確率かくりつ分布ぶんぷ (連続れんぞく・正規せいき分布ぶんぷ)

この 章しょう で 学まなぶ こと

第だい 5 章しょう の 離り散さん型 に 続ぞく き、 こ の 章しょう で は 連続型確率分布れんぞくがたかくりつぶんぷ を 学がく び ま す。 身長しんちょう や 体たい重じゅう の よ う に 「ど ん な 値ね で も 取と り え る」 量りょう を 扱あつかう 道どう具ぐ で す。

• 確率密度関数かくりつみつどかんすう $f\left(x\right)$ の 意味いみ を 知ち る
• 連れん続ぞく型かた の 期き待たい値・分ぶん散さん (積せき分ぶん で 定てい義ぎ)
• 正規分布せいきぶんぷ $N(\mu ,{\sigma }^2)$ の 形かたち と 性せい質しつ
• 標準正規分布ひょうじゅんせいきぶんぷ $N(0,1)$ と 標準化ひょうじゅんか
• 標準ひょうじゅん正規せいき分布ぶんぷ表ひょう の 読 み 方かた
• 二項分布にこうぶんぷ$\to$正規分布せいきぶんぷ の 近似きんじ

ポイント: 連れん続ぞく型かた で は 「ピン ポイ ント の 確率かくりつ $P(X=x)$」 は 0 で、 「$P(a\le X\le b)$」 と いう 区間くかん の 確率かくりつ を 使し い ま す。 こ の 発はっ想そう の 切せつ り 替かわ え が 第だい一関いちぜき門もん。

1. 連続れんぞく型がた確率かくりつ変数へんすう

確率かくりつ密度みつど関数かんすう

確率密度関数かくりつみつどかんすう $f\left(x\right)$ と は、 確率かくりつ を 面めん積せき で 表ひょう す と き の 高だか さ。 区く間かん$[a,b]$ で の 確率かくりつ は

$P(a\le X\le b)=\int abf\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$

確率かくりつ密度みつど関数かんすう の 条件じょうけん

条じょう件けん	意味いみ
① $f\left(x\right)\ge 0$	高こう さ は 負まけ で な い
② $\int -\infty \infty f\left(x\right)\hspace{0.17em}dx=1$	全ぜん体たい の 面めん積せき は 1

ピン ポイント の 確率かくりつ は 0

$P(X=a)=\int aaf\left(x\right)\hspace{0.17em}dx=0$

→ 連れん続ぞく型かた で は $\le$ と の 区く別べつ は 結けっ果か に 影えい響きょう し な い。

連続れんぞく型がた の 期待きたい値ち・分散ぶんさん

$E\left[X\right]=\int -\infty \infty xf\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$ $V\left[X\right]=\int -\infty \infty (x-E[X\left]{)}^{2}f\right(x)\hspace{0.17em}dx=E[X^2]-(E\left[X\right]{)}^2$

大事だいじ: 離り散さん型 で は $\sum$、 連れん続ぞく型かた で は $\int$ と、 足あし し算ざん が 積せき分ぶん に 変へん わ る だ け。 期き待たい値・分ぶん散さん の 概がい念ねん自じ体たい は 同どう じ。

2. 一様いちよう分布ぶんぷ (もっとも 単純たんじゅん な 例れい)

区く間かん$[a,b]$ で 一いっ定てい の 高こう さ を 持じ つ 分ぶん布ぷ を 一様分布いちようぶんぷ $U(a,b)$ と 呼こ び、 確率かくりつ密度みつど は

区間くかん$[a,b]$ の 外がい で は $f\left(x\right)=0$ で あ る こ と に 注意ちゅうい し ま し ょ う ($[a,b]$上 だ け 一定いってい値ち を と る)。

期待きたい値ち と 分散ぶんさん は

$E\left[X\right]=\frac{a+b}{2},V\left[X\right]=\frac{(b-a{)}^2}{12}$

3. 正規せいき分布ぶんぷ$N(\mu ,{\sigma }^2)$

確率かくりつ密度みつど関数かんすう

統とう計けい学がく の 中心ちゅうしん に あ る 正規分布せいきぶんぷ (ガウス分布ガウスぶんぷ) は、 平均へいきん$\mu$、 分散ぶんさん${\sigma }^2$ を 持じ ち、 確率かくりつ密度みつど関数かんすう は

$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\hspace{0.17em}\sigma }\exp (-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2})$

正規せいき分布ぶんぷ の 形かたち と 性質せいしつ

• 釣鐘型つりがねがた (ベルカーブ) で 左さ右ゆう対たい称しょう
• 中心ちゅうしん$\mu$ で 最大さいだい、 $\mu \pm \sigma$ で 変曲点へんきょくてん
• $\sigma$ が 小しょう さい ほど 細ほそ く 高こう く、 大だい きい ほど 広ひろ く 低てい く

「68 - 95 - 99.7」 の 法則ほうそく

区間くかん	含 ま れ る 確率かくりつ (近似きんじ)
$[\mu -\sigma ,\mu +\sigma ]$	約やく 68 %
$[\mu -2\sigma ,\mu +2\sigma ]$	約やく 95 %
$[\mu -3\sigma ,\mu +3\sigma ]$	約やく 99.7 %

大事だいじ: 「$3\sigma$ を 超え・る こ と は 1000 回かい に 約やく 3 回かい以下いか」 → 工こう業ぎょう製品せいひん の 品質管理ひんしつかんり で 「$3\sigma$ ライン」 が 標準ひょうじゅん。

4. 標準ひょうじゅん化か と 標準ひょうじゅん正規せいき分布ぶんぷ

標準ひょうじゅん化か (z スコア)

任にん意い の 正せい規き分ぶん布ぷ を 標準正規分布ひょうじゅんせいきぶんぷ $N(0,1)$ に 直ただし す 操そう作さ を 標準化ひょうじゅんか と 呼こ ぶ。

$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$

す る と $E\left[Z\right]=0$、 $V\left[Z\right]=1$ と な り、 平均へいきん 0、 分散ぶんさん 1 の 標準ひょうじゅん形がた に 揃そろい う。

標準ひょうじゅん正規せいき分布ぶんぷ表ひょう の 読よみ 方かた

統計とうけい表ひょう (教科書きょうかしょ巻末かんまつ) に は $P(0\le Z\le z)$ の 値ね が 載の っ て い る。 例れい:

$z$	$P(0\le Z\le z)$
0.5	0.1915
1.0	0.3413
1.5	0.4332
1.96	0.4750
2.0	0.4772
2.58	0.4951

→ $P(-1\le Z\le 1)=2\times 0.3413=0.6826$ ≈ 68 %

例題れいだい 1

身長しんちょう が $N(170,{10}^2)$ (平均へいきん 170 cm、 標準ひょうじゅん偏差へんさ 10 cm) に 従 う 集団しゅうだん で、 身長しんちょう が 180 cm 以上いじょう の 人ひと の 割わり合あい を 求もとめ め よ。

解かい: $X=180$ を 標準ひょうじゅん化か す る と

$Z=\frac{180-170}{10}=1$

$P(Z\ge 1)=0.5-P(0\le Z\le 1)=0.5-0.3413=0.1587$

→ 約やく 15.9 %。

5. 二に項こう分布ぶんぷ と 正規せいき分布ぶんぷ の 関係かんけい

中心ちゅうしん極限きょくげん定理ていり (簡略かんりゃく)

$X\sim B(n,p)$ で $n$ が 大だい き い と き、 $X$ の 分ぶん布ぷ は 正せい規き分ぶん布ぷ$N(np,np(1-p\left)\right)$ で 良りょう く 近きん似じ で き る。

例題れいだい 2

$B(100,0.5)$ (コイン を 100 回かい投とう げ た 表ひょう の 回数かいすう) で、 表ひょう が 60 回かい以上いじょう出で る 確率かくりつ を 近きん似じ せ よ。

解かい: $\mu =np=50$、 $\sigma =\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{25}=5$。

$X=60$ を 標準ひょうじゅん化か す る と $Z=(60-50)/5=2$。

$P(X\ge 60)\approx P(Z\ge 2)=0.5-0.4772=0.0228$

→ 約やく 2.3 %。

大事だいじ: 二に項こう分ぶん布ぷ の 個こ別べつ確率かくりつ を 計けい算さん す る の は 大たい変へん (組合くみあい せ ${}_n{C}_k$ が 出で る) で す が、 正せい規き分ぶん布ぷ近きん似じ で 一気いっき に ラク に な り ま す。 こ れ は 第だい 7 章しょう で 学がく ぶ 統計的推定とうけいてきすいてい の 基き盤ばん で も あ り ま す。

6. まとめ

概がい念ねん	連れん続ぞく型かた
確率かくりつ	$P(a\le X\le b)=\int abf\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$
期待きたい値ち	$E\left[X\right]=\int xf\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$
分散ぶんさん	$V\left[X\right]=E\left[X^2\right]-\left(E\right[X]{)}^2$
正規せいき分布ぶんぷ	$N(\mu ,{\sigma }^2)$、 $f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp (-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2})$
標準ひょうじゅん化か	$Z=(X-\mu )/\sigma$

7. もう 少しょう し 練習れんしゅう

例題れいだい 3 (両側りょうがわ確率かくりつ)

$X\sim N(50,{10}^2)$ の とき、 $40\le X\le 65$ と な る 確率かくりつ を 求もとめ め よ。

解かい: 標準ひょうじゅん化か で

$Z_1=\frac{40-50}{10}=-1,Z_2=\frac{65-50}{10}=1.5$ $P(40\le X\le 65)=P(-1\le Z\le 1.5)=P(0\le Z\le 1)+P(0\le Z\le 1.5)$ $=0.3413+0.4332=0.7745$

→ 約やく 77 %。

例題れいだい 4 (上位じょうい何なに %)

ある 試験しけん の 得点とくてん が $N(60,{15}^2)$ に 従 う と き、 上じょう位い 5 % に 入いり る に は 何なん点てん以上いじょう必要ひつよう か。

解かい: $P(Z\ge z)=0.05$ と な る $z$ は 標準ひょうじゅん正規せいき分布ぶんぷ表ひょう か ら $z=1.645$ (上側うわがわ 5% 点てん)。

$X=\mu +z\sigma =60+1.645\cdot 15=60+24.675\approx 84.7 点 以 上$

→ 約やく 85 点てん 取と れ ば 上じょう位い 5 % に 入いり る。

大事だいじ: こ の 「標準ひょうじゅん化か し て 表ひょう を 引 く」 流ながれ れ は 統計とうけい学がく の 基き本ほん動作どうさ。 受験じゅけん の 偏差へんさ値ち ($T=10Z+50$) も 同どう じ 発はっ想そう で 計けい算さん さ れ て い ま す。

次じ の 章しょう: 第だい 7 章しょう で は 統計的推定とうけいてきすいてい を 学がく び、 標本平均ひょうほんへいきん か ら 母平均ぼへいきん を 信頼区間しんらいくかん で 推定すいてい す る 方法ほうほう を 身み に つ け ま す。 正せい規き分ぶん布ぷ が 主役しゅやく に な り ま す。