仕事しごと と エネルギー

この 章しょう で 学まなぶ こと

第だい 4 章しょう は、 力ちから を 「エネルギー」 と い う 別べつ の 視し点てん で あ つ か う 章しょう で す。 第だい 3 章しょう の F = ma は 「瞬しゅん間かん」 の 関かん係けい で し た が、 エネルギー保存則ほぞんそく は 「最初さいしょ と 最後さいご」 だ け を つ な ぐ 強力きょうりょく な 武ぶ器き で す。

• 仕事しごと の 定てい義ぎ W = F d cos θ を 理り解かい す る
• 仕事率しごとりつ P (= 1 秒びょう あ た り の 仕事しごと) を 計けい算さん す る
• 運動エネルギーうんどうエネルギー K = (1/2) m v² を 立たつ式しき す る
• 位置エネルギーいちエネルギー (重力じゅうりょく mgh、 弾性だんせい (1/2) k x²) を 区く別べつ す る
• 力学的エネルギー保存則りきがくてきエネルギーほぞんそく で 問もん題だい を 解かい く
• 摩擦まさつ な ど 非保存力ひほぞんりょく が あ る 場合ばあい を あ つ か う
• 重量じゅうりょう物ぶつ を 扱 う 実験じっけん の 安全あんぜん を 守まもり る

ポイント: エネルギー の 強つよ さ は、 「途と中ちゅう の 過か程てい を 知ち ら な く て も、 始点してん と 終点しゅうてん だ け で 答こたえ え が 出で る」 こ と で す。 ジェットコースター・ボー ル の 跳 ね 返かえ り・振り子ふりこ な ど、 一見いっけん複ふく雑ざつ な 運うん動どう も 一瞬いっしゅん で 解かい け ま す。

1. 仕事しごと の 定義ていぎ

仕事しごと と は

物理ぶつり で の 仕事しごと と は、 「力りょく が そ の 向むこう き に 動どう か し た 距きょ離り」 で す。 単たん位い は J (ジュール) = N・m。

公こう式しき	意い味み
W = F d	力ちから と 移い動どう が 同どう じ 向むこう き
W = F d cos θ	力ちから と 移い動どう の 角かく度ど が θ

cos θ の 意味いみ

力ちから F と 移い動どう方ほう向こう の な す 角かく度ど が θ の と き、 移い動どう方ほう向こう へ の 力ちから の 成せい分ぶん は F cos θ で す。 仕事しごと は 「移い動どう方ほう向こう成分せいぶん × 距きょ離り」 と も 言げん え ま す。

角度かくど別べつ の 仕事しごと

θ	cos θ	W	意い味み
0°	1	F d	同どう じ 向むこう き、 最大さいだい の [[仕事
60°	1/2	F d / 2	半分はんぶん の [[仕事
90°	0	0	**垂すい直ちょく な ら [[仕事
180°	−1	−F d	反はん対たい向こう き、 [[負

注意ちゅうい ポイント

| 場ば面めん | 仕事しごと | |---|---| | 重おも い 荷物にもつ を 持じ っ て 水平すいへい に 歩ふ く | 0 J (重力じゅうりょく は 鉛直えんちょく、 移い動どう は 水平すいへい) | | 重おも い 荷物にもつ を 持じ ち 上うえ げ る | mg h (重力じゅうりょく に 逆ぎゃく ら う) | | 重おも い 荷物にもつ を 持じ っ て 静止せいし | 0 J (動どう い て い な い) | | 動どう い て い る 物体ぶったい に 垂すい直ちょく な 力ちから | 0 J (例れい: 円えん運うん動どう の 向心力こうしんりょく) |

大事だいじ: 日常にちじょう的てき な 「努力どりょく」 と 物理ぶつり の 「仕事しごと」 は 違 い ま す。 重おも い 物もの を 持じ っ て 立たつ ち 続ぞく け て も、 物理ぶつり で は W = 0 で す (動どう い て い な い か ら)。

2. 仕事しごと率りつ (パワー)

仕事しごと率りつ と は

仕事率しごとりつ P は 「1 秒びょう あ た り の 仕事しごと」 で、 単たん位い は W (ワット)。

公こう式しき	意い味み
P = W / t	[[仕事
P = F v	力ちから × [[速度

単位たんい の 関係かんけい

単たん位い	換算かんさん
1 W	1 J / s
1 kW	10³ W
1 馬力ばりき (HP)	約やく 746 W

例れい

場ば面めん	計けい算さん	仕事しごと率りつ
50 kg の 人ひと が 5 m の 階段かいだん を 10 秒びょう で 上うえ が る	(50 × 9.8 × 5) / 10	約やく 245 W
自じ動どう車しゃ の エンジン (100 kW)	公称こうしょう値ち	100 kW = 100 000 W
LED 電でん球きゅう	カタログ 値ね	約やく 7 W
エアコン (家庭かてい用よう)	カタログ 値ね	約やく 600 W

ポイント: 仕事しごと (J) は 「ど れ だ け 動どう い た か」、 仕事率しごとりつ (W) は 「ど れ だ け 速はや く や っ た か」 を 表ひょう し ま す。 階段かいだん を 走はし っ て 上うえ が る 人ひと と ゆ っ く り 上うえ が る 人ひと で、 仕事しごと は 同どう じ で も 仕事率しごとりつ は 違 い ま す。

3. 運動うんどう エネルギー

運動うんどう エネルギー の 定義ていぎ

動どう い て い る 物体ぶったい が も つ エネルギー を 運動エネルギーうんどうエネルギー K と 言げん い ま す。

公こう式しき	単たん位い
K = (1/2) m v²	J (ジュール)

例れい

物体ぶったい	質しつ量りょう m	速度そくど v	K
ボール	0.2 kg	10 m/s	10 J
自じ転てん車しゃ	100 kg (人じん込こみ み)	5 m/s	1250 J
自じ動どう車しゃ	1500 kg	20 m/s	300 000 J = 300 kJ
ライフル 弾たま	0.01 kg	800 m/s	3200 J

運動うんどう エネルギー と 仕事しごと の 関係かんけい

物体ぶったい に 加か え た 合力ごうりょく の 仕事しごと は、 運動エネルギーうんどうエネルギー の 変へん化か に 等ひとし し い (エネルギー と 仕事しごと の 関かん係けい)。

公こう式しき	意い味み
W = ΔK = (1/2) m v² − (1/2) m v₀²	[[合力

例れい

質しつ量りょう 2 kg の 物体ぶったい に 力ちから を 加か え て 0 → 6 m/s に 加速かそく し た:

量りょう	計けい算さん	答こたえ え
ΔK	(1/2) × 2 × 6² − 0	36 J
加か え た [[仕事	しごと]]	= 36 J

4. 位置いち エネルギー

重力じゅうりょく に よ る 位置いち エネルギー

地面じめん を 基き準じゅん と し て、 高こう さ h に あ る 質しつ量りょう m の 物体ぶったい が も つ 位置エネルギーいちエネルギー U:

公こう式しき	単たん位い
U = m g h	J

弾性だんせい力りょく に よ る 位置いち エネルギー

ばね定数ばねていすう k の バ ネ を 自し然ぜん長 か ら x だ け 伸しん ば し た (or 縮ちぢみ め た) と き の 弾性エネルギーだんせいエネルギー:

公こう式しき	単たん位い
U = (1/2) k x²	J

例れい

物体ぶったい	U の 計けい算さん	答こたえ え
1 kg を 10 m の 高こう さ (g = 9.8)	1 × 9.8 × 10	98 J
バ ネ k = 100 N/m を 0.2 m 伸しん ば す	(1/2) × 100 × 0.2²	2 J
1 t (1000 kg) の 車くるま を 5 m	1000 × 9.8 × 5	49 000 J = 49 kJ

基準きじゅん点てん の 取と り 方

位置エネルギーいちエネルギー は 基き準じゅん点てん か ら の 高こう さ で 決けつ ま り ま す。 地面じめん で も、 机つくえ の 上うえ で も、 基き準じゅん を 自じ由ゆう に 選せん べ ま す。 大事だいじ な の は 「最初さいしょ と 最後さいご で 同どう じ 基き準じゅん」 で 計けい算さん す る こ と で す。

5. 力学りきがく的てき エネルギー 保存ほぞん則そく

保存ほぞん則そく の 主張しゅちょう

摩擦まさつ や 空くう気き抵てい抗こう が 無む視し で き る と き、 運動エネルギーうんどうエネルギー K と 位置エネルギーいちエネルギー U の 和わ (力学的エネルギーりきがくてきエネルギー) は 常つね に 一定いってい に 保ほ た れ ま す。

公こう式しき	意い味み
K + U = 一定いってい	[[力学的エネルギー保存則
(1/2) m v₁² + m g h₁ = (1/2) m v₂² + m g h₂	状じょう態たい 1 と 状じょう態たい 2

保存ほぞん則そく の 強つよ み

F = ma で 解かい く	エネルギー保ほ存ぞん で 解かい く
途と中ちゅう の 力ちから を 全部ぜんぶ知ち る 必ひつ要よう	始点してん と 終点しゅうてん だ け わ か れ ば OK
計けい算さん が 複ふく雑ざつ	計けい算さん が シンプル
時じ間かん経けい過か が 必ひつ要よう な 問もん題だい向むこう き	[[速度

例れい 1: 自由じゆう落下らっか

高こう さ 20 m か ら 落下らっか す る 時とき の 着地ちゃくち速度そくど (g = 9.8):

立たつ式しき	計けい算さん
m g h = (1/2) m v²	g h = (1/2) v²
v = √(2 g h) = √(2 × 9.8 × 20)	v ≈ 19.8 m/s

例れい 2: 振ふ り 子こ

長ちょう さ L の 糸いと で つ る し た 振り子ふりこ を 高こう さ h ま で 引 き 上うえ げ、 静しず か に 離はなれ す と、 最下さいか点てん で の 速度そくど は:

立たつ式しき	結けっ果か
m g h = (1/2) m v²	v = √(2 g h)

自由落下じゆうらっか と 同どう じ 式しき が 出で ま す。 振り子ふりこ が 描 く 経路けいろ は 関かん係けい な く、 高こう さ だ け で 決けつ ま り ま す。

例れい 3: 斜面しゃめん を 滑なめら る (摩擦まさつ な し)

高こう さ h の 斜しゃ面めん か ら 滑なめら り 落 ち た と き、 斜しゃ面めん の 角かく度ど や 形かたち に 関かん係けい な く、 最下さいか点てん の 速度そくど は v = √(2 g h) で す。

大事だいじ: 力学的エネルギー保存則りきがくてきエネルギーほぞんそく は 「経路けいろ に 関かん係けい な い」 と い う 美よし し い 性せい質しつ を 持じ ち ま す。 ジェット コースター が 同どう じ 高こう さ ま で 上うえ が ら な い の は、 摩擦まさつ と 空くう気き抵てい抗こう の せ い で す。

6. 摩擦まさつ が あ る 場合ばあい

非ひ保存ほぞん力りょく と は

摩擦力まさつりょく や 空くう気き抵てい抗こう の よ う に、 力学的エネルギーりきがくてきエネルギー を 「熱ねつ」 や 「音おん」 に 変へん え て し ま う 力ちから を 非保存力ひほぞんりょく と 言げん い ま す。

力ちから の 種類しゅるい	例れい	性せい質しつ
[[保存力	ほぞんりょく]]	[[重力
[[非保存力	ひほぞんりょく]]	[[摩擦

エネルギー 収支しゅうし

摩擦まさつ が あ る 場合ばあい、 失しつ わ れ た 力学的エネルギーりきがくてきエネルギー は 熱ねつ に な っ て い ま す。

公こう式しき	意い味み
(始点してん の K + U) − (終点しゅうてん の K + U) = 摩擦まさつ の 仕事しごと	失しつ わ れ た 量りょう = 熱ねつ
摩擦まさつ の 仕事しごと = μ N d	μ ([[動摩擦係数

例れい

質しつ量りょう 2 kg の 物体ぶったい が 摩擦まさつ の あ る 水平面すいへいめん (μ = 0.3) を 5 m/s で 滑なめら り 出で し て 止とめ ま る ま で の 距きょ離り (g = 10):

立たつ式しき	計けい算さん
(1/2) m v² = μ m g d	(1/2) × 2 × 5² = 0.3 × 2 × 10 × d
d = 25 / 6	約やく 4.2 m

7. エネルギー の 多様たよう な 形かたち と 保存ほぞん

エネルギー の 種類しゅるい

種しゅ類るい	例れい
[[力学的エネルギー	りきがくてきエネルギー]]
[[熱エネルギー	ねつエネルギー]]
[[電気エネルギー	でんきエネルギー]]
[[化学エネルギー	かがくエネルギー]]
[[光エネルギー	ひかりエネルギー]]
[[音エネルギー	おとエネルギー]]
[[原子核エネルギー	げんしかくエネルギー]]

エネルギー 保存ほぞん則そく (一般いっぱん)

「エネルギー の 形かたち は 変へん わ っ て も、 全体ぜんたい の 量りょう は 変へん わ ら な い」 と い う 法ほう則そく を エネルギー保存則エネルギーほぞんそく と 言げん い ま す。 物理ぶつり学がく で 最さい も 重じゅう要よう な 原理げんり の 1 つ で す。

場ば面めん	エネルギー 変換へんかん
水力すいりょく発はつ電でん	[[位置エネルギー
光ひかり合ごう成せい	[[光エネルギー
ガソリン エンジン	[[化学エネルギー
火力かりょく発はつ電でん	[[化学エネルギー

ポイント: 力学的エネルギー保存則りきがくてきエネルギーほぞんそく は 「摩擦まさつ な し」 の 条じょう件けん が 必ひつ要よう で す が、 エネルギー保存則エネルギーほぞんそく (一般いっぱん) は 常つね に 成なる り 立たつ ち ま す。 失しつ っ た よ う に 見み え た エネルギー は、 必 ず 熱ねつ や 音おと な ど 別べつ の 形かたち に な っ て い ま す。

8. ふりかえり と 安全あんぜん配慮はいりょ

この 章しょう の チェック リスト

• [ ]仕事しごと の 公式こうしき W = F d cos θ を 言げん え る
• [ ]仕事率しごとりつ P = W/t = F v を 言げん え る
• [ ]運動エネルギーうんどうエネルギー K = (1/2) m v² を 言げん え る
• [ ]位置エネルギーいちエネルギー (重力じゅうりょく m g h、 弾性だんせい (1/2) k x²) を 区く別べつ で き る
• 力学的エネルギー保存則りきがくてきエネルギーほぞんそく K + U = 一定いってい を 立たつ式しき で き る
• [ ]非保存力ひほぞんりょく (摩擦まさつ) が あ る 時とき の エネルギー収支しゅうし が 書しょ け る
• [ ]エネルギー保存則エネルギーほぞんそく (一般いっぱん) と 力学的エネルギー保存則りきがくてきエネルギーほぞんそく の 違 い が 言げん え る
• [ ]振り子ふりこ や 斜面しゃめん の 最下さいか点てん速度そくど v = √(2 g h) を 出で せ る

この 章しょう の 安全あんぜん配慮はいりょ ── 重量じゅうりょう物ぶつ と 落下らっか の 安全あんぜん

エネルギー の 章しょう で は、 重おも い 物体ぶったい を 持じ ち 上うえ げ た り 落 と し た り す る 実験じっけん が 増まし え ま す。 エネルギー が 大だい き い ほ ど、 事じ故こ の 衝しょう撃げき も 大だい き く な り ま す。

場ば面めん	危き険けん	対たい策さく
重量じゅうりょう物ぶつ の 持じ ち 上うえ げ	腰こし を 痛いた め る、 落下らっか で ケガ	腰こし で は な く 膝ひざ で 持じ ち 上うえ げ る、 2 人ひと以上いじょう
[[滑車	かっしゃ]] と お も り	お も り の 落下らっか、 指ゆび を 挟きょう む
バ ネ・ゴム	跳 ね 返かえ り の 直ちょく撃げき	**[[保護メガネ
[[振り子	ふりこ]]	周囲しゅうい に 当とう た る
ジェットコースター風[[実験	じっけん]]	レール か ら 物体ぶったい が 飛とび ぶ
エネルギー計けい算さん の 例れい	1 kg・1 m 落下らっか で 約やく 10 J	ハンマー で 軽けい く 叩 か れ る 衝しょう撃げき

重量じゅうりょう物ぶつ を 扱 う 時とき の 共通きょうつう ル ー ル

ル ー ル	くわしく
① 重量じゅうりょう を 事前じぜん に 確かく認にん	5 kg 以上いじょう は 1 人ひと で 持じ た な い
② 持じ ち 方かた	膝ひざ を 曲きょく げ、 背中せなか を 真しん っ す ぐ に
③ 通路つうろ を 空そら け る	運うん ぶ 際さい は 視し界かい と 経路けいろ を 確かく保ほ
④ 落下らっか ゾーン に 立たつ た な い	重おも い 物もの の 真下ました を 通つう ら な い
⑤ [[保護具	ほごぐ]]
⑥ 緊きん急きゅう時とき	す ぐ 先生せんせい に 報告ほうこく

大事だいじ: エネルギー = (1/2) m v² は v の 2 乗じょう に 比例ひれい し ま す。 速度そくど が 2 倍ばい に な れ ば エネルギー は 4 倍ばい で す。 自じ動どう車しゃ の 制動せいどう距きょ離り が 速度そくど の 2 乗じょう に 比例ひれい す る の も、 こ の 法ほう則そく が 理由りゆう で す。

次じの 章しょう: 第だい 5 章しょう で は 円運動えんうんどう と 単振動たんしんどう に 進すすむ み ま す。 こ こ ま で の 直ちょく線せん運うん動どう と は 違 い、 「回転かいてん す る 運うん動どう」 と 「く り 返かえ す 運うん動どう」 の 数すう式しき を 学がく び ま す。 周期しゅうき や 振動数しんどうすう と い う 新しん し い 道どう具ぐ が 登場とうじょう し ま す。