角柱かくちゅうと円柱えんちゅう・比例ひれいの基礎きそ・グラフ

この章しょうで学まなぶこと

立体りったいの 角柱かくちゅう と 円柱えんちゅう、 そして2つの量りょうが一方いっぽうに合あわせて変かわる 比例ひれい の考かんがえ方かたを学まなびます。 最後さいごに、 これまでの内容ないようを文章ぶんしょう題だいで使つかう練習れんしゅうをします。

• 角柱かくちゅう・円柱えんちゅうの底面ていめん・側面そくめん・頂点ちょうてん・辺へん
• 比例ひれいの関係かんけい (一方いっぽうが2倍ばい3倍ばいなら、 もう一方いっぽうも2倍ばい3倍ばい)
• 表ひょうやグラフから関係かんけいを読よみ取とる

ポイント: 角柱かくちゅう・円柱えんちゅうでは、 上うえと下したにある同おなじ形かたちを 底面ていめん、 まわりを 側面そくめん といいます。 名前なまえは底面ていめんの形かたちで決きまります。

1. 角柱かくちゅうと円柱えんちゅう

上下じょうげに合同ごうどうで平行へいこうな2つの面めん (底面ていめん) があり、 まわりが長方形ちょうほうけいでできている立体りったいを 角柱かくちゅう といいます。 底面ていめんが円えんのものを 円柱えんちゅう といいます。

• 底面ていめんが三角形さんかくけい → 三角柱さんかくちゅう
• 底面ていめんが四角形しかくけい → 四よん角柱かくちゅう
• 底面ていめんが円えん → 円柱えんちゅう

例題れいだい: 三角柱さんかくちゅうの頂点ちょうてんの数かずと辺へんの数かずを求もとめましょう。

底面ていめんの三角形さんかくけいは頂点ちょうてん$3$ つ。 上下じょうげに底面ていめんが $2$ つあるので、 頂点ちょうてんは $3\times 2=6$個。 辺へんは、 底面ていめんの三角形さんかくけいの辺へんが上下じょうげで $3\times 2=6$本、 上下じょうげをつなぐ辺へんが $3$本で、 合あわせて $6+3=9$本。

$頂点=6 個,辺=9 本$

検算けんざん: 上うえの三角形さんかくけい (頂点ちょうてん3) と下したの三角形さんかくけい (頂点ちょうてん3) で頂点ちょうてん$6$。 辺へんは上うえの三角形さんかくけい$3$本 + 下したの三角形さんかくけい$3$本 + たての辺へん$3$本$=9$本。 正ただしい。

大事だいじ: 円柱えんちゅうの底面ていめんは円えんなので、 角柱かくちゅうとちがって 「頂点ちょうてん」 や 「辺へん (直線ちょくせん)」 はありません。 側面そくめんはまるく曲まがった面めん (曲面きょくめん) です。

2. 比例ひれいの関係かんけい

ともなって変かわる2つの量りょうで、 一方いっぽうが $2$倍、 $3$倍… になると、 もう一方いっぽうも $2$倍、 $3$倍… になるとき、 この2つの量りょうは 比例ひれいしている といいます。

例題れいだい: $1$ m が $80$円のリボンがあります。 長ながさ $x$ m と代金だいきん$y$円の関係かんけいを表ひょうにしましょう。

長ながさ $x$ (m)	$1$	$2$	$3$	$4$
代金だいきん$y$ (円えん)	$80$	$160$	$240$	$320$

長ながさが $2$倍になると代金だいきんも $2$倍になっています。 代金だいきんは長ながさに比例ひれいしています。

検算けんざん: $80\times 1=80$、 $80\times 2=160$、 $80\times 3=240$、 $80\times 4=320$。 正ただしい。

ポイント: 比例ひれいでは 「$y÷x$」 がいつも同おなじ数かずになります。 この例れいでは $80÷1=80$、 $160÷2=80$… と、 つねに $80$ です。 これが $1$ m あたりのねだんです。

3. グラフの読よみ取とり

変かわっていくようすは、 グラフにすると見みやすくなります。 気温きおんの変化へんかなどは 折れ線グラフおれせんぐらふ、 比例ひれいの関係かんけいは 原点げんてんを通とおる直線ちょくせん で表あらわされます。

例題れいだい: あるリボンは、 長ながさ $x$ m と代金だいきん$y$円が比例ひれいし、 $5$ m で $400$円でした。 $1$ m あたりのねだんを求もとめ、 $8$ m の代金だいきんを計算けいさんしましょう。

$1$ m あたりのねだんは、

$400÷5=80 \left(円\right)$

$8$ m の代金だいきんは、

$80\times 8=640 \left(円\right)$

検算けんざん: $640÷8=80$ で $1$ m あたりのねだんと合あいます。 正ただしい。

大事だいじ: 比例ひれいのグラフは、 かならず 原点げんてん ($0$ の点てん) を通とおる直線ちょくせん になります。 表ひょう・式しき・グラフはどれも同おなじ関係かんけいを表あらわしています。

どう問とわれるか

• 「四よん角柱かくちゅうの頂点ちょうてん・辺へん・面めんの数かず」 のような 立体りったいの構成こうせい が出でます。
• 「$x$ と $y$ が比例ひれいし、 $x=4$ のとき $y=12$。 $x=7$ のときの $y$」 のような 比例ひれい が定番ていばんです。
• 折おれ線せんグラフから 「いちばん気温きおんが高たかかった時ときこく」 などを 読よみ取とる 問題もんだいも出でます。

よくまちがえるところ

角柱かくちゅう・円柱えんちゅうと比例ひれいでは、 見分みわけ方かたのきまり をあいまいにしたままにするとまちがえます。

まちがい	例れい	直なおし方かた
立体りったいの名前なまえを面めんの数かずで決きめる	三角柱さんかくちゅうを、 面めんが5つだから五ご角柱かくちゅうとする	名前なまえは底面ていめんの形かたちで決きまる
円柱えんちゅうに頂点ちょうてんや辺へんがあるとする	円柱えんちゅうの頂点ちょうてんを2つとする	円柱えんちゅうに頂点ちょうてんはなく、 側面そくめんは曲面きょくめん
底面ていめんを決きめずに数かぞえる	横よこにたおした三角柱さんかくちゅうで、 長方形ちょうほうけいを底面ていめんとする	合同ごうどうで平行へいこうな2つの面めんが底面ていめん
比例ひれいでないものを比例ひれいとする	1辺へんと正方形せいほうけいの面積めんせきを比例ひれいとする	1辺へんが2倍ばいでも面積めんせきは4倍ばい。 比例ひれいではない

いちばん多おおいのは 名前なまえを面めんの数かずで決きめてしまう まちがいです。 三角柱さんかくちゅうは、 底面ていめんの三角形さんかくけい2つと側面そくめんの長方形ちょうほうけい3つで、 面めんは全部ぜんぶで5つあります。 ここで 「五ご角柱かくちゅう」 としてしまうのがよくある取とりちがえです。 角柱かくちゅう・円柱えんちゅうの名前なまえは、 底面ていめんの形かたち だけで決きまります。 まず 「合同ごうどうで平行へいこうな2つの面めんはどれか」 をさがしましょう。

立体りったい	底面ていめん	面めん	頂点ちょうてん	辺へん
三角柱さんかくちゅう	三角形さんかくけい	5	6	9
四よん角柱かくちゅう	四角形しかくけい	6	8	12
五ご角柱かくちゅう	五角形ごかっけい	7	10	15
円柱えんちゅう	円えん	3	なし	なし (直線ちょくせんの辺へん)

底面ていめんの辺へんの数かずを □ とすると、 面めんは □ + 2、 頂点ちょうてんは □ × 2、 辺へんは □ × 3 になります。

比例ひれいかどうかのたしかめ方かた

順番じゅんばん	見みること	比例ひれいなら
1	一方いっぽうが2倍ばいになると、 もう一方いっぽうも2倍ばいか	2倍ばいになる
2	y ÷ x はいつも同おなじ数かずか	同おなじ数かずになる
3	x が 0 のとき y も 0 か	0 になる
4	グラフはどんな形かたちか	原点げんてんを通とおる直線ちょくせん

大事だいじ: 「はじめから 5 L 入はいっている水みずそう」 のように、 0 のときに 0 でない ものは比例ひれいではありません。 表ひょうの 0 のところを見みるのが、 いちばん早はやい見分みわけ方かたです。

自分じぶんでチェック

• 角柱かくちゅう・円柱えんちゅうの名前なまえが底面ていめんの形かたちで決きまると言いえる
• 三角柱さんかくちゅうの面めん5・頂点ちょうてん6・辺へん9 を数かぞえられる
• 円柱えんちゅうに頂点ちょうてんや直線ちょくせんの辺へんがないと言いえる
• 比例ひれいでは y ÷ x がいつも同おなじだと言いえる
• 比例ひれいのグラフが原点げんてんを通とおる直線ちょくせんだと言いえる

まとめ

• 角柱かくちゅう・円柱えんちゅうは上下じょうげに合同ごうどうな底面ていめんがある立体りったい
• 円柱えんちゅうの底面ていめんは円えんで、 頂点ちょうてんや直線ちょくせんの辺へんはない
• 比例ひれいでは一方いっぽうが $2,3$倍になるともう一方いっぽうも $2,3$倍、 $y÷x$ は一定いってい
• 比例ひれいのグラフは原点げんてんを通とおる直線ちょくせん

これで全ぜん10章しょうの学習がくしゅうはおしまいです。 一いち問もん一いち答とうや問題もんだい集しゅうでくり返かえし練習れんしゅうし、 7級きゅうの合格ごうかくをめざしましょう。