文字もじと式しき — 文字もじ式しきの表あらわし方かた・代入だいにゅう・1次じ式しきの計算けいさん

この章しょうで学まなぶこと

数かずのかわりに文字もじ ($x$ や $a$ など) を使つかう 文字式もじしき を学まなびます。 まだ決きまっていない数かずや、 いろいろに変かわる数かずを文字もじで表あらわすと、 関係かんけいをすっきり書かけます。 方程式ほうていしきや関数かんすうの準備じゅんびにもなります。

• 文字もじ式しきの表あらわし方かたのルール
• 代入だいにゅうと式しきの値あたい
• 項こう・係数けいすうの意味いみ
• 1次じ式しきの計算けいさん (同類項どうるいこうをまとめる)

ポイント: 文字もじ式しきには書かき方かたのルールがあります。 「$\times$ ははぶく」 「数かずを前まえに書かく」 など、 まずこのルールを正まさしく身みにつけましょう。

1. 文字もじ式しきの表あらわし方かたのルール

• かけ算ざんの記号きごう$\times$ ははぶく ($a\times b=ab$)
• 数かずは文字もじの 前ぜん に書かく ($a\times 3=3a$)
• 同おなじ文字もじの積せきは累乗るいじょうで ($a\times a=a^2$)
• わり算ざんは分数ぶんすうで ($a÷3=\frac{a}{3}$)
• $1$ や $-1$ をかけるときは $1$ をはぶく ($1\times a=a$、 $-1\times a=-a$)

例題れいだい: 「1 本$x$円のえんぴつを 5 本ほん買かい、 $100$円出だしたときのおつり」 を文字もじ式しきで表あらわせ。

代金だいきんは $5\times x=5x$円。 おつりは

$100-5x \left(円\right)$

検算けんざん: $x=15$ なら代金だいきん$75$円、 おつり $100-75=25$円。 式しきに $x=15$ を入いれると $100-5\times 15=100-75=25$。 一致いっちする。

大事だいじ: $5\times x$ は $5x$ と書かきますが、 $5+x$ ははぶけません ($5x$ と $5+x$ は別物べつもの)。 はぶけるのは かけ算ざんの記号きごうだけ です。

2. 代入だいにゅうと式しきの値あたい

文字もじに数かずを当あてはめることを 代入だいにゅう といい、 そのときの計算けいさん結果けっかを 式しきの値あたい といいます。

例題れいだい: $x=-2$ のとき、 $3x+5$ の値あたいを求もとめよ。

$3\times (-2)+5=-6+5=-1$

検算けんざん: $3\times (-2)=-6$、 $-6+5=-1$。 正ただしい。

例題れいだい: $a=-3$ のとき、 $a^2-2a$ の値あたいを求もとめよ。

$(-3{)}^2-2\times (-3)=9+6=15$

検算けんざん: $(-3{)}^2=9$、 $-2\times (-3)=+6$、 $9+6=15$。 正ただしい。

大事だいじ: 負まけの数かずを代入だいにゅうするときは必かならず カッコをつけて から代入だいにゅうします。 $a^2$ に $a=-3$ を入いれるときは $(-3{)}^2=9$。 カッコを忘わすれると $-9$ にしてしまいます。

3. 項こう・係数けいすう

たし算さん・ひき算さんで結むすばれた 1 つ 1 つのまとまりを 項こう といい、 文字もじの前まえについている数かずを 係数けいすう といいます。

たとえば $3x-5$ では、 項こうは $3x$ と $-5$、 $3x$ の係数けいすうは $3$ です。

4. 1次じ式しきの計算けいさん

文字もじの部分ぶぶんが同おなじ項こう (同類項どうるいこう) は、 係数けいすうどうしを計算けいさんしてまとめられます。

例題れいだい: $5x-3-2x+7$ を計算けいさんせよ。

$5x-2x-3+7=3x+4$

検算けんざん: $x=1$ を代入だいにゅう。 もとの式$=5-3-2+7=7$、 答えこたえの式$=3\times 1+4=7$。 一致いっちする。

例題れいだい: $2(3x-4)-3(x-5)$ を計算けいさんせよ。

$2(3x-4)-3(x-5)=6x-8-3x+15=3x+7$

検算けんざん: $x=2$ でもとの式$=2(6-4)-3(2-5)=4-(-9)=13$、 答えこたえ $=3\times 2+7=13$。 一致いっちする。

ポイント: カッコの前まえが $-$ のとき、 カッコをはずすと 中ちゅうの符号ふごうがすべて反対はんたい になります。 $-3(x-5)=-3x+15$。 ここが最大さいだいのミスポイントです。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは 「$3(2x-1)-(x+4)$ を計算けいさんせよ」 のように、 カッコをはずすときの符号ふごう がポイントです。
• 「$x=-4$ のとき $2x-3$ の値あたい」 のような 式しきの値あたい の問題もんだいも定番ていばん。 負まけの数かずの代入だいにゅうはカッコをつけて。
• 二に次じでは 「ことばで表あらわされた関係かんけいを文字もじ式しきにする」 「文字もじ式しきで数量すうりょうを表あらわす」 問題もんだいが出でます。

まとめ

• $\times$ ははぶき、 数かずは文字もじの前まえに ($a\times 3=3a$)
• 代入だいにゅうでは負まけの数かずにカッコをつける ($(-3{)}^2=9$)
• 同類項どうるいこう (文字もじの部分ぶぶんが同おなじ項こう) は係数けいすうどうしをまとめる
• カッコの前まえが $-$ なら、 はずすとき中ちゅうの符号ふごうがすべて反対はんたい

次じ章しょうでは、 文字もじ式しきを使つかって答えこたえを求もとめる 一次方程式いちじほうていしき を学まなびます。