正負せいふの数かず — 四則しそく・絶対ぜったい値ち・数かず直線ちょくせん

この章しょうで学まなぶこと

中学ちゅうがくで最初さいしょに学まなぶ 正負の数せいふのかず です。 小学校しょうがっこうでは 0 より大おおきい数かずだけでしたが、 中学ちゅうがくでは 0 より小ちいさい 負ふの数すう ($-3$ など) も使つかいます。 すべての計算けいさんの土台どだいになります。

• 正の数せいのすう・負の数ふのかずと数直線すうちょくせん
• 絶対値ぜったいちの意味いみ
• たし算さん・ひき算さん・かけ算ざん・わり算ざん (四則しそく)
• 累乗るいじょうと計算けいさんの順序じゅんじょ

ポイント: いちばんの注意ちゅうい点てんは 符号ふごう (+ と −) です。 とくに 「マイナスをかける」 「カッコをはずす」 ときに符号ふごうをまちがえやすいので、 ていねいに進すすめましょう。

1. 正せいの数かず・負ふの数かずと数すう直線ちょくせん

0 より大おおきい数かずを 正の数せいのすう ($+5$、 ふつうは $5$ と書かく)、 0 より小ちいさい数かずを 負の数ふのかず ($-5$) といいます。 数直線すうちょくせんでは、 0 を真まん中なかにして右みぎに進すすむほど大おおきく、 左ひだりに進すすむほど小ちいさくなります。

   ←小さい            大きい→
 -3  -2  -1   0   1   2   3

大事だいじ: 負ふの数かずでは、 数かず直線ちょくせんで 左ひだりにあるほど小ちいさい です。 $-5$ と $-2$ では、 $-5$ のほうが左ひだりにあるので 。 「数かずが大おおきく見みえても、 マイナスがつくと小ちいさい」 ことに注意ちゅういします。

2. 絶対ぜったい値ち

ある数かずの 絶対値ぜったいち とは、 数直線すうちょくせん上で 0 からその数かずまでの きょり のことです。 符号ふごう (+ や −) を取とりのぞいた数かずと考えかんがえてよいです。

数かず	絶対ぜったい値ち
$+7$	$7$
$-7$	$7$
$0$	$0$

大事だいじ: $+7$ と $-7$ は、 符号ふごうはちがっても絶対ぜったい値ちはどちらも $7$ です。 絶対ぜったい値ちはきょりなので、 けっして負ふにはなりません。

3. たし算さん・ひき算さん

• 同おなじ符号ふごうどうし → 絶対ぜったい値ちを たして もとの符号ふごう
• ちがう符号ふごうどうし → 絶対ぜったい値ちの 差さ をとり、 絶対ぜったい値ちの大おおきいほうの符号ふごう

例れい: $(-7)+(-5)=-12,(-7)+5=-2$

ひき算さんは 「ひく数すうの符号ふごうを変かえてたす」 と考えかんがえます。

$3-(-4)=3+4=7$

例題れいだい: $(-6)+9-4$ を計算けいさんせよ。

$(-6)+9-4=3-4=-1$

検算けんざん: $(-6)+9=3$、 $3-4=-1$。 正ただしい。

大事だいじ: $3-(-4)$ のように 「マイナスをひく」 ときは、 $+4$ をたすのと同おなじです。 $-(-4)=+4$。 ここをまちがえやすいので注意ちゅういします。

4. かけ算ざん・わり算ざん

• 符号ふごうが 同おなじ → 答えこたえは $+$
• 符号ふごうが ちがう → 答えこたえは $-$

$(-3)\times (-4)=12,(-20)÷4=-5$

例題れいだい: $(-2)\times 3\times (-5)$ を計算けいさんせよ。

マイナスが 2 回かい (偶数ぐうすう回かい) なので、 答えこたえは $+$。

$(-2)\times 3\times (-5)=30$

検算けんざん: $(-2)\times 3=-6$、 $(-6)\times (-5)=30$。 正ただしい。

ポイント: かけ算ざんでは、 マイナスの個数こすうが偶数ぐうすうなら $+$、 奇数きすうなら $-$ になります。 さきに符号ふごうを決きめてから、 数かずの計算けいさんをすると速はやいです。

5. 累乗るいじょうと計算けいさんの順序じゅんじょ

同おなじ数かずを何なん回かいもかけることを 累乗るいじょう といい、 $2\times 2\times 2=2^3$ のように書かきます。 計算けいさんは 「累乗るいじょう → かけ算ざん・わり算ざん → たし算さん・ひき算さん」 の順じゅん、 カッコがあれば先さきに。

例題れいだい: $-3^2$ と $(-3{)}^2$ のちがいに注意ちゅういして計算けいさんせよ。

式しき	意味いみ	答えこたえ
$-3^2$	$-(3\times 3)$	$-9$
$(-3{)}^2$	$(-3)\times (-3)$	$9$

例題れいだい: $12-4\times (-2)$ を計算けいさんせよ。

$12-4\times (-2)=12-(-8)=12+8=20$

検算けんざん: $4\times (-2)=-8$、 $12-(-8)=20$。 正ただしい。

大事だいじ: $-3^2=-9$ です。 マイナスは 2 乗じょうの 「外そと」 にあると考えかんがえます。 符号ふごうがついた数かずを 2 乗じょうしたいときは、 $(-3{)}^2$ のようにカッコでくくります。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは 「$-5^2+(-3{)}^2$ を計算けいさんせよ」 のような 符号ふごうと累乗るいじょう の計算けいさんがねらわれます。
• 「$8+(-3)\times 2$」 のように、 計算けいさんの順序じゅんじょ を問とう問題もんだいもよく出でます。
• 二に次じでは、 正負せいふの数かずを使つかって 「基準きじゅんより高たかい・低ひくい」 を表あらわす問題もんだい (気温きおん・得点とくてんなど) が出でます。

よくまちがえるところ

正負せいふの数かずのミスは、 ほとんどが符号ふごうのあつかいです。 つぎの 4 つが代表だいひょう的てきです。

まちがい	例れい	直なおし方かた
負ふの数かずをひくときに符号ふごうを変かえない	3 - (-4) を -1 とする	ひく数すうの符号ふごうを変かえてたす。 3 + 4 = 7
ひき算さんに直なおすとき前まえの項こうの符号ふごうまで変かえる	-6 - (-2) を 6 + 2 とする	変かえるのは ひく数すうだけ。 -6 + 2 = -4
累乗るいじょうのかっこの有無うむを区別くべつしない	-3² を 9 とする	-3² = -(3 × 3) = -9、 (-3)² = 9
かけ算ざんの符号ふごうを個数こすうで決きめない	(-2) × 3 × (-5) を -30 とする	マイナスが 2 個こ (偶数ぐうすう) なので +30

いちばん多おおいのは 負ふの数かずをひくときの符号ふごう です。 「- (-4)」 のようにマイナスが 2 つ並ならんだら、 それは +4 をたすことを表あらわします。 数かず直線ちょくせんで考かんがえると、 -4 だけ左ひだりへ進すすむ動うごきをやめる、 つまり右みぎへ 4 進すすむのと同おなじです。 「マイナスが 2 つ続つづいたらプラス」 と声こえに出だして確たしかめる習慣しゅうかんをつけましょう。

符号ふごうの決きめ方かたの手順てじゅん

式しき全体ぜんたいをいきなり計算けいさんせず、 符号ふごうを決きめてから数かずを計算けいさんします。 例れいは 12 - 4 × (-2) です。

順番じゅんばん	すること	このときの式しき
1	累乗るいじょうがあれば先さきに計算けいさんする	この式しきにはない
2	かけ算ざん・わり算ざんの部分ぶぶんで、 まず符号ふごうだけ決きめる	マイナスが 1 個こ (奇数きすう) なので符号ふごうは -
3	その部分ぶぶんの数かずを計算けいさんする	4 × 2 = 8 なので -8
4	ひき算さんは 「ひく数すうの符号ふごうを変かえてたす」 に直なおす	12 - (-8) = 12 + 8
5	たし算さんをする (同どう符号ふごうは和わ、 異い符号ふごうは差さ)	20

かけ算ざん・わり算ざんの符号ふごうは マイナスの個数こすう だけで決きまります。 偶数ぐうすう個こなら +、 奇き数すう個こなら - です。 数かずを先さきに計算けいさんしてから符号ふごうを後ごづけしようとすると迷まようので、 符号ふごう → 数かず の順じゅんを守まもりましょう。

自分じぶんでチェック

• 3 - (-4) = 7 になる理由りゆうを説明せつめいできる
• -6 - (-2) のように、 ひく数すうだけ符号ふごうを変かえられる
• -3² = -9、 (-3)² = 9 のちがいを書かき分わけられる
• かけ算ざんの符号ふごうをマイナスの個数こすう (偶数ぐうすうか奇数きすうか) で決きめられる
• 累乗るいじょう → かけ算ざんわり算ざん → たし算さんひき算さん の順じゅんで計算けいさんできる

まとめ

• 数直線すうちょくせんでは左ひだりほど小ちいさい ()
• 絶対値ぜったいちは 0 からのきょり、 けっして負ふにならない
• かけ算ざんはマイナスの個数こすうが偶数ぐうすうなら $+$、 奇数きすうなら $-$
• $-3^2=-9$、 $(-3{)}^2=9$ のちがいに注意ちゅうい

次じ章しょうでは、 文字もじを使つかって数かずを表あらわす 文字式もじしき を学まなびます。