確率かくりつ分布ぶんぷ (連続れんぞく・正規せいき分布ぶんぷ)

この章しょうで学まなぶこと

第だい 5 章しょうの 離り散さん型 に続つづき、 この章しょうでは 連続型確率分布れんぞくがたかくりつぶんぷ を学まなびます。 身長しんちょうや体たい重じゅうのように 「どんな値あたいでも取とりえる」 量りょうを扱あつかう道どう具ぐです。

• 確率密度関数かくりつみつどかんすう $f\left(x\right)$ の意味いみを知しる
• 連れん続ぞく型かたの期き待たい値あたい・分ぶん散さん (積せき分ぶんで定てい義ぎ)
• 正規分布せいきぶんぷ $N(\mu ,{\sigma }^2)$ の形かたちと性せい質しつ
• 標準正規分布ひょうじゅんせいきぶんぷ $N(0,1)$ と 標準化ひょうじゅんか
• 標準正規分布表ひょうじゅんせいきぶんぷひょうの読よみ方かた
• 二項分布にこうぶんぷ $\to$ 正規分布せいきぶんぷ の近似きんじ

ポイント: 連れん続ぞく型かたでは 「ピンポイントの確率かくりつ $P(X=x)$」 は 0 で、 「$P(a\le X\le b)$」 という 区間くかん の確率かくりつを使つかいます。 この発はっ想そうの切きり替かえが第だい一関いちぜき門もん。

1. 連続れんぞく型がた確率かくりつ変数へんすう

確率かくりつ密度みつど関数かんすう

確率密度関数かくりつみつどかんすう $f\left(x\right)$ とは、 確率かくりつを 面積めんせき で表あらわすときの 高たかさ。 区く間かん $[a,b]$ での確率かくりつは

$P(a\le X\le b)=\int abf\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$

確率かくりつ密度みつど関数かんすうの条件じょうけん

条じょう件けん	意味いみ
① $f\left(x\right)\ge 0$	高たかさは負ふでない
② $\int -\infty \infty f\left(x\right)\hspace{0.17em}dx=1$	全ぜん体たいの面積めんせきは 1

ピンポイントの確率かくりつは 0

$P(X=a)=\int aaf\left(x\right)\hspace{0.17em}dx=0$

→ 連れん続ぞく型かたでは $\le$ と の区く別べつは結けっ果かに影えい響きょうしない。

連続れんぞく型がたの期待きたい値ち・分散ぶんさん

$E\left[X\right]=\int -\infty \infty xf\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$ $V\left[X\right]=\int -\infty \infty (x-E[X\left]{)}^{2}f\right(x)\hspace{0.17em}dx=E[X^2]-(E\left[X\right]{)}^2$

大事だいじ: 離り散さん型では $\sum$、 連れん続ぞく型かたでは $\int$ と、 足たし算ざんが積せき分ぶんに変かわるだけ。 期き待たい値あたい・分ぶん散さんの概がい念ねん自じ体たいは同おなじ。

2. 一様いちよう分布ぶんぷ (もっとも単純たんじゅんな例れい)

区く間かん $[a,b]$ で一いっ定ていの高たかさを持もつ分ぶん布ぷを 一様分布いちようぶんぷ $U(a,b)$ と呼よび、 確率かくりつ密度みつどは

区間くかん$[a,b]$ の 外がいでは $f\left(x\right)=0$ であることに注意ちゅういしましょう ($[a,b]$上だけ一いち定値ていちをとる)。

期待値きたいちと分散ぶんさんは

$E\left[X\right]=\frac{a+b}{2},V\left[X\right]=\frac{(b-a{)}^2}{12}$

3. 正規せいき分布ぶんぷ$N(\mu ,{\sigma }^2)$

確率かくりつ密度みつど関数かんすう

統計とうけい学がくの中心ちゅうしんにある 正規分布せいきぶんぷ (ガウス分布がうすぶんぷ) は、 平均へいきん$\mu$、 分散ぶんさん${\sigma }^2$ を持もち、 確率かくりつ密度みつど関数かんすうは

$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\hspace{0.17em}\sigma }\exp (-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2})$

正規せいき分布ぶんぷの形かたちと性質せいしつ

• 釣鐘型つりがねがた (ベルカーブべるかーぶ) で左さ右ゆう対たい称しょう
• 中心ちゅうしん$\mu$ で最大さいだい、 $\mu \pm \sigma$ で 変曲点へんきょくてん
• $\sigma$ が小ちいさいほど 細ほそく高たかく、 大おおきいほど 広ひろく低ひくく

「68 - 95 - 99.7」 の法則ほうそく

区間くかん	含ふくまれる確率かくりつ (近似きんじ)
$[\mu -\sigma ,\mu +\sigma ]$	約やく 68 %
$[\mu -2\sigma ,\mu +2\sigma ]$	約やく 95 %
$[\mu -3\sigma ,\mu +3\sigma ]$	約やく 99.7 %

大事だいじ: 「$3\sigma$ を超え・ることは 1000 回かいに約やく 3 回かい以下いか」 → 工こう業ぎょう製品せいひんの 品質管理ひんしつかんり で 「$3\sigma$ ライン」 が標準ひょうじゅん。

4. 標準ひょうじゅん化かと標準ひょうじゅん正規せいき分布ぶんぷ

標準ひょうじゅん化か (z スコア)

任にん意いの正せい規き分ぶん布ぷを 標準正規分布ひょうじゅんせいきぶんぷ $N(0,1)$ に直なおす操そう作さを 標準化ひょうじゅんか と呼よぶ。

$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$

すると $E\left[Z\right]=0$、 $V\left[Z\right]=1$ となり、 平均へいきん 0、 分散ぶんさん 1 の標準ひょうじゅん形がたに揃そろう。

標準ひょうじゅん正規せいき分布ぶんぷ表ひょうの読よみ方かた

統計とうけい表ひょう (教科書きょうかしょ巻末かんまつ) には $P(0\le Z\le z)$ の値あたいが載のっている。 例れい:

$z$	$P(0\le Z\le z)$
0.5	0.1915
1.0	0.3413
1.5	0.4332
1.96	0.4750
2.0	0.4772
2.58	0.4951

→ $P(-1\le Z\le 1)=2\times 0.3413=0.6826$ ≈ 68 %

例題れいだい 1

身長しんちょうが $N(170,{10}^2)$ (平均へいきん 170 cm、 標準偏差ひょうじゅんへんさ 10 cm) に従したがう集団しゅうだんで、 身長しんちょうが 180 cm 以上いじょうの人ひとの割わり合あいを求もとめよ。

解かい: $X=180$ を標準化ひょうじゅんかすると

$Z=\frac{180-170}{10}=1$

$P(Z\ge 1)=0.5-P(0\le Z\le 1)=0.5-0.3413=0.1587$

→ 約やく 15.9 %。

5. 二に項こう分布ぶんぷと正規せいき分布ぶんぷの関係かんけい

中心ちゅうしん極限きょくげん定理ていり (簡略かんりゃく)

$X\sim B(n,p)$ で $n$ が大おおきいとき、 $X$ の分ぶん布ぷは 正せい規き分ぶん布ぷ $N(np,np(1-p\left)\right)$ で良よく近きん似じできる。

例題れいだい 2

$B(100,0.5)$ (コインこいんを 100 回かい投なげた表ひょうの回数かいすう) で、 表ひょうが 60 回かい以上いじょう出でる確率かくりつを近きん似じせよ。

解かい: $\mu =np=50$、 $\sigma =\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{25}=5$。

$X=60$ を標準ひょうじゅん化かすると $Z=(60-50)/5=2$。

$P(X\ge 60)\approx P(Z\ge 2)=0.5-0.4772=0.0228$

→ 約やく 2.3 %。

大事だいじ: 二に項こう分ぶん布ぷの個こ別べつ確率かくりつを計けい算さんするのは大たい変へん (組合せくみあわせ ${}_n{C}_k$ が出でる) ですが、 正せい規き分ぶん布ぷ近きん似じ で一気いっきにラクになります。 これは第だい 7 章しょうで学まなぶ 統計的推定とうけいてきすいてい の基き盤ばんでもあります。

6. まとめ

概がい念ねん	連れん続ぞく型かた
確率かくりつ	$P(a\le X\le b)=\int abf\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$
期待きたい値ち	$E\left[X\right]=\int xf\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$
分散ぶんさん	$V\left[X\right]=E\left[X^2\right]-\left(E\right[X]{)}^2$
正規せいき分布ぶんぷ	$N(\mu ,{\sigma }^2)$、 $f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp (-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2})$
標準ひょうじゅん化か	$Z=(X-\mu )/\sigma$

7. もう少すこし練習れんしゅう

例題れいだい 3 (両側りょうがわ確率かくりつ)

$X\sim N(50,{10}^2)$ のとき、 $40\le X\le 65$ となる確率かくりつを求もとめよ。

解かい: 標準ひょうじゅん化かで

$Z_1=\frac{40-50}{10}=-1,Z_2=\frac{65-50}{10}=1.5$ $P(40\le X\le 65)=P(-1\le Z\le 1.5)=P(0\le Z\le 1)+P(0\le Z\le 1.5)$ $=0.3413+0.4332=0.7745$

→ 約やく 77 %。

例題れいだい 4 (上位じょうい何なに %)

ある試験しけんの得点とくてんが $N(60,{15}^2)$ に従したがうとき、 上じょう位い 5 % に入はいるには何なん点てん以上いじょう必要ひつようか。

解かい: $P(Z\ge z)=0.05$ となる $z$ は標準ひょうじゅん正規せいき分布ぶんぷ表ひょうから $z=1.645$ (上側うわがわ 5% 点てん)。

$X=\mu +z\sigma =60+1.645\cdot 15=60+24.675\approx 84.7 点 以 上$

→ 約やく 85 点てん 取とれば上じょう位い 5 % に入はいる。

大事だいじ: この 「標準ひょうじゅん化かして表ひょうを引ひく」 流ながれは 統計とうけい学がくの基き本ほん動作どうさ。 受験じゅけんの偏差値へんさち ($T=10Z+50$) も同おなじ発はっ想そうで計けい算さんされています。

次じの章しょう: 第だい 7 章しょうでは 統計的推定とうけいてきすいてい を学まなび、 標本平均ひょうほんへいきん から 母平均ぼへいきん を 信頼区間しんらいくかん で推定すいていする方法ほうほうを身みにつけます。 正せい規き分ぶん布ぷが主役しゅやくになります。