統計とうけい的てき推測すいそく (検定けんてい)

この章しょうで学まなぶこと

第だい 7 章しょうで 「推定すいてい (どこにあるか)」 を学まなびました。 この章しょうでは 検定けんてい (この主張しゅちょうは正ただしいか?) を学まなびます。 科学かがく・医い療りょう・社会しゃかい調査ちょうさの 判断はんだん基き盤ばん です。

• 帰無仮説きむかせつ $H_0$ と 対立仮説たいりつかせつ $H_1$
• 有意水準ゆういすいじゅん $\alpha$ と 棄却域ききゃくいき
• 両側検定りょうがわけんてい と 片側検定かたがわけんてい
• 母平均ぼへいきん の検定けんてい ($\sigma$既知きち)
• 母比率ぼひりつ の検定けんてい (二項こう分布ぶんぷ → 正規せいき近似きんじ)
• 第だい 1 種たね・第だい 2 種たねの過か誤ご

ポイント: 検定けんていは 「背理法はいりほう の統計とうけい版ばん」。 「$H_0$ が正ただしい」 と仮か定てい して計けい算さん した結果けっかが異常いじょうであれば、 $H_0$ を 棄き却きゃく します。

1. 仮説かせつ検定けんていの 5 ステップ

ステップ	やること
①	帰無仮説きむかせつ $H_0$ と 対立仮説たいりつかせつ $H_1$ を立たてる
②	有意水準ゆういすいじゅん $\alpha$ を決きめる (通つう常じょう 5 % か 1 %)
③	$H_0$ の下したで検定けんてい統計とうけい量りょう (z や t) を計けい算さん
④	棄却域ききゃくいき に入はいるか判定はんてい
⑤	入はいれば $H_0$ を 棄き却きゃく、 入はいらなければ 「棄き却きゃく できない」

帰き無む仮説かせつと対立たいりつ仮説かせつ

用語ようご	意味いみ
$H_0$ (帰き無む仮説かせつ)	「差さはない」 「偏かたよりはない」 という 守もり の主張しゅちょう
$H_1$ (対立たいりつ仮説かせつ)	「差さがある」 という 示しめしたい 主張しゅちょう

大事だいじ: 検定けんていで 「示しめす」 ことができるのは 対立たいりつ仮説かせつ$H_1$ の方ほう。 「$H_0$ を示しめした」 とは言いえない (「棄き却きゃく できなかった」 と控ひかえめに表現ひょうげん)。

2. 有意ゆうい水準すいじゅんと棄却ききゃく域いき

有意ゆうい水準すいじゅん$\alpha$

「$H_0$ が正ただしいときに誤あやまって棄却ききゃくしてしまう確率かくりつ」 を $\alpha$ とし、 通つう常じょう 5 % (= 0.05) を使つかう。

棄却ききゃく域いき ($\alpha =5\%$、 両側りょうがわ検定けんてい)

検定けんてい統計とうけい量りょう$z$ が

$\mid z\mid >1.96$

を満みたせば棄き却きゃく。 (片側かたがわでは $z>1.645$ や を使つかう)

検定けんていの形かたち	棄き却きゃく域 ($\alpha =5\%$)
両側りょうがわ (≠)	$\parallel z\parallel >1.96$
右側みぎがわ (>)	$z>1.645$
左側ひだりがわ (<)

注ちゅう: 1.645 は標準ひょうじゅん正規せいき分布ぶんぷの上側うわがわ 5% 点てん。 教科書きょうかしょによっては 1.64 に丸まるめて表記ひょうきしますが、 本ほんサイトでは 1.645 で統一とういつします。

大事だいじ: $\alpha$ を小ちいさくするほど 棄き却きゃく しにくく なり (慎しん重ちょう)、 大おおきくするほど 棄き却きゃく しやすく なる (誤あやま棄き却きゃく が 増ふえる)。 トレードオフ。

3. 母はは平均へいきんの検定けんてい ($\sigma$既知きち)

検定けんてい統計とうけい量りょう

$z=\frac{xˉ-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$

例題れいだい 1

ある工場こうじょうの製品せいひんの重おもさは過去かこのデータから母はは平均へいきん${\mu }_0=50.0$ g、 母はは標準ひょうじゅん偏差へんい$\sigma =5$ g であった。 新しんラインで 100 個こを無作為むさくい抽ちゅう出しゅつ したところ平均へいきんが $xˉ=51.5$ g であった。 新しんラインの母はは平均へいきんは 50.0 g から 異ことなる か、 有意ゆうい水準すいじゅん 5 % で検定けんていせよ。

解かい:

① $H_0:\mu =50.0$、 $H_1:\mu \ne 50.0$ (両側りょうがわ検定けんてい)

② $\alpha =0.05$

③ $z=(51.5-50.0)/\left(5/10\right)=1.5/0.5=3.0$

④ $\mid z\mid =3.0>1.96$ → 棄き却きゃく域に入はいる

⑤ $H_0$ を棄き却きゃく。 「新しんラインの母はは平均へいきんは 50 g と異ことなる (有意ゆうい差さあり)」 と結けつ論ろん する。

4. 母はは比率ひりつの検定けんてい (コインの公平こうへい性せい)

検定けんてい統計とうけい量りょう

$z=\frac{p^-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}$

例題れいだい 2

コインを 100 回かい投なげたところ表ひょうが 60 回かい出でた。 このコインは 公平こうへいでない (表ひょうと裏うらの出でやすさが違ちがう) と言いえるか、 5 % で検定けんていせよ。

解かい:

① $H_0:p=0.5$、 $H_1:p\ne 0.5$ (両側りょうがわ)

② $\alpha =0.05$

③ $p^=0.6$、 $z=(0.6-0.5)/\sqrt{0.5\cdot 0.5/100}=0.1/0.05=2.0$

④ $\mid z\mid =2.0>1.96$ → 棄き却きゃく域に入はいる

⑤ $H_0$ を棄き却きゃく。 「コインは公平こうへいでない (有意ゆうい差さあり)」。

直ちょっ感かん確かく認にん: 公平こうへいなコインで 100 回かい中ちゅう 60 回かい以上いじょう表ひょうが出でる確率かくりつは約やく 2.3 % (前章ぜんしょうの例題れいだい 2)。 両側りょうがわで約やく 4.6 % なので、 5 % より小しょう。 「珍しめずらいことが起おこった」 と判断はんだんして棄き却きゃく。

5. 片側かたがわ検定けんていと両側りょうがわ検定けんていの使つかい分わけ

どちらを使つかうか

状じょう況きょう	使つかう検定けんてい
「平均へいきんが 50 と 違ちがう」 を示しめしたい	両側りょうがわ ($\ne$)
「新薬しんやくが既存きそん薬やくより 良よい」 を示しめしたい	片側かたがわ (>)
「故こ障しょう率が 下さがった」 を示しめしたい	片側かたがわ (<)

大事だいじ: 片側かたがわの方ほうが 棄き却きゃく しやすい (棄き却きゃく域が片側かたがわだけで OK なので境界きょうかい値ちが 1.645 と緩ゆるい)。 どちらを使つかうかは 問題もんだい文ぶんの主張しゅちょう で決きめる。

6. 第だい1種しゅの過誤かごと第だい2種しゅの過誤かご

2 つの誤あやまり

	真実しんじつ: $H_0$正ただしい	真実しんじつ: $H_1$正ただしい
判定はんてい: $H_0$棄き却きゃく	第だい 1 種たねの過か誤ご ($\alpha$)	正解せいかい
判定はんてい: 棄き却きゃく せず	正解せいかい	第だい 2 種たねの過か誤ご ($\beta$)

• 第だい 1 種たねの過誤かご $\alpha$: 「ない」 のに 「ある」 と言いう (偽陽性ぎようせい)
• 第だい 2 種たねの過誤かご $\beta$: 「ある」 のに 「ない」 と言いう (偽陰性ぎいんせい)

トレードオフ

$\alpha$ を下さげると $\beta$ が上あがり、 両方りょうほうを同時どうじに下さげるには 標本ひょうほんサイズ $n$ を増ふやす しかない。

大事だいじ: 医い療りょう では 「病気びょうきを見落みおとす ($\beta$)」 を避さけたい場ば面めん、 法廷ほうていでは 「無罪むざいを有罪ゆうざいにする ($\alpha$)」 を避さけたい場ば面めん など、 場ば面めん によって重じゅう視し すべき過か誤ご が違ちがう。

7. まとめ

検定けんていの種しゅ類るい	棄き却きゃく域 ($\alpha =5\%$)
両側りょうがわ	$\parallel z\parallel >1.96$
右側みぎがわ	$z>1.645$
左側ひだりがわ

用途ようと	検定けんてい統計とうけい量りょう
母はは平均へいきん ($\sigma$既知きち)	$z=(xˉ-{\mu }_0)/\left(\sigma /\sqrt{n}\right)$
母はは比率ひりつ	$z=(p^-p_0)/\sqrt{p_0(1-p_0)/n}$

8. 例題れいだい (片側かたがわ検定けんていと p 値ね)

例題れいだい 3 (片側かたがわ検定けんてい)

ある薬くすりの既存きそん治ち療りょう での改善かいぜん率りつは 60 % であった。 新薬しんやくで 100 人中ひとなか 70 人ひとが改かい善ぜん した。 新薬しんやくの改善かいぜん率りつは既存きそんより高たかいと言いえるか、 有意ゆうい水準すいじゅん 5 % で検定けんていせよ。

解かい:

① $H_0:p=0.6$、 $H_1:p>0.6$ (右側みぎがわ片側かたがわ検定けんてい)

② $\alpha =0.05$ → 棄き却きゃく域は $z>1.645$

③ $p^=0.7$、 $z=\frac{0.7-0.6}{\sqrt{0.6\cdot 0.4/100}}=\frac{0.1}{\sqrt{0.0024}}\approx \frac{0.1}{0.04899}\approx 2.04$

④ $z\approx 2.04>1.645$ → 棄き却きゃく域に入はいる

⑤ $H_0$ を棄き却きゃく。 「新薬しんやくの改善かいぜん率りつは既存きそん治療ちりょうより有意ゆういに高たかい」 と結けつ論ろん。

p 値ね (発展はってん)

p値ぴーち とは、 「$H_0$ が正ただしいと仮か定てい したときに、 観かん察さつ された値ね以上いじょうに極きょく端たん な結けっ果か が出でる確率かくりつ」。 例題れいだい 3 では、 $z=2.04$ より大おおきい確率かくりつを標準ひょうじゅん正規せいき分布ぶんぷ表ひょうから求もとめると、 約$0.5-0.4793=0.0207$ → $p\approx 0.021$。

判はん断だん基き準じゅん
→ $H_0$棄き却きゃく
$p\ge \alpha$ → $H_0$棄き却きゃく せず

例題れいだい 3 では なので棄き却きゃく。 棄き却きゃく域を使つかう方法ほう と結けつ論ろん は一いっ致ち します。

大事だいじ: p 値ねは 「$H_0$ が正ただしい確率かくりつ」 ではない。 「$H_0$ が正ただしいとしたときの データの珍しめずらさ」 です。 この区く別べつ が科か学がく報道ほうどうでよく混同こんどうされます。

検定けんていをする上うえでの注ちゅう意い

• 多重たじゅう検定けんていの罠わな: 同おなじデータに何なん回かいも検定けんていを行おこなうと、 偶ぐう然ぜん の 「有意ゆうい」 が出でやすくなる (多重比較たじゅうひかく の問題もんだい)
• 有意ゆうい ≠ 重要じゅうよう: 大だい標本ひょうほんでは微小びしょうな差さでも 「有意ゆうい」 になるが、 実じつ務む的に重要じゅうようとは限かぎらない (効果量こうかりょう も併あわせて評ひょう価か)
• 再現さいげん性せい: 1 回かいの検定けんていで結けつ論ろん せず、 別べつのデータで確かく認にん してこそ信しん頼らい できる

次じの章しょう: 第だい 9 章しょうから ベクトルべくとる に入はいります。 平へい面めん ベクトルの 成分せいぶん・内積ないせき・図形ずけいへの応おう用よう を学まなび、 高校こうこう数学すうがくの重要じゅうよう単元たんげんの一ひとつをマスターします。