正負せいふの数かず — 四則しそく・絶対ぜったい値ち・数かず直線ちょくせん

この章しょうで学まなぶこと

中学ちゅうがくで最初さいしょに学まなぶ 正負の数せいふのかず です。 小学校しょうがっこうでは 0 より大おおきい数かずだけでしたが、 中学ちゅうがくでは 0 より小ちいさい 負まけの数すう ($-3$ など) も使つかいます。 すべての計算けいさんの土台どだいになります。

• 正の数せいのすう・負の数ふのかずと数直線すうちょくせん
• 絶対値ぜったいちの意味いみ
• たし算さん・ひき算さん・かけ算ざん・わり算ざん (四則しそく)
• 累乗るいじょうと計算けいさんの順序じゅんじょ

ポイント: いちばんの注意ちゅうい点てんは 符号ふごう (+ と −) です。 とくに 「マイナスをかける」 「カッコをはずす」 ときに符号ふごうをまちがえやすいので、 ていねいに進すすめましょう。

1. 正せいの数かず・負まけの数かずと数すう直線ちょくせん

0 より大おおきい数かずを 正の数せいのすう ($+5$、 ふつうは $5$ と書かく)、 0 より小ちいさい数かずを 負の数ふのかず ($-5$) といいます。 数直線すうちょくせんでは、 0 を真まん中なかにして右みぎに進すすむほど大おおきく、 左ひだりに進すすむほど小ちいさくなります。

   ←小さい            大きい→
 -3  -2  -1   0   1   2   3

大事だいじ: 負まけの数かずでは、 数かず直線ちょくせんで 左ひだりにあるほど小ちいさい です。 $-5$ と $-2$ では、 $-5$ のほうが左ひだりにあるので 。 「数かずが大おおきく見みえても、 マイナスがつくと小ちいさい」 ことに注意ちゅういします。

2. 絶対ぜったい値ち

ある数かずの 絶対値ぜったいち とは、 数直線すうちょくせん上で 0 からその数かずまでの きょり のことです。 符号ふごう (+ や −) を取とりのぞいた数かずと考えかんがえてよいです。

数かず	絶対ぜったい値ち
$+7$	$7$
$-7$	$7$
$0$	$0$

大事だいじ: $+7$ と $-7$ は、 符号ふごうはちがっても絶対ぜったい値ちはどちらも $7$ です。 絶対ぜったい値ちはきょりなので、 けっして負まけにはなりません。

3. たし算さん・ひき算さん

• 同おなじ符号ふごうどうし → 絶対ぜったい値ちを たして もとの符号ふごう
• ちがう符号ふごうどうし → 絶対ぜったい値ちの 差さ をとり、 絶対ぜったい値ちの大おおきいほうの符号ふごう

例れい: $(-7)+(-5)=-12,(-7)+5=-2$

ひき算さんは 「ひく数すうの符号ふごうを変かえてたす」 と考えかんがえます。

$3-(-4)=3+4=7$

例題れいだい: $(-6)+9-4$ を計算けいさんせよ。

$(-6)+9-4=3-4=-1$

検算けんざん: $(-6)+9=3$、 $3-4=-1$。 正ただしい。

大事だいじ: $3-(-4)$ のように 「マイナスをひく」 ときは、 $+4$ をたすのと同おなじです。 $-(-4)=+4$。 ここをまちがえやすいので注意ちゅういします。

4. かけ算ざん・わり算ざん

• 符号ふごうが 同おなじ → 答えこたえは $+$
• 符号ふごうが ちがう → 答えこたえは $-$

$(-3)\times (-4)=12,(-20)÷4=-5$

例題れいだい: $(-2)\times 3\times (-5)$ を計算けいさんせよ。

マイナスが 2 回かい (偶数ぐうすう回かい) なので、 答えこたえは $+$。

$(-2)\times 3\times (-5)=30$

検算けんざん: $(-2)\times 3=-6$、 $(-6)\times (-5)=30$。 正ただしい。

ポイント: かけ算ざんでは、 マイナスの個数こすうが偶数ぐうすうなら $+$、 奇数きすうなら $-$ になります。 さきに符号ふごうを決きめてから、 数かずの計算けいさんをすると速はやいです。

5. 累乗るいじょうと計算けいさんの順序じゅんじょ

同おなじ数かずを何なん回かいもかけることを 累乗るいじょう といい、 $2\times 2\times 2=2^3$ のように書かきます。 計算けいさんは 「累乗るいじょう → かけ算ざん・わり算ざん → たし算さん・ひき算さん」 の順じゅん、 カッコがあれば先さきに。

例題れいだい: $-3^2$ と $(-3{)}^2$ のちがいに注意ちゅういして計算けいさんせよ。

式しき	意味いみ	答えこたえ
$-3^2$	$-(3\times 3)$	$-9$
$(-3{)}^2$	$(-3)\times (-3)$	$9$

例題れいだい: $12-4\times (-2)$ を計算けいさんせよ。

$12-4\times (-2)=12-(-8)=12+8=20$

検算けんざん: $4\times (-2)=-8$、 $12-(-8)=20$。 正ただしい。

大事だいじ: $-3^2=-9$ です。 マイナスは 2 乗じょうの 「外そと」 にあると考えかんがえます。 符号ふごうがついた数かずを 2 乗じょうしたいときは、 $(-3{)}^2$ のようにカッコでくくります。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは 「$-5^2+(-3{)}^2$ を計算けいさんせよ」 のような 符号ふごうと累乗るいじょう の計算けいさんがねらわれます。
• 「$8+(-3)\times 2$」 のように、 計算けいさんの順序じゅんじょ を問とう問題もんだいもよく出でます。
• 二に次じでは、 正負せいふの数かずを使つかって 「基準きじゅんより高たかい・低ひくい」 を表あらわす問題もんだい (気温きおん・得点とくてんなど) が出でます。

まとめ

• 数直線すうちょくせんでは左ひだりほど小ちいさい ()
• 絶対値ぜったいちは 0 からのきょり、 けっして負まけにならない
• かけ算ざんはマイナスの個数こすうが偶数ぐうすうなら $+$、 奇数きすうなら $-$
• $-3^2=-9$、 $(-3{)}^2=9$ のちがいに注意ちゅうい

次じ章しょうでは、 文字もじを使つかって数かずを表あらわす 文字式もじしき を学まなびます。