等とう加速度かそくど運動うんどうと落下らっか

この章しょうで学まなぶこと

第だい 2 章しょうは、 高校こうこう物ぶつ理り力学りきがくの出しゅっ発ぱつ点 「等加速度運動とうかそくどうんどうと落下運動らっかうんどう」 です。 ガリレオが約やく 400 年ねん前まえに発はっ見けんした 「重おもい物ものと軽かるい物ものは同おなじ速はやさで落おちる」 という法則ほうそくを、 数すう式しきであつかいます。

• 速度そくど と 加速度かそくど をベクトルべくとるとして定てい義ぎする
• 等速直線運動とうそくちょくせんうんどう と 等加速度直線運動とうかそくどちょくせんうんどう を区く別べつする
• 等加速度運動とうかそくどうんどうの 3 公式こうしき を使つかえるようになる
• v-tグラフぶいてぃーぐらふ から距きょ離りと加速度かそくどを読よみ取とる
• 自由落下じゆうらっか・鉛直投げ上げえんちょくなげあげ・水平投射すいへいとうしゃ の計けい算さんをする
• 落下らっか実験じっけんの安全あんぜんを守まもる

ポイント: この章しょうの主役しゅやくは 加速度かそくど です。 中学ちゅうがくでは 「速さはやさが変かわるか変かわらないか」 だけを区く別べつしましたが、 高校こうこうでは 「速さはやさがどのくらいの割わり合あいで変かわるか」 を数すう値ちで表あらわします。

1. 速度そくどと加速度かそくどの定義ていぎ

速度そくど (ベクトルとしての)

中学ちゅうがくでは 「速さはやさ = 距きょ離り ÷ 時じ間かん」 と学まなびました。 高校こうこうでは 向むき を含ふくめた 速度そくど を使つかいます。

量りょう	記号きごう	定てい義ぎ	単たん位い
速さはやさ (スカラー)	v	進すすんだ距きょ離り ÷ かかった時じ間かん	m/s
速度そくど (ベクトルべくとる)	v	変位へんい ÷ かかった時じ間かん	m/s + 向むき

変位へんい とは、 「始点してんから終点しゅうてんへの矢や印じるし」 のことで、 道みち筋すじの長ながさ (距離きょり) とは区く別べつされます。

例れい: 100m を往復おうふく

100 m を真まっすぐ走はしり、 同おなじ道みちを戻もどると:

量りょう	値あたい
距離きょり	200 m (合計ごうけいの道みち筋すじ)
変位へんい	0 m (始点してん = 終点しゅうてん)
平均へいきんの速さはやさ	200 m ÷ 時じ間かん
平均へいきんの速度そくど	0 m/s (向むき付つきでゼロ)

加速度かそくど

加速度かそくど とは、 「単たん位い時じ間かんあたりの速度そくどの変へん化か」 です。

公こう式しき	単たん位い
加速度かそくど a = (速度そくどの変へん化か) ÷ (時間じかん) = (v − v₀) / t	m/s²

量りょう	例れい	大おおきさ
自じ動どう車しゃが 0 → 60 km/h を 5 秒びょう	(16.7 − 0) / 5	約やく 3.3 m/s²
新幹線しんかんせんの出しゅっ発ぱつ	緩ゆるやか	約やく 0.7 m/s²
重力じゅうりょく (地上ちじょう)	g (一定いってい)	約やく 9.8 m/s²
ジェットコースター急降こう下か	短みじか時じ間かん	約やく 30 m/s²

ポイント: 加速度かそくどが 正せい なら 「速はやくなる」、 負ふ なら 「遅おそくなる」 とは限かぎりません。 加速度かそくどと速度そくどが 同おなじ向むき なら加か速そく、 反はん対たい向むき なら減げん速そくです。

2. 等速直線運動とうそくちょくせんうんどう

等速直線運動とうそくちょくせんうんどう は、 速度そくどが一いっ定てい (大おおきさも向むきも不ふ変へん) の運うん動どうです。 加速度かそくど = 0 の場合ばあいと言いえます。

公式こうしき

公こう式しき	意い味み
x = v t	位い置ち = 速度そくど × 時間じかん

v-t グラフと x-t グラフ

グラフ	形かたち	面積めんせき / 傾きかたむき
v-tグラフぶいてぃーぐらふ	横よこ軸じく時じ間かん、 t 軸じくと平へい行こうな直ちょく線せん	直ちょく線せんと t 軸じくの間まの面積めんせき = 移動距離いどうきょり
x-t グラフ	横よこ軸じく時じ間かん、 右みぎ上あがりの直ちょく線せん	傾きかたむき = 速度そくど

例れい

状じょう況きょう	計けい算さん
5 m/s で 10 秒びょう	x = 5 × 10 = 50 m
20 m/s で 3 秒びょう	x = 20 × 3 = 60 m

3. 等とう加速度かそくど直線ちょくせん運動うんどうの 3 公式こうしき

等加速度直線運動とうかそくどちょくせんうんどう とは、 加速度かそくどが一いっ定てい (向むきも大おおきさも不ふ変へん) で、 直ちょく線せん上じょうを動うごく運うん動どうです。 高校こうこう物ぶつ理り力学りきがくの 最さい重じゅう要ようテーマ です。

3 つの基本きほん公式こうしき

初速度そくど v₀、 加速度かそくど a、 時じ間かん t のあとの速度そくど v、 変位へんい x として:

公こう式しき	何なにを求もとめるか
v = v₀ + a t	時じ間かんから速度そくどを求もとめる
x = v₀ t + (1/2) a t²	時じ間かんから変位へんいを求もとめる
v² − v₀² = 2 a x	時じ間かんなしで速度そくど・変位へんいをつなぐ

公式こうしきの使つかい分わけ

与あたえられた量りょう	使つかう公式こうしき
v₀, a, t を知しっていて v を知しりたい	v = v₀ + at
v₀, a, t を知しっていて x を知しりたい	x = v₀t + ½at²
v₀, a, x を知しっていて v を知しりたい (時じ間かん不明ふめい)	v² − v₀² = 2ax

例れい 1: 等とう加速度かそくどで加速かそくする自動車じどうしゃ

初速度そくど 0、 加速度かそくど 2.0 m/s² で 5.0 s 走はしったとき:

求もとめる量りょう	計けい算さん	答えこたえ
5.0 s 後ごの速度そくど v	0 + 2.0 × 5.0	10 m/s
5.0 s 間まの変位へんい x	0 + (1/2) × 2.0 × 5.0²	25 m
50 m 走はしったときの速度そくど v	√(2 × 2.0 × 50)	約やく 14 m/s

例れい 2: ブレーキで減速げんそく

時じ速そく 36 km/h (= 10 m/s) で走はしる自じ動どう車しゃが一いっ定ていの加速度かそくど −2.5 m/s² で減げん速そくして止とまるまで:

量りょう	計けい算さん	答えこたえ
止とまるまでの時じ間かん	0 = 10 + (−2.5) t → t = 4.0 s	4.0 秒びょう
止とまるまでの距きょ離り	0² − 10² = 2 × (−2.5) × x → x = 20 m	20 m

4. v-t グラフの読よみ解とき方かた

v-t グラフの基本きほん

形かたち	意い味み
t 軸じくと平へい行こう (水すい平へい) な線せん	等速直線運動とうそくちょくせんうんどう (a = 0)
右みぎ上あがりの直ちょく線せん	等とう加か速そく度ど (a > 0)
右みぎ下さがりの直ちょく線せん	等とう減げん速そく (a < 0)
曲きょく線せん	等とう加か速そくでない運うん動どう

v-t グラフの読よみ取とり

読よむ場所ばしょ	表あらわす量りょう
縦たて軸じくの値あたい	その時刻じこくの速度そくど
直ちょく線せんの傾きかたむき	加速度かそくど
直ちょく線せんと t 軸じくの間まの面積めんせき	移動距離いどうきょり

例れい

横よこ軸じく 0 〜 4 s、 縦たて軸じく 0 〜 8 m/s で、 v が直線ちょくせん的てきに 0 から 8 m/s まで上あがるグラフ:

量りょう	求もとめ方かた	答えこたえ
加速度かそくど	傾きかたむき = 8 / 4	2.0 m/s²
4 s 間まの距きょ離り	三角形さんかくけいの面積めんせき = 1/2 × 4 × 8	16 m

ポイント: v-t グラフの 面積めんせき = 距きょ離り は、 等加速度直線運動とうかそくどちょくせんうんどうでも等ひとし速そくでも、 すべての直ちょく線せん運うん動どうで成なり立たちます。 これを知しっていると公こう式しきを忘わすれても図ずから答えこたえが出だせます。

5. 自由じゆう落下らっか

自由じゆう落下らっかとは

自由落下じゆうらっか は、 「初速度そくど 0 で、 重力じゅうりょくだけを受うけて落おちる運うん動どう」 です。 空くう気きの抵てい抗こうは無む視しします。

重力じゅうりょく加速度かそくど

地上ちじょうでの重力じゅうりょく加速度かそくど g は約やく 9.8 m/s² です。 計けい算さんを簡かん単たんにするために g = 10 m/s² として出題しゅつだいされることもあります。

自由じゆう落下らっかの公式こうしき

等加速度直線運動とうかそくどちょくせんうんどうの 3 公式こうしきで v₀ = 0、 a = g とおき換かえるだけです。

公こう式しき	意い味み
v = g t	t 秒びょう後ごの速度そくど
y = (1/2) g t²	t 秒びょう後ごの落下らっか距離きょり
v² = 2 g y	y 落下らっか後ごの速度そくど

例れい

高たかさ 20 m から自じ由ゆう落らっ下か (g = 9.8 m/s²):

量りょう	計けい算さん	答えこたえ
落下らっか時じ間かん	20 = (1/2) × 9.8 × t² → t² = 4.08 → t ≈ 2.0 s	約やく 2.0 秒びょう
着地ちゃくち速度そくど	v = 9.8 × 2.0 ≈ 20 m/s	約やく 20 m/s

ガリレオの発見はっけん

ガリレオ・ガリレイ (1564-1642) は、 ピサの斜はす塔とうから重おもい球きゅうと軽かるい球きゅうを同時どうじに落おとして、 「重おもさによらず同おなじ速はやさで落おちる」 と主しゅ張ちょうしたと伝つたえられています (実じっ際さいは斜しゃ面めん実験じっけん)。

物体ぶったい	真しん空くう中ちゅうの落下らっか	空くう気き中ちゅうの落下らっか
鉄てつ球だま	g で落おちる	ほぼ g (空くう気き抵てい抗こう小しょう)
羽根はね	g で落おちる	g より遅おそい (抵てい抗こう大だい)

大事だいじ: アポロ 15 号ごう (1971) の月面げつめん実験じっけんで、 ハンマーと羽根はねが月つきでは 同時どうじに落おちた ことが映えい像ぞうで確かく認にんされています。 月つきには空くう気きがないからです。

6. 鉛直えんちょく投なげ上あげと水平すいへい投射とうしゃ

鉛直えんちょく投なげ上あげ

鉛直投げ上げえんちょくなげあげ は、 「初速度そくど v₀ で真上まうえに投なげ、 重力じゅうりょくで減げん速そくし、 やがて落おちてくる運うん動どう」 です。 上向うわむきを正せいとして、 a = −g とします。

公こう式しき	意い味み
v = v₀ − g t	t 秒びょう後ごの速度そくど
y = v₀ t − (1/2) g t²	t 秒びょう後ごの高たかさ
v² − v₀² = −2 g y	高たかさ y での速度そくど

例れい

初速度そくど 19.6 m/s で真上まうえに投なげた場合ばあい (g = 9.8 m/s²):

量りょう	計けい算さん	答えこたえ
最さい高こう点てんまでの時じ間かん	0 = 19.6 − 9.8 t → t = 2.0 s	2.0 秒びょう
最さい高こう点てんの高たかさ	y = 19.6 × 2.0 − (1/2) × 9.8 × 2.0²	19.6 m
元もとの高たかさに戻もどる時じ間かん	上のぼりと同おなじだけかかる	4.0 秒びょう

水平すいへい投射とうしゃ

水平投射すいへいとうしゃ は、 「水すい平へいに投なげた物体ぶったいが、 同時どうじに落下らっかする」 運うん動どうです。 水すい平へいと鉛直えんちょくの 2 方ほう向こうに 独どく立りつ に考えかんがえます。

方向ほうこう	公こう式しき
水すい平へい (x)	x = v₀ t (等ひとし速そく直ちょく線せん)
鉛直えんちょく (y)	y = (1/2) g t² (自じ由ゆう落らっ下か)

例れい

高たかさ 20 m から水平すいへいに 10 m/s で投射とうしゃ:

量りょう	計けい算さん	答えこたえ
落らっ下か時じ間かん	20 = (1/2) × 9.8 × t² → t ≈ 2.0 s	約やく 2.0 秒びょう
水すい平へい距きょ離り	10 × 2.0	約やく 20 m

ポイント: 水すい平へい方ほう向こうと鉛直えんちょく方ほう向こうは 独どく立りつ に進すすみます。 水すい平へいに投なげた物ものと、 同おなじ高たかさから落おとした物ものは 同時どうじに着地ちゃくち します。

7. 用語ようごのまとめと入試にゅうしの視点してん

重要じゅうよう用語ようごリスト

用よう語ご	意い味み
速度そくど	ベクトルべくとるとしての速はやさ
速さはやさ	速度そくどの大おおきさ (スカラーすからー)
変位へんい	始点してんから終点しゅうてんへのベクトルべくとる
加速度かそくど	時じ間かんあたりの速度そくど変へん化か
等加速度直線運動とうかそくどちょくせんうんどう	a 一定いっていの直ちょく線せん運うん動どう
自由落下じゆうらっか	初速しょそく 0 で重力じゅうりょくだけを受うける
鉛直投げ上げえんちょくなげあげ	真上まうえに投なげ、 重力じゅうりょくで減げん速そく
水平投射すいへいとうしゃ	水平すいへいに投なげ、 同時どうじに落下らっか
v-tグラフぶいてぃーぐらふ	縦たて軸じく速度そくど、 横よこ軸じく時じ間かん

入試にゅうしでの出題しゅつだい傾向けいこう

• v-tグラフぶいてぃーぐらふの面積めんせき から距きょ離りを読よむ問もん題だいが定てい番ばん
• 自由落下じゆうらっか で g = 9.8 と g = 10 の両方りょうほうの値あたいが出題しゅつだいされる
• 鉛直投げ上げえんちょくなげあげ は 「最さい高こう点てんで v = 0」 がヒント
• 水平投射すいへいとうしゃ は 「x と y を別々べつべつに立たつ式しき」 が鉄てっ則そく

大学だいがく入試にゅうしへの接続せつぞく

物ぶつ理り (発はっ展てん) ではこの章しょうの内ない容ようが 「斜方投射しゃほうとうしゃ」 「相対速度そうたいそくど」 へ拡かく張ちょうされます。 また 「運動量うんどうりょう」 「力積りきせき」 と結むすびつき、 衝しょう突とつの問もん題だいが出でます。 これらは章しょうの終盤しゅうばんや物ぶつ理り (発はっ展てん) 範はん囲いで学まなびますが、 ここで 「ベクトルべくとるで考かんがえる力学りきがく」 の基き礎そをしっかりつくりましょう。

8. ふりかえりと安全あんぜん配慮はいりょ

この章しょうのチェックリスト

• [ ]速度そくどと速さはやさの違ちがいが説せつ明めいできる
• [ ]加速度かそくどの定てい義ぎ (m/s²) が言いえる
• 3 公式こうしき (v = v₀ + at, x = v₀t + ½at², v² − v₀² = 2ax) が使つかえる
• v-tグラフぶいてぃーぐらふの面積めんせき = 移動距離いどうきょり を知しっている
• 自由落下じゆうらっか の 3 公式こうしき (v = gt, y = ½gt², v² = 2gy) が言いえる
• [ ]鉛直投げ上げえんちょくなげあげで最さい高こう点てんの条じょう件けん (v = 0) が言いえる
• [ ]水平投射すいへいとうしゃで水平すいへいと鉛直えんちょくが 独どく立りつ と知しっている
• g = 9.8 m/s² (地上ちじょうの重力じゅうりょく加速度かそくど) を覚おぼえている

この章しょうの安全あんぜん配慮はいりょ ── 落下らっか実験じっけんの安全あんぜん

落下らっか実験じっけんは、 物体ぶったいが床とこや人じんに当あたる危き険けんがあります。

場ば面めん	危き険けん	対たい策さく
自じ由ゆう落らっ下か実験じっけん	落らっ下か物が足あしに当あたる	足元あしもとにマット、 床ゆかの物ものをどける
水平投射すいへいとうしゃ実験じっけん	物体ぶったいが飛とび出だして友人ゆうじんに当あたる	飛ひ行こう経路けいろに人ひとがいないことを確かく認にん
重おもい物ものの落下らっか	床ゆか・机つくえの破は損そん	柔やわらかい物もので受うける、 重量じゅうりょうを抑おさえる
高所こうしょからの落らっ下か	速度そくどが大おおきくなって危き険けん	1 m 以内いないからの落らっ下かにとどめる
ストロボや動画どうが撮さつ影えい	撮さつ影えい機材きざいの転てん倒とう	三さん脚きゃくやクランプで固こ定てい
ピサの斜はす塔とう風ふう実験じっけん	落下らっか物ぶつが階下かいかを直ちょく撃げき	絶ぜっ対たいに高所こうしょから投下とうかしない

力学りきがく実験じっけんの共通きょうつうルール

ルール	くわしく
① 保護メガネほごめがね	跳はね返かえり防ぼう止し
② 進行しんこう方向ほうこうに立たたない	飛とぶ・落おちる物ものの経路けいろから離はなれる
③ 床ゆかの整理せいり	足元あしもとをクリアに
④ 機材きざいの固定こてい	カメラ・ストップウォッチ・センサーを固こ定てい
⑤ データは複数ふくすう回かい	偶然誤差ぐうぜんごさを減へらすため

大事だいじ: 「g = 9.8 m/s²」 と言いうと小ちいさいように思おもえますが、 1 m の高たかさから落おちた物ものは 着地ちゃくち時じに約やく 4.5 m/s = 時じ速そく 16 km です。 自じ転てん車しゃの速そく度どと同おなじで、 当あたればケガします。

次じの章しょう: 第だい 3 章しょうでは 「力りょくと運うん動どうの法則ほうそく」 を学まなびます。 ニュートンの 3 法則ほうそく (慣かん性せい・F=ma・作用反作用さようはんさよう) を数すう式しきとしてあつかい、 摩擦まさつや斜面しゃめんなど入試にゅうし定てい番ばんの場ば面めんへ進すすみましょう。