統計とうけい的てき推測すいそく (検定けんてい)

この 章しょう で 学まなぶ こと

第だい 7 章しょう で 「推定すいてい (どこ に あ る か)」 を 学がく び ま し た。 こ の 章しょう で は 検定けんてい (こ の 主張しゅちょう は 正ただし し い か?) を 学がく び ま す。 科学かがく・医い療りょう・社会しゃかい調査ちょうさ の 判断はんだん基き盤ばん で す。

• 帰無仮説きむかせつ $H_0$ と 対立仮説たいりつかせつ $H_1$
• 有意水準ゆういすいじゅん $\alpha$ と 棄却域ききゃくいき
• 両側検定りょうがわけんてい と 片側検定かたがわけんてい
• 母平均ぼへいきん の 検定けんてい ($\sigma$既知きち)
• 母比率ぼひりつ の 検定けんてい (二に項こう分布ぶんぷ → 正規せいき近似きんじ)
• 第だい 1 種たね・第だい 2 種たね の 過か誤ご

ポイント: 検定けんてい は 「背理法はいりほう の 統計とうけい版ばん」。 「$H_0$ が 正ただし し い」 と 仮か定てい し て 計けい算さん し た 結果けっか が 異常いじょう で あ れ ば、 $H_0$ を 棄き却きゃく し ま す。

1. 仮説かせつ検定けんてい の 5 ステップ

ステップ	や る こ と
①	帰無仮説きむかせつ $H_0$ と 対立仮説たいりつかせつ $H_1$ を 立たつ て る
②	有意水準ゆういすいじゅん $\alpha$ を 決けつ め る (通つう常じょう 5 % か 1 %)
③	$H_0$ の 下した で 検定けんてい統計とうけい量りょう (z や t) を 計けい算さん
④	棄却域ききゃくいき に 入いり る か 判定はんてい
⑤	入いり れ ば $H_0$ を 棄き却きゃく、 入いり ら な け れ ば 「棄き却きゃく で き な い」

帰き無む仮説かせつ と 対立たいりつ仮説かせつ

用語ようご	意味いみ
$H_0$ (帰き無む仮説かせつ)	「差さ は な い」 「偏へん り は な い」 と い う 守もり り の 主張しゅちょう
$H_1$ (対立たいりつ仮説かせつ)	「差さ が あ る」 と い う 示 し た い 主張しゅちょう

大事だいじ: 検定けんてい で 「示 す」 こ と が で き る の は 対立たいりつ仮説かせつ$H_1$ の 方かた。 「$H_0$ を 示 し た」 と は 言げん え な い (「棄き却きゃく で き な か っ た」 と 控ひかえ え め に 表現ひょうげん)。

2. 有意ゆうい水準すいじゅん と 棄却ききゃく域いき

有意ゆうい水準すいじゅん$\alpha$

「$H_0$ が 正ただし し い と き に 誤あやま っ て 棄却ききゃく し て し ま う 確率かくりつ」 を $\alpha$ と し、 通つう常じょう 5 % (= 0.05) を 使し う。

棄却ききゃく域いき ($\alpha =5\%$、 両側りょうがわ検定けんてい)

検定けんてい統計とうけい量りょう$z$ が

$\mid z\mid >1.96$

を 満みつる た せ ば 棄き却きゃく。 (片側かたがわ で は $z>1.645$ や を 使し う)

| 検定けんてい の 形かたち | 棄き却きゃく域 ($\alpha =5\%$) | |---|---| | 両側りょうがわ (≠) | $\parallel z\parallel >1.96$ | | 右側みぎがわ (>) | $z>1.645$ | | 左側ひだりがわ (<) | |

注ちゅう: 1.645 は 標準ひょうじゅん正規せいき分布ぶんぷ の 上側うわがわ 5% 点てん。 教科書きょうかしょ に よ っ て は 1.64 に 丸まる め て 表記ひょうき し ま す が、 本ほん サ イ ト で は 1.645 で 統一とういつ し ま す。

大事だいじ: $\alpha$ を 小しょう さ く す る ほ ど 棄き却きゃく し に く く な り (慎しん重ちょう)、 大だい き く す る ほ ど 棄き却きゃく し や す く な る (誤あやま棄き却きゃく が 増ふえ る)。 ト レ ー ド オ フ。

3. 母はは平均へいきん の 検定けんてい ($\sigma$既知きち)

検定けんてい統計とうけい量りょう

$z=\frac{xˉ-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$

例題れいだい 1

ある 工場こうじょう の 製品せいひん の 重おも さ は 過去かこ の デ ー タ か ら 母はは平均へいきん${\mu }_0=50.0$ g、 母はは標準ひょうじゅん偏差へんさ$\sigma =5$ g で あ っ た。 新しん ラ イ ン で 100 個こ を 無む作為さくい抽ちゅう出しゅつ し た と こ ろ 平均へいきん が $xˉ=51.5$ g で あ っ た。 新しん ラ イ ン の 母はは平均へいきん は 50.0 g か ら 異こと な る か、 有意ゆうい水準すいじゅん 5 % で 検定けんてい せ よ。

解かい:

① $H_0:\mu =50.0$、 $H_1:\mu \ne 50.0$ (両側りょうがわ検定けんてい)

② $\alpha =0.05$

③ $z=(51.5-50.0)/\left(5/10\right)=1.5/0.5=3.0$

④ $\mid z\mid =3.0>1.96$ → 棄き却きゃく域 に 入いり る

⑤ $H_0$ を 棄き却きゃく。 「新しん ラ イ ン の 母はは平均へいきん は 50 g と 異こと な る (有意ゆうい差さ あ り)」 と 結けつ論ろん す る。

4. 母はは比率ひりつ の 検定けんてい (コイン の 公平こうへい性せい)

検定けんてい統計とうけい量りょう

$z=\frac{p^-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}$

例題れいだい 2

コイン を 100 回かい投とう げ た と こ ろ 表ひょう が 60 回かい出で た。 こ の コイン は 公平こうへい で な い (表ひょう と 裏うら の 出で や す さ が 違 う) と 言げん え る か、 5 % で 検定けんてい せ よ。

解かい:

① $H_0:p=0.5$、 $H_1:p\ne 0.5$ (両側りょうがわ)

② $\alpha =0.05$

③ $p^=0.6$、 $z=(0.6-0.5)/\sqrt{0.5\cdot 0.5/100}=0.1/0.05=2.0$

④ $\mid z\mid =2.0>1.96$ → 棄き却きゃく域 に 入いり る

⑤ $H_0$ を 棄き却きゃく。 「コイン は 公平こうへい で な い (有意ゆうい差さ あ り)」。

直ちょっ感かん確かく認にん: 公平こうへい な コイン で 100 回かい中ちゅう 60 回かい以上いじょう表ひょう が 出で る 確率かくりつ は 約やく 2.3 % (前章ぜんしょう の 例題れいだい 2)。 両側りょうがわ で 約やく 4.6 % な の で、 5 % よ り 小しょう。 「珍しめずらい こ と が 起おこし こ っ た」 と 判断はんだん し て 棄き却きゃく。

5. 片側かたがわ検定けんてい と 両側りょうがわ検定けんてい の 使つかい 分わけ

どちら を 使つかう か

状じょう況きょう	使し う 検定けんてい
「平均へいきん が 50 と 違 う」 を 示 し た い	両側りょうがわ ($\ne$)
「新薬しんやく が 既存きそん薬やく よ り 良りょう い」 を 示 し た い	片側かたがわ (>)
「故こ障しょう率 が 下か が っ た」 を 示 し た い	片側かたがわ (<)

大事だいじ: 片側かたがわ の 方かた が 棄き却きゃく し や す い (棄き却きゃく域 が 片側かたがわ だ け で OK な の で 境界きょうかい値ち が 1.645 と 緩ゆる い)。 ど ち ら を 使し う か は 問題もんだい文ぶん の 主張しゅちょう で 決けつ め る。

6. 第だい1種しゅ の 過誤かご と 第だい2種しゅ の 過誤かご

2 つ の 誤あやまり

	真実しんじつ: $H_0$正 し い	真実しんじつ: $H_1$正 し い
判定はんてい: $H_0$棄き却きゃく	第だい 1 種たね の 過か誤ご ($\alpha$)	正解せいかい
判定はんてい: 棄き却きゃく せ ず	正解せいかい	第だい 2 種たね の 過か誤ご ($\beta$)

• 第だい 1 種たね の 過誤かご $\alpha$: 「な い」 の に 「あ る」 と 言げん う (偽陽性ぎようせい)
• 第だい 2 種たね の 過誤かご $\beta$: 「あ る」 の に 「な い」 と 言げん う (偽陰性ぎいんせい)

トレード オフ

$\alpha$ を 下した げ る と $\beta$ が 上うえ が り、 両方りょうほう を 同時どうじ に 下した げ る に は 標本ひょうほん サイズ $n$ を 増まし や す し か な い。

大事だいじ: 医い療りょう で は 「病気びょうき を 見み落 と す ($\beta$)」 を 避 け た い 場ば面めん、 法廷ほうてい で は 「無罪むざい を 有罪ゆうざい に す る ($\alpha$)」 を 避 け た い 場ば面めん な ど、 場ば面めん に よ っ て 重じゅう視し す べ き 過か誤ご が 違 う。

7. まとめ

検定けんてい の 種しゅ類るい	棄き却きゃく域 ($\alpha =5\%$)
両側りょうがわ	$\parallel z\parallel >1.96$
右側みぎがわ	$z>1.645$
左側ひだりがわ

| 用途ようと | 検定けんてい統計とうけい量りょう | |---|---| | 母はは平均へいきん ($\sigma$既知きち) | $z=(xˉ-{\mu }_0)/\left(\sigma /\sqrt{n}\right)$ | | 母はは比率ひりつ | $z=(p^-p_0)/\sqrt{p_0(1-p_0)/n}$ |

8. 例題れいだい (片側かたがわ検定けんてい と p 値ね)

例題れいだい 3 (片側かたがわ検定けんてい)

ある 薬くすり の 既存きそん治ち療りょう で の 改善かいぜん率りつ は 60 % で あ っ た。 新薬しんやく で 100 人中ひとなか 70 人ひと が 改かい善ぜん し た。 新薬しんやく の 改善かいぜん率りつ は 既存きそん よ り 高こう い と 言げん え る か、 有意ゆうい水準すいじゅん 5 % で 検定けんてい せ よ。

解かい:

① $H_0:p=0.6$、 $H_1:p>0.6$ (右側みぎがわ片側かたがわ検定けんてい)

② $\alpha =0.05$ → 棄き却きゃく域 は $z>1.645$

③ $p^=0.7$、 $z=\frac{0.7-0.6}{\sqrt{0.6\cdot 0.4/100}}=\frac{0.1}{\sqrt{0.0024}}\approx \frac{0.1}{0.04899}\approx 2.04$

④ $z\approx 2.04>1.645$ → 棄き却きゃく域 に 入いり る

⑤ $H_0$ を 棄き却きゃく。 「新薬しんやく の 改善かいぜん率りつ は 既存きそん治療ちりょう よ り 有意ゆうい に 高こう い」 と 結けつ論ろん。

p 値ね (発展はってん)

p値ぴーち と は、 「$H_0$ が 正ただし し い と 仮か定てい し た と き に、 観かん察さつ さ れ た 値ね以上いじょう に 極きょく端たん な 結けっ果か が 出で る 確率かくりつ」。 例題れいだい 3 で は、 $z=2.04$ よ り 大だい き い 確率かくりつ を 標準ひょうじゅん正規せいき分布ぶんぷ表ひょう か ら 求もとめ め る と、 約$0.5-0.4793=0.0207$ → $p\approx 0.021$。

判はん断だん基き準じゅん
→ $H_0$[棄
$p\ge \alpha$ → $H_0$[棄

例題れいだい 3 で は な の で 棄き却きゃく。 棄き却きゃく域 を 使し う 方法ほう と 結けつ論ろん は 一いっ致ち し ま す。

大事だいじ: p 値ね は 「$H_0$ が 正ただし し い 確率かくりつ」 で は な い。 「$H_0$ が 正ただし し い と し た と き の データ の 珍しめずらさ」 で す。 こ の 区く別べつ が 科か学がく報道ほうどう で よ く 混同こんどう さ れ ま す。

検定けんてい を す る 上うえ で の 注ちゅう意い

• 多重たじゅう検定けんてい の 罠わな: 同どう じ デ ー タ に 何なん回かい も 検定けんてい を 行あるき う と、 偶ぐう然ぜん の 「有意ゆうい」 が 出で や す く な る (多重比較たじゅうひかく の 問題もんだい)
• 有意ゆうい ≠ 重要じゅうよう: 大だい標本ひょうほん で は 微小びしょう な 差さ で も 「有意ゆうい」 に な る が、 実じつ務む的 に 重要じゅうよう と は 限きり ら な い (効果量こうかりょう も 併 せ て 評ひょう価か)
• 再現さいげん性せい: 1 回かい の 検定けんてい で 結けつ論ろん せ ず、 別べつ の デ ー タ で 確かく認にん し て こ そ 信しん頼らい で き る

次じ の 章しょう: 第だい 9 章しょう か ら ベクトルべくとる に 入いり り ま す。 平へい面めん ベクトル の 成分せいぶん・内積ないせき・図形づけい へ の 応おう用よう を 学がく び、 高校こうこう数学すうがく の 重要じゅうよう単元たんげん の 一いち つ を マスター し ま す。