等とう加速度かそくど運動うんどう と 落下らっか

この章しょうで学まなぶこと

第だい 2 章しょうは、 高校こうこう物ぶつ理り 力学りきがく の出しゅっ発ぱつ点 「等加速度運動とうかそくどうんどう と 落下運動らっかうんどう」 です。 ガリレオが約やく 400 年ねん前まえに発はっ見けん した 「重おもい物ものと軽かるい物ものは同おなじ速はやさで落おちる」 という 法則ほうそく を、 数すう式しき であつかいます。

• 速度そくど と 加速度かそくど を ベクトルべくとる として定てい義ぎ する
• 等速直線運動とうそくちょくせんうんどう と 等加速度直線運動とうかそくどちょくせんうんどう を区く別べつ する
• 等加速度運動とうかそくどうんどう の 3 公式こうしき を使つかえるようになる
• v-tグラフぶいてぃーぐらふ から距きょ離り と 加速度かそくど を読よみ取とる
• 自由落下じゆうらっか・鉛直投げ上げえんちょくなげあげ・水平投射すいへいとうしゃ の計けい算さん をする
• 落下らっか 実験じっけん の安全あんぜんを守まもる

ポイント: この章しょうの主役しゅやくは 加速度かそくど です。 中学ちゅうがくでは 「速さはやさ が変かわるか変かわらないか」 だけを区く別べつ しましたが、 高校こうこうでは 「速さはやさ がどのくらいの割わり合あい で変かわるか」 を数すう値ち で表あらわします。

1. 速度そくどと加速度かそくどの定義ていぎ

速度そくど (ベクトルとしての)

中学ちゅうがくでは 「速さはやさ = 距きょ離り ÷ 時じ間かん」 と学まなびました。 高校こうこうでは 向むき を含ふくめた 速度そくど を使つかいます。

量りょう	記号きごう	定てい義ぎ	単たん位い
速さはやさ (スカラー)	v	進すすんだ距きょ離り ÷ かかった時じ間かん	m/s
速度そくど (ベクトルべくとる)	v	変位へんい ÷ かかった時じ間かん	m/s + 向むき

変位へんい とは、 「始点してんから終点しゅうてんへの矢や印じるし」 のことで、 道みち筋すじ の長ながさ (距離きょり) とは区く別べつ されます。

例れい: 100m を往復おうふく

100 m を真まっすぐ走はしり、 同おなじ道みちを戻もどると:

量りょう	値ね
距離きょり	200 m (合計ごうけいの道みち筋すじ)
変位へんい	0 m (始点してん = 終点しゅうてん)
平へい均きん の 速さはやさ	200 m ÷ 時じ間かん
平へい均きん の 速度そくど	0 m/s (向むき付つきでゼロ)

加速度かそくど

加速度かそくど とは、 「単たん位い時じ間かん あたりの 速度そくど の変へん化か」 です。

公こう式しき	単たん位い
加速度かそくど a = (速度そくど の変へん化か) ÷ (時間じかん) = (v − v₀) / t	m/s²

量りょう	例れい	大おおきさ
自じ動どう車しゃ が 0 → 60 km/h を 5 秒びょう	(16.7 − 0) / 5	約やく 3.3 m/s²
新幹線しんかんせん の出しゅっ発ぱつ	緩ゆるやか	約やく 0.7 m/s²
重力じゅうりょく (地上ちじょう)	g (一定いってい)	約やく 9.8 m/s²
ジェットコースター急降こう下か	短みじか時じ間かん	約やく 30 m/s²

ポイント: 加速度かそくど が 正せい なら 「速はやくなる」、 負ふ なら 「遅おそくなる」 とは限かぎりません。 加速度かそくど と 速度そくど が 同おなじ向むき なら加か速そく、 反はん対たい向むき なら減げん速そく です。

2. 等ひとし速そく直線ちょくせん運動うんどう

等速直線運動とうそくちょくせんうんどう は、 速度そくど が一いっ定てい (大おおきさも向むきも不ふ変へん) の運うん動どう です。 加速度かそくど = 0 の場合ばあい と言いえます。

公式こうしき

公こう式しき	意い味み
x = v t	位い置ち = 速度そくど × 時間じかん

v-t グラフと x-t グラフ

グラフ	形かたち	面めん積せき / 傾きかたむき
v-tグラフぶいてぃーぐらふ	横よこ軸じく時じ間かん、 t 軸じくと平へい行こう な直ちょく線せん	直ちょく線せん と t 軸じくの間まの面めん積せき = 移動距離いどうきょり
x-t グラフ	横よこ軸じく時じ間かん、 右みぎ上あがりの直ちょく線せん	傾きかたむき = 速度そくど

例れい

状じょう況きょう	計けい算さん
5 m/s で 10 秒びょう	x = 5 × 10 = 50 m
20 m/s で 3 秒びょう	x = 20 × 3 = 60 m

3. 等とう加速度かそくど直線ちょくせん運動うんどうの 3 公式こうしき

等加速度直線運動とうかそくどちょくせんうんどう とは、 加速度かそくど が一いっ定てい (向むきも大おおきさも不ふ変へん) で、 直ちょく線せん上じょうを動うごく運うん動どう です。 高校こうこう物ぶつ理り 力学りきがく の 最さい重じゅう要よう テーマ です。

3 つの基本きほん公式こうしき

初速度そくど v₀、 加速度かそくど a、 時じ間かん t のあとの 速度そくど v、 変位へんい x として:

公こう式しき	何なにを求もとめるか
v = v₀ + a t	時じ間かん から 速度そくど を求もとめる
x = v₀ t + (1/2) a t²	時じ間かん から 変位へんい を求もとめる
v² − v₀² = 2 a x	時じ間かん なしで 速度そくど・変位へんい をつなぐ

公式こうしきの使つかい分わけ

与あたえられた量りょう	使つかう公式こうしき
v₀, a, t を知しっていて v を知しりたい	v = v₀ + at
v₀, a, t を知しっていて x を知しりたい	x = v₀t + ½at²
v₀, a, x を知しっていて v を知しりたい (時じ間かん不明ふめい)	v² − v₀² = 2ax

例れい 1: 等とう加速度かそくどで加速かそくする自動車じどうしゃ

初速度そくど 0、 加速度かそくど 2.0 m/s² で 5.0 s 走はしったとき:

求もとめる量りょう	計けい算さん	答えこたえ
5.0 s 後ごの 速度そくど v	0 + 2.0 × 5.0	10 m/s
5.0 s 間まの 変位へんい x	0 + (1/2) × 2.0 × 5.0²	25 m
50 m 走はしったときの 速度そくど v	√(2 × 2.0 × 50)	約やく 14 m/s

例れい 2: ブレーキで減速げんそく

時じ速そく 36 km/h (= 10 m/s) で走はしる自じ動どう車しゃ が一いっ定てい の 加速度かそくど −2.5 m/s² で減げん速そく して止とまるまで:

量りょう	計けい算さん	答えこたえ
止とまるまでの時じ間かん	0 = 10 + (−2.5) t → t = 4.0 s	4.0 秒びょう
止とまるまでの距きょ離り	0² − 10² = 2 × (−2.5) × x → x = 20 m	20 m

4. v-t グラフの読よみ解とき方かた

v-t グラフの基本きほん

形かたち	意い味み
t 軸じくと平へい行こう (水すい平へい) な線せん	等速直線運動とうそくちょくせんうんどう (a = 0)
右みぎ上あがりの直ちょく線せん	等とう加か速そく度ど (a > 0)
右みぎ下さがりの直ちょく線せん	等とう減げん速そく (a < 0)
曲きょく線せん	等とう加か速そく でない運うん動どう

v-t グラフの読よみ取とり

読よむ場所ばしょ	表あらわす量りょう
縦たて軸じくの値ね	その時刻じこくの 速度そくど
直ちょく線せん の傾きかたむき	加速度かそくど
直ちょく線せん と t 軸じくの間まの面めん積せき	移動距離いどうきょり

例れい

横よこ軸じく 0 〜 4 s、 縦たて軸じく 0 〜 8 m/s で、 v が直線ちょくせん的てきに 0 から 8 m/s まで上あがるグラフ:

量りょう	求もとめ方かた	答えこたえ
加速度かそくど	傾きかたむき = 8 / 4	2.0 m/s²
4 s 間まの距きょ離り	三角形さんかくけいの面めん積せき = 1/2 × 4 × 8	16 m

ポイント: v-t グラフの 面めん積せき = 距きょ離り は、 等加速度直線運動とうかそくどちょくせんうんどう でも等ひとし速そく でも、 すべての直ちょく線せん運うん動どう で成なり立たちます。 これを知しっていると公こう式しき を忘わすれても図ずから答えこたえが出だせます。

5. 自由じゆう落下らっか

自由じゆう落下らっかとは

自由落下じゆうらっか は、 「初速度そくど 0 で、 重力じゅうりょくだけを受うけて落おちる運うん動どう」 です。 空くう気き の抵てい抗こう は無む視し します。

重力じゅうりょく加速度かそくど

地上ちじょうでの重力じゅうりょく加速度かそくど g は約やく 9.8 m/s² です。 計けい算さん を簡かん単たん にするために g = 10 m/s² として出題しゅつだいされることもあります。

自由じゆう落下らっかの公式こうしき

等加速度直線運動とうかそくどちょくせんうんどう の 3 公式こうしきで v₀ = 0、 a = g とおき換かえるだけです。

公こう式しき	意い味み
v = g t	t 秒びょう後ごの 速度そくど
y = (1/2) g t²	t 秒びょう後ごの落下らっか距離きょり
v² = 2 g y	y 落下らっか後ごの 速度そくど

例れい

高たかさ 20 m から自じ由ゆう落らっ下か (g = 9.8 m/s²):

量りょう	計けい算さん	答えこたえ
落下らっか時じ間かん	20 = (1/2) × 9.8 × t² → t² = 4.08 → t ≈ 2.0 s	約やく 2.0 秒びょう
着地ちゃくち速度そくど	v = 9.8 × 2.0 ≈ 20 m/s	約やく 20 m/s

ガリレオの発見はっけん

ガリレオ・ガリレイ (1564-1642) は、 ピサの斜はす塔とう から重おもい球たまと軽かるい球たまを同時どうじに落おとして、 「重おもさによらず同おなじ速はやさで落おちる」 と主しゅ張ちょう したと伝つたえられています (実じっ際さい は斜しゃ面めん 実験じっけん)。

物体ぶったい	真しん空くう中ちゅうの落下らっか	空くう気き中ちゅうの落下らっか
鉄てつ球だま	g で落おちる	ほぼ g (空くう気き抵てい抗こう小しょう)
羽根はね	g で落おちる	g より遅おそい (抵てい抗こう大だい)

大事だいじ: アポロ 15 号ごう (1971) の月面げつめん実験じっけん で、 ハンマーと 羽根はね が月つきでは 同時どうじに落おちた ことが映えい像ぞう で確かく認にん されています。 月つきには空くう気き がないからです。

6. 鉛直えんちょく投なげ上あげと水平すいへい投射とうしゃ

鉛直えんちょく投なげ上あげ

鉛直投げ上げえんちょくなげあげ は、 「初速度そくど v₀ で真上まうえに投なげ、 重力じゅうりょくで減げん速そく し、 やがて落おちてくる運うん動どう」 です。 上向うわむきを正せいとして、 a = −g とします。

公こう式しき	意い味み
v = v₀ − g t	t 秒びょう後ごの 速度そくど
y = v₀ t − (1/2) g t²	t 秒びょう後ごの高たかさ
v² − v₀² = −2 g y	高たかさ y での 速度そくど

例れい

初速度そくど 19.6 m/s で真上まうえに投なげた場合ばあい (g = 9.8 m/s²):

量りょう	計けい算さん	答えこたえ
最さい高こう点てんまでの時じ間かん	0 = 19.6 − 9.8 t → t = 2.0 s	2.0 秒びょう
最さい高こう点てんの高たかさ	y = 19.6 × 2.0 − (1/2) × 9.8 × 2.0²	19.6 m
元もとの高たかさに戻もどる時じ間かん	上のぼりと同おなじだけかかる	4.0 秒びょう

水平すいへい投射とうしゃ

水平投射すいへいとうしゃ は、 「水すい平へい に投なげた物体ぶったいが、 同時どうじに落下らっかする」 運うん動どう です。 水すい平へい と 鉛直えんちょく の 2 方ほう向こう に 独どく立りつ に考えかんがえます。

方向ほうこう	公こう式しき
水すい平へい (x)	x = v₀ t (等ひとし速そく直ちょく線せん)
鉛直えんちょく (y)	y = (1/2) g t² (自じ由ゆう落らっ下か)

例れい

高たかさ 20 m から水平すいへいに 10 m/s で投射とうしゃ:

量りょう	計けい算さん	答えこたえ
落らっ下か時じ間かん	20 = (1/2) × 9.8 × t² → t ≈ 2.0 s	約やく 2.0 秒びょう
水すい平へい距きょ離り	10 × 2.0	約やく 20 m

ポイント: 水すい平へい方ほう向こう と 鉛直えんちょく方ほう向こう は 独どく立りつ に進すすみます。 水すい平へい に投なげた物ものと、 同おなじ高たかさから落おとした物ものは 同時どうじに着地ちゃくち します。

7. 用語ようごのまとめと入試にゅうしの視点してん

重要じゅうよう用語ようごリスト

用よう語ご	意い味み
速度そくど	ベクトルべくとる としての速はやさ
速さはやさ	速度そくどの大おおきさ (スカラーすからー)
変位へんい	始点してんから終点しゅうてんへの ベクトルべくとる
加速度かそくど	時じ間かん あたりの 速度そくど変へん化か
等加速度直線運動とうかそくどちょくせんうんどう	a 一定いっていの直ちょく線せん運うん動どう
自由落下じゆうらっか	初速しょそく 0 で重力じゅうりょくだけを受うける
鉛直投げ上げえんちょくなげあげ	真上まうえに投なげ、 重力じゅうりょくで減げん速そく
水平投射すいへいとうしゃ	水平すいへいに投なげ、 同時どうじに落下らっか
v-tグラフぶいてぃーぐらふ	縦たて軸じく速度そくど、 横よこ軸じく時じ間かん

入試にゅうしでの出題しゅつだい傾向けいこう

• v-tグラフぶいてぃーぐらふ の面めん積せき から距きょ離り を読よむ問もん題だい が定てい番ばん
• 自由落下じゆうらっか で g = 9.8 と g = 10 の両方りょうほうの値ねが出題しゅつだいされる
• 鉛直投げ上げえんちょくなげあげ は 「最さい高こう点てんで v = 0」 がヒント
• 水平投射すいへいとうしゃ は 「x と y を別々べつべつに立たつ式しき」 が鉄てっ則そく

大学だいがく入試にゅうしへの接続せつぞく

物ぶつ理り (発はっ展てん) ではこの章しょうの内ない容よう が 「斜方投射しゃほうとうしゃ」 「相対速度そうたいそくど」 へ拡かく張ちょう されます。 また 「運動量うんどうりょう」 「力積りきせき」 と結むすびつき、 衝しょう突とつ の問もん題だい が出でます。 これらは章しょうの終盤しゅうばんや物ぶつ理り (発はっ展てん) 範はん囲い で学まなびますが、 ここで 「ベクトルべくとる で考かんがえる力学りきがく」 の基き礎そ をしっかりつくりましょう。

8. ふりかえりと安全あんぜん配慮はいりょ

この章しょうのチェックリスト

• [ ]速度そくど と 速さはやさ の違ちがいが説せつ明めい できる
• [ ]加速度かそくど の定てい義ぎ (m/s²) が言いえる
• 3 公式こうしき (v = v₀ + at, x = v₀t + ½at², v² − v₀² = 2ax) が使つかえる
• v-tグラフぶいてぃーぐらふ の面めん積せき = 移動距離いどうきょり を知しっている
• 自由落下じゆうらっか の 3 公式こうしき (v = gt, y = ½gt², v² = 2gy) が言いえる
• [ ]鉛直投げ上げえんちょくなげあげ で最さい高こう点てんの条じょう件けん (v = 0) が言いえる
• [ ]水平投射すいへいとうしゃ で水平すいへいと 鉛直えんちょく が 独どく立りつ と知しっている
• g = 9.8 m/s² (地上ちじょうの重力じゅうりょく加速度かそくど) を覚おぼえている

この章しょうの安全あんぜん配慮はいりょ ── 落下らっか実験じっけんの安全あんぜん

落下らっか 実験じっけん は、 物体ぶったいが床とこや人じんに当あたる危き険けん があります。

場ば面めん	危き険けん	対たい策さく
自じ由ゆう落らっ下か 実験じっけん	落らっ下か物が足あしに当あたる	足元あしもとにマット、 床ゆかの物ものをどける
水平投射すいへいとうしゃ 実験じっけん	物体ぶったいが飛とび出だして友人ゆうじんに当あたる	飛ひ行こう 経路けいろ に人ひとがいないことを確かく認にん
重おもい物ものの落下らっか	床ゆか・机つくえの破は損そん	柔やわらかい物もので受うける、 重量じゅうりょうを抑おさえる
高所こうしょからの落らっ下か	速度そくどが大おおきくなって危き険けん	1 m 以内いないからの落らっ下か にとどめる
ストロボや動画どうが撮さつ影えい	撮さつ影えい機材きざいの転てん倒とう	三さん脚きゃく やクランプで固こ定てい
ピサの斜はす塔とう風ふう実験じっけん	落下らっか物ぶつが階下かいかを直ちょく撃げき	絶ぜっ対たい に高所こうしょから投下とうかしない

力学りきがく実験じっけんの共通きょうつうルール

ルール	くわしく
① 保護メガネほごめがね	跳はね返かえり防ぼう止し
② 進行しんこう方向ほうこうに立たたない	飛とぶ・落おちる物ものの 経路けいろ から離はなれる
③ 床ゆかの整理せいり	足元あしもとをクリアに
④ 機材きざいの固定こてい	カメラ・ストップウォッチ・センサーを固こ定てい
⑤ データは複数ふくすう回かい	偶然誤差ぐうぜんごさ を減へらすため

大事だいじ: 「g = 9.8 m/s²」 と言いうと小ちいさいように思おもえますが、 1 m の高たかさから落おちた物ものは 着地ちゃくち時じに約やく 4.5 m/s = 時じ速そく 16 km です。 自じ転てん車しゃ の速そく度ど と同おなじで、 当あたればケガします。

次じの章しょう: 第だい 3 章しょうでは 「力りょくと運うん動どう の 法則ほうそく」 を学まなびます。 ニュートンの 3 法則ほうそく (慣かん性せい・F=ma・作用反作用さようはんさよう) を数すう式しき としてあつかい、 摩擦まさつ や 斜面しゃめん など入試にゅうし定てい番ばん の場ば面めん へ進すすみましょう。