数列すうれつ (等差とうさ・等比とうひ)

この 章しょう で 学まなぶ こと

数学すうがく B の 出しゅっ発ぱつ点 と なる 章しょう です。 「数列すうれつ」 とは、 1, 3, 5, 7, … の よう に 規き則そく に したがって 並なみ べた 数かず の 列れつ の こと。 高校こうこう で は その 並ならび を 一般項いっぱんこう と いう 1 つ の 式しき で 表ひょう し、 等差数列とうさすうれつ・等比数列とうひすうれつ の 公式こうしき を 自じ在ざい に 使つかえる よう に なる の が ゴール です。

• 数列すうれつ と 一般項いっぱんこう の 表ひょう し 方かた を 知しる
• 等差数列とうさすうれつ の 一般いっぱん項こう と 和わ の 公式こうしき を 使つかえる よう に なる
• 等比数列とうひすうれつ の 一般いっぱん項こう と 和わ の 公式こうしき を 使つかえる よう に なる
• 初項しょこう・公差こうさ・公比こうひ と いう 3 つ の キーワード を 区く別べつ する
• 文章ぶんしょう題だい を 等差とうさ・等比とうひ の 形かたち に 翻ほん訳やく する 力ちから を つける

ポイント: 数列すうれつ は 「ひと つ の 数かず」 では なく 「数かず の な ら び 全体ぜんたい」 を 1 つ の 対たい象しょう と し て 扱あつかう 学がく問もん。 第$n$項 を $a_n$ と 書しょ く 約やく束そく に 慣なれ ま しょう。

1. 数列すうれつ と は 何なに か

数列すうれつ の 定義ていぎ

数列すうれつ とは、 順じゅん番ばん付つき で 並なみ べ ら れ た 数かず の 列れつ。 1 番ばん目め を 初項しょこう $a_1$、 2 番ばん目め を $a_2$、 … と 呼こ び、 $n$番ばん目め を 第$n$項 $a_n$ と 書しょ き ま す。

例れい: 数列すうれつ 1, 3, 5, 7, 9, … で は

• $a_1=1$、 $a_2=3$、 $a_3=5$、 $a_4=7$、 $a_5=9$
• 一般いっぱん項こう は $a_n=2n-1$ と 表ひょう せる

一般いっぱん項こう (general term)

一般項いっぱんこう と は、 $n$番ばん目め の 項こう を $n$ の 式しき で 表ひょう し た もの。 一般いっぱん項こう が わ かれ ば、 $n=100$番ばん目め で も $n=10000$番ばん目め で も 即そく座ざ に 求もとめ め ら れ ま す。

数列すうれつ	一般いっぱん項こう$a_n$	第だい 10 項$a_{10}$
1, 3, 5, 7, …	$2n-1$	$19$
2, 4, 8, 16, …	$2^n$	$1024$
1, 4, 9, 16, …	$n^2$	$100$
$\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots$	$\frac{1}{n}$	$\frac{1}{10}$

有限ゆうげん数列すうれつ と 無限むげん数列すうれつ

種しゅ類るい	意味いみ	例れい
有ゆう限げん数列すうれつ	項こう の 個こ数すう が 有ゆう限げん	サイコロ の 出目でめ 1, 2, 3, 4, 5, 6
無む限げん数列すうれつ	項こう が 無む限げん に 続ぞく く	自し然ぜん数 1, 2, 3, …

大事だいじ: 数学すうがく B で 主おも に 扱あつかう の は 無む限げん数列すうれつ で す が、 「初はつ項こう か ら 第$n$項 まで の 和わ」 を 求もとめ め る 場ば面めん が 多おお く、 結けっ果か と し て 有ゆう限げん個 を 扱あつかう こと に な り ま す。

2. 等差とうさ数列すうれつ

等差とうさ数列すうれつ の 定義ていぎ

等差数列とうさすうれつ と は、 となり 合ごう う 項こう の 差さ が 一いっ定てい な 数列すうれつ。 そ の 一いっ定てい の 差さ を 公差こうさ と 呼こ び $d$ で 表ひょう し ま す。

例れい: 3, 7, 11, 15, 19, … は 公差こうさ$d=4$ の 等差とうさ数列すうれつ。

$a_{n+1}-a_n=d\left(すべて の n で\right)$

等差とうさ数列すうれつ の 一般いっぱん項こう

初はつ項こう$a_1=a$、 公差こうさ$d$ の 等差とうさ数列すうれつ で は、

$a_n=a+(n-1)d$

考え方かんがえかた: 第だい 1 項こう から 第$n$項 ま で 進すすむ む に は、 $d$ を $n-1$回かい足あし す。

$n$	1	2	3	4	$\cdots$	$n$
$a_n$	$a$	$a+d$	$a+2d$	$a+3d$	$\cdots$	$a+(n-1)d$

例題れいだい 1

初はつ項こう 5、 公差こうさ 3 の 等差とうさ数列すうれつ の 第だい 20 項こう を 求もとめ め よ。

解かい: $a_{20}=5+(20-1)\times 3=5+57=62$

等差とうさ数列すうれつ の 和わ

初はつ項こう$a$、 末すえ項こう$\ell$ (= $a_n$)、 項こう数すう$n$ の 等差とうさ数列すうれつ の 和$S_n$ は、

$S_n=\frac{n(a+\ell )}{2}=\frac{n\{2a+(n-1\left)d\right\}}{2}$

なぜ・: 数列すうれつ を 逆順ぎゃくじゅん に 書しょ い て 縦たて に 足あし す と、 ど の 列れつ も $a+\ell$ に な る の で、 「2 倍ばい し て 2 で 割わり る」 の 発はっ想そう で 出で て き ま す (ガウス の 計けい算さん と 呼こ ば れ る)。

| 1, 3, 5, 7, 9 | (順じゅん) | | 9, 7, 5, 3, 1 | (逆順ぎゃくじゅん) | | 10, 10, 10, 10, 10 | (合ごう計けい = 5 列れつ × 10 = 50) |

→ 元もと の 和わ は $50÷2=25$。

例題れいだい 2

1 + 3 + 5 + … + 99 の 和わ を 求もとめ め よ。

解かい: 初はつ項こう 1、 公差こうさ 2、 末すえ項こう 99 の 等差とうさ数列すうれつ。 項こう数すう$n$ は $99=1+(n-1)\times 2$ よ り $n=50$。

$S_{50}=\frac{50\times (1+99)}{2}=\frac{5000}{2}=2500$

3. 等比とうひ数列すうれつ

等比とうひ数列すうれつ の 定義ていぎ

等比数列とうひすうれつ と は、 と な り 合ごう う 項こう の 比ひ が 一いっ定てい な 数列すうれつ。 そ の 一いっ定てい の 比ひ を 公比こうひ と 呼こ び $r$ で 表ひょう し ま す ($r\ne 0$)。

例れい: 3, 6, 12, 24, 48, … は 公おおやけ比ひ$r=2$ の 等比とうひ数列すうれつ。

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=r\left(すべて の n で\right)$

等比とうひ数列すうれつ の 一般いっぱん項こう

初はつ項こう$a$、 公おおやけ比ひ$r$ の 等比とうひ数列すうれつ で は、

$a_n=a\cdot r^{n-1}$

考え方かんがえかた: 第だい 1 項こう か ら 第$n$項 ま で 進すすむ む に は、 $r$ を $n-1$回 か け る。

$n$	1	2	3	4	$\cdots$	$n$
$a_n$	$a$	$ar$	$a{r}^2$	$a{r}^3$	$\cdots$	$a{r}^{n-1}$

例題れいだい 3

初はつ項こう 2、 公おおやけ比ひ 3 の 等比とうひ数列すうれつ の 第だい 6 項こう を 求もとめ め よ。

解かい: $a_6=2\cdot 3^{6-1}=2\cdot 243=486$

等比とうひ数列すうれつ の 和わ

初はつ項こう$a$、 公おおやけ比ひ$r$、 項こう数すう$n$ の 等比とうひ数列すうれつ の 和$S_n$ は、

なぜ・: $S_n=a+ar+a{r}^2+\cdots +a{r}^{n-1}$ の 両りょう辺へん に $r$ を かけ て 引 く と、 中ちゅう間かん項 が す べ て 消しょう え て $S_n-r{S}_n=a-a{r}^n$ と な る か ら。

例題れいだい 4

1 + 2 + 4 + 8 + … + $2^9$ の 和わ を 求もとめ め よ。

解かい: 初はつ項こう 1、 公おおやけ比ひ 2、 項こう数すう 10 の 等比とうひ数列すうれつ。

$S_{10}=\frac{1\cdot (2^{10}-1)}{2-1}=1024-1=1023$

4. 等差とうさ・等比とうひ の 文章ぶんしょう題だい

借入かりいれ と 利息りそく (等差とうさ vs 等比とうひ)

シナリオ	数列すうれつ の 型かた	一般いっぱん項こう
毎月まいつき 1 万まん円えん ずつ 貯ちょ金きん (利り息そく な し)	等差とうさ	$a_n=10000n$
元がん金きん 100 万まん円えん、 年利ねんり 3 % で 複ふく利り	等比とうひ	$a_n=100\times {1.03}^n$ (万まん円えん)

例題れいだい 5

ある 木き が 毎年まいとし前年ぜんねん の 1.1 倍ばい に 成せい長ちょう す る。 1 年ねん目め の 高たかさ が 100 cm の とき、 5 年ねん目め の 高たかさ を 求もとめ め よ。

解かい: 等比とうひ数列すうれつ で 初はつ項こう 100、 公おおやけ比ひ 1.1。

$a_5=100\times {1.1}^{5-1}=100\times 1.4641=146.41 cm$

大事だいじ: 「増ふえ 方かた が 一いっ定てい (足たし算ざん)」 → 等差とうさ、 「増ふえ 方かた が 倍ばい率りつ一いっ定てい (かけ算ざん)」 → 等比とうひ、 と 見抜ぬく 力ちから が 試し験けん で 問もん われ ま す。

5. まとめ と 次つぎの 章しょう へ

数列すうれつ	一般いっぱん項こう	和わ
等差とうさ (公差こうさ$d$)	$a_n=a+(n-1)d$	$S_n=\frac{n\{2a+(n-1\left)d\right\}}{2}$
等比とうひ (公おおやけ比ひ$r$, $r\ne 1$)	$a_n=a{r}^{n-1}$	$S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$

次じの 章しょう: 第だい 2 章しょう で は シグマ 記号きごう$\sum$ を 導どう入にゅう し、 $\sum k=1nk$、 $\sum k=1n{k}^2$ な ど の 公式こうしき を 学がく び、 一般いっぱん の 数列すうれつ の 和わ を 計けい算さん で き る よ う に な り ま す。