データの活用かつよう — 度数どすう分布ぶんぷ・代表だいひょう値ち・相対そうたい度数どすう

この章しょうで学まなぶこと

中ちゅう1 の データの活用かつよう を学まなびます。 たくさんの数かず (データ) を表ひょうにまとめて見みやすくし、 その特とくちょうを 1 つの数かずで表あらわす方法ほうほうを学まなびます。

• 度数分布表どすうぶんぷひょうとヒストグラムひすとぐらむ
• 代表値だいひょうち (平均値へいきんち・中央値ちゅうおうち・最頻値さいひんち)
• 相対度数そうたいどすう

ポイント: データを 「だいたいどのくらいか」 を 1 つの数かずで表あらわしたものが 代表値だいひょうち です。 平均へいきん・真まん中なか・いちばん多おおい、 という 3 つの見方みかたのちがいをおさえましょう。

1. 度数どすう分布ぶんぷ表ひょう

データをいくつかの区間くかん (階級かいきゅう) に分わけ、 それぞれに入はいる個数こすう (度数どすう) を表ひょうにしたものを 度数分布表どすうぶんぷひょう といいます。 これを棒グラフぼうグラフのように表あらわしたものが ヒストグラムひすとぐらむ です。

点数てんすう (点てん)	度数どすう (人じん)
0 以上いじょう 20 未満みまん	2
20 以上いじょう 40 未満みまん	5
40 以上いじょう 60 未満みまん	8
60 以上いじょう 80 未満みまん	4
80 以上いじょう 100 未満みまん	1
合計ごうけい	20

各階級かいきゅうの真まん中なかの値あたいを 階級値かいきゅうち といいます (例れい: 「20 以上いじょう 40 未満みまん」 の階級かいきゅう値ちは $30$)。

2. 代表だいひょう値ち

代表値だいひょうち	意味いみ
平均値へいきんち	すべてをたして個数こすうで割わった値あたい
中央値ちゅうおうち	小ちいさい順じゅんに並ならべたときのまん中なかの値あたい
最頻値さいひんち	もっとも多おおく出でてくる値あたい

例題れいだい: $5$個のデータ $3,5,5,8,9$ の平均値へいきんち・中央値ちゅうおうち・最頻値さいひんちを求もとめよ。

• 平均値へいきんち: $\frac{3+5+5+8+9}{5}=\frac{30}{5}=6$
• 中央値ちゅうおうち: 小ちいさい順じゅんに並ならべたまん中なか (3 番ばん目め) は $5$
• 最頻値さいひんち: いちばん多おおい値あたいは $5$ (2 回かい)

検算けんざん: 合計ごうけい$3+5+5+8+9=30$、 $30÷5=6$。 5 個このまん中なかは 3 番ばん目めで $5$。 すべて整合せいごう。

大事だいじ: 中央値ちゅうおうちはデータが 偶数ぐうすう個こ のときは、 まん中なか 2 つの平均値へいきんちになります。 たとえば $4$個$2,4,6,10$ なら、 中央ちゅうおう値ちは $\frac{4+6}{2}=5$ です。

3. 相対そうたい度数どすう

それぞれの階級かいきゅうの度数どすうが、 全体ぜんたいの中なかでどれくらいの割合わりあいかを表あらわしたものが 相対度数そうたいどすう です。

$相対度数=\frac{}{}$

相対度数そうたいどすうを全部ぜんぶたすと、 つねに $1$ になります。

例題れいだい: 上うえの度数分布表どすうぶんぷひょうで、 「40 以上いじょう 60 未満みまん」 の相対度数そうたいどすうを求もとめよ。

度数どすう$8$、 合計ごうけい$20$ なので、

$\frac{8}{20}=0.4$

検算けんざん: $8÷20=0.4$。 全体ぜんたいの $40\%$ にあたる。 他たの階級かいきゅうの相対そうたい度数どすう$(0.1,0.25,0.4,0.2,0.05)$ をたすと $1$ になり整合せいごう。 正ただしい。

ポイント: 相対度数そうたいどすうは、 データの個数こすうがちがう 2 つの集団しゅうだんを比くらべる ときに便利べんりです。 人数にんずうがちがっても、 割合わりあいにすれば同おなじものさしで比くらべられます。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは 「データの平均値へいきんち・中央値ちゅうおうち・最頻値さいひんちを求もとめよ」 の計算けいさんが定番ていばんです。
• 相対度数そうたいどすうを求もとめる問題もんだいもよく出でます ($\frac{}{}$)。
• 二に次じでは、 度数分布表どすうぶんぷひょうやヒストグラムひすとぐらむを読よみとって、 特とくちょうを説明せつめいする問題もんだいが出でます。

よくまちがえるところ

データの問題もんだいは計算けいさんそのものはやさしいのに、 求もとめ方かたの手順てじゅんを 1 つとばすとまちがえます。

まちがい	例れい	直なおし方かた
並ならべかえずに中央ちゅうおう値ちを答こたえる	7, 3, 9, 5, 8 の中央ちゅうおう値ちを 9 とする	小ちいさい順じゅんに 3, 5, 7, 8, 9 と並ならべて 7
偶数ぐうすう個この中央ちゅうおう値ちをまん中なか 1 つで答こたえる	2, 4, 6, 10 の中央ちゅうおう値ちを 4 とする	まん中なか 2 つの平均へいきんで (4 + 6) ÷ 2 = 5
相対そうたい度数どすうの分母ぶんぼと分子ぶんしを逆ぎゃくにする	度数どすう 8・合計ごうけい 20 で 20 ÷ 8 = 2.5 とする	度数どすう ÷ 合計ごうけい = 8 ÷ 20 = 0.4
階級かいきゅう値ちを階級かいきゅうの下したの値あたいにする	20 以上いじょう 40 未満みまんの階級かいきゅう値ちを 20 とする	まん中なかの値あたいなので 30

いちばん多おおいのは 相対そうたい度数どすうのわり算ざんの向むき です。 相対そうたい度数どすうは 「その階級かいきゅうが全体ぜんたいのどれくらいの割合わりあいか」 なので、 かならず 度数どすう ÷ 合計ごうけい です。 答えこたえは 0 から 1 の間まの値あたいになり、 1 をこえることはありません。 2.5 のような大おおきな値あたいが出でたら、 わる向むきが逆ぎゃくになっています。 すべての階級かいきゅうの相対そうたい度数どすうをたすと 1 になることも、 よい確たしかめになります。

度数どすう分布ぶんぷ表ひょうからの求もとめ方かたの手順てじゅん

表ひょうが出でてきたら、 つぎの順じゅんに読よみ取とります。 例れいは 「40 以上いじょう 60 未満みまん」 の階級かいきゅうで、 度数どすう 8 人ひと、 合計ごうけい 20 人ひとの場合ばあいです。

順番じゅんばん	すること	このときの計算けいさん
1	度数どすうの合計ごうけいを確たしかめる	20 人ひと
2	階級かいきゅう値ち (階級かいきゅうのまん中なかの値あたい) を出だす	(40 + 60) ÷ 2 = 50
3	相対そうたい度数どすう = その階級かいきゅうの度数どすう ÷ 合計ごうけい	8 ÷ 20 = 0.4
4	すべての相対そうたい度数どすうをたして 1 になるか確たしかめる	0.1 + 0.25 + 0.4 + 0.2 + 0.05 = 1
5	百分率ひゃくぶんりつで聞きかれていたら 100 をかける	40%

相対そうたい度数どすうが役やくに立たつのは、 人数にんずうのちがう 2 つの集団しゅうだんを比くらべる ときです。 30 人ひとの組くみと 40 人ひとの組くみでは、 度数どすうをそのまま比くらべても意味いみがありません。 割合わりあいに直なおせば、 同おなじものさしで比くらべられます。

自分じぶんでチェック

• 平均へいきん値ち・中央ちゅうおう値ち・最頻値さいひんちの求もとめ方かたをそれぞれ言いえる
• データを小ちいさい順じゅんに並ならべてから中央ちゅうおう値ちを求もとめられる
• 偶数ぐうすう個このときの中央ちゅうおう値ちをまん中なか 2 つの平均へいきんで出だせる
• 相対そうたい度数どすう = 度数どすう ÷ 合計ごうけい で計算けいさんし、 合計ごうけいが 1 になると確たしかめられる
• 階級かいきゅう値ちが階級かいきゅうのまん中なかの値あたいだと説明せつめいできる

まとめ

• データを階級かいきゅうに分わけてまとめた表ひょうが度数分布表どすうぶんぷひょう
• 代表値だいひょうち = 平均値へいきんち・中央値ちゅうおうち・最頻値さいひんち
• 偶数ぐうすう個このデータの中央値ちゅうおうちはまん中なか 2 つの平均へいきん
• 相対度数そうたいどすう $=\frac{}{}$、 全部ぜんぶたすと $1$

次章しょうでは、 二に次じ (数理すうり技能ぎのう) 対策たいさくとして 文章ぶんしょう題だい を学まなびます。