空間くうかん図形ずけい — 投影とうえい図ず・表面積ひょうめんせき・体積たいせき

この章しょうで学まなぶこと

中ちゅう1 の 空間図形くうかんずけい (立体りったい) を学まなびます。 立体りったいの見方みかた (投影図とうえいず) と、 体積たいせき・表面積ひょうめんせきの求もとめ方かたが中心ちゅうしんです。

• 投影図とうえいず (立体りったいを真正面まっしょうめん・真上まうえから見みた図ず)
• 角柱かくちゅう・円柱えんちゅうの体積たいせきと表面積ひょうめんせき
• 角錐かくすい・円錐えんすいの体積たいせき
• 球たまの体積たいせきと表面積ひょうめんせき

ポイント: 体積たいせきは 「柱ばしらは底そこ面積めんせき$\times$高さ、 錐きり (とがった形かたち) はその $\frac{1}{3}$」 が基本きほん。 表面積ひょうめんせきは 「展開図てんかいずにして、 すべての面めんの面積めんせきをたす」 と考かんがえるとまちがえません。

1. 投影とうえい図ず

立体りったいを、 真正面まっしょうめんから見みた図ず (立面図りつめんず) と真上まうえから見みた図ず (平面図へいめんず) で表あらわしたものを 投影図とうえいず といいます。 立たつ面めん図ずが長方形ちょうほうけい・平面へいめん図ずが円えんなら 円柱えんちゅう、 立たつ面めん図ずが三角形さんかくけい・平面へいめん図ずが円えんなら 円錐えんすい とわかります。

2. 角柱かくちゅう・円柱えんちゅう

底面ていめんが 2 つあり、 側面そくめんが長方形ちょうほうけい (または曲面きょくめん) でできた立体りったいです。

$体積=底面積\times 高さ$ $表面積=底面積\times 2+側面積$

例題れいだい: 底面ていめんの半径はんけい$3$ cm、 高たかさ $5$ cm の円柱えんちゅうの体積たいせきを求もとめよ (円周率えんしゅうりつは $\pi$)。

底そこ面積めんせきは $\pi \times 3^2=9\pi$。

$体積=9\pi \times 5=45\pi \left(3^{}\right)$

検算けんざん: 底そこ面積めんせき$9\pi$、 高たかさ $5$、 $9\pi \times 5=45\pi$。 正ただしい。

例題れいだい: 上うえと同おなじ円柱えんちゅうの表面積ひょうめんせきを求もとめよ。

側面そくめんを開ひらくと、 たての長ながさが高たかさ $5$、 横よこの長ながさが底面ていめんの円周えんしゅう$2\pi \times 3=6\pi$ の長方形ちょうほうけいになる。 側面そくめん積せき$=5\times 6\pi =30\pi$。 底面ていめん 2 つで $9\pi \times 2=18\pi$。

$表面積=18\pi +30\pi =48\pi \left(2^{}\right)$

検算けんざん: 底面ていめん$9\pi \times 2=18\pi$、 側面そくめん$30\pi$、 合計ごうけい$48\pi$。 正ただしい。

大事だいじ: 円柱えんちゅうの側面そくめんを開ひらくと長方形ちょうほうけいになり、 その 横よこの長ながさは底面ていめんの円周えんしゅう ($2\pi r$) と等ひとしくなります。 ここが表面積ひょうめんせきでいちばん大事だいじなポイントです。

3. 角錐かくすい・円錐えんすい

底面ていめんが 1 つで、 1 点てんに向むかってとがった立体りったいです。 体積たいせきは同おなじ底面ていめん・高たかさの柱はしらの $\frac{1}{3}$ です。

$体積=\frac{1}{3}\times 底面積\times 高さ$

例題れいだい: 底面ていめんの半径はんけい$3$ cm、 高たかさ $4$ cm の円錐えんすいの体積たいせきを求もとめよ (円周率えんしゅうりつは $\pi$)。

底そこ面積めんせきは $\pi \times 3^2=9\pi$。

$体積=\frac{1}{3}\times 9\pi \times 4=12\pi \left(3^{}\right)$

検算けんざん: 同おなじ底面ていめん・高たかさの円柱えんちゅうなら $9\pi \times 4=36\pi$、 その $\frac{1}{3}$ は $12\pi$。 正ただしい。

4. 球たま

半径はんけい$r$ の球たまについて、 つぎの公式こうしきがあります。

$体積=\frac{4}{3}\pi r^3,表面積=4\pi r^2$

例題れいだい: 半径はんけい$3$ cm の球たまの体積たいせきと表面積ひょうめんせきを求もとめよ (円周率えんしゅうりつは $\pi$)。

$体積=\frac{4}{3}\pi \times 3^3=\frac{4}{3}\pi \times 27=36\pi \left(3^{}\right)$ $表面積=4\pi \times 3^2=4\pi \times 9=36\pi \left(2^{}\right)$

検算けんざん: $3^3=27$、 $\frac{4}{3}\times 27=36$ なので体積たいせき$36\pi$。 $3^2=9$、 $4\times 9=36$ なので表面積ひょうめんせき$36\pi$。 どちらも正ただしい。

ポイント: 球たまの公式こうしきは覚おぼえにくいので、 「体積たいせきは $\frac{4}{3}\pi r^3$、 表面積ひょうめんせきは $4\pi r^2$」 とセットで暗記あんきしましょう。 「身み ($\frac{4}{3}$) のうえに半径はんけい ($r^3$)」 などの語呂ごろで覚おぼえる人ひともいます。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは 「円柱えんちゅう・円錐えんすい・球たまの体積たいせきや表面積ひょうめんせき」 の計算けいさんが定番ていばんです。
• 投影図とうえいずから立体りったいを読よみとる問題もんだいも出でます。
• 二に次じでは、 複数ふくすうの立体りったいを組み合わせくみあわせた体積たいせきや、 容器ようきに水みずを入いれる問題もんだいなどが出でます。

まとめ

• 柱はしらの体積たいせき $=$底そこ面積めんせき$\times$高さ、 錐きりはその $\frac{1}{3}$
• 円柱えんちゅうの側面そくめんを開ひらくと横よこが底面ていめんの円周えんしゅう ($2\pi r$) の長方形ちょうほうけい
• 球たまの体積たいせき $=\frac{4}{3}\pi r^3$、 表面積ひょうめんせき $=4\pi r^2$
• 表面積ひょうめんせきは展開図てんかいずにして全部ぜんぶの面めんをたす

次じ章しょうでは、 データの活用かつよう (度数分布どすうぶんぷ・代表値だいひょうち・相対度数そうたいどすう) を学まなびます。