数列すうれつ (等差とうさ・等比とうひ)

この章しょうで学まなぶこと

数学すうがく B の出しゅっ発ぱつ点となる章しょうです。 「数列すうれつ」 とは、 1, 3, 5, 7, … のように規き則そく にしたがって並ならべた数かずの列れつのこと。 高校こうこうではその並ならびを 一般項いっぱんこう という 1 つの式しきで表あらわし、 等差数列とうさすうれつ・等比数列とうひすうれつ の公式こうしきを自じ在ざい に使つかえるようになるのがゴールです。

• 数列すうれつ と 一般項いっぱんこう の表あらわし方かたを知しる
• 等差数列とうさすうれつ の一般いっぱん項こう と和わの公式こうしきを使つかえるようになる
• 等比数列とうひすうれつ の一般いっぱん項こうと和わの公式こうしきを使つかえるようになる
• 初項しょこう・公差こうさ・公比こうひ という 3 つのキーワードを区く別べつ する
• 文章ぶんしょう題だいを等差とうさ・等比とうひの形かたちに翻ほん訳やく する力ちからをつける

ポイント: 数列すうれつは 「ひとつの数かず」 ではなく 「数かずのならび全体ぜんたい」 を 1 つの対たい象しょう として扱あつかう学がく問もん。 第$n$項を $a_n$ と書かく約やく束そく に 慣なれましょう。

1. 数列すうれつとは何なにか

数列すうれつの定義ていぎ

数列すうれつ とは、 順じゅん番ばん付つきで並ならべられた数かずの列れつ。 1 番ばん目めを 初項しょこう $a_1$、 2 番ばん目めを $a_2$、 … と呼よび、 $n$番ばん目めを 第$n$項 $a_n$ と書かきます。

例れい: 数列すうれつ 1, 3, 5, 7, 9, … では

• $a_1=1$、 $a_2=3$、 $a_3=5$、 $a_4=7$、 $a_5=9$
• 一般いっぱん項こうは $a_n=2n-1$ と表あらわせる

一般いっぱん項こう (general term)

一般項いっぱんこう とは、 $n$番ばん目めの項こうを $n$ の式しきで表あらわしたもの。 一般いっぱん項こうがわかれば、 $n=100$番目ばんめでも $n=10000$番目ばんめでも即そく座ざ に求もとめられます。

数列すうれつ	一般いっぱん項こう$a_n$	第だい 10 項$a_{10}$
1, 3, 5, 7, …	$2n-1$	$19$
2, 4, 8, 16, …	$2^n$	$1024$
1, 4, 9, 16, …	$n^2$	$100$
$\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots$	$\frac{1}{n}$	$\frac{1}{10}$

有限ゆうげん数列すうれつと無限むげん数列すうれつ

種しゅ類るい	意味いみ	例れい
有ゆう限げん数列すうれつ	項こうの個こ数すう が有ゆう限げん	サイコロの出目でめ 1, 2, 3, 4, 5, 6
無む限げん数列すうれつ	項こうが無む限げん に続つづく	自し然ぜん数 1, 2, 3, …

大事だいじ: 数学すうがく B で主おもに扱あつかうのは 無む限げん数列すうれつ ですが、 「初はつ項こう から第$n$項までの和わ」 を求もとめる場ば面めん が多おおく、 結けっ果か として有ゆう限げん個を 扱あつかうことになります。

2. 等差とうさ数列すうれつ

等差とうさ数列すうれつの定義ていぎ

等差数列とうさすうれつ とは、 となり合あう項こうの差さが一いっ定てい な数列すうれつ。 その一いっ定てい の差さを 公差こうさ と呼よび $d$ で表あらわします。

例れい: 3, 7, 11, 15, 19, … は公差こうさ$d=4$ の等差とうさ数列すうれつ。

$a_{n+1}-a_n=d\left(すべての n で\right)$

等差とうさ数列すうれつの一般いっぱん項こう

初はつ項こう$a_1=a$、 公差こうさ$d$ の等差とうさ数列すうれつでは、

$a_n=a+(n-1)d$

考え方かんがえかた: 第だい 1 項こうから第$n$項まで進すすむには、 $d$ を $n-1$回足たす。

$n$	1	2	3	4	$\cdots$	$n$
$a_n$	$a$	$a+d$	$a+2d$	$a+3d$	$\cdots$	$a+(n-1)d$

例題れいだい 1

初はつ項こう 5、 公差こうさ 3 の等差とうさ数列すうれつの第だい 20 項こうを求もとめよ。

解かい: $a_{20}=5+(20-1)\times 3=5+57=62$

等差とうさ数列すうれつの和わ

初はつ項こう$a$、 末すえ項こう $\ell$ (= $a_n$)、 項こう数すう$n$ の等差とうさ数列すうれつの和$S_n$ は、

$S_n=\frac{n(a+\ell )}{2}=\frac{n\{2a+(n-1\left)d\right\}}{2}$

なぜ・: 数列すうれつを 逆順ぎゃくじゅん に書かいて縦たてに足たすと、 どの列れつも $a+\ell$ になるので、 「2 倍ばいして 2 で割われる」 の発はっ想そう で出でてきます (ガウスがうす の計けい算さん と呼よばれる)。

| 1, 3, 5, 7, 9 | (順じゅん) | | 9, 7, 5, 3, 1 | (逆順ぎゃくじゅん) | | 10, 10, 10, 10, 10 | (合ごう計けい = 5 列れつ × 10 = 50) |

→ 元もとの和わは $50÷2=25$。

例題れいだい 2

1 + 3 + 5 + … + 99 の和わを求もとめよ。

解かい: 初はつ項こう 1、 公差こうさ 2、 末すえ項こう 99 の等差とうさ数列すうれつ。 項こう数すう$n$ は $99=1+(n-1)\times 2$ より $n=50$。

$S_{50}=\frac{50\times (1+99)}{2}=\frac{5000}{2}=2500$

3. 等比とうひ数列すうれつ

等比とうひ数列すうれつの定義ていぎ

等比数列とうひすうれつ とは、 となり合あう項こうの比ひが一いっ定てい な数列すうれつ。 その一いっ定てい の比ひを 公比こうひ と呼よび $r$ で表あらわします ($r\ne 0$)。

例れい: 3, 6, 12, 24, 48, … は公おおやけ比ひ$r=2$ の等比とうひ数列すうれつ。

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=r\left(すべての n で\right)$

等比とうひ数列すうれつの一般いっぱん項こう

初はつ項こう$a$、 公おおやけ比ひ$r$ の等比とうひ数列すうれつでは、

$a_n=a\cdot r^{n-1}$

考え方かんがえかた: 第だい 1 項こうから第$n$項まで進すすむには、 $r$ を $n-1$回かける。

$n$	1	2	3	4	$\cdots$	$n$
$a_n$	$a$	$ar$	$a{r}^2$	$a{r}^3$	$\cdots$	$a{r}^{n-1}$

例題れいだい 3

初はつ項こう 2、 公おおやけ比ひ 3 の等比とうひ数列すうれつの第だい 6 項こうを求もとめよ。

解かい: $a_6=2\cdot 3^{6-1}=2\cdot 243=486$

等比とうひ数列すうれつの和わ

初はつ項こう$a$、 公おおやけ比ひ$r$、 項こう数すう$n$ の等比とうひ数列すうれつの和$S_n$ は、

なぜ・: $S_n=a+ar+a{r}^2+\cdots +a{r}^{n-1}$ の両りょう辺へん に $r$ をかけて引ひくと、 中ちゅう間かん項がすべて消きえて $S_n-r{S}_n=a-a{r}^n$ となるから。

例題れいだい 4

1 + 2 + 4 + 8 + … + $2^9$ の和わを求もとめよ。

解かい: 初はつ項こう 1、 公おおやけ比ひ 2、 項こう数すう 10 の等比とうひ数列すうれつ。

$S_{10}=\frac{1\cdot (2^{10}-1)}{2-1}=1024-1=1023$

4. 等差とうさ・等比とうひの文章ぶんしょう題だい

借入かりいれと利息りそく (等差とうさ vs 等比とうひ)

シナリオ	数列すうれつの型かた	一般いっぱん項こう
毎月まいつき 1 万まん円えん ずつ貯ちょ金きん (利り息そく なし)	等差とうさ	$a_n=10000n$
元がん金きん 100 万まん円えん、 年利ねんり 3 % で複ふく利り	等比とうひ	$a_n=100\times {1.03}^n$ (万まん円えん)

例題れいだい 5

ある木きが毎年まいとし前年ぜんねんの 1.1 倍ばいに成せい長ちょう する。 1 年ねん目めの 高たかさが 100 cm のとき、 5 年ねん目めの 高たかさを求もとめよ。

解かい: 等比とうひ数列すうれつで初はつ項こう 100、 公おおやけ比ひ 1.1。

$a_5=100\times {1.1}^{5-1}=100\times 1.4641=146.41 cm$

大事だいじ: 「増ふえ方ほうが一いっ定てい (足たし算ざん)」 → 等差とうさ、 「増ふえ方ほうが倍ばい率りつ一いっ定てい (かけ算ざん)」 → 等比とうひ、 と見抜ぬく力りょくが試し験けん で問とわれます。

5. まとめと次つぎの章しょうへ

数列すうれつ	一般いっぱん項こう	和わ
等差とうさ (公差こうさ$d$)	$a_n=a+(n-1)d$	$S_n=\frac{n\{2a+(n-1\left)d\right\}}{2}$
等比とうひ (公おおやけ比ひ$r$, $r\ne 1$)	$a_n=a{r}^{n-1}$	$S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$

次じの章しょう: 第だい 2 章しょうでは シグマ記号きごう$\sum$ を導どう入にゅう し、 $\sum k=1nk$、 $\sum k=1n{k}^2$ などの公式こうしきを学まなび、 一般いっぱんの数列すうれつの和わを計けい算さん できるようになります。