この 章 で 学ぶ こと
第 7 章 で 「推定 (どこ に あ る か)」 を 学 び ま し た。 こ の 章 で は 検定 (こ の 主張 は 正 し い か?) を 学 び ま す。 科学・医療・社会調査 の 判断基盤 で す。
- 帰無仮説 H0 と 対立仮説 H1
- 有意水準 α と 棄却域
- 両側検定 と 片側検定
- 母平均 の 検定 (σ既知)
- 母比率 の 検定 (二項分布 → 正規近似)
- 第 1 種・第 2 種 の 過誤
ポイント: 検定 は 「背理法 の 統計版」。 「H0 が 正 し い」 と 仮定 し て 計算 し た 結果 が 異常 で あ れ ば、 H0 を 棄却 し ま す。
1. 仮説検定 の 5 ステップ
| ステップ | や る こ と |
|---|
| ① | 帰無仮説 H0 と 対立仮説 H1 を 立 て る |
| ② | 有意水準 α を 決 め る (通常 5 % か 1 %) |
| ③ | H0 の 下 で 検定統計量 (z や t) を 計算 |
| ④ | 棄却域 に 入 る か 判定 |
| ⑤ | 入 れ ば H0 を 棄却、 入 ら な け れ ば 「棄却 で き な い」 |
帰無仮説 と 対立仮説
| 用語 | 意味 |
|---|
| H0 (帰無仮説) | 「差 は な い」 「偏 り は な い」 と い う 守 り の 主張 |
| H1 (対立仮説) | 「差 が あ る」 と い う 示 し た い 主張 |
大事: 検定 で 「示 す」 こ と が で き る の は 対立仮説H1 の 方。 「H0 を 示 し た」 と は 言 え な い (「棄却 で き な か っ た」 と 控 え め に 表現)。
2. 有意水準 と 棄却域
有意水準α
「H0 が 正 し い と き に 誤 っ て 棄却 し て し ま う 確率」 を α と し、 通常 5 % (= 0.05) を 使 う。
棄却域 (α=5%、 両側検定)
検定統計量z が
∣z∣>1.96
を 満 た せ ば 棄却。 (片側 で は z>1.645 や z<−1.645 を 使 う)
| 検定 の 形 | 棄却域 (α=5%) |
|---|---|
| 両側 (≠) | ∥z∥>1.96 |
| 右側 (>) | z>1.645 |
| 左側 (<) | z<−1.645 |
注: 1.645 は 標準正規分布 の 上側 5% 点。 教科書 に よ っ て は 1.64 に 丸 め て 表記 し ま す が、 本 サ イ ト で は 1.645 で 統一 し ま す。
大事: α を 小 さ く す る ほ ど 棄却 し に く く な り (慎重)、 大 き く す る ほ ど 棄却 し や す く な る (誤棄却 が 増え る)。 ト レ ー ド オ フ。
3. 母平均 の 検定 (σ既知)
検定統計量
z=σ/nxˉ−μ0
例題 1
ある 工場 の 製品 の 重 さ は 過去 の デ ー タ か ら 母平均μ0=50.0 g、 母標準偏差σ=5 g で あ っ た。 新 ラ イ ン で 100 個 を 無作為抽出 し た と こ ろ 平均 が xˉ=51.5 g で あ っ た。 新 ラ イ ン の 母平均 は 50.0 g か ら 異 な る か、 有意水準 5 % で 検定 せ よ。
解:
① H0:μ=50.0、 H1:μ=50.0 (両側検定)
② α=0.05
③ z=(51.5−50.0)/(5/10)=1.5/0.5=3.0
④ ∣z∣=3.0>1.96 → 棄却域 に 入 る
⑤ H0 を 棄却。 「新 ラ イ ン の 母平均 は 50 g と 異 な る (有意差 あ り)」 と 結論 す る。
4. 母比率 の 検定 (コイン の 公平性)
検定統計量
z=p0(1−p0)/np^−p0
例題 2
コイン を 100 回投 げ た と こ ろ 表 が 60 回出 た。 こ の コイン は 公平 で な い (表 と 裏 の 出 や す さ が 違 う) と 言 え る か、 5 % で 検定 せ よ。
解:
① H0:p=0.5、 H1:p=0.5 (両側)
② α=0.05
③ p^=0.6、 z=(0.6−0.5)/0.5⋅0.5/100=0.1/0.05=2.0
④ ∣z∣=2.0>1.96 → 棄却域 に 入 る
⑤ H0 を 棄却。 「コイン は 公平 で な い (有意差 あ り)」。
直感確認: 公平 な コイン で 100 回中 60 回以上表 が 出 る 確率 は 約 2.3 % (前章 の 例題 2)。 両側 で 約 4.6 % な の で、 5 % よ り 小。 「珍しい こ と が 起 こ っ た」 と 判断 し て 棄却。
5. 片側検定 と 両側検定 の 使い 分け
どちら を 使う か
| 状況 | 使 う 検定 |
|---|
| 「平均 が 50 と 違 う」 を 示 し た い | 両側 (=) |
| 「新薬 が 既存薬 よ り 良 い」 を 示 し た い | 片側 (>) |
| 「故障率 が 下 が っ た」 を 示 し た い | 片側 (<) |
大事: 片側 の 方 が 棄却 し や す い (棄却域 が 片側 だ け で OK な の で 境界値 が 1.645 と 緩 い)。 ど ち ら を 使 う か は 問題文 の 主張 で 決 め る。
6. 第1種 の 過誤 と 第2種 の 過誤
2 つ の 誤り
| 真実: H0正 し い | 真実: H1正 し い |
|---|
| 判定: H0棄却 | 第 1 種 の 過誤 (α) | 正解 |
| 判定: 棄却 せ ず | 正解 | 第 2 種 の 過誤 (β) |
- 第 1 種 の 過誤 α: 「な い」 の に 「あ る」 と 言 う (偽陽性)
- 第 2 種 の 過誤 β: 「あ る」 の に 「な い」 と 言 う (偽陰性)
トレード オフ
α を 下 げ る と β が 上 が り、 両方 を 同時 に 下 げ る に は 標本 サイズ n を 増 や す し か な い。
大事: 医療 で は 「病気 を 見落 と す (β)」 を 避 け た い 場面、 法廷 で は 「無罪 を 有罪 に す る (α)」 を 避 け た い 場面 な ど、 場面 に よ っ て 重視 す べ き 過誤 が 違 う。
7. まとめ
| 検定 の 種類 | 棄却域 (α=5%) |
|---|
| 両側 | ∥z∥>1.96 |
| 右側 | z>1.645 |
| 左側 | z<−1.645 |
| 用途 | 検定統計量 |
|---|---|
| 母平均 (σ既知) | z=(xˉ−μ0)/(σ/n) |
| 母比率 | z=(p^−p0)/p0(1−p0)/n |
8. 例題 (片側検定 と p 値)
例題 3 (片側検定)
ある 薬 の 既存治療 で の 改善率 は 60 % で あ っ た。 新薬 で 100 人中 70 人 が 改善 し た。 新薬 の 改善率 は 既存 よ り 高 い と 言 え る か、 有意水準 5 % で 検定 せ よ。
解:
① H0:p=0.6、 H1:p>0.6 (右側片側検定)
② α=0.05 → 棄却域 は z>1.645
③ p^=0.7、 z=0.6⋅0.4/1000.7−0.6=0.00240.1≈0.048990.1≈2.04
④ z≈2.04>1.645 → 棄却域 に 入 る
⑤ H0 を 棄却。 「新薬 の 改善率 は 既存治療 よ り 有意 に 高 い」 と 結論。
p 値 (発展)
p値 と は、 「H0 が 正 し い と 仮定 し た と き に、 観察 さ れ た 値以上 に 極端 な 結果 が 出 る 確率」。 例題 3 で は、 z=2.04 よ り 大 き い 確率 を 標準正規分布表 か ら 求 め る と、 約0.5−0.4793=0.0207 → p≈0.021。
| 判断基準 |
|---|
| p<α → H0[棄 |
| p≥α → H0[棄 |
例題 3 で は p=0.021<0.05 な の で 棄却。 棄却域 を 使 う 方法 と 結論 は 一致 し ま す。
大事: p 値 は 「H0 が 正 し い 確率」 で は な い。 「H0 が 正 し い と し た と き の データ の 珍しさ」 で す。 こ の 区別 が 科学報道 で よ く 混同 さ れ ま す。
検定 を す る 上 で の 注意
- 多重検定 の 罠: 同 じ デ ー タ に 何回 も 検定 を 行 う と、 偶然 の 「有意」 が 出 や す く な る (多重比較 の 問題)
- 有意 ≠ 重要: 大標本 で は 微小 な 差 で も 「有意」 に な る が、 実務的 に 重要 と は 限 ら な い (効果量 も 併 せ て 評価)
- 再現性: 1 回 の 検定 で 結論 せ ず、 別 の デ ー タ で 確認 し て こ そ 信頼 で き る
次 の 章: 第 9 章 か ら ベクトル に 入 り ま す。 平面 ベクトル の 成分・内積・図形 へ の 応用 を 学 び、 高校数学 の 重要単元 の 一 つ を マスター し ま す。