平面図形へいめんずけい — 作図さくず・図形ずけいの移動いどう・おうぎ形がた

この章しょうで学まなぶこと

中ちゅう1 の 平面図形へいめんずけい を学まなびます。 作図さくずの意味いみ、 図形ずけいを動うごかす 3 つの移動いどう、 円えんの一部いちぶである おうぎ形がた の計算けいさんが中心ちゅうしんです。

• 基本きほんの作図さくず (垂直二等分線すいちょくにとうぶんせん・角の二等分線かくのにとうぶんせん・垂線すいせん)
• 図形ずけいの移動いどう (平行移動へいこういどう・回転移動かいてんいどう・対称移動たいしょういどう)
• おうぎ形がたの弧この長ながさと面積めんせき

ポイント: おうぎ形がたは 「円えんの一部いちぶ」 です。 中心角ちゅうしんかくが $360°$ のうちのどれだけかという わりあい ($\frac{360°}{}$) を、 円えん全体ぜんたいの弧こや面積めんせきにかけるのが基本きほんです。

1. 基本きほんの作図さくず

作図さくずとは、 じょうぎ (目めもりは使つかわない) とコンパスだけ で図ずをかくことです。 おもな作図さくずは 3 つ。

作図さくず	できるもの
垂直二等分線すいちょくにとうぶんせん	線分せんぶんを 2 等分とうぶんし、 垂直すいちょくに交まじわる直線ちょくせん。 2 点てんから等ひとしいきょりの点てんが並ならぶ
角の二等分線かくのにとうぶんせん	角かくを半分はんぶんに分わける直線ちょくせん。 2 辺へんから等ひとしいきょりの点てんが並ならぶ
垂線すいせん	ある点てんを通とおり、 直線ちょくせんに垂直すいちょくな直線ちょくせん

大事だいじ: 垂直二等分線すいちょくにとうぶんせん上の点てんは、 線分せんぶんの 両りょうはしから等ひとしいきょり にあります。 この性質せいしつは、 2 点てんから等ひとしいきょりにある点てんをさがすときに使つかえます。

2. 図形ずけいの移動いどう

図形ずけいを形かたちや大おおきさを変かえずに動うごかすことを 移動いどう といい、 3 種類しゅるいあります。

移動いどう	動うごかし方かた
平行移動へいこういどう	一定いっていの向むきに、 一定いっていのきょりだけずらす
回転移動かいてんいどう	ある点てん (回転かいてんの中心ちゅうしん) のまわりに、 一定いっていの角度かくどだけ回まわす
対称移動たいしょういどう	ある直線ちょくせん (対称たいしょうの軸じく) を折おり目めにして折おり返かえす

$180°$ の回転移動かいてんいどうを、 とくに 点対称移動てんたいしょういどう といいます。

3. おうぎ形がた

円えんを 2 本ほんの半径はんけいで切きり取とった形かたちを おうぎ形がた といい、 2 本ほんの半径はんけいがつくる角かくを 中心角ちゅうしんかく といいます。 半径はんけい$r$、 中心ちゅうしん角かく$a°$ のおうぎ形がたでは、

$弧の長さ=2\pi r\times \frac{a}{360},面積=\pi r^2\times \frac{a}{360}$

例題れいだい: 半径はんけい$6$ cm、 中心角ちゅうしんかく $60°$ のおうぎ形がたの弧この長ながさと面積めんせきを求もとめよ (円周率えんしゅうりつは $\pi$ とする)。

中心ちゅうしん角かくは全体ぜんたいの $\frac{60}{360}=\frac{1}{6}$。

$弧の長さ=2\pi \times 6\times \frac{1}{6}=2\pi \left(cm\right)$ $面積=\pi \times 6^2\times \frac{1}{6}=\pi \times 36\times \frac{1}{6}=6\pi \left(2^{}\right)$

検算けんざん: 半径はんけい$6$ の円えん全体ぜんたいの周しゅうは $2\pi \times 6=12\pi$、 その $\frac{1}{6}$ は $2\pi$ ($\circ$)。 円えん全体ぜんたいの面積めんせきは $36\pi$、 その $\frac{1}{6}$ は $6\pi$ ($\circ$)。 どちらも合あう。

ポイント: 弧この長ながさも面積めんせきも、 まず 「中心ちゅうしん角かくは $360°$ のうちのどれだけか」 ($\frac{a}{360}$) を求もとめ、 円えん全体ぜんたいの周しゅうや面積めんせきにかければよいです。 半径はんけいの使つかい方かた (周しゅうは $2\pi r$、 面積めんせきは $\pi r^2$) を混同こんどうしないように。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは 「半径はんけい$r$、 中心ちゅうしん角かく$a°$ のおうぎ形がたの弧この長ながさ・面積めんせき」 の計算けいさんが定番ていばんです。
• 作図さくずの問題もんだいや、 「ある図形ずけいを何なにの移動いどうで重かさねられるか」 を答こたえる問題もんだいも出でます。
• 二に次じでは、 おうぎ形がたと三角形さんかくけいを組み合わせくみあわせた図形ずけいの面積めんせきや、 作図さくずの手順てじゅんを説明せつめいする問題もんだいが出でます。

よくまちがえるところ

おうぎ形がたの計算けいさんは、 使つかう公式こうしきと半径はんけいの取とりちがえでほとんどのミスが起おきます。

まちがい	例れい	直なおし方かた
弧この長ながさに面積めんせきの公式こうしきを使つかう	半径はんけい 6・中心ちゅうしん角かく 60° の弧こを π × 6² × 1/6 とする	弧こは 2πr × 中心ちゅうしん角かく/360 なので 2π
中心ちゅうしん角かくの割合わりあいをかけ忘わすれる	上うえのおうぎ形がたの面積めんせきを 36π のままにする	36π × 60/360 = 6π
直径ちょっけいを半径はんけいとして使つかう	直径ちょっけい 12 cm のおうぎ形がたで r = 12 とする	r = 6
移動いどうの種類しゅるいを取とりちがえる	折おり返かえして重かさなるのを回転かいてん移動いどうとする	折おり返かえしは対称たいしょう移動いどう、 回まわすのが回転かいてん移動いどう

いちばん多おおいのは 弧この長ながさと面積めんせきの公式こうしきの取とりちがえ です。 弧こは 「長ながさ」 なので円周えんしゅう 2πr をもとにし、 単位たんいは cm。 面積めんせきは 「広ひろさ」 なので πr² をもとにし、 単位たんいは cm² です。 求もとめるものの単位たんいを先さきに決きめておけば、 どちらの公式こうしきを使つかうかは自然しぜんに決きまります。

おうぎ形がたの計算けいさん手順てじゅん

円えん全体ぜんたいを先さきに出だしてから、 中心ちゅうしん角かくの割合わりあいをかけます。 例れいは 半径はんけい 6 cm、 中心ちゅうしん角かく 60° のおうぎ形がたです。

順番じゅんばん	すること	このときの計算けいさん
1	半径はんけいを確たしかめる (直径ちょっけいなら半分はんぶんにする)	r = 6
2	中心ちゅうしん角かくが 360° のうちどれだけかを分数ぶんすうにする	60/360 = 1/6
3	円えん全体ぜんたいの値あたいを出だす (長ながさなら 2πr、 広ひろさなら πr²)	円周えんしゅう 12π、 面積めんせき 36π
4	2 で出だした分数ぶんすうをかける	弧こ 12π × 1/6 = 2π、 面積めんせき 36π × 1/6 = 6π
5	単位たんいをつける	2π cm、 6π cm²

中心ちゅうしん角かくの割合わりあいは、 よく出でるものを覚おぼえておくと速はやくなります。 180° は 1/2、 120° は 1/3、 90° は 1/4、 60° は 1/6、 45° は 1/8 です。 逆ぎゃくに、 おうぎ形がたの弧こや面積めんせきから中心ちゅうしん角かくを求もとめる問題もんだいも出でます。 そのときは 「円えん全体ぜんたいの何分なんぷんのいくつか」 を先さきに出だし、 360 にかけます。

自分じぶんでチェック

• 弧この長ながさ = 2πr × 中心ちゅうしん角かく/360 を書かける
• おうぎ形がたの面積めんせき = πr² × 中心ちゅうしん角かく/360 を書かける
• 弧こは cm、 面積めんせきは cm² と単位たんいで使つかい分わけられる
• 平行へいこう移動いどう・回転かいてん移動いどう・対称たいしょう移動いどうのちがいを説明せつめいできる
• 垂直すいちょく二に等分とうぶん線上せんじょうの点てんが 2 点てんから等ひとしいきょりにあると言いえる

まとめ

• 作図さくずはじょうぎとコンパスだけ。 垂直二等分線すいちょくにとうぶんせん・角の二等分線かくのにとうぶんせん・垂線すいせんが基本きほん
• 移動いどうは平行移動へいこういどう・回転移動かいてんいどう・対称移動たいしょういどうの 3 つ
• おうぎ形がたは円えん全体ぜんたいに $\frac{360°}{}$ をかける
• 弧この長ながさ $=2\pi r\times \frac{a}{360}$、 面積めんせき$=\pi r^2\times \frac{a}{360}$

次章しょうでは、 立体りったいをあつかう 空間図形くうかんずけい を学まなびます。