統計とうけい的てき推測すいそく (推定すいてい)

この章しょうで学まなぶこと

統計的推測とうけいてきすいそく とは、 「標本ひょうほん (一いち部ぶ) から母集団ぼしゅうだん (全体ぜんたい) を推しお量はかる」 学がく問もん。 この章しょうでは 推定すいてい (母平均ぼへいきんがどのくらいかを範囲はんいで言いう) を学まなびます。

• 母集団ぼしゅうだん と 標本ひょうほん の違ちがい
• 標本平均ひょうほんへいきん $Xˉ$ の期き待たい値あたい・分ぶん散さん
• 大数の法則たいすうのほうそく と 中心極限定理ちゅうしんきょくげんていり
• 母平均ぼへいきんの信頼区間しんらいくかん (95 %) を求もとめる
• 母比率ぼひりつの信頼区間しんらいくかん (世論よろん調査ちょうさの形かたち)

ポイント: 全員ぜんいんを調しらべる (全数調査ぜんすうちょうさ) は大変たいへんすぎる。 だから 少しょう数すう人にんを調しらべて、 全ぜん体たいを数すう学がく的てきに推しお量はかる のが統計とうけいの仕し事ごと。

1. 母集団ぼしゅうだんと標本ひょうほん

用語ようご

用よう語ご	意味いみ	例れい
母集団ぼしゅうだん	調しらべたい集しゅう団だん全体ぜんたい	日本にほんの有ゆう権けん者全体たい
標本ひょうほん	母集団ぼしゅうだんから抽ちゅう出しゅつされた一いち部ぶ	1000 人ひとの世論よろん調査ちょうさ
母平均ぼへいきん $\mu$	母集団ぼしゅうだんの平均へいきん	全ぜん体たいの平均へいきん身長しんちょう
母分散ぼぶんさん ${\sigma }^2$	母集団ぼしゅうだんの分散ぶんさん	全ぜん体たいの身長しんちょうのばらつき
標本平均ひょうほんへいきん $Xˉ$	標本ひょうほんの平均へいきん	100 人ひとの平均へいきん身長しんちょう

無む作為さくい抽出ちゅうしゅつ

無作為抽出むさくいちゅうしゅつ (random sampling) とは、 母集団ぼしゅうだんの各かく個体こたいが 同おなじ確率かくりつ で標本ひょうほんに選えらばれる抽ちゅう出しゅつ。 偏かたよりを防ふせぐための統計とうけい学がくの 大原げん則そく。

大事だいじ: 「標本ひょうほんが母集団ぼしゅうだんを代だい表ひょうする」 ことが推すい定ていの出しゅっ発ぱつ点。 偏かたよった標本ひょうほん (例れい: ネット調査ちょうさだけで全国ぜんこくの政治せいじを推すい定てい) は結果けっかを大おおきく歪ゆがめます。

2. 標本ひょうほん平均へいきんの分布ぶんぷ

標本ひょうほん平均へいきん$Xˉ$

$X_1,X_2,\dots ,X_n$ を母集団ぼしゅうだんからの 無作為むさくい標本ひょうほん (大おおきさ $n$) とすると、 標本平均ひょうほんへいきんは

$Xˉ=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}$

期待きたい値ちと分散ぶんさん

量りょう	値あたい
$E[Xˉ]$	$\mu$ (母平均ぼへいきんと一いっ致ち)
$V[Xˉ]$	$\frac{{\sigma }^2}{n}$
$\sigma (Xˉ)$	$\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$

注ちゅう: ここの公式こうしきは母標準偏差ひょうじゅんへんさ $\sigma$ が 既知きち の場合ばあいです。 実際じっさいの調査ちょうさでは $\sigma$ が未知みちのことが多おおく、 その場合ばあいは標本標準偏差ひょうほんひょうじゅんへんさ $s$ で置き換えおきかえて 大だい標本ひょうほん近似きんじ で扱あつかいます ($n$ が十分じゅうぶん大おおきければ同おなじように使つかえる)。

重要じゅうようポイント

• $E[Xˉ]=\mu$ → 標本ひょうほん平均へいきんは 「正ただしい値あたいを平均へいきん的てきに当あてる」
• $V[Xˉ]={\sigma }^2/n$ → 標本ひょうほん数すう$n$ を増ふやすとばらつきが減へる ($\sqrt{n}$ で割われるだけですが、 効果こうか大だい)

3. 大数たいすうの法則ほうそく・中心ちゅうしん極限きょくげん定理ていり

大数たいすうの法則ほうそく

大数の法則たいすうのほうそく: $n$ を大おおきくすると、 標本ひょうほん平均へいきん$Xˉ$ は母平均ぼへいきん$\mu$ に 限かぎりなく近ちかづく。

例れい: コインを何なん度ども投なげれば、 表ひょうの比率ひりつは 0.5 に近ちかづく。

中心ちゅうしん極限きょくげん定理ていり

中心極限定理ちゅうしんきょくげんていり: $n$ が大おおきければ、 標本ひょうほん平均へいきん$Xˉ$ の分布ぶんぷは 元もとの分布ぶんぷが何なにであろうと 正規分布せいきぶんぷ $N(\mu ,{\sigma }^2/n)$ で良よく近きん似じできる。

大事だいじ: この定てい理りのお陰かげで、 母集団ぼしゅうだんの形かたちを詳くわしく知しらなくても 正規せいき分布ぶんぷだけ で推定すいていができる。 統計とうけい学がくが強力きょうりょくな理由りゆうの一ひとつ。

4. 母平均ぼへいきんの信頼しんらい区間くかん

信頼しんらい区間くかんとは

「母平均ぼへいきん$\mu$ はこの範囲はんいにあるだろう」 という 区間推定くかんすいてい。 通つう常じょう 95 % の信頼度しんらいどを使つかう。

公式こうしき ($\sigma$既き知ちのとき)

標本ひょうほんサイズ $n$、 標本ひょうほん平均へいきん$xˉ$、 母はは標準ひょうじゅん偏差へんい$\sigma$ とすると、 母平均ぼへいきん$\mu$ の 95 % 信頼しんらい区間くかん は

$xˉ-1.96\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}\le \mu \le xˉ+1.96\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}$

99 % のときは 2.58 を使つかう。

公式こうしきの由来ゆらい

中心極限定理ちゅうしんきょくげんていりで $Xˉ$ は $N(\mu ,{\sigma }^2/n)$ に近ちかい。 $Z=(Xˉ-\mu )/\left(\sigma /\sqrt{n}\right)$ を標準化ひょうじゅんかすると $N(0,1)$。 $P(-1.96\le Z\le 1.96)=0.95$ より上うえ式しきを解といて信頼しんらい区間くかんが出でる。

例題れいだい 1

ある工場こうじょうの製品せいひんの重おもさは母はは標準ひょうじゅん偏差へんい$\sigma =5$ g であることが過去かこからわかっている。 100 個こを無作為むさくいに取とり、 平均へいきん値ちが $xˉ=50.0$ g であった。 母平均ぼへいきん$\mu$ の 95 % 信頼しんらい区間くかんを求もとめよ。

解かい: $\sigma /\sqrt{n}=5/\sqrt{100}=0.5$。

$50.0-1.96\cdot 0.5\le \mu \le 50.0+1.96\cdot 0.5$ $49.02\le \mu \le 50.98$

→ 「母平均ぼへいきんは 49.0 g から 51.0 g の間まにあると 95 % の信しん頼らい度で言いえる」。

大事だいじ: 「95 % の信しん頼らい度」 とは 「100 回かい同おなじ調査ちょうさをすれば、 約やく 95 回かいは信しん頼らい区間くかんが真しんの $\mu$ を含ふくむ」 という意い味み。 「$\mu$ が区間くかんに入はいる確率かくりつが 95 %」 と表現ひょうげんするのは 不ふ正せい確かく ($\mu$ は確率変数かくりつへんすうではない)。

5. 母はは比率ひりつの信頼しんらい区間くかん

公式こうしき

母比率ぼひりつ $p$ (例れい: 政党せいとう支し持じ率りつ) の 95 % 信頼しんらい区間くかんは、 標本比率ひょうほんひりつ $p^$ と標本ひょうほんサイズ $n$ を使つかって

$p^-1.96\sqrt{\frac{p^(1-p^)}{n}}\le p\le p^+1.96\sqrt{\frac{p^(1-p^)}{n}}$

例題れいだい 2

世論よろん調査ちょうさで 1000 人中ひとなか 400 人ひとが内閣ないかくを支し持じしていた。 内閣ないかく支持しじ率りつ$p$ の 95 % 信頼しんらい区間くかんを求もとめよ。

解かい: $p^=0.4$、 $n=1000$。

$\sqrt{\frac{0.4\cdot 0.6}{1000}}=\sqrt{0.00024}\approx 0.0155$ $0.4-1.96\cdot 0.0155\le p\le 0.4+1.96\cdot 0.0155$ $0.370\le p\le 0.430$

→ 「支し持じ率りつは約やく 37 % から 43 % の間ま」。 ニュースで 「±3 ポイントの誤差ご」 と言いうのはこのこと。

6. 標本ひょうほんサイズと精度せいど

信頼しんらい区間くかんの幅はば

幅はばは $2\times 1.96\cdot \sigma /\sqrt{n}$ → $n$ を 4 倍ばいにすれば幅はばは半分はんぶん になる。

$n$	幅はば (相対そうたい)
100	$1$
400	$1/2$
1600	$1/4$
10000	$1/10$

大事だいじ: 「精度せいどを 2 倍ばいにするには標本ひょうほんを 4 倍ばい」 という関係かんけいが、 世論よろん調査ちょうさや試験しけん設計せっけいの基き本ほん公式こうしき。

7. まとめ

量りょう	公式こうしき
$E[Xˉ]$、 $V[Xˉ]$	$\mu$、 ${\sigma }^2/n$
母平均ぼへいきん 95 % CI ($\sigma$既知きち)	$xˉ\pm 1.96\sigma /\sqrt{n}$
母はは比率ひりつ 95 % CI	$p^\pm 1.96\sqrt{p^(1-p^)/n}$
大数の法則たいすうのほうそく	$Xˉ\to \mu$ ($n\to \infty$)
中心ちゅうしん極限きょくげん定理ていり	$Xˉ\sim N(\mu ,{\sigma }^2/n)$

次じの章しょう: 第だい 8 章しょうでは 統計的検定とうけいてきけんてい を学まなび、 「帰無仮説きむかせつ が正ただしいと仮か定ていして、 それを 棄き却きゃく できるか」 を判断はんだんする方法ほうほうを身みにつけます。