正多角形せいたかっけいと円周えんしゅう・図形ずけいの合同ごうどう・角度かくど

この章しょうで学まなぶこと

辺へんの長ながさも角かくもすべて等ひとしい 正多角形せいたかっけい、 円えんのまわりの長ながさ 円周えんしゅう、 そして形かたちも大おおきさも同おなじ図形ずけい 合同ごうどう を学まなびます。

• 正多角形せいたかっけい (正三角形せいさんかっけい・正方形せいほうけい・正五角形せいごかっけい…) の性質せいしつ
• 円周えんしゅう = 直径ちょっけい × 円周率えんしゅうりつ (円周えんしゅう率りつは $3.14$)
• 図形ずけいの合同ごうどうと対応たいおうする辺へん・角かく
• 多角形たかっけいの内角の和ないかくのわ

ポイント: この級きゅうでは、 円周えんしゅう率りつは $3.14$ を使つかって計算けいさんします。 円周えんしゅうを求もとめる公式こうしき 「直径ちょっけい × $3.14$」 をしっかり覚おぼえましょう。

1. 正多角形せいたかっけい

辺へんの長ながさがすべて等ひとしく、 角かくの大おおきさもすべて等ひとしい多角たかく形がたを 正多角形せいたかっけい といいます。 正三角形せいさんかっけい、 正方形せいほうけい (正せい四角形しかくけい)、 正五角形せいごかっけい、 正六角形せいろっかっけい… とつづきます。

正多角形せいたかっけいは、 中心ちゅうしんのまわりの角かく ($360°$) を辺へんの数かずで等ひとしく分わけてかくことができます。

例題れいだい: 正六角形せいろっかっけいを1つの中心ちゅうしんからかくとき、 中心ちゅうしんのまわりにできる6つの角かくはそれぞれ何なん度どですか。

中心ちゅうしんのまわりは $360°$ で、 これを $6$等分とうぶんします。

$360÷6=60 \left(°\right)$

検算けんざん: $60\times 6=360$。 正ただしい。 6つの角かくがそれぞれ $60°$ です。

2. 円周えんしゅう

円えんのまわりの長ながさを 円周えんしゅう といいます。 円周えんしゅうが直径ちょっけいの何なん倍ばいになっているかを表あらわす数かずを 円周率えんしゅうりつ といい、 この級きゅうでは $3.14$ を使つかいます。

$円周=直径\times 3.14$

例題れいだい: 直径ちょっけい$10$ cm の円えんの円周えんしゅうを求もとめましょう。

$10\times 3.14=31.4 \left(cm\right)$

検算けんざん: $31.4÷10=3.14$。 円周えんしゅう率りつにもどります。 正ただしい。

例題れいだい: 半径はんけい$5$ cm の円えんの円周えんしゅうを求もとめましょう。

直径ちょっけいは半径はんけいの $2$倍なので $5\times 2=10$ cm。

$10\times 3.14=31.4 \left(cm\right)$

検算けんざん: 半径はんけい$5$ cm の直径ちょっけいは $10$ cm で、 さきほどと同おなじ。 $31.4$ cm。 正ただしい。

大事だいじ: 円周えんしゅうの公式こうしきは 直径ちょっけい × $3.14$ です。 半径はんけいしかわかっていないときは、 まず直径ちょっけい (半径はんけい × $2$) になおして から計算けいさんします。 半径はんけいに $3.14$ をかけてしまうミスに注意ちゅういしましょう。

3. 図形ずけいの合同ごうどう

形かたちも大おおきさもまったく同おなじで、 ぴったり重かさね合あわせられる2つの図形ずけいを、 たがいに 合同ごうどう であるといいます。 重かさなり合あう辺へんや角かくを 対応たいおうする辺へん・対応たいおうする角かく といいます。

ポイント: 合同ごうどうな図形ずけいでは、 対応たいおうする辺へんの長ながさは等ひとしく、 対応たいおうする角かくの大おおきさも等ひとしい です。 裏返うらがえして重かさねても合同ごうどうです。

4. 多角たかく形がたの内角ないかくの和わ

三角形さんかくけいの3つの角かくの大おおきさの和わは $180°$ です。 多角たかく形がたは三角形さんかくけいに分わけられるので、 内角ないかくの和わも計算けいさんできます。

多角たかく形がた	三角形さんかくけいの数かず	内角ないかくの和わ
三角形さんかくけい	$1$	$180°$
四角形しかくけい	$2$	$360°$
五角形ごかっけい	$3$	$540°$
六角形ろっかっけい	$4$	$720°$

四角形しかくけいは対角線たいかくせんで2つの三角形さんかくけいに分わけられるので、 内角ないかくの和わは $180\times 2=360°$ です。

例題れいだい: 五角形ごかっけいの内角ないかくの和わを求もとめましょう。

五角形ごかっけいは $3$ つの三角形さんかくけいに分わけられます。

$180\times 3=540 \left(°\right)$

検算けんざん: 三角形さんかくけいが $3$ つ分ぶん。 $180\times 3=540$。 正ただしい。

どう問とわれるか

• 「直径ちょっけい$8$ cm の円えんの円周えんしゅうを求もとめなさい (円周えんしゅう率りつは $3.14$)」 が定番ていばんです。
• 「正せい八はち角形かくがたを中心ちゅうしんからかくときの中心ちゅうしんの角かく」 のような $360°$ の等分とうぶん が出でます。
• 「合同ごうどうな図形ずけいで、 対応たいおうする辺へんの長ながさや角かくの大おおきさ」 を答こたえる問題もんだいが出でます。

まとめ

• 正多角形せいたかっけいは辺へんも角かくもすべて等ひとしい多角たかく形がた
• 円周えんしゅう = 直径ちょっけい × $3.14$ (半径はんけいのときはまず直径ちょっけいになおす)
• 合同ごうどうな図形ずけいは対応たいおうする辺へん・角かくがそれぞれ等ひとしい
• 多角たかく形がたの内角ないかくの和わは、 分わけられる三角形さんかくけいの数かず × $180°$

次章しょうでは、 角柱かくちゅう・円柱えんちゅうと比例ひれい・グラフ を学まなびます。