統計とうけい的てき推測すいそく (推定すいてい)

この 章しょう で 学まなぶ こと

統計的推測とうけいてきすいそく と は、 「標本ひょうほん (一いち部ぶ) か ら 母集団ぼしゅうだん (全体ぜんたい) を 推しお量 る」 学がく問もん。 こ の 章しょう で は 推定すいてい (母平均ぼへいきん が ど の く ら い か を 範囲はんい で 言げん う) を 学がく び ま す。

• 母集団ぼしゅうだん と 標本ひょうほん の 違 い
• 標本平均ひょうほんへいきん$Xˉ$ の 期き待たい値・分ぶん散さん
• 大数の法則たいすうのほうそく と 中心極限定理ちゅうしんきょくげんていり
• 母平均ぼへいきん の 信頼区間しんらいくかん (95 %) を 求もとめ め る
• 母比率ぼひりつ の 信頼しんらい区間くかん (世論せろん調査ちょうさ の 形かたち)

ポイント: 全員ぜんいん を 調ちょう べ る (全数調査ぜんすうちょうさ) は 大変たいへん す ぎ る。 だ か ら 少しょう数すう人にん を 調ちょう べ て、 全ぜん体たい を 数すう学がく的てき に 推しお量 る の が 統とう計けい の 仕し事ごと。

1. 母集団ぼしゅうだん と 標本ひょうほん

用語ようご

用よう語ご	意味いみ	例れい
母集団ぼしゅうだん	調ちょう べ た い 集しゅう団だん全体ぜんたい	日本にっぽん の 有ゆう権けん者全体たい
標本ひょうほん	母集団ぼしゅうだん か ら 抽ちゅう出しゅつ さ れ た 一いち部ぶ	1000 人ひと の 世論せろん調査ちょうさ
母平均ぼへいきん $\mu$	母集団ぼしゅうだん の 平均へいきん	全ぜん体たい の 平均へいきん身長しんちょう
母分散ぼぶんさん ${\sigma }^2$	母集団ぼしゅうだん の 分散ぶんさん	全ぜん体たい の 身長しんちょう の ば ら つ き
標本平均ひょうほんへいきん $Xˉ$	標本ひょうほん の 平均へいきん	100 人ひと の 平均へいきん身長しんちょう

無む作為さくい抽出ちゅうしゅつ

無作為抽出むさくいちゅうしゅつ (random sampling) と は、 母集団ぼしゅうだん の 各かく個体こたい が 同どう じ 確率かくりつ で 標本ひょうほん に 選せん ば れ る 抽ちゅう出しゅつ。 偏へん り を 防ぼう ぐ た め の 統計とうけい学がく の 大原げん則そく。

大事だいじ: 「標本ひょうほん が 母集団ぼしゅうだん を 代だい表ひょう す る」 こ と が 推すい定てい の 出しゅっ発ぱつ点。 偏へん っ た 標本ひょうほん (例れい: ネット 調査ちょうさ だ け で 全国ぜんこく の 政治せいじ を 推すい定てい) は 結果けっか を 大だい き く 歪いびつ め ま す。

2. 標本ひょうほん平均へいきん の 分布ぶんぷ

標本ひょうほん平均へいきん$Xˉ$

$X_1,X_2,\dots ,X_n$ を 母集団ぼしゅうだん か ら の 無作為むさくい標本ひょうほん (大だい き さ $n$) と す る と、 標本ひょうほん平均へいきん は

$Xˉ=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}$

期待きたい値ち と 分散ぶんさん

量りょう	値ね
$E[Xˉ]$	$\mu$ (母はは平均へいきん と 一いっ致ち)
$V[Xˉ]$	$\frac{{\sigma }^2}{n}$
$\sigma (Xˉ)$	$\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$

注ちゅう: こ こ の 公式こうしき は 母はは標準ひょうじゅん偏差へんさ$\sigma$ が 既知きち の 場合ばあい で す。 実際じっさい の 調査ちょうさ で は $\sigma$ が 未知みち の こ と が 多おお く、 そ の 場合ばあい は 標本ひょうほん標準ひょうじゅん偏差へんさ$s$ で 置 き 換 え て 大だい標本ひょうほん近似きんじ で 扱 い ま す ($n$ が 十分じゅうぶん大だい き け れ ば 同どう じ よ う に 使し え る)。

重要じゅうよう ポイント

• $E[Xˉ]=\mu$ → 標本ひょうほん平均へいきん は 「正せい し い 値ね を 平均へいきん的てき に 当とう て る」
• $V[Xˉ]={\sigma }^2/n$ → 標本ひょうほん数すう$n$ を 増まし や す と ば ら つ き が 減げん る ($\sqrt{n}$ で 割わり る だ け で す が、 効果こうか大だい)

3. 大数たいすう の 法則ほうそく・中心ちゅうしん極限きょくげん定理ていり

大数たいすう の 法則ほうそく

大数の法則たいすうのほうそく: $n$ を 大だい き く す る と、 標本ひょうほん平均へいきん$Xˉ$ は 母はは平均へいきん$\mu$ に 限げん り な く 近きん づ く。

例れい: コイン を 何なん度ど も 投とう げ れ ば、 表ひょう の 比率ひりつ は 0.5 に 近きん づ く。

中心ちゅうしん極限きょくげん定理ていり

中心極限定理ちゅうしんきょくげんていり: $n$ が 大だい き け れ ば、 標本ひょうほん平均へいきん$Xˉ$ の 分布ぶんぷ は 元もと の 分布ぶんぷ が 何なに で あ ろ う と 正規せいき分布ぶんぷ$N(\mu ,{\sigma }^2/n)$ で 良りょう く 近きん似じ で き る。

大事だいじ: こ の 定てい理り の お 陰かげ で、 母集団ぼしゅうだん の 形かたち を 詳 し く 知ち ら な く て も 正規せいき分布ぶんぷ だ け で 推定すいてい が で き る。 統計とうけい学がく が 強力きょうりょく な 理由りゆう の 一いち つ。

4. 母はは平均へいきん の 信頼しんらい区間くかん

信頼しんらい区間くかん と は

「母はは平均へいきん$\mu$ は こ の 範囲はんい に あ る だ ろ う」 と い う 区間くかん推定すいてい。 通つう常じょう 95 % の 信頼しんらい度ど を 使し う。

公式こうしき ($\sigma$既き知ち の とき)

標本ひょうほん サイズ $n$、 標本ひょうほん平均へいきん$xˉ$、 母はは標準ひょうじゅん偏差へんさ$\sigma$ と す る と、 母はは平均へいきん$\mu$ の 95 % 信頼しんらい区間くかん は

$xˉ-1.96\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}\le \mu \le xˉ+1.96\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}$

99 % の とき は 2.58 を 使し う。

公式こうしき の 由来ゆらい

中心ちゅうしん極限きょくげん定理ていり で $Xˉ$ は $N(\mu ,{\sigma }^2/n)$ に 近きん い。 $Z=(Xˉ-\mu )/\left(\sigma /\sqrt{n}\right)$ を 標準ひょうじゅん化か す る と $N(0,1)$。 $P(-1.96\le Z\le 1.96)=0.95$ よ り 上うえ式しき を 解かい い て 信頼しんらい区間くかん が 出で る。

例題れいだい 1

ある 工場こうじょう の 製品せいひん の 重おも さ は 母はは標準ひょうじゅん偏差へんさ$\sigma =5$ g で あ る こ と が 過去かこ か ら わ か っ て い る。 100 個こ を 無む作為さくい に 取と り、 平均へいきん値ち が $xˉ=50.0$ g で あ っ た。 母はは平均へいきん$\mu$ の 95 % 信頼しんらい区間くかん を 求もとめ め よ。

解かい: $\sigma /\sqrt{n}=5/\sqrt{100}=0.5$。

$50.0-1.96\cdot 0.5\le \mu \le 50.0+1.96\cdot 0.5$ $49.02\le \mu \le 50.98$

→ 「母平均ぼへいきん は 49.0 g か ら 51.0 g の 間ま に あ る と 95 % の 信しん頼らい度 で 言げん え る」。

大事だいじ: 「95 % の 信しん頼らい度」 と は 「100 回かい同どう じ 調査ちょうさ を す れ ば、 約やく 95 回かい は 信しん頼らい区間くかん が 真しん の $\mu$ を 含 む」 と い う 意い味み。 「$\mu$ が 区間くかん に 入いり る 確率かくりつ が 95 %」 と 表現ひょうげん す る の は 不ふ正せい確確 ($\mu$ は 確率かくりつ変数へんすう で は な い)。

5. 母はは比率ひりつ の 信頼しんらい区間くかん

公式こうしき

母はは比率ひりつ$p$ (例れい: 政党せいとう支し持じ率りつ) の 95 % 信頼しんらい区間くかん は、 標本ひょうほん比率ひりつ$p^$ と 標本ひょうほん サイズ $n$ を 使し っ て

$p^-1.96\sqrt{\frac{p^(1-p^)}{n}}\le p\le p^+1.96\sqrt{\frac{p^(1-p^)}{n}}$

例題れいだい 2

世論せろん調査ちょうさ で 1000 人中ひとなか 400 人ひと が 内閣ないかく を 支し持じ し て い た。 内閣ないかく支持しじ率りつ$p$ の 95 % 信頼しんらい区間くかん を 求もとめ め よ。

解かい: $p^=0.4$、 $n=1000$。

$\sqrt{\frac{0.4\cdot 0.6}{1000}}=\sqrt{0.00024}\approx 0.0155$ $0.4-1.96\cdot 0.0155\le p\le 0.4+1.96\cdot 0.0155$ $0.370\le p\le 0.430$

→ 「支し持じ率りつ は 約やく 37 % か ら 43 % の 間ま」。 ニュース で 「±3 ポイント の 誤差ご」 と 言げん う の は こ の こ と。

6. 標本ひょうほんサイズ と 精度せいど

信頼しんらい区間くかん の 幅はば

幅はば は $2\times 1.96\cdot \sigma /\sqrt{n}$ → $n$ を 4 倍ばい に す れ ば 幅はば は 半分はんぶん に な る。

$n$	幅はば (相対そうたい)
100	$1$
400	$1/2$
1600	$1/4$
10000	$1/10$

大事だいじ: 「精度せいど を 2 倍ばい に す る に は 標本ひょうほん を 4 倍ばい」 と い う 関係かんけい が、 世論せろん調査ちょうさ や 試験しけん設計せっけい の 基き本ほん公式こうしき。

7. まとめ

量りょう	公式こうしき
$E[Xˉ]$、 $V[Xˉ]$	$\mu$、 ${\sigma }^2/n$
母はは平均へいきん 95 % CI ($\sigma$既知きち)	$xˉ\pm 1.96\sigma /\sqrt{n}$
母はは比率ひりつ 95 % CI	$p^\pm 1.96\sqrt{p^(1-p^)/n}$
大数たいすう の 法則ほうそく	$Xˉ\to \mu$ ($n\to \infty$)
中心ちゅうしん極限きょくげん定理ていり	$Xˉ\sim N(\mu ,{\sigma }^2/n)$

次じ の 章しょう: 第だい 8 章しょう で は 統計的検定とうけいてきけんてい を 学がく び、 「帰無仮説きむかせつ が 正ただし し い と 仮か定てい し て、 そ れ を 棄き却きゃく で き る か」 を 判断はんだん す る 方法ほうほう を 身み に つ け ま す。