仕事しごと と エネルギー

この章しょうで学まなぶこと

第だい 4 章しょうは、 力ちからを 「エネルギーえねるぎー」 という別べつの視し点てん であつかう章しょうです。 第だい 3 章しょうの F = ma は 「瞬しゅん間かん」 の関かん係けい でしたが、 エネルギーえねるぎー 保存則ほぞんそく は 「最初さいしょと最後さいご」 だけをつなぐ 強力きょうりょくな武ぶ器き です。

• 仕事しごと の定てい義ぎ W = F d cos θ を理り解かい する
• 仕事率しごとりつ P (= 1 秒びょう あたりの 仕事しごと) を計けい算さん する
• 運動エネルギーうんどうえねるぎー K = (1/2) m v² を立たつ式しきする
• 位置エネルギーいちえねるぎー (重力じゅうりょく mgh、 弾性だんせい (1/2) k x²) を区く別べつ する
• 力学的エネルギー保存則りきがくてきえねるぎーほぞんそく で問もん題だい を解とく
• 摩擦まさつ など 非保存力ひほぞんりょく がある場合ばあいをあつかう
• 重量じゅうりょう物ぶつを扱あつかう 実験じっけん の安全あんぜんを守まもる

ポイント: エネルギーえねるぎー の強つよさは、 「途と中ちゅう の過か程てい を知しらなくても、 始点してんと終点しゅうてんだけで答えこたえが出でる」 ことです。 ジェットコースター・ボールの跳はね返かえり・振り子ふりこ など、 一見いっけん複ふく雑ざつ な運うん動どう も一瞬いっしゅんで解とけます。

1. 仕事しごとの定義ていぎ

仕事しごととは

物理ぶつりでの 仕事しごと とは、 「力りょく が その向むきに動うごかした距きょ離り」 です。 単たん位い は J (ジュール) = N・m。

公こう式しき	意い味み
W = F d	力ちからと移い動どう が同おなじ向むき
W = F d cos θ	力ちからと移い動どう の角かく度ど が θ

cos θ の意味いみ

力ちから F と移い動どう方ほう向こう のなす角かく度ど が θ のとき、 移い動どう方ほう向こう への力ちからの成せい分ぶん は F cos θ です。 仕事しごと は 「移い動どう方ほう向こう成分せいぶん × 距きょ離り」 とも言いえます。

角度かくど別べつの仕事しごと

θ	cos θ	W	意い味み
0°	1	F d	同おなじ向むき、 最大さいだいの 仕事しごと
60°	1/2	F d / 2	半分はんぶんの 仕事しごと
90°	0	0	垂すい直ちょく なら 仕事しごと ゼロ
180°	−1	−F d	反はん対たい向むき、 負まけ の 仕事しごと

注意ちゅういポイント

場ば面めん	仕事しごと
重おもい荷物にもつを持もって 水平すいへいに歩あるく	0 J (重力じゅうりょくは鉛直えんちょく、 移い動どう は水平すいへい)
重おもい荷物にもつを 持もち上あげる	mg h (重力じゅうりょくに逆さからう)
重おもい荷物にもつを 持もって静止せいし	0 J (動うごいていない)
動うごいている物体ぶったいに 垂すい直ちょく な力りょく	0 J (例れい: 円えん運うん動どう の 向心力こうしんりょく)

大事だいじ: 日常にちじょう的てきな 「努力どりょく」 と物理ぶつりの 「仕事しごと」 は違ちがいます。 重おもい物ものを持もって立たち続つづけても、 物理ぶつりでは W = 0 です (動うごいていないから)。

2. 仕事しごと率りつ (パワー)

仕事しごと率りつとは

仕事率しごとりつ P は 「1 秒びょう あたりの 仕事しごと」 で、 単たん位い は W (ワット)。

公こう式しき	意い味み
P = W / t	仕事しごと ÷ 時じ間かん
P = F v	力ちから × 速度そくど (一定いっていの力ちからで等ひとし速そくに動うごかしているとき)

単位たんいの関係かんけい

単たん位い	換算かんさん
1 W	1 J / s
1 kW	10³ W
1 馬力ばりき (HP)	約やく 746 W

例れい

場ば面めん	計けい算さん	仕事しごと率りつ
50 kg の人ひとが 5 m の階段かいだんを 10 秒びょう で上あがる	(50 × 9.8 × 5) / 10	約やく 245 W
自じ動どう車しゃ のエンジン (100 kW)	公称こうしょう値ち	100 kW = 100 000 W
LED 電でん球きゅう	カタログ値ち	約やく 7 W
エアコン (家庭かてい用よう)	カタログ値ち	約やく 600 W

ポイント: 仕事しごと (J) は 「どれだけ動うごいたか」、 仕事率しごとりつ (W) は 「どれだけ速はやくやったか」 を表あらわします。 階段かいだんを走はしって上あがる人ひととゆっくり上あがる人ひとで、 仕事しごと は同おなじでも 仕事率しごとりつ は違ちがいます。

3. 運動うんどうエネルギー

運動うんどうエネルギーの定義ていぎ

動うごいている物体ぶったいがもつ エネルギーえねるぎー を 運動エネルギーうんどうえねるぎー K と言いいます。

公こう式しき	単たん位い
K = (1/2) m v²	J (ジュール)

例れい

物体ぶったい	質しつ量りょう m	速度そくど v	K
ボール	0.2 kg	10 m/s	10 J
自じ転てん車しゃ	100 kg (人込ひとごみ)	5 m/s	1250 J
自じ動どう車しゃ	1500 kg	20 m/s	300 000 J = 300 kJ
ライフル弾だん	0.01 kg	800 m/s	3200 J

運動うんどうエネルギーと仕事しごとの関係かんけい

物体ぶったいに加くわえた 合力ごうりょく の 仕事しごと は、 運動エネルギーうんどうえねるぎー の変へん化か に等ひとしい (エネルギーえねるぎー と 仕事しごと の関かん係けい)。

公こう式しき	意い味み
W = ΔK = (1/2) m v² − (1/2) m v₀²	合力ごうりょく の 仕事しごと = 運動エネルギーうんどうえねるぎー変へん化か

例れい

質しつ量りょう 2 kg の物体ぶったいに力ちからを加くわえて 0 → 6 m/s に加速かそくした:

量りょう	計けい算さん	答えこたえ
ΔK	(1/2) × 2 × 6² − 0	36 J
加くわえた 仕事しごと	= 36 J	36 J

4. 位置いちエネルギー

重力じゅうりょくによる位置いちエネルギー

地面じめんを基き準じゅん として、 高たかさ h にある質しつ量りょう m の物体ぶったいがもつ 位置エネルギーいちえねるぎー U:

公こう式しき	単たん位い
U = m g h	J

弾性だんせい力りょくによる位置いちエネルギー

ばね定数ばねていすう k のバネを自し然ぜん長ながから x だけ伸のばした (or 縮ちぢめた) ときの 弾性エネルギーだんせいえねるぎー:

公こう式しき	単たん位い
U = (1/2) k x²	J

例れい

物体ぶったい	U の計けい算さん	答えこたえ
1 kg を 10 m の高たかさ (g = 9.8)	1 × 9.8 × 10	98 J
バネ k = 100 N/m を 0.2 m 伸のばす	(1/2) × 100 × 0.2²	2 J
1 t (1000 kg) の車くるまを 5 m	1000 × 9.8 × 5	49 000 J = 49 kJ

基準きじゅん点てんの取とり方

位置エネルギーいちえねるぎー は 基き準じゅん点てんからの高たかさ で決きまります。 地面じめんでも、 机つくえの上うえでも、 基き準じゅん を自じ由ゆう に選えらべます。 大事だいじなのは 「最初さいしょと最後さいごで同おなじ基き準じゅん」 で計けい算さん することです。

5. 力学りきがく的てきエネルギー保存ほぞん則そく

保存ほぞん則そくの主張しゅちょう

摩擦まさつ や空くう気き抵てい抗こう が 無む視し できる とき、 運動エネルギーうんどうえねるぎー K と 位置エネルギーいちえねるぎー U の和わ (力学的エネルギーりきがくてきえねるぎー) は 常つねに一定いってい に保たもたれます。

公こう式しき	意い味み
K + U = 一定いってい	力学的エネルギー保存則りきがくてきえねるぎーほぞんそく
(1/2) m v₁² + m g h₁ = (1/2) m v₂² + m g h₂	状じょう態たい 1 と状じょう態たい 2

保存ほぞん則そくの強つよみ

F = ma で解とく	エネルギーえねるぎー保ほ存ぞん で解とく
途と中ちゅう の力ちからを全部ぜんぶ知しる必ひつ要よう	始点してんと終点しゅうてんだけわかれば OK
計けい算さん が複ふく雑ざつ	計けい算さん がシンプル
時じ間かん経けい過か が必ひつ要よう な問もん題だい向むき	速度そくど と高たかさだけの問もん題だい向むき

例れい 1: 自由じゆう落下らっか

高たかさ 20 m から落下らっかする時ときの着地ちゃくち速度そくど (g = 9.8):

立たつ式しき	計けい算さん
m g h = (1/2) m v²	g h = (1/2) v²
v = √(2 g h) = √(2 × 9.8 × 20)	v ≈ 19.8 m/s

例れい 2: 振り子ふりこ

長ながさ L の糸いとでつるした 振り子ふりこ を高たかさ h まで引ひき上あげ、 静しずかに離はなすと、 最下さいか点てんでの 速度そくど は:

立たつ式しき	結けっ果か
m g h = (1/2) m v²	v = √(2 g h)

自由落下じゆうらっか と同おなじ式しきが出でます。 振り子ふりこ が描えがく 経路けいろ は関かん係けい なく、 高たかさだけで決きまります。

例れい 3: 斜面しゃめんを滑すべる (摩擦まさつなし)

高たかさ h の斜しゃ面めん から滑すべり落おちたとき、 斜しゃ面めん の角かく度ど や形かたちに関かん係けい なく、 最下さいか点てんの速度そくどは v = √(2 g h) です。

大事だいじ: 力学的エネルギー保存則りきがくてきえねるぎーほぞんそく は 「経路けいろ に関かん係けい ない」 という美うつくしい性せい質しつ を持もちます。 ジェットコースターが同おなじ高たかさまで上あがらないのは、 摩擦まさつ と空くう気き抵てい抗こう のせいです。

6. 摩擦まさつがある場合ばあい

非ひ保存ほぞん力りょくとは

摩擦力まさつりょく や空くう気き抵てい抗こう のように、 力学的エネルギーりきがくてきえねるぎー を 「熱ねつ」 や 「音おん」 に変かえてしまう力ちからを 非保存力ひほぞんりょく と言いいます。

力ちからの種類しゅるい	例れい	性せい質しつ
保存力ほぞんりょく	重力じゅうりょく・弾性力だんせいりょく	位置エネルギーいちえねるぎー が定てい義ぎ できる
非保存力ひほぞんりょく	摩擦まさつ・空くう気き抵てい抗こう	エネルギーえねるぎー を熱ねつ等とうに変換へんかん

エネルギー収支しゅうし

摩擦まさつ がある場合ばあい、 失うしなわれた 力学的エネルギーりきがくてきえねるぎー は 熱ねつ になっています。

公こう式しき	意い味み
(始点してんの K + U) − (終点しゅうてんの K + U) = 摩擦まさつの仕事しごと	失うしなわれた量りょう = 熱ねつ
摩擦まさつの仕事しごと = μ N d	μ (動摩擦係数どうまさつけいすう) × 垂直抗力すいちょくこうりょく × 距きょ離り

例れい

質しつ量りょう 2 kg の物体ぶったいが摩擦まさつのある水平面すいへいめん (μ = 0.3) を 5 m/s で滑すべり出だして止とまるまでの距きょ離り (g = 10):

立たつ式しき	計けい算さん
(1/2) m v² = μ m g d	(1/2) × 2 × 5² = 0.3 × 2 × 10 × d
d = 25 / 6	約やく 4.2 m

7. エネルギーの多様たような形かたちと保存ほぞん

エネルギーの種類しゅるい

種しゅ類るい	例れい
力学的エネルギーりきがくてきえねるぎー	動うごく物もの・高たかい場所ばしょの物もの
熱エネルギーねつえねるぎー	お湯ゆ・温あたたかい物体ぶったい
電気エネルギーでんきえねるぎー	電池でんち・コンセント
化学エネルギーかがくえねるぎー	食物しょくもつ・燃料ねんりょう
光エネルギーひかりえねるぎー	太陽光たいようこう・LED
音エネルギーおとえねるぎー	楽がっ器き・スピーカー
原子核エネルギーげんしかくエネルギー	核かく反応はんのう

エネルギー保存ほぞん則そく (一般いっぱん)

「エネルギーえねるぎー の形かたちは変かわっても、 全体ぜんたいの量りょうは変かわらない」 という法ほう則そく を エネルギー保存則えねるぎーほぞんそく と言いいます。 物理ぶつり学がくで最もっとも重じゅう要よう な原理げんりの 1 つです。

場ば面めん	エネルギー変換へんかん
水力すいりょく発はつ電でん	位置エネルギーいちえねるぎー → 運動エネルギーうんどうえねるぎー → 電気エネルギーでんきえねるぎー
光ひかり合ごう成せい	光エネルギーひかりえねるぎー → 化学エネルギーかがくえねるぎー
ガソリンエンジン	化学エネルギーかがくえねるぎー → 熱ねつ → 運動エネルギーうんどうえねるぎー (一部いちぶは廃はい熱ねつ)
火力かりょく発はつ電でん	化学エネルギーかがくえねるぎー → 熱ねつ → 蒸気じょうき → 運動エネルギーうんどうえねるぎー → 電気エネルギーでんきえねるぎー

ポイント: 力学的エネルギー保存則りきがくてきえねるぎーほぞんそく は 「摩擦まさつ なし」 の条じょう件けん が必ひつ要よう ですが、 エネルギー保存則えねるぎーほぞんそく (一般いっぱん) は 常つねに成なり立たちます。 失うしなったように見みえた エネルギーえねるぎー は、 必かならず熱ねつや音おとなど別べつの形かたちになっています。

8. ふりかえりと安全あんぜん配慮はいりょ

この章しょうのチェックリスト

• [ ]仕事しごと の公式こうしき W = F d cos θ を言いえる
• [ ]仕事率しごとりつ P = W/t = F v を言いえる
• [ ]運動エネルギーうんどうえねるぎー K = (1/2) m v² を言いえる
• [ ]位置エネルギーいちえねるぎー (重力じゅうりょく m g h、 弾性だんせい (1/2) k x²) を区く別べつ できる
• 力学的エネルギー保存則りきがくてきえねるぎーほぞんそく K + U = 一定いっていを立たつ式しきできる
• [ ]非保存力ひほぞんりょく (摩擦まさつ) がある時ときの エネルギーえねるぎー収支しゅうしが書かける
• [ ]エネルギー保存則えねるぎーほぞんそく (一般いっぱん) と 力学的エネルギー保存則りきがくてきえねるぎーほぞんそく の違ちがいが言いえる
• [ ]振り子ふりこ や 斜面しゃめん の最下さいか点てん速度そくど v = √(2 g h) を出だせる

この章しょうの安全あんぜん配慮はいりょ ── 重量じゅうりょう物ぶつと落下らっかの安全あんぜん

エネルギーえねるぎー の章しょうでは、 重おもい物体ぶったいを持もち上あげたり落おとしたりする 実験じっけん が増ふえます。 エネルギーえねるぎー が大おおきいほど、 事じ故こ の衝しょう撃げき も大おおきくなります。

場ば面めん	危き険けん	対たい策さく
重量じゅうりょう物ぶつの持もち上あげ	腰こしを痛いためる、 落下らっかでケガ	腰こしではなく膝ひざで持もち上あげる、 2 人ひと以上いじょう
滑車かっしゃ とおもり	おもりの落下らっか、 指ゆびを挟はさむ	直下ちょっかに立たたない、 動作どうさ中ちゅう触さわらない
バネ・ゴム	跳はね返かえりの直ちょく撃げき	保護メガネほごめがね、 顔かおの高たかさに置おかない
振り子ふりこ	周囲しゅういに当あたる	振り子ふりこ の軌き道どう上に立たたない
ジェットコースター 風実験じっけん	レールから物体ぶったいが飛とぶ	レール周まわりに受うけ皿ざら
エネルギーえねるぎー計けい算さん の例れい	1 kg・1 m 落下らっかで約やく 10 J	ハンマーで軽かるく叩たたかれる衝しょう撃げき

重量じゅうりょう物ぶつを扱あつかう時ときの共通きょうつうルール

ルール	くわしく
① 重量じゅうりょうを事前じぜんに確かく認にん	5 kg 以上いじょうは 1 人ひとで持もたない
② 持もち方かた	膝ひざを曲まげ、 背中せなかを真まっすぐ に
③ 通路つうろを空あける	運はこぶ際さいは視し界かい と経路けいろを確かく保ほ
④ 落下らっかゾーンに立たたない	重おもい物ものの真下ましたを通とおらない
⑤ 保護具ほごぐ	必要ひつように応おうじて安全あんぜん靴くつ・手袋てぶくろ・ヘルメット
⑥ 緊きん急きゅう時とき	すぐ先生せんせいに報告ほうこく

大事だいじ: エネルギーえねるぎー = (1/2) m v² は v の 2 乗じょう に 比例ひれい します。 速度そくど が 2 倍ばいになれば エネルギーえねるぎー は 4 倍ばい です。 自じ動どう車しゃ の制動せいどう距きょ離り が速度そくどの 2 乗じょうに 比例ひれい するのも、 この法ほう則そく が理由りゆうです。

次じの章しょう: 第だい 5 章しょうでは 円運動えんうんどう と 単振動たんしんどう に進すすみます。 ここまでの直ちょく線せん運うん動どう とは違ちがい、 「回転かいてんする運うん動どう」 と 「くり返かえす運うん動どう」 の数すう式しき を学まなびます。 周期しゅうき や 振動数しんどうすう という新あたらしい道どう具ぐ が登場とうじょうします。