文字もじと式しき — 文字もじ式しきの表あらわし方かた・代入だいにゅう・1次じ式しきの計算けいさん

この章しょうで学まなぶこと

数かずのかわりに文字もじ ($x$ や $a$ など) を使つかう 文字式もじしき を学まなびます。 まだ決きまっていない数かずや、 いろいろに変かわる数かずを文字もじで表あらわすと、 関係かんけいをすっきり書かけます。 方程式ほうていしきや関数かんすうの準備じゅんびにもなります。

• 文字もじ式しきの表あらわし方かたのルール
• 代入だいにゅうと式しきの値あたい
• 項こう・係数けいすうの意味いみ
• 1次じ式しきの計算けいさん (同類項どうるいこうをまとめる)

ポイント: 文字もじ式しきには書かき方かたのルールがあります。 「$\times$ ははぶく」 「数かずを前まえに書かく」 など、 まずこのルールを正ただしく身みにつけましょう。

1. 文字もじ式しきの表あらわし方かたのルール

• かけ算ざんの記号きごう$\times$ ははぶく ($a\times b=ab$)
• 数かずは文字もじの 前ぜん に書かく ($a\times 3=3a$)
• 同おなじ文字もじの積せきは累乗るいじょうで ($a\times a=a^2$)
• わり算ざんは分数ぶんすうで ($a÷3=\frac{a}{3}$)
• $1$ や $-1$ をかけるときは $1$ をはぶく ($1\times a=a$、 $-1\times a=-a$)

例題れいだい: 「1 本$x$円のえんぴつを 5 本ほん買かい、 $100$円出だしたときのおつり」 を文字もじ式しきで表あらわせ。

代金だいきんは $5\times x=5x$円。 おつりは

$100-5x \left(円\right)$

検算けんざん: $x=15$ なら代金だいきん$75$円、 おつり $100-75=25$円。 式しきに $x=15$ を入いれると $100-5\times 15=100-75=25$。 一致いっちする。

大事だいじ: $5\times x$ は $5x$ と書かきますが、 $5+x$ ははぶけません ($5x$ と $5+x$ は別物べつもの)。 はぶけるのは かけ算ざんの記号きごうだけ です。

2. 代入だいにゅうと式しきの値あたい

文字もじに数かずを当あてはめることを 代入だいにゅう といい、 そのときの計算けいさん結果けっかを 式しきの値あたい といいます。

例題れいだい: $x=-2$ のとき、 $3x+5$ の値あたいを求もとめよ。

$3\times (-2)+5=-6+5=-1$

検算けんざん: $3\times (-2)=-6$、 $-6+5=-1$。 正ただしい。

例題れいだい: $a=-3$ のとき、 $a^2-2a$ の値あたいを求もとめよ。

$(-3{)}^2-2\times (-3)=9+6=15$

検算けんざん: $(-3{)}^2=9$、 $-2\times (-3)=+6$、 $9+6=15$。 正ただしい。

大事だいじ: 負ふの数かずを代入だいにゅうするときは必かならず カッコをつけて から代入だいにゅうします。 $a^2$ に $a=-3$ を入いれるときは $(-3{)}^2=9$。 カッコを忘わすれると $-9$ にしてしまいます。

3. 項こう・係数けいすう

たし算さん・ひき算さんで結むすばれた 1 つ 1 つのまとまりを 項こう といい、 文字もじの前まえについている数かずを 係数けいすう といいます。

たとえば $3x-5$ では、 項こうは $3x$ と $-5$、 $3x$ の係数けいすうは $3$ です。

4. 1次じ式しきの計算けいさん

文字もじの部分ぶぶんが同おなじ項こう (同類項どうるいこう) は、 係数けいすうどうしを計算けいさんしてまとめられます。

例題れいだい: $5x-3-2x+7$ を計算けいさんせよ。

$5x-2x-3+7=3x+4$

検算けんざん: $x=1$ を代入だいにゅう。 もとの式$=5-3-2+7=7$、 答えこたえの式$=3\times 1+4=7$。 一致いっちする。

例題れいだい: $2(3x-4)-3(x-5)$ を計算けいさんせよ。

$2(3x-4)-3(x-5)=6x-8-3x+15=3x+7$

検算けんざん: $x=2$ でもとの式$=2(6-4)-3(2-5)=4-(-9)=13$、 答えこたえ $=3\times 2+7=13$。 一致いっちする。

ポイント: カッコの前まえが $-$ のとき、 カッコをはずすと 中ちゅうの符号ふごうがすべて反対はんたい になります。 $-3(x-5)=-3x+15$。 ここが最大さいだいのミスポイントです。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは 「$3(2x-1)-(x+4)$ を計算けいさんせよ」 のように、 カッコをはずすときの符号ふごう がポイントです。
• 「$x=-4$ のとき $2x-3$ の値あたい」 のような 式しきの値あたい の問題もんだいも定番ていばん。 負ふの数かずの代入だいにゅうはカッコをつけて。
• 二に次じでは 「ことばで表あらわされた関係かんけいを文字もじ式しきにする」 「文字もじ式しきで数量すうりょうを表あらわす」 問題もんだいが出でます。

よくまちがえるところ

文字もじ式しきでは、 かっこをはずすところと、 代入だいにゅうするところが二に大だいミスポイントです。

まちがい	例れい	直なおし方かた
かっこの前まえがマイナスのとき後うしろの項こうの符号ふごうを変かえない	-3(x - 5) を -3x - 15 とする	中なかのすべての項こうにかける。 -3x + 15
代入だいにゅうでかっこをつけない	a = -3 を a² に入いれて -3² = -9 とする	(-3)² = 9
同類項どうるいこうでない項こうをまとめる	3x + 5 を 8x とする	文字もじの部分ぶぶんが同おなじ項こうだけをまとめる
わり算ざんを分数ぶんすうで書かかない	a ÷ 3 を 3a と書かく	a/3 と書かく

いちばん多おおいのは 分配ぶんぱい法則ほうそくでの符号ふごう落おとし です。 -3(x - 5) では、 -3 を x にも -5 にもかけます。 -3 × (-5) = +15 なので、 答えこたえは -3x + 15 です。 かっこの中なかの 2 番ばん目めの項こうだけ符号ふごうが変かわらないまま残のこるミスがとても多おおいので、 かっこをはずしたら 「後うしろの項こうの符号ふごうは変かわったか」 を必かならず見みる癖くせをつけましょう。

1次じ式しきの計算けいさんの手順てじゅん

つぎの順じゅんに進すすめれば、 符号ふごう落おとしも同類項どうるいこうのまとめまちがいも防ふせげます。 例れいは 2(3x - 4) - 3(x - 5) です。

順番じゅんばん	すること	このときの式しき
1	かっこの前まえの数かずを符号ふごうごと確たしかめる	2 と -3
2	かっこの中なかのすべての項こうにかける	6x - 8 と -3x + 15
3	文字もじの項こうどうし、 数かずの項こうどうしを並ならべる	6x - 3x - 8 + 15
4	係数けいすうどうしを計算けいさんする	3x + 7
5	x に数かずを入いれて、 もとの式しきと一致いっちするか確たしかめる	x = 2 でどちらも 13

5 の検算けんざんは数すう十じゅう秒びょうでできます。 x = 1 や x = 2 のような計算けいさんしやすい数かずを入いれて、 もとの式しきと答えこたえの式しきが同おなじ値あたいになれば、 途中とちゅうの符号ふごうはまず合あっています。

自分じぶんでチェック

• -3(x - 5) = -3x + 15 と符号ふごうを落おとさずにかっこをはずせる
• 負ふの数かずを代入だいにゅうするとき、 かっこをつけてから計算けいさんできる
• 同類項どうるいこうだけをまとめ、 3x + 5 をそれ以上いじょうまとめないと言いえる
• a ÷ 3 を a/3、 a × 3 を 3a と書かき分わけられる
• x に数かずを入いれて、 計算けいさんした式しきが合あっているか検算けんざんできる

まとめ

• $\times$ ははぶき、 数かずは文字もじの前まえに ($a\times 3=3a$)
• 代入だいにゅうでは負ふの数かずにカッコをつける ($(-3{)}^2=9$)
• 同類項どうるいこう (文字もじの部分ぶぶんが同おなじ項こう) は係数けいすうどうしをまとめる
• カッコの前まえが $-$ なら、 はずすとき中ちゅうの符号ふごうがすべて反対はんたい

次じ章しょうでは、 文字もじ式しきを使つかって答えこたえを求もとめる 一次方程式いちじほうていしき を学まなびます。