確率かくりつ分布ぶんぷ (連続れんぞく・正規せいき分布ぶんぷ)

この章しょうで学まなぶこと

第だい 5 章しょうの 離り散さん型 に続つづき、 この章しょうでは 連続型確率分布れんぞくがたかくりつぶんぷ を学まなびます。 身長しんちょうや体たい重じゅう のように 「どんな値ねでも取とりえる」 量りょうを 扱あつかう道どう具ぐ です。

• 確率密度関数かくりつみつどかんすう $f\left(x\right)$ の意味いみを知しる
• 連れん続ぞく型かたの期き待たい値・分ぶん散さん (積せき分ぶん で定てい義ぎ)
• 正規分布せいきぶんぷ $N(\mu ,{\sigma }^2)$ の形かたちと性せい質しつ
• 標準正規分布ひょうじゅんせいきぶんぷ $N(0,1)$ と 標準化ひょうじゅんか
• 標準ひょうじゅん正規せいき分布ぶんぷ表ひょうの読よみ方かた
• 二項分布にこうぶんぷ $\to$ 正規分布せいきぶんぷ の近似きんじ

ポイント: 連れん続ぞく型かたでは 「ピンポイントの確率かくりつ $P(X=x)$」 は 0 で、 「$P(a\le X\le b)$」 という 区間くかん の確率かくりつを使つかいます。 この発はっ想そう の切きり替かえが第だい一関いちぜき門もん。

1. 連続れんぞく型がた確率かくりつ変数へんすう

確率かくりつ密度みつど関数かんすう

確率密度関数かくりつみつどかんすう $f\left(x\right)$ とは、 確率かくりつを 面めん積せき で表あらわすときの 高たかさ。 区く間かん $[a,b]$ での確率かくりつは

$P(a\le X\le b)=\int abf\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$

確率かくりつ密度みつど関数かんすうの条件じょうけん

条じょう件けん	意味いみ
① $f\left(x\right)\ge 0$	高たかさは負まけでない
② $\int -\infty \infty f\left(x\right)\hspace{0.17em}dx=1$	全ぜん体たい の面めん積せき は 1

ピンポイントの確率かくりつは 0

$P(X=a)=\int aaf\left(x\right)\hspace{0.17em}dx=0$

→ 連れん続ぞく型かたでは $\le$ と の区く別べつ は結けっ果か に影えい響きょう しない。

連続れんぞく型がたの期待きたい値ち・分散ぶんさん

$E\left[X\right]=\int -\infty \infty xf\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$ $V\left[X\right]=\int -\infty \infty (x-E[X\left]{)}^{2}f\right(x)\hspace{0.17em}dx=E[X^2]-(E\left[X\right]{)}^2$

大事だいじ: 離り散さん型では $\sum$、 連れん続ぞく型かたでは $\int$ と、 足たし算ざん が積せき分ぶん に変かわるだけ。 期き待たい値・分ぶん散さん の概がい念ねん自じ体たい は同おなじ。

2. 一様いちよう分布ぶんぷ (もっとも単純たんじゅんな例れい)

区く間かん $[a,b]$ で一いっ定てい の高たかさを持もつ分ぶん布ぷ を 一様分布いちようぶんぷ $U(a,b)$ と呼よび、 確率かくりつ密度みつどは

区間くかん$[a,b]$ の 外がいでは $f\left(x\right)=0$ であることに注意ちゅういしましょう ($[a,b]$上だけ一いち定値ていちをとる)。

期待きたい値ちと分散ぶんさんは

$E\left[X\right]=\frac{a+b}{2},V\left[X\right]=\frac{(b-a{)}^2}{12}$

3. 正規せいき分布ぶんぷ$N(\mu ,{\sigma }^2)$

確率かくりつ密度みつど関数かんすう

統とう計けい学がくの中心ちゅうしんにある 正規分布せいきぶんぷ (ガウス分布がうすぶんぷ) は、 平均へいきん$\mu$、 分散ぶんさん${\sigma }^2$ を持もち、 確率かくりつ密度みつど関数かんすうは

$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\hspace{0.17em}\sigma }\exp (-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2})$

正規せいき分布ぶんぷの形かたちと性質せいしつ

• 釣鐘型つりがねがた (ベルカーブべるかーぶ) で左さ右ゆう 対たい称しょう
• 中心ちゅうしん$\mu$ で最大さいだい、 $\mu \pm \sigma$ で 変曲点へんきょくてん
• $\sigma$ が小ちいさいほど 細ほそく高たかく、 大おおきいほど 広ひろく低ひくく

「68 - 95 - 99.7」 の法則ほうそく

区間くかん	含ふくまれる確率かくりつ (近似きんじ)
$[\mu -\sigma ,\mu +\sigma ]$	約やく 68 %
$[\mu -2\sigma ,\mu +2\sigma ]$	約やく 95 %
$[\mu -3\sigma ,\mu +3\sigma ]$	約やく 99.7 %

大事だいじ: 「$3\sigma$ を超え・ることは 1000 回かいに約やく 3 回かい以下いか」 → 工こう業ぎょう製品せいひんの 品質管理ひんしつかんり で 「$3\sigma$ ライン」 が標準ひょうじゅん。

4. 標準ひょうじゅん化かと標準ひょうじゅん正規せいき分布ぶんぷ

標準ひょうじゅん化か (z スコア)

任にん意い の正せい規き分ぶん布ぷ を 標準正規分布ひょうじゅんせいきぶんぷ $N(0,1)$ に直なおす操そう作さ を 標準化ひょうじゅんか と呼よぶ。

$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$

すると $E\left[Z\right]=0$、 $V\left[Z\right]=1$ となり、 平均へいきん 0、 分散ぶんさん 1 の標準ひょうじゅん形がたに揃そろう。

標準ひょうじゅん正規せいき分布ぶんぷ表ひょうの読よみ方かた

統計とうけい表ひょう (教科書きょうかしょ巻末かんまつ) には $P(0\le Z\le z)$ の値ねが載のっている。 例れい:

$z$	$P(0\le Z\le z)$
0.5	0.1915
1.0	0.3413
1.5	0.4332
1.96	0.4750
2.0	0.4772
2.58	0.4951

→ $P(-1\le Z\le 1)=2\times 0.3413=0.6826$ ≈ 68 %

例題れいだい 1

身長しんちょうが $N(170,{10}^2)$ (平均へいきん 170 cm、 標準ひょうじゅん偏差へんい 10 cm) に従したがう集団しゅうだんで、 身長しんちょうが 180 cm 以上いじょうの人ひとの割わり合あい を求もとめよ。

解かい: $X=180$ を標準ひょうじゅん化かすると

$Z=\frac{180-170}{10}=1$

$P(Z\ge 1)=0.5-P(0\le Z\le 1)=0.5-0.3413=0.1587$

→ 約やく 15.9 %。

5. 二に項こう分布ぶんぷと正規せいき分布ぶんぷの関係かんけい

中心ちゅうしん極限きょくげん定理ていり (簡略かんりゃく)

$X\sim B(n,p)$ で $n$ が大おおきいとき、 $X$ の分ぶん布ぷ は 正せい規き分ぶん布ぷ $N(np,np(1-p\left)\right)$ で良よく近きん似じ できる。

例題れいだい 2

$B(100,0.5)$ (コインこいん を 100 回かい投なげた表ひょうの回数かいすう) で、 表ひょうが 60 回かい以上いじょう出でる確率かくりつを近きん似じ せよ。

解かい: $\mu =np=50$、 $\sigma =\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{25}=5$。

$X=60$ を標準ひょうじゅん化かすると $Z=(60-50)/5=2$。

$P(X\ge 60)\approx P(Z\ge 2)=0.5-0.4772=0.0228$

→ 約やく 2.3 %。

大事だいじ: 二に項こう分ぶん布ぷ の個こ別べつ確率かくりつを計けい算さん するのは大たい変へん (組合せくみあわせ ${}_n{C}_k$ が出でる) ですが、 正せい規き分ぶん布ぷ近きん似じ で一気いっきにラクになります。 これは第だい 7 章しょうで学まなぶ 統計的推定とうけいてきすいてい の基き盤ばん でもあります。

6. まとめ

概がい念ねん	連れん続ぞく型かた
確率かくりつ	$P(a\le X\le b)=\int abf\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$
期待きたい値ち	$E\left[X\right]=\int xf\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$
分散ぶんさん	$V\left[X\right]=E\left[X^2\right]-\left(E\right[X]{)}^2$
正規せいき分布ぶんぷ	$N(\mu ,{\sigma }^2)$、 $f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp (-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2})$
標準ひょうじゅん化か	$Z=(X-\mu )/\sigma$

7. もう少すこし練習れんしゅう

例題れいだい 3 (両側りょうがわ確率かくりつ)

$X\sim N(50,{10}^2)$ のとき、 $40\le X\le 65$ となる確率かくりつを求もとめよ。

解かい: 標準ひょうじゅん化かで

$Z_1=\frac{40-50}{10}=-1,Z_2=\frac{65-50}{10}=1.5$ $P(40\le X\le 65)=P(-1\le Z\le 1.5)=P(0\le Z\le 1)+P(0\le Z\le 1.5)$ $=0.3413+0.4332=0.7745$

→ 約やく 77 %。

例題れいだい 4 (上位じょうい何なに %)

ある試験しけんの得点とくてんが $N(60,{15}^2)$ に従したがうとき、 上じょう位い 5 % に入はいるには何なん点てん以上いじょう必要ひつようか。

解かい: $P(Z\ge z)=0.05$ となる $z$ は標準ひょうじゅん正規せいき分布ぶんぷ表ひょうから $z=1.645$ (上側うわがわ 5% 点てん)。

$X=\mu +z\sigma =60+1.645\cdot 15=60+24.675\approx 84.7 点以上$

→ 約やく 85 点てん 取とれば上じょう位い 5 % に入はいる。

大事だいじ: この 「標準ひょうじゅん化かして表ひょうを引ひく」 流ながれは 統計とうけい学がくの基き本ほん動作どうさ。 受験じゅけんの偏差へんい値ち ($T=10Z+50$) も同おなじ発はっ想そう で計けい算さん されています。

次じの章しょう: 第だい 7 章しょうでは 統計的推定とうけいてきすいてい を学まなび、 標本平均ひょうほんへいきん から 母平均ぼへいきん を 信頼区間しんらいくかん で 推定すいてい する方法ほうほうを身みにつけます。 正せい規き分ぶん布ぷ が主役しゅやくになります。