確率かくりつ分布ぶんぷ (連続れんぞく・正規せいき分布ぶんぷ) 一いち問もん一いち答とう

この一問一答で出る問題

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1. 連続型確率変数れんぞくがたかくりつへんすう $X$ の確率かくりつを表あらわすとき、 区く間かん $[a, b]$ の確率かくりつをどの量りょうで表あらわしますか？
   • ・$f(b) - f(a)$ (差)
   • ・$\int_a^b f(x) \, dx$ (確率密度関数かくりつみつどかんすう の 面積せき)
   • ・$\sum_{k=a}^{b} f(k)$ (和)
   • ・$f(a) \cdot f(b)$ (積)
2. 確率密度関数かくりつみつどかんすう $f(x)$ が満みたすべき 2 つの条件じょうけん として正ただしい組み合わせくみあわせはどれですか？
   • ・$f(x) \geq 0$ と $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1$
   • ・$f(x) \leq 1$ と $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 0$
   • ・$f(x) = 1$ と $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx \geq 0$
   • ・$f(x) > 0$ と $\sum f(x) = 1$
3. 連続型確率変数れんぞくがたかくりつへんすう $X$ について、 $P(X = a)$ (ピンポイントの確率かくりつ) の値あたいはいくらですか？
   • ・$f(a)$
   • ・$1$
   • ・$0$
   • ・$\int_{-\infty}^{a} f(x) \, dx$
4. 連続型れんぞくがた確率かくりつ変数へんすう$X$ の 期待値きたいち $E[X]$ はどの式しきで与あたえられますか？
   • ・$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx$
   • ・$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) \, dx$
   • ・$E[X] = \sum_{k} k f(k)$
   • ・$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx$
5. 正規分布せいきぶんぷ $N(\mu, \sigma^2)$ の グラフ の 特とく徴ちょう として正ただしくないものはどれですか？
   • ・釣鐘型つりがねがた で 左右ゆう 対称たいしょう
   • ・中 心 $x = \mu$ で 最 大 値 を と る
   • ・$x = \mu \pm \sigma$ に 変曲点へんきょくてん を 持 つ
   • ・$\sigma$ が 大 き い ほ ど 細 く 高 い グラフ に な る
6. 正規分布せいきぶんぷ $N(\mu, \sigma^2)$ で $[\mu - \sigma, \mu + \sigma]$ に入はいる確率かくりつは約やく何なに % ですか？ (68-95-99.7 の法則ほうそく)
   • ・約 50 %
   • ・約 95 %
   • ・約 99.7 %
   • ・約 68 %
7. 正規分布せいきぶんぷ $N(\mu, \sigma^2)$ に 従 う $X$ を 標準正規分布ひょうじゅんせいきぶんぷ $N(0, 1)$ に 変換へんかん す る 標準化ひょうじゅんか の式しきはどれですか？
   • ・$Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$
   • ・$Z = X - \mu$
   • ・$Z = \dfrac{X}{\sigma}$
   • ・$Z = X \sigma + \mu$
8. 身長しんちょうが $N(170, 10^2)$ に従したがう集団しゅうだんで、 身長しんちょう 180 cm 以上いじょうの人ひとの割わり合あい は約やく何なに % ですか？ (標準ひょうじゅん正規せいき分布ぶんぷ表ひょうで $P(0 \leq Z \leq 1) = 0.3413$)
   • ・約 5 %
   • ・約 34 %
   • ・約 50 %
   • ・約 16 %
9. 標準正規分布ひょうじゅんせいきぶんぷ $N(0, 1)$ の 平均へいきん と 分散ぶんさん はそれぞれいくらですか？
   • ・平 均 0、 分 散 0
   • ・平 均 0、 分 散 1
   • ・平 均 1、 分 散 0
   • ・平 均 1、 分 散 1
10. 二項分布にこうぶんぷ $B(n, p)$ で $n$ が大おおきいとき、 どの正規せいき分布ぶんぷで近きん似じ できますか？
    • ・$N(np, np(1-p))$
    • ・$N(p, np(1-p))$
    • ・$N(np, p(1-p))$
    • ・$N(n, p)$
11. コインを 100 回かい投なげて表ひょうが出でる回数かいすうを $X$ とすると、 $X$ の分布ぶんぷは $B(100, 0.5)$。 このとき $X$ を正規せいき分布ぶんぷで近きん似じ すると、 平均へいきんと標準ひょうじゅん偏差へんいはいくらですか？
    • ・平 均 50、 標 準 偏 差 25
    • ・平 均 100、 標 準 偏 差 5
    • ・平 均 50、 標 準 偏 差 5
    • ・平 均 50、 標 準 偏 差 100
12. $B(100, 0.5)$ で 表ひょう が 60 回かい以上いじょう 出で る 確率かくりつを正規せいき近似きんじで求もとめると約やく何なに % で す か？ ($P(0 \leq Z \leq 2) = 0.4772$)
    • ・約 5 %
    • ・約 16 %
    • ・約 50 %
    • ・約 2.3 %
13. 区く間かん $[a, b]$ で一いっ定てい の確率かくりつ密度みつどを持もつ分布ぶんぷを 一様分布いちようぶんぷ $U(a, b)$ と呼よびます。 確率かくりつ密度みつど関数かんすう$f(x)$ はどの式しきで表あらわされますか？
    • ・$f(x) = a + b$
    • ・$f(x) = \dfrac{1}{b - a}$ ($a \leq x \leq b$)
    • ・$f(x) = b - a$
    • ・$f(x) = \dfrac{1}{a + b}$
14. $X \sim N(50, 10^2)$ の と き、 $P(40 \leq X \leq 65)$ は 約やく何なに % で す か？ ($P(0 \leq Z \leq 1) = 0.3413$、 $P(0 \leq Z \leq 1.5) = 0.4332$)
    • ・約 50 %
    • ・約 95 %
    • ・約 77 %
    • ・約 34 %
15. 偏差値へんさち $T$ は 「平均へいきん 50、 標準ひょうじゅん偏差へんい 10」 になるように 標準化ひょうじゅんか した値あたいです。 元もとの得点とくてん$X$ ($\mu, \sigma$) からどの式しきで計けい算さん されますか？
    • ・$T = 10 \cdot \dfrac{X - \mu}{\sigma} + 50$
    • ・$T = X - \mu + 50$
    • ・$T = \dfrac{X}{10} + 50$
    • ・$T = \sigma X + 50$
16. 連続型確率変数れんぞくがたかくりつへんすう の 分散ぶんさん $V[X]$ を 期待値きたいち を使つかって表あらわした式しきとして正ただしいものはどれですか？
    • ・$V[X] = E[X] - (E[X^2])^2$
    • ・$V[X] = E[X] + E[X^2]$
    • ・$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$
    • ・$V[X] = (E[X])^2 - E[X^2]$
17. ある試験しけんの得点とくてんが $N(60, 15^2)$ に従したがうとき、 上じょう位い 5 % に入はいるには約やく何なん点てん必要ひつようですか？ ($P(Z \geq 1.64) \approx 0.05$)
    • ・約 75 点
    • ・約 85 点
    • ・約 90 点
    • ・約 95 点
18. 工こう業ぎょう製品せいひんの品ひん質しつ管理かんりで使つかう 「$3\sigma$ ライン」 とは、 どのような意味いみですか？
    • ・平 均 か ら $\pm 3\sigma$ の 範 囲。 こ れ を 外 れ る 確率 は 約 0.3 % と 極端たん に 小
    • ・平 均 の 3 倍 以 内 に 入 る 範 囲
    • ・標 準 偏 差 が 3 で あ る こ と
    • ・$\sigma$ が 3 倍 に な っ た こ と
19. 離り散さん型 と 連れん続ぞく型かた の確率かくりつ計算けいさんの違ちがいとして 正ただしい ものはどれですか？
    • ・離散さん 型 で は 期 待 値 が 存在ざい し な い
    • ・離散さん 型 は $\sum$、 連続ぞく 型 は $\int$ で 計算さん す る (本質しつ は 同 じ)
    • ・連続ぞく 型 で は 分 散 が 0 に な る
    • ・連続ぞく 型 で は 全 確率 が 1 で な い
20. 正規分布せいきぶんぷ が統計とうけい学がくの中心ちゅうしんにある 主おもな理由りゆう として最もっとも適てき切せつ なものはどれですか？
    • ・計算さん が 一 番 ラク だ か ら
    • ・確率 が 必 ず 100 % に な る か ら
    • ・多 く の 自然ぜん 現象しょう の 分 布 や 標本平均ひょうほんへいきん の 分 布 が 正 規 分 布 に 近似じ で き る か ら (中心極限定理ちゅうしんきょくげんていり)
    • ・離散さん 型 で あ る か ら