二に次じ(数理すうり技能ぎのう)対策たいさく — 速はやさ・割合わりあいの文章ぶんしょう題だいと規則きそく性せい

この章しょうで学まなぶこと

仕上しあげとして、 二に次じ (数理すうり技能ぎのう) で出でる 文章ぶんしょう題だい と、 数かず検けんでよく出でる 規則性きそくせい の問題もんだいを練習れんしゅうします。 計算けいさんそのものより 「文章ぶんしょうから式しきをつくる力ちから」 が問とわれます。

• 速さはやさの文章ぶんしょう題だい
• 割合わりあいの文章ぶんしょう題だい
• 規則性きそくせい (数すうや図形ずけいのならび)
• 立たつ式しきと検算けんざんの進すすめ方かた

ポイント: 二に次じの問題もんだいは 「わからないものを $x$ とおく → 関係かんけいを式しきにする → 解とく → 答えこたえが条件じょうけんに合あうか確認かくにん」 の 4 ステップ。 答えこたえに単位たんいをつけることも忘わすれずに。

1. 速はやさの文章ぶんしょう題だい

速さはやさの関係かんけいはつぎの 3 つ。

$道のり=速さ\times 時間,速さ=\frac{}{},時間=\frac{}{}$

例題れいだい: 家いえから学校がっこうまで、 行いきは分速ふんそく$60$ m、 帰かえりは同おなじ道みちを分速ふんそく$100$ m で進すすんだ。 帰かえりは行いきより $4$分短みじかくかかった。 家いえから学校がっこうまでの道のりみちのりを求もとめよ。

道のりみちのりを $x$ m とおく。 行いきは $\frac{x}{60}$分、 帰かえりは $\frac{x}{100}$分。 帰かえりが $4$分短みじかいので、

$\frac{x}{60}-\frac{x}{100}=4$

両辺りょうへんを $300$倍して

$5x-3x=1200\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} 2x=1200\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} x=600$

道のりみちのりは $600$ m。

検算けんざん: 行いき $\frac{600}{60}=10$分、 帰かえり $\frac{600}{100}=6$分、 差さは $10-6=4$分。 条件じょうけんに合あう。 正ただしい。

大事だいじ: 速さの問題はやさのもんだいは 単位たんいをそろえる ことが命いのち。 分速ふんそくを使つかうなら時間じかんも 「分ぶん」 に。 速はやさ・道のりみちのり・時間じかんのどれを $x$ とおくかで、 立たてやすい式しきが変かわります。

2. 割合わりあいの文章ぶんしょう題だい

割合わりあいの基本きほんは $\left(比べる量\right)=\left(もとにする量\right)\times \left(割合\right)$。 $a\%$ は $\frac{a}{100}$、 $a$割は $\frac{a}{10}$ で計算けいさんします。

例題れいだい: ある品物しなものを定価ていかの $2$割引わりびきで買かったところ、 代金だいきんが $1200$円だった。 定価ていかを求もとめよ。

定価ていかを $x$円とおく。 $2$割引わりびきは定価ていかの $0.8$倍なので、

$0.8x=1200\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} x=\frac{1200}{0.8}=1500$

定価ていかは $1500$円。

検算けんざん: $1500$円の $2$割は $300$円、 $1500-300=1200$円。 条件じょうけんに合あう。 正ただしい。

大事だいじ: 「$2$割引わりびき」 は $0.2$ をかけるのではなく、 残のこりの $0.8$ をかけます。 「いくら引ひくか」 と 「いくら残のこるか」 を混同こんどうしないこと。

3. 規則きそく性せい

数かずや図形ずけいがあるきまりで並ならぶとき、 $n$番ばん目めを式しきで表あらわす問題もんだいです。 数かず検けんでよく出でるタイプ。

例題れいだい: マッチ棒ぼうで正方形せいほうけいを横よこにつなげて作つくる。 正方形せいほうけいを $1$個作つくるのに $4$本、 $2$個で $7$本、 $3$個で $10$本 ……。 正方形せいほうけいを $n$個作つくるのに必要ひつようなマッチ棒ぼうの本数ほんすうを $n$ の式しきで表あらわせ。

正方形せいほうけいの数かず	$1$	$2$	$3$	$4$
マッチ棒ぼう	$4$	$7$	$10$	$13$

$1$個ふえるごとに $3$本ずつふえているので、

$4+3(n-1)=3n+1 \left(本\right)$

検算けんざん: $n=1$ で $3+1=4$ ($\circ$)、 $n=3$ で $9+1=10$ ($\circ$)、 $n=4$ で $13$ ($\circ$)。 すべて表ひょうと一致いっち。 正ただしい。

ポイント: 規則性きそくせいは 「いくつずつふえるか (差さ)」 を見みつける のが第一歩だいいっぽ。 差さが一定いっていなら $\left(差\right)\times n+\left(調整\right)$ の形かたちになります。 必かならず小ちいさい $n$ で検算けんざんしましょう。

4. 仕上しあげ — 二に次じで点てんをとるコツ

• わからない量りょうを $x$ とはっきりおく
• 「単位たんい」 と 「条件じょうけん」 を式しきに反映はんえいする (単位たんいをそろえる)
• 解といたあと、 もとの文章ぶんしょうにもどして 答えこたえが自然しぜんか を確認かくにんする
• 長ながさ・人数にんずう・個数こすうなどは 負ふや小数しょうすうが答えこたえにならない ことが多おおい

大事だいじ: 二に次じは部分ぶぶん点てんが大切たいせつ。 答えこたえだけでなく、 $x$ を何なんとおいたか、 どんな式しきを立たてたかをていねいに書かくと、 とちゅうまででも評価ひょうかされやすくなります。

どう問とわれるか

• 速さはやさ・割合わりあい・個数こすうの文章ぶんしょう題だいは二に次じの定番ていばん。 立たつ式しきができれば計算けいさんは第だい4章しょうの一次方程式いちじほうていしきの力ちからで解とけます。
• 規則性きそくせいは 「$n$番ばん目めの値あたい」 「$50$番ばん目めはいくつか」 のように一般いっぱん化かを求もとめられます。
• どの問題もんだいも 「立たつ式しき → 計算けいさん → 検算けんざん」 をていねいに進すすめるのが合格ごうかくへの近道ちかみちです。

よくまちがえるところ

二に次じの文章ぶんしょう題だいでは、 立たつ式しきのもとになる読よみ取とりでつまずきます。 多おおいのはつぎの 4 つです。

まちがい	例れい	直なおし方かた
割引わりびきの割合わりあいをそのままかける	定価ていか x 円えんの 2 割引わりびきを 0.2x とする	残のこるのは 0.8 倍ばいなので 0.8x
速はやさの問題もんだいで単位たんいをそろえない	分速ふんそく 60 m と 2 時間じかん をそのまま使つかう	2 時間じかん = 120 分ぶんにそろえる
規則きそく性せいで最初さいしょの 1 個こ分ぶんを数かぞえ落おとす	マッチ棒ぼうを 3n とする	4 + 3(n - 1) = 3n + 1
聞きかれた量りょうとちがうものを答こたえる	道のりみちのりを聞きかれて時間じかんの 4 分ぶんを答こたえる	x が何なにを表あらわすかを見みて、 聞きかれた量りょうを答こたえる

いちばん多おおいのは 割引わりびき・増量ぞうりょうの割合わりあいの取とりちがえ です。 「2 割引わりびき」 は 2 割わりを引ひいた 残のこり を表あらわすので、 定価ていかの 0.8 倍ばい。 「2 割増わりまし」 なら 1.2 倍ばいです。 「いくら引ひくか」 と 「いくら残のこるか」 は別べつの量りょうなので、 式しきを立たてる前まえに 「残のこりは何なん倍ばいか」 を先さきに書かき出だしておくと安全あんぜんです。 消費しょうひ税ぜいや割合わりあいの増減ぞうげんも同おなじ考かんがえ方かたで処理しょりできます。

文章ぶんしょう題だいの手順てじゅん

つぎの 5 ステップで進すすめます。 例れいは 「家いえから学校がっこうまで、 行いきは分速ふんそく 60 m、 帰かえりは分速ふんそく 100 m。 帰かえりは行いきより 4 分ぶん短みじかい。 道のりみちのりを求もとめる」 です。

順番じゅんばん	すること	このときの内容ないよう
1	何なにを聞きかれているかに印しるしをつける	道のりみちのり
2	それを x とおき、 単位たんいも決きめる	道のりみちのりを x m とする
3	ことばか表ひょうで関係かんけいを整理せいりする	行いきは x/60 分ぶん、 帰かえりは x/100 分ぶん
4	等ひとしい関係かんけいを式しきにする	x/60 - x/100 = 4
5	解といて、 問題もんだい文ぶんにもどして確たしかめる	x = 600、 10 分わかと 6 分ぶんで差さは 4 分ぶん

規則きそく性せいの問題もんだいも同おなじ流ながれです。 まず表ひょうをかいて 「いくつずつふえるか」 を見みつけ、 差さが一定いっていなら (差さ) × n に調整ちょうせいの数かずをたす形かたちにします。 式しきができたら n = 1 と n = 3 くらいを入いれて、 表ひょうの値あたいと合あうかを必かならず確たしかめましょう。 ここまでやれば、 一般いっぱんの n でもまず安心あんしんです。

自分じぶんでチェック

• 2 割引わりびきが 0.8 倍ばい、 2 割増わりましが 1.2 倍ばいだと言いえる
• 速はやさの問題もんだいで、 分わかと時間じかん・m と km の単位たんいをそろえられる
• 道のりみちのり・速はやさ・時間じかんの 3 つの関係かんけいを書かける
• 規則きそく性せいの問題もんだいで、 差さを見みつけて n の式しきに表あらわせる
• 求もとめた答えこたえを問題もんだい文ぶんにもどし、 単位たんいをつけて答えこたえられる

まとめ

• 文章ぶんしょう題だいは 「$x$ とおく → 立たつ式しき → 解とく → 確認かくにん」 の 4 ステップ
• 速さはやさ・割合わりあいは 単位たんいと割合わりあいのとり方かた に注意ちゅうい
• 規則性きそくせいは 「差さ」 を見みつけて $n$ の式しきにし、 小ちいさい $n$ で検算けんざん
• 二に次じはとちゅうの式しきもていねいに書かく

これで数すう検けん5級きゅうの教材きょうざいはひと通とおり終おわりです。 各かく章しょうの例題れいだいをくりかえし解とき、 一いち問もん一いち答とうや問題もんだい集しゅうで力ちからを確たしかめましょう。

※ 「数すう検けん」「実用じつよう数学すうがく技能ぎのう検定けんてい」 は公益こうえき財団ざいだん法人ほうじん日本にほん数学すうがく検定けんてい協会きょうかいの登録とうろく商標しょうひょうです。 この教材きょうざいは非公式ひこうしきの学習がくしゅう教材きょうざいであり、 合格ごうかくを保証ほしょうするものではありません。