一いち次じ方程式ほうていしき — 解とき方かた・移項いこう・文章ぶんしょう題だいへの利用りよう

この章しょうで学まなぶこと

文字もじ$x$ をふくむ等式とうしきで、 $x$ にどんな数かずを入いれると成なり立たつかを求もとめる 一次方程式いちじほうていしき を学まなびます。 数学すうがくだけでなく、 文章ぶんしょう題だいを解とく強力きょうりょくな道具どうぐになります。

• 等式とうしきの性質せいしつと方程式ほうていしきの意味いみ
• 移項いこうを使つかった解とき方かた
• かっこや分数ぶんすうをふくむ方程式ほうていしき
• 比例式ひれいしき
• 文章ぶんしょう題だいへの利用りよう

ポイント: 方程式ほうていしきを解とくとは、 式しきを変形へんけいして 「$x=?$」 の形かたちにすること。 そのために 「両辺りょうへんに同おなじことをしても等号とうごうはこわれない」 という性質せいしつを使つかいます。

1. 等式とうしきの性質せいしつと移項いこう

等式とうしき ($=$ で結むすばれた式しき) には、 つぎの性質せいしつがあります。

• 両辺りょうへんに同おなじ数かずをたしても、 ひいても等号とうごうは成なり立たつ
• 両辺りょうへんに同おなじ数かずをかけても、 同おなじ数かず (0 でない) でわっても等号とうごうは成なり立たつ

この性質せいしつから、 ある項こうを等号とうごうの反対はんたい側がわへ 符号ふごうを変かえて 移うつすことができます。 これを 移項いこう といいます。

例題れいだい: $3x-5=x+7$ を解とけ。

$x$ を左ひだり、 数かずを右みぎに移項いこうする。

$3x-x=7+5\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} 2x=12\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} x=6$

検算けんざん: $x=6$ で左辺さへん$=18-5=13$、 右辺うへん$=6+7=13$。 一致いっちする。 よって $x=6$。

大事だいじ: 移項いこうすると 符号ふごうが反対はんたい になります。 $-5$ を右みぎへ移うつすと $+5$、 $x$ を左ひだりへ移うつすと $-x$。 「動うごかすと符号ふごうが変かわる」 と覚おぼえましょう。

2. かっこ・分数ぶんすうをふくむ方程式ほうていしき

かっこをふくむ

例題れいだい: $2(x-3)=x+4$ を解とけ。

まずかっこをはずす。

$2x-6=x+4\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} 2x-x=4+6\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} x=10$

検算けんざん: $x=10$ で左辺さへん$=2(10-3)=14$、 右辺うへん$=10+4=14$。 一致いっちする。

分数ぶんすうをふくむ

両辺りょうへんに分母ぶんぼの最小公倍数さいしょうこうばいすうをかけて、 分数ぶんすうをなくしてから解ときます。

例題れいだい: $\frac{x}{2}+1=\frac{x}{3}+2$ を解とけ。

両辺りょうへんを $6$倍ばいする。

$3x+6=2x+12\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} 3x-2x=12-6\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} x=6$

検算けんざん: $x=6$ で左辺さへん$=3+1=4$、 右辺うへん$=2+2=4$。 一致いっちする。

ポイント: 両辺りょうへんに数かずをかけるときは、 すべての項こう にかけます。 $\frac{x}{2}+1$ を $6$倍ばいするなら、 $1$ にも $6$ をかけて $6$ にすることを忘わすれずに。

3. 比例ひれい式しき

$a:b=c:d$ の形かたちを 比例式ひれいしき といい、 「外側そとがわどうしの積せき = 内側うちがわどうしの積せき」 ($ad=bc$) が成なり立たちます。

例題れいだい: $x:6=2:3$ を解とけ。

$3x=6\times 2=12\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} x=4$

検算けんざん: $4:6=2:3$ (両方りょうほうとも $2:3$ に約分やくぶんできる)。 正ただしい。

4. 文章ぶんしょう題だいへの利用りよう

例題れいだい: ある数かずを 3 倍ばいして 5 をたすと、 もとの数かずの 5 倍ばいより 7 小ちいさくなる。 ある数かずを求もとめよ。

ある数かずを $x$ とおく。

$3x+5=5x-7$ $3x-5x=-7-5\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} -2x=-12\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} x=6$

検算けんざん: $x=6$ で左辺さへん$=18+5=23$、 右辺うへん$=30-7=23$。 一致いっちする。 ある数かずは $6$。

例題れいだい: 1 本$80$円のえんぴつと 1 本$120$円のペンを合あわせて $10$本買かったら、 代金だいきんは $920$円だった。 えんぴつを何なん本ほん買かったか。

えんぴつを $x$本とすると、 ペンは $(10-x)$本。

$80x+120(10-x)=920$ $80x+1200-120x=920\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} -40x=-280\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} x=7$

検算けんざん: えんぴつ $7$本 ($560$円)、 ペン $3$本 ($360$円)、 合計ごうけい$920$円、 本数ほんすう$10$本。 条件じょうけんに合あう。 えんぴつは $7$本。

大事だいじ: 文章ぶんしょう題だいは 「わからないものを $x$ とおく → 関係かんけいを式しきにする → 解とく → 条件じょうけんに合あうか確認かくにん」 の流ながれ。 求もとめた答えこたえを問題もんだい文ぶんにもどして確たしかめる習慣しゅうかんをつけましょう。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは 「$5x-3=2x+9$ を解とけ」 のように、 移項いこうして解とく問題もんだいが定番ていばんです。
• かっこや分数ぶんすうをふくむ方程式ほうていしきも出でます。 ていねいに変形へんけいしましょう。
• 二に次じでは、 個数こすう・代金だいきん・年齢ねんれい・速さはやさなどの文章ぶんしょう題だいを方程式ほうていしきで解とく問題もんだいが中心ちゅうしんです。

よくまちがえるところ

方程式ほうていしきは、 変形へんけいのどこか 1 か所しょでも符号ふごうをまちがえると答えこたえが合あいません。 多おおいのはつぎの 4 つです。

まちがい	例れい	直なおし方かた
移項いこうで符号ふごうを変かえ忘わすれる	3x - 5 = x + 7 を 3x - x = 7 - 5 とする	移うつすと符号ふごうが反対はんたい。 3x - x = 7 + 5
分数ぶんすうを払はらうとき整数せいすうの項こうにかけ忘わすれる	x/2 + 1 = x/3 + 2 を 6 倍ばいして 3x + 1 = 2x + 12 とする	すべての項こうにかける。 3x + 6 = 2x + 12
かっこの前まえがマイナスのときの符号ふごうを落おとす	5 - 2(x - 3) を 5 - 2x - 6 とする	5 - 2x + 6
比例ひれい式しきで外側そとがわと内側うちがわを取とりちがえる	x : 6 = 2 : 3 を 2x = 18 とする	外側そとがわの積せき = 内側うちがわの積せき。 3x = 12 で x = 4

いちばん多おおいのは 移項いこうでの符号ふごうの変かえ忘わすれ です。 移項いこうは 「両辺りょうへんに同おなじ数かずをたす (ひく)」 をまとめた操作そうさです。 3x - 5 = x + 7 の -5 を消けすには両辺りょうへんに +5 をたすので、 右辺うへんは 7 + 5 = 12 になります。 「動うごかすと符号ふごうが変かわる」 のは、 もとの操作そうさがたし算さんだからだと理解りかいしておくと、 とっさに迷まよいません。

方程式ほうていしきのたしかめ方かた

方程式ほうていしきは代入だいにゅうすれば必かならず正ただしいかどうかが決きまります。 例れいとして 2(x - 3) = x + 4 を解といて x = 10 を得えたとします。

順番じゅんばん	すること	このときの計算けいさん
1	求もとめた解かいを、 変形へんけいする前まえのもとの式しきに代入だいにゅうする	2(10 - 3) = 10 + 4 を調しらべる
2	左辺さへんだけを計算けいさんする	2 × 7 = 14
3	右辺うへんだけを計算けいさんする	10 + 4 = 14
4	一致いっちすればその解かいは正ただしい	一致いっちしたので x = 10
5	文章ぶんしょう題だいなら、 問題もんだい文ぶんの条件じょうけんにも合あうか見みる	個数こすうなら整数せいすうか、 負ふになっていないか

大事だいじなのは、 変形へんけいしたあとの式しきではなく、 いちばん最初さいしょの式しきに代入だいにゅうする ことです。 途中とちゅうで移項いこうをまちがえていても、 まちがえたあとの式しきには合あってしまうからです。 最初さいしょの式しきにもどして確たしかめれば、 変形へんけいのミスもまとめて見みつかります。

自分じぶんでチェック

• 移項いこうすると符号ふごうが反対はんたいになる理由りゆうを説明せつめいできる
• 分数ぶんすうをふくむ方程式ほうていしきで、 すべての項こうに最小公倍数さいしょうこうばいすうをかけられる
• かっこの前まえがマイナスのとき、 中なかの符号ふごうをすべて変かえられる
• 比例ひれい式しき a : b = c : d を ad = bc として解とける
• 求もとめた解かいをもとの式しきに代入だいにゅうして、 左辺さへんと右辺うへんの一致いっちを確たしかめられる

まとめ

• 方程式ほうていしきを解とく = 「$x=?$」 の形かたちにする
• 移項いこうすると符号ふごうが反対はんたいになる
• 分数ぶんすうは分母ぶんぼの最小公倍数さいしょうこうばいすうを両辺りょうへんにかけてなくす
• 比例式ひれいしきは $a:b=c:d$ なら $ad=bc$
• 文章ぶんしょう題だいは 「$x$ とおく → 立たつ式しき → 解とく → 確認かくにん」

次じ章しょうでは、 グラフの世界せかい 比例ひれいと反比例はんぴれい を学まなびます。