきんを平均へいきんどうしでたして半分はんぶんにする	3人にんの平均へいきんと5人にんの平均へいきんをたして ÷ 2 とする	合計ごうけいを出だしなおして (合計ごうけい ÷ 8)
どちらを 1 にそろえたか混まぜる	「1 m² あたりの人数にんずう」 と 「1人にんあたりの m²」 を混まぜて比くらべる	そろえる量りょうを先さきに決きめて、 両方りょうほう同おなじにする
速はやさで単位たんいをそろえない	30分ふんを 30 のまま使つかって時速じそくを求もとめる	30分ふん = 0.5時間じかん になおしてからわる

いちばん多おおいのは 0 の回かいを数かぞえ落おとす まちがいです。 平均へいきんは 「でこぼこをならす」 ことなので、 0 の日ひもならす相手あいてに入はいります。 5日にちのうち 1日にちだけ 0 冊さつなら、 合計ごうけいを 5 でわります。 4 でわると、 実際じっさいより大おおきい平均へいきんが出でてしまいます。 「わる数すうは、 数かぞえた回数かいすう・人数にんずう・日数にっすうそのもの」 と覚おぼえましょう。

1 あたりにそろえて比くらべる手順てじゅん

順番じゅんばん	すること	例れい (部屋へや A: 6 m² に 9人にん / 部屋へや B: 8 m² に 10人にん)
1	そろえる量りょうを決きめる	1 m² あたりにそろえる
2	両方りょうほうを同おなじ形かたちでわる	9 ÷ 6 = 1.5、 10 ÷ 8 = 1.25
3	多おおいほうを判断はんだんする	1 m² あたりの人数にんずうが多おおい A がこんでいる
4	かけ算ざんでもどして確たしかめる	1.5 × 6 = 9、 1.25 × 8 = 10

同おなじ考かんがえ方かたが、 いろいろな場面ばめんで使つかえます。

場面ばめん	1 あたりの量りょう	式しき
こみぐあい	1 m² あたりの人数にんずう	人数にんずう ÷ 面積めんせき
人口じんこう密度みつど	1 km² あたりの人数にんずう	人口じんこう ÷ 面積めんせき (km²)
速はやさ	1時間じかんあたりの道のりみちのり	道のりみちのり ÷ 時間じかん
ねだん	1 個こあたりのねだん	代金だいきん ÷ 個数こすう

大事だいじ: 「1 m² あたりの人数にんずう」 は多おおいほうがこんでいますが、 「1人にんあたりの m²」 は 少すくないほう がこんでいます。 どちらを 1 にそろえたかで、 大小だいしょうの意味いみが逆ぎゃくになります。

自分じぶんでチェック

• 平均へいきん = 合計ごうけい ÷ 個数こすう と言いえる
• 0 の回かいも個数こすうに数かぞえられる
• 合計ごうけい = 平均へいきん × 個数こすう で逆ぎゃくに求もとめられる
• 1 あたりにそろえて 2 つを比くらべられる
• 速はやさ = 道のりみちのり ÷ 時間じかん で、 単位たんいをそろえて計算けいさんできる

まとめ

• 平均へいきん = 合計ごうけい ÷ 個数こすう、 合計ごうけい = 平均へいきん × 個数こすう
• 単位量あたりの大きさたんいりょうあたりのおおきさは 「1つあたり」 にそろえて比くらべる
• 人口密度じんこうみつど = 人口じんこう ÷ 面積めんせき (km²)
• 速さはやさ = 道のりみちのり ÷ 時間じかん

次じ章しょうでは、 割合わりあいと百分率ひゃくぶんりつ を学まなびます。