空間くうかん図形ずけい — 投影とうえい図ず・表面積ひょうめんせき・体積たいせき

この章しょうで学まなぶこと

中ちゅう1 の 空間図形くうかんずけい (立体りったい) を学まなびます。 立体りったいの見方みかた (投影図とうえいず) と、 体積たいせき・表面積ひょうめんせきの求もとめ方かたが中心ちゅうしんです。

• 投影図とうえいず (立体りったいを真正面まっしょうめん・真上まうえから見みた図ず)
• 角柱かくちゅう・円柱えんちゅうの体積たいせきと表面積ひょうめんせき
• 角錐かくすい・円錐えんすいの体積たいせき
• 球きゅうの体積たいせきと表面積ひょうめんせき

ポイント: 体積たいせきは 「柱ばしらは底そこ面積めんせき$\times$高さ、 錐すい (とがった形かたち) はその $\frac{1}{3}$」 が基本きほん。 表面積ひょうめんせきは 「展開図てんかいずにして、 すべての面めんの面積めんせきをたす」 と考かんがえるとまちがえません。

1. 投影とうえい図ず

立体りったいを、 真正面まっしょうめんから見みた図ず (立面図りつめんず) と真上まうえから見みた図ず (平面図へいめんず) で表あらわしたものを 投影図とうえいず といいます。 立たつ面めん図ずが長方形ちょうほうけい・平面へいめん図ずが円えんなら 円柱えんちゅう、 立たつ面めん図ずが三角形さんかくけい・平面へいめん図ずが円えんなら 円錐えんすい とわかります。

2. 角柱かくちゅう・円柱えんちゅう

底面ていめんが 2 つあり、 側面そくめんが長方形ちょうほうけい (または曲面きょくめん) でできた立体りったいです。

$体積=底面積\times 高さ$ $表面積=底面積\times 2+側面積$

例題れいだい: 底面ていめんの半径はんけい$3$ cm、 高たかさ $5$ cm の円柱えんちゅうの体積たいせきを求もとめよ (円周率えんしゅうりつは $\pi$)。

底そこ面積めんせきは $\pi \times 3^2=9\pi$。

$体積=9\pi \times 5=45\pi \left(3^{}\right)$

検算けんざん: 底そこ面積めんせき$9\pi$、 高たかさ $5$、 $9\pi \times 5=45\pi$。 正ただしい。

例題れいだい: 上うえと同おなじ円柱えんちゅうの表面積ひょうめんせきを求もとめよ。

側面そくめんを開ひらくと、 たての長ながさが高たかさ $5$、 横よこの長ながさが底面ていめんの円周えんしゅう$2\pi \times 3=6\pi$ の長方形ちょうほうけいになる。 側面そくめん積せき$=5\times 6\pi =30\pi$。 底面ていめん 2 つで $9\pi \times 2=18\pi$。

$表面積=18\pi +30\pi =48\pi \left(2^{}\right)$

検算けんざん: 底面ていめん$9\pi \times 2=18\pi$、 側面そくめん$30\pi$、 合計ごうけい$48\pi$。 正ただしい。

大事だいじ: 円柱えんちゅうの側面そくめんを開ひらくと長方形ちょうほうけいになり、 その 横よこの長ながさは底面ていめんの円周えんしゅう ($2\pi r$) と等ひとしくなります。 ここが表面積ひょうめんせきでいちばん大事だいじなポイントです。

3. 角錐かくすい・円錐えんすい

底面ていめんが 1 つで、 1 点てんに向むかってとがった立体りったいです。 体積たいせきは同おなじ底面ていめん・高たかさの柱はしらの $\frac{1}{3}$ です。

$体積=\frac{1}{3}\times 底面積\times 高さ$

例題れいだい: 底面ていめんの半径はんけい$3$ cm、 高たかさ $4$ cm の円錐えんすいの体積たいせきを求もとめよ (円周率えんしゅうりつは $\pi$)。

底そこ面積めんせきは $\pi \times 3^2=9\pi$。

$体積=\frac{1}{3}\times 9\pi \times 4=12\pi \left(3^{}\right)$

検算けんざん: 同おなじ底面ていめん・高たかさの円柱えんちゅうなら $9\pi \times 4=36\pi$、 その $\frac{1}{3}$ は $12\pi$。 正ただしい。

4. 球きゅう

半径はんけい$r$ の球きゅうについて、 つぎの公式こうしきがあります。

$体積=\frac{4}{3}\pi r^3,表面積=4\pi r^2$

例題れいだい: 半径はんけい$3$ cm の球きゅうの体積たいせきと表面積ひょうめんせきを求もとめよ (円周率えんしゅうりつは $\pi$)。

$体積=\frac{4}{3}\pi \times 3^3=\frac{4}{3}\pi \times 27=36\pi \left(3^{}\right)$ $表面積=4\pi \times 3^2=4\pi \times 9=36\pi \left(2^{}\right)$

検算けんざん: $3^3=27$、 $\frac{4}{3}\times 27=36$ なので体積たいせき$36\pi$。 $3^2=9$、 $4\times 9=36$ なので表面積ひょうめんせき$36\pi$。 どちらも正ただしい。

ポイント: 球きゅうの公式こうしきは覚おぼえにくいので、 「体積たいせきは $\frac{4}{3}\pi r^3$、 表面積ひょうめんせきは $4\pi r^2$」 とセットで暗記あんきしましょう。 「身み ($\frac{4}{3}$) のうえに半径はんけい ($r^3$)」 などの語呂ごろで覚おぼえる人ひともいます。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは 「円柱えんちゅう・円錐えんすい・球きゅうの体積たいせきや表面積ひょうめんせき」 の計算けいさんが定番ていばんです。
• 投影図とうえいずから立体りったいを読よみとる問題もんだいも出でます。
• 二に次じでは、 複数ふくすうの立体りったいを組み合わせくみあわせた体積たいせきや、 容器ようきに水みずを入いれる問題もんだいなどが出でます。

よくまちがえるところ

空間くうかん図形ずけいでは、 錐すいの 1/3 と、 体積たいせき・表面積ひょうめんせきの取とりちがえが二に大だいミスです。

まちがい	例れい	直なおし方かた
錐すいの体積たいせきで 1/3 をかけ忘わすれる	底そこ面積めんせき 9π・高たかさ 4 の円錐えんすいを 36π とする	1/3 をかけて 12π
体積たいせきを聞きかれて表面積ひょうめんせきを求もとめる	円柱えんちゅうの体積たいせきを 48π と答こたえる	体積たいせきは 底そこ面積めんせき × 高たかさ = 45π
円柱えんちゅうの側面そくめんの横よこの長ながさを直径ちょっけいにする	半径はんけい 3・高たかさ 5 の側面そくめん積せきを 5 × 6 = 30 とする	横よこは底面ていめんの円周えんしゅう 6π。 側面そくめん積つむ 30π
球きゅうの 2 つの公式こうしきを取とりちがえる	半径はんけい 2 の球きゅうの体積たいせきを 4π × 2² = 16π とする	体積たいせきは (4/3)π × 8 = 32π/3

いちばん多おおいのは 錐すいの体積たいせきで 1/3 をかけ忘わすれる ミスです。 とがった立体りったいは、 同おなじ底面ていめん・同おなじ高たかさの柱はしらの 3 分ぶんの 1 の量りょうしか入はいりません。 底そこ面積めんせき × 高たかさ を計算けいさんした時点じてんでいったん止とまり、 「これは柱はしらの体積たいせき。 錐すいなら 3 でわる」 と口くちに出だして確たしかめると防ふせげます。 答えこたえが柱はしらとちょうど同おなじになっていたら、 かけ忘わすれです。

体積たいせきと表面積ひょうめんせきを使つかい分わける

求もとめるものと公式こうしき、 単位たんいをセットで覚おぼえます。

求もとめるもの	意味いみ	公式こうしき	単位たんい
柱はしらの体積たいせき	中なかに入はいるかさ	底そこ面積めんせき × 高たかさ	cm³
錐すいの体積たいせき	中なかに入はいるかさ	底そこ面積めんせき × 高たかさ × 1/3	cm³
球きゅうの体積たいせき	中なかに入はいるかさ	(4/3)πr³	cm³
柱はしらの表面積ひょうめんせき	外側そとがわの面めんの広ひろさ	底そこ面積めんせき × 2 + 側面そくめん積つむ	cm²
球きゅうの表面積ひょうめんせき	外側そとがわの面めんの広ひろさ	4πr²	cm²

表面積ひょうめんせきは 「展開図てんかいずにして、 見みえる面めんをすべてたす」 と考えかんがえます。 円柱えんちゅうなら底面ていめんの円えんが 2 つと、 側面そくめんの長方形ちょうほうけいが 1 つ。 その長方形ちょうほうけいの横よこの長ながさは底面ていめんの円周えんしゅう 2πr で、 たての長ながさは柱はしらの高たかさです。 半径はんけい 3・高たかさ 5 の円柱えんちゅうなら、 側面そくめん積せきは 5 × 6π = 30π、 底面ていめん 2 つで 18π、 合あわせて 48π cm² となります。

自分じぶんでチェック

• 柱はしらの体積たいせき = 底そこ面積めんせき × 高たかさ、 錐すいはその 1/3 だと言いえる
• 体積たいせき (cm³) と表面積ひょうめんせき (cm²) を単位たんいで区別くべつできる
• 円柱えんちゅうの側面そくめんの横よこの長ながさが底面ていめんの円周えんしゅうだと説明せつめいできる
• 球きゅうの体積たいせき (4/3)πr³ と表面積ひょうめんせき 4πr² を書かき分わけられる
• 投影とうえい図ずから、 円柱えんちゅうか円錐えんすいかを読よみ取とれる

まとめ

• 柱はしらの体積たいせき $=$底そこ面積めんせき$\times$高さ、 錐すいはその $\frac{1}{3}$
• 円柱えんちゅうの側面そくめんを開ひらくと横よこが底面ていめんの円周えんしゅう ($2\pi r$) の長方形ちょうほうけい
• 球きゅうの体積たいせき $=\frac{4}{3}\pi r^3$、 表面積ひょうめんせき $=4\pi r^2$
• 表面積ひょうめんせきは展開図てんかいずにして全部ぜんぶの面めんをたす

次じ章しょうでは、 データの活用かつよう (度数分布どすうぶんぷ・代表値だいひょうち・相対度数そうたいどすう) を学まなびます。