正多角形せいたかっけいと円周えんしゅう・図形ずけいの合同ごうどう・角度かくど β版

この章しょうで学まなぶこと

辺へんの長ながさも角かくもすべて等ひとしい 正多角形せいたかっけい、 円えんのまわりの長ながさ 円周えんしゅう、 そして形かたちも大おおきさも同おなじ図形ずけい 合同ごうどう を学まなびます。

• 正多角形せいたかっけい (正三角形せいさんかくけい・正方形せいほうけい・正五角形せいごかっけい…) の性質せいしつ
• 円周えんしゅう = 直径ちょっけい × 円周率えんしゅうりつ (円周えんしゅう率りつは $3.14$)
• 図形ずけいの合同ごうどうと対応たいおうする辺へん・角かく
• 多角形たかっけいの内角の和ないかくのわ

ポイント: この級きゅうでは、 円周えんしゅう率りつは $3.14$ を使つかって計算けいさんします。 円周えんしゅうを求もとめる公式こうしき 「直径ちょっけい × $3.14$」 をしっかり覚おぼえましょう。

1. 正多角形せいたかっけい

辺へんの長ながさがすべて等ひとしく、 角かくの大おおきさもすべて等ひとしい多角たかく形がたを 正多角形せいたかっけい といいます。 正三角形せいさんかくけい、 正方形せいほうけい (正せい四角形しかくけい)、 正五角形せいごかっけい、 正六角形せいろっかっけい… とつづきます。

正多角形せいたかっけいは、 中心ちゅうしんのまわりの角かく ($360°$) を辺へんの数かずで等ひとしく分わけてかくことができます。

例題れいだい: 正六角形せいろっかっけいを1つの中心ちゅうしんからかくとき、 中心ちゅうしんのまわりにできる6つの角かくはそれぞれ何なん度どですか。

中心ちゅうしんのまわりは $360°$ で、 これを $6$等分とうぶんします。

$360÷6=60 \left(°\right)$

検算けんざん: $60\times 6=360$。 正ただしい。 6つの角かくがそれぞれ $60°$ です。

2. 円周えんしゅう

円えんのまわりの長ながさを 円周えんしゅう といいます。 円周えんしゅうが直径ちょっけいの何なん倍ばいになっているかを表あらわす数かずを 円周率えんしゅうりつ といい、 この級きゅうでは $3.14$ を使つかいます。

$円周=直径\times 3.14$

例題れいだい: 直径ちょっけい$10$ cm の円えんの円周えんしゅうを求もとめましょう。

$10\times 3.14=31.4 \left(cm\right)$

検算けんざん: $31.4÷10=3.14$。 円周えんしゅう率りつにもどります。 正ただしい。

例題れいだい: 半径はんけい$5$ cm の円えんの円周えんしゅうを求もとめましょう。

直径ちょっけいは半径はんけいの $2$倍なので $5\times 2=10$ cm。

$10\times 3.14=31.4 \left(cm\right)$

検算けんざん: 半径はんけい$5$ cm の直径ちょっけいは $10$ cm で、 さきほどと同おなじ。 $31.4$ cm。 正ただしい。

大事だいじ: 円周えんしゅうの公式こうしきは 直径ちょっけい × $3.14$ です。 半径はんけいしかわかっていないときは、 まず直径ちょっけい (半径はんけい × $2$) になおして から計算けいさんします。 半径はんけいに $3.14$ をかけてしまうミスに注意ちゅういしましょう。

3. 図形ずけいの合同ごうどう

形かたちも大おおきさもまったく同おなじで、 ぴったり重かさね合あわせられる2つの図形ずけいを、 たがいに 合同ごうどう であるといいます。 重かさなり合あう辺へんや角かくを 対応たいおうする辺へん・対応たいおうする角かく といいます。

ポイント: 合同ごうどうな図形ずけいでは、 対応たいおうする辺へんの長ながさは等ひとしく、 対応たいおうする角かくの大おおきさも等ひとしい です。 裏返うらがえして重かさねても合同ごうどうです。

4. 多角たかく形がたの内角ないかくの和わ

三角形さんかくけいの3つの角かくの大おおきさの和わは $180°$ です。 多角たかく形がたは三角形さんかくけいに分わけられるので、 内角ないかくの和わも計算けいさんできます。

多角たかく形がた	三角形さんかくけいの数かず	内角ないかくの和わ
三角形さんかくけい	$1$	$180°$
四角形しかくけい	$2$	$360°$
五角形ごかっけい	$3$	$540°$
六角形ろっかっけい	$4$	$720°$

四角形しかくけいは対角線たいかくせんで2つの三角形さんかくけいに分わけられるので、 内角ないかくの和わは $180\times 2=360°$ です。

例題れいだい: 五角形ごかっけいの内角ないかくの和わを求もとめましょう。

五角形ごかっけいは $3$ つの三角形さんかくけいに分わけられます。

$180\times 3=540 \left(°\right)$

検算けんざん: 三角形さんかくけいが $3$ つ分ぶん。 $180\times 3=540$。 正ただしい。

どう問とわれるか

• 「直径ちょっけい$8$ cm の円えんの円周えんしゅうを求もとめなさい (円周えんしゅう率りつは $3.14$)」 が定番ていばんです。
• 「正せい八はち角形かくがたを中心ちゅうしんからかくときの中心ちゅうしんの角かく」 のような $360°$ の等分とうぶん が出でます。
• 「合同ごうどうな図形ずけいで、 対応たいおうする辺へんの長ながさや角かくの大おおきさ」 を答こたえる問題もんだいが出でます。

よくまちがえるところ

円えんと多角たかく形がたでは、 どの長ながさ・どの角かくを使つかうか の取とりちがえが多おおく起おきます。

まちがい	例れい	直なおし方かた
半径はんけいに 3.14 をかける	半径はんけい 5 cm の円周えんしゅうを 5 × 3.14 = 15.7 cm とする	まず直径ちょっけい 10 cm にして 10 × 3.14 = 31.4 cm
内角ないかくの和わを 辺へんの数かず × 180° とする	五角形ごかっけいを 5 × 180 = 900° とする	分わけられる三角形さんかくけいは3つで 180 × 3 = 540°
中心ちゅうしんのまわりの角かくと内角ないかくを混まぜる	正六角形せいろっかっけいの1つの内角ないかくを 60° とする	60° は 360° を6等分とうぶんした角かく。 内角ないかくは 120°
合同ごうどうで対応たいおうする辺へんを取とりちがえる	向むきがちがう図形ずけいで、 見みた目めの位置いちだけで対応たいおうを決きめる	等ひとしい角かくをたよりに、 対応たいおうする頂点ちょうてんから順じゅんに対応たいおうさせる

いちばん多おおいのは 半径はんけいのまま 3.14 をかける まちがいです。 円周えんしゅうの公式こうしきは 直径ちょっけい × 3.14 です。 半径はんけいしかわかっていないときは、 かならず 半径はんけい × 2 で直径ちょっけいになおしてから計算けいさんします。 答えこたえを出だしたら 「円周えんしゅうは直径ちょっけいのおよそ3倍ばい」 と見当けんとうしてみましょう。 半径はんけい 5 cm の円えんの円周えんしゅうが 15.7 cm では、 直径ちょっけい 10 cm の3倍ばいにとどきません。 これで気きづけます。

円えんと多角たかく形がたの公式こうしきを使つかい分わける

求もとめるもの	式しき	例れい
円周えんしゅう (直径ちょっけいから)	直径ちょっけい × 3.14	直径ちょっけい 8 cm → 25.12 cm
円周えんしゅう (半径はんけいから)	半径はんけい × 2 × 3.14	半径はんけい 4 cm → 25.12 cm
多角たかく形がたの内角ないかくの和わ	分わけられる三角形さんかくけいの数かず × 180°	六角形ろっかっけい → 4 × 180 = 720°
正多角形せいたかっけいの1つの内角ないかく	内角ないかくの和わ ÷ 辺へんの数かず	正六角形せいろっかっけい → 720 ÷ 6 = 120°
正多角形せいたかっけいの中心ちゅうしんのまわりの1つの角かく	360° ÷ 辺へんの数かず	正六角形せいろっかっけい → 360 ÷ 6 = 60°

三角形さんかくけいの数かずは、 辺へんの数かずより2つ少すくなく なります。

多角たかく形がた	辺へんの数かず	三角形さんかくけいの数かず	内角ないかくの和わ
三角形さんかくけい	3	1	180°
四角形しかくけい	4	2	360°
五角形ごかっけい	5	3	540°
六角形ろっかっけい	6	4	720°

大事だいじ: 中心ちゅうしんのまわりの角かく (360° の等分とうぶん) と、 図形ずけいの内角ないかくはまったく別べつのものです。 正六角形せいろっかっけいなら、 中心ちゅうしんのまわりの角かくは 60°、 内角ないかくは 120° です。 どちらを聞きかれているか、 問題もんだい文ぶんで確たしかめましょう。

自分じぶんでチェック

• 円周えんしゅう = 直径ちょっけい × 3.14 と言いえる
• 半径はんけいしかないとき、 直径ちょっけいになおしてから計算けいさんできる
• 円周えんしゅうが直径ちょっけいのおよそ3倍ばいだと見当けんとうできる
• 多角たかく形がたの内角ないかくの和わを、 三角形さんかくけいの数かず × 180° で求もとめられる
• 中心ちゅうしんのまわりの角かくと内角ないかくを区別くべつできる

まとめ

• 正多角形せいたかっけいは辺へんも角かくもすべて等ひとしい多角たかく形がた
• 円周えんしゅう = 直径ちょっけい × $3.14$ (半径はんけいのときはまず直径ちょっけいになおす)
• 合同ごうどうな図形ずけいは対応たいおうする辺へん・角かくがそれぞれ等ひとしい
• 多角たかく形がたの内角ないかくの和わは、 分わけられる三角形さんかくけいの数かず × $180°$

次章しょうでは、 角柱かくちゅう・円柱えんちゅうと比例ひれい・グラフ を学まなびます。