円運動えんうんどう と 単たん振動しんどう

この 章しょう で 学まなぶ こと

第だい 5 章しょう は、 高校こうこう力学りきがく の 仕上しあが げ 「円運動えんうんどう と 単振動たんしんどう」 で す。 ここ ま で 学がく ん だ 直ちょく線せん運うん動どう と は 違 い、 回転かいてん し 続ぞく け る・く り 返かえ す 運うん動どう を 数すう式しき で あ つ か い ま す。

• 等速円運動とうそくえんうんどう の 角速度かくそくど ω と 周期しゅうき T を 理り解かい す る
• 向心加速度こうこころかそくど v²/r と 向心力こうしんりょく m v²/r を 立たつ式しき す る
• 単振動たんしんどう の 周期しゅうき と 振動数しんどうすう を 区く別べつ す る
• バネ振り子バネふりこ の 周期しゅうき T = 2π√(m/k) を 知ち る
• 単振り子たんふりこ の 周期しゅうき T = 2π√(L/g) を 知ち る
• 円運動えんうんどう と 単振動たんしんどう の 美よし し い 関かん係けい を 知ち る
• 振ふ り 子こ周辺しゅうへん の 実験じっけん の 安全あんぜん を 守まもり る

ポイント: 円運動えんうんどう や 単振動たんしんどう は 一見いっけん 「特とく殊しゅ」 に 見み え ま す が、 ボー ル を 振ふ り 回かい す・振り子ふりこ時計とけい・バ ネ・惑星わくせい の 公こう転てん・音波おんぱ・光ひかり・交流電流こうりゅうでんりゅう・原子げんし の 振動しんどう ま で、 自し然ぜん界 の 多おお く を 説せつ明めい で き る 基き本ほん道どう具ぐ で す。

1. 等ひとし速そく円運動えんうんどう

等ひとし速そく円運動えんうんどう と は

等速円運動とうそくえんうんどう は、 「半はん径けい r の 円周えんしゅう上じょう を、 一定いってい の 速さはやさ v で 回かい る 運うん動どう」 で す。 速さはやさ は 一定いってい で も、 向むこう き が 常つね に 変へん わ る た め、 速度そくど (ベクトル) は 変へん化か し て い ま す。

周期しゅうき と 振動しんどう数すう

| 量りょう | 記号きごう | 定てい義ぎ | 単たん位い | |---|:---:|---|---| | 周期しゅうき | T | 1 周しゅう に か か る 時じ間かん | s | | 振動数しんどうすう | f | 1 秒びょう あ た り の 周回しゅうかい数すう | Hz | | 関かん係けい | T = 1/f | 互 い に 逆数ぎゃくすう | ─ |

角速度かくそくど

角速度かくそくど ω は、 「1 秒びょう あ た り に 中心ちゅうしん で 進すすむ ん だ 角かく度ど」 で、 ラジアン (rad) で 表ひょう し ま す。

公こう式しき	意い味み
ω = 2π / T = 2π f	1 周しゅう = 2π [ラジアン]
v = r ω	円周えんしゅう上じょう の [[速度

例れい

半はん径けい 0.5 m の 円周えんしゅう を 2 秒びょう で 1 周しゅう す る:

量りょう	計けい算さん	答こたえ え
[[周期	しゅうき]] T	─
[[振動数	しんどうすう]] f	1/2
[[角速度	かくそくど]] ω	2π / 2
[[速度	そくど]] v	0.5 × π

2. 向こう心こころ加速度かそくど と 向こう心力しんりょく

向こう心こころ加速度かそくど

等速円運動とうそくえんうんどう で は 速さはやさ は 一定いってい で す が、 速度そくど (ベクトル) の 向むこう き が 変へん わ り 続ぞく け ま す。 そ の 変へん化か が 向心加速度こうこころかそくど で、 常つね に 中心ちゅうしん を 向むこう き ま す。

公こう式しき	意い味み
a = v² / r = r ω²	半はん径けい r、 [[速さ

向こう心力しんりょく

向心加速度こうこころかそくど を 生なま み 出で す 力ちから を 向心力こうしんりょく と 言げん い ま す。 物体ぶったい を 円えん軌き道どう に 縛ばく り 続ぞく け る 力ちから で、 常つね に 中心ちゅうしん向むこう き で す。

公こう式しき	意い味み
F = m v² / r = m r ω²	質しつ量りょう m の 物体ぶったい の [[向心力

向こう心力しんりょく の 例れい

場ば面めん	向こう心力しんりょく の 正体しょうたい
糸いと で 振ふ り 回かい す ボール	糸いと の **[[張力
自じ動どう車しゃ が カーブ を 曲きょく が る	タイヤ と 路面ろめん の **[[摩擦力
[[人工衛星	じんこうえいせい]] が 地球ちきゅう を 回かい る
電でん子し が [[原子核	げんしかく]] の 周しゅう り を 回かい る

例れい

質量しつりょう 0.5 kg の ボー ル を 長ちょう さ 1 m の 糸いと で つ な ぎ、 1 秒びょう に 1 回かい (T = 1 s) 回かい す:

量りょう	計けい算さん	答こたえ え
[[角速度	かくそくど]] ω	2π / 1
[[速度	そくど]] v	1 × 2π
[[向心加速度	こうこころかそくど]]	(6.28)² / 1
[[向心力	こうしんりょく]] (糸いと の [[張力	ちょうりょく]])

大事だいじ: 「外向がいこう き の 遠心力えんしんりょく」 は、 厳密みつ に は 回転かいてん す る 観かん察さつ者 か ら 見み た 見み か け の 力ちから (慣性力かんせいりょく) で す。 静止せいし し た 観かん察さつ者 か ら 見み れ ば、 物体ぶったい に 働 く の は 向心力こうしんりょく だ け で す。

3. 単たん振動しんどう

単たん振動しんどう と は

単振動たんしんどう は、 「**つ り あ い 位い置ち か ら の 変位へんい に 比例ひれい し、 逆ぎゃく向むこう き の 復元ふくげん力りょく が は た ら く 振動しんどう」 で す。

公こう式しき	意い味み
F = − k x	バ ネ 型かた の 復元ふくげん力りょく
加速度かそくど a = − ω² x	x が 大だい き い ほ ど 強つよ く 引 き 戻もど す

単たん振動しんどう の 周期しゅうき と 振動しんどう数すう

| 量りょう | 記号きごう | 定てい義ぎ | 単たん位い | |---|:---:|---|---| | 周期しゅうき | T | 1 回かい振動しんどう に か か る 時じ間かん | s | | 振動数しんどうすう | f | 1 秒びょう あ た り の 振動しんどう回数かいすう | Hz | | 振幅しんぷく | A | つ り あ い か ら の 最大さいだい変位へんい | m | | 角振動数かくしんどうすう | ω | 2π / T | rad/s |

単たん振動しんどう の 位置いち・速度そくど・加速度かそくど

時刻じこく t に お け る 位い置ち・速度そくど・加速度かそくど:

量りょう	式しき
位い置ち	x = A sin (ω t)
[[速度	そくど]]
[[加速度	かそくど]]

単たん振動しんどう の エネルギー

エネルギー	式しき
[[運動エネルギー	うんどうエネルギー]]
[[弾性エネルギー	だんせいエネルギー]]
全エネルギー	(1/2) k A² (一定いってい)

ポイント: 単振動たんしんどう は エネルギー 保存ほぞん の 美よし し い 例れい で す。 つ り あ い 位い置ち で は K が 最大さいだい、 端はじ で は U が 最大さいだい、 全体ぜんたい は 一定いってい で す。

4. バネ 振ふ り 子こ

バネ 振ふ り 子こ の 周期しゅうき

ばね定数ばねていすう k の バ ネ に 質量しつりょう m の お も り を つ け た バネ振り子バネふりこ の 周期しゅうき:

公こう式しき	意い味み
T = 2π √(m / k)	質量しつりょう が 大だい き い ほ ど ゆ っ く り

例れい

m = 0.1 kg、 k = 10 N/m の バネ振り子バネふりこ:

量りょう	計けい算さん	答こたえ え
T	2π × √(0.1 / 10) = 2π × 0.1	約やく 0.63 s
f	1/T	約やく 1.6 Hz

周期しゅうき の 性質せいしつ

条じょう件けん変更へんこう	T の 変へん化か
質量しつりょう m を 4 倍ばい	T は 2 倍ばい
バ ネ 定数ていすう k を 4 倍ばい	T は 1/2 倍ばい
[[振幅	しんぷく]] A を 大だい き く

大事だいじ: 単振動たんしんどう の 周期しゅうき は 振幅しんぷく に 関かん係けい な く 一定いってい で す。 こ れ を 等時性とうときせい と 言げん い、 ガリレオ が ピサ の 大だい聖堂せいどう で シャンデリア を 観かん察さつ し て 発はっ見けん し た と 伝つて え ら れ ま す。

5. 単たん振ふ り 子こ

単たん振ふ り 子こ と は

単振り子たんふりこ は、 「軽けい い 糸いと に お も り を つ け、 真下ました か ら 小しょう さ く 揺ゆら ら し た 振ふ り 子こ」 で す。 振幅しんぷく が 小しょう さ い と き、 単振動たんしんどう と み な せ ま す。

周期しゅうき

公こう式しき	意い味み
T = 2π √(L / g)	糸いと の 長ちょう さ L、 [[重力加速度

例れい

L = 1.0 m、 g = 9.8 m/s²:

量りょう	計けい算さん	答こたえ え
T	2π × √(1.0 / 9.8) ≈ 2π × 0.32	約やく 2.0 s

周期しゅうき の 性質せいしつ

条じょう件けん変更へんこう	T の 変へん化か
糸いと の 長ちょう さ L を 4 倍ばい	T は 2 倍ばい
重力じゅうりょく加速度かそくど g を 1/4 (月面げつめん)	T は 2 倍ばい
お も り の 質量しつりょう を 変へん え る	T は 変へん わ ら な い
[[振幅	しんぷく]] を 変へん え る

ポイント: 単振り子たんふりこ の 周期しゅうき は 質量しつりょう に よ ら ず 糸いと の 長ちょう さ と g だ け で 決けつ ま り ま す。 こ の 性せい質しつ が、 振り子時計ふりことけい の 精度せいど を 支 え て い ま す。 1 m の 振り子ふりこ は ち ょ う ど 約やく 2 秒びょう (1 往おう復ふく) で す。

6. 円運動えんうんどう と 単たん振動しんどう の 関係かんけい

円運動えんうんどう を 横よこ か ら 見み る と 単たん振動しんどう

等速円運動とうそくえんうんどう を 横よこ か ら 見み る (= 円周えんしゅう上じょう の 点てん を ま っ す ぐ な 直線ちょくせん に 投とう影えい す る) と、 そ の 影かげ は 単振動たんしんどう に な り ま す。

| 等速円運動とうそくえんうんどう | 投とう影えい = 単振動たんしんどう | |---|---| | 半はん径けい r、 角速度かくそくど ω | 振幅しんぷく A = r、 角振動数かくしんどうすう ω | | 円周えんしゅう上じょう の 位い置ち (x, y) | 1 軸じく上じょう の x = r cos (ω t) | | 周期しゅうき T = 2π / ω | 周期しゅうき T = 2π / ω |

周期しゅうき運動うんどう の 共通きょうつう構造こうぞう

| 運うん動どう | 周期しゅうき T | |---|---| | バネ振り子バネふりこ | 2π √(m / k) | | 単振り子たんふりこ | 2π √(L / g) | | 等速円運動とうそくえんうんどう | 2π / ω = 2π r / v | | 音波おんぱ (基き本ほん振動数しんどうすう f) | 1/f | | 交流電流こうりゅうでんりゅう (50 Hz) | 1/50 = 0.02 s |

大事だいじ: 自し然ぜん界 に は 「周期しゅうき運うん動どう」 が あ ふ れ て い ま す。 心拍しんぱく・呼吸こきゅう・潮の満ち引きしおのみちびき・惑星わくせい公こう転てん・音波おんぱ・光ひかり・電波でんぱ・原子げんし の 振動しんどう。 高校こうこう物ぶつ理り の 単振動たんしんどう が、 こ れ ら す べ て を 統とう一いつ的 に 説せつ明めい す る 出しゅっ発ぱつ点 に な り ま す。

7. 鉛直えんちょく円運動えんうんどう と 重力じゅうりょく

鉛直えんちょく円運動えんうんどう

物体ぶったい を 鉛直えんちょく な 円周えんしゅう上じょう で 回かい す と (例れい: バ ケ ツ に 水みず を 入いり れ て 振ふ り 回かい す)、 場所ばしょ に よ っ て 向心力こうしんりょく の 立たつ て 方かた が 変へん わ り ま す。

位い置ち	向こう心力しんりょく を 作さく る も の
最下さいか点てん	[[張力
最上さいじょう点てん	[[張力
横よこ (水平すいへい)	[[張力

最上さいじょう点てん で 落 ち な い 条件じょうけん

最上さいじょう点てん で 糸いと が ゆ る ま な い 条じょう件けん は、 張力ちょうりょく T ≥ 0:

立たつ式しき	条件じょうけん
m v² / r − m g ≥ 0	v² ≥ g r
最上さいじょう点てん の 最小さいしょう[[速度	そくど]]

ポイント: バ ケ ツ を 振ふ り 回かい し て 水みず が こ ぼ れ な い の は、 こ の 条じょう件けん を 満みつる た し て い る か ら で す。 速はや さ を 落 と し す ぎ る と、 最上さいじょう点てん で 水みず が 落 ち て き ま す。

8. ふりかえり と 安全あんぜん配慮はいりょ

この 章しょう の チェック リスト

• [ ]等速円運動とうそくえんうんどう の 周期しゅうき T、 振動数しんどうすう f、 角速度かくそくど ω = 2π/T = 2πf を 言げん え る
• [ ]向心加速度こうこころかそくど a = v²/r = rω²、 向心力こうしんりょく F = mv²/r を 言げん え る
• [ ]単振動たんしんどう の 復元ふくげん力りょく F = − k x を 知ち っ て い る
• [ ]単振動たんしんどう の エネルギー (1/2) k A² (一定いってい) を 言げん え る
• バネ振り子バネふりこ T = 2π √(m/k) を 言げん え る
• 単振り子たんふりこ T = 2π √(L/g) を 言げん え る
• [ ]単振り子たんふりこ の 周期しゅうき が 質量しつりょう・振幅しんぷく に よ ら な い (等時性とうときせい) を 知ち っ て い る
• [ ]等速円運動とうそくえんうんどう と 単振動たんしんどう の 関かん係けい (投とう影えい) を 説せつ明めい で き る
• [ ]鉛えん直ちょく円運動どう の 最上さいじょう点てん条じょう件けん v ≥ √(g r) を 知ち っ て い る

この 章しょう の 安全あんぜん配慮はいりょ ── 振ふ り 子こ と 円運動えんうんどう周辺しゅうへん

振り子ふりこ や 円運動えんうんどう の 実験じっけん は、 物体ぶったい が 周囲しゅうい の 人ひと や 機器き に 当とう た る 危き険けん が あ り ま す。

場ば面めん	危き険けん	対たい策さく
大だい き な [[振り子	ふりこ]]	お も り が 顔かお・頭とう に 当とう た る
ボール を 振ふ り 回かい す	糸いと が 切せつ れ て 飛とび び 散ち る	糸いと の 強きょう度ど を 事前じぜん に 確かく認にん、 周囲しゅうい を 空そら け る
バ ネ [[振り子	ふりこ]]	バ ネ が 跳 ね 返かえ る
鉛えん直ちょく円運動どう	物体ぶったい が 落下らっか	床ゆか に マット、 真下ました に 立たつ た な い
高速こうそく回転かいてん	物もの が 飛とび び 出で す	安全あんぜん カバー、 距きょ離り確かく保ほ
ストロボ・動画どうが撮さつ影えい	機材きざい の 転てん倒とう	三さん脚きゃく と ク ラ ン プ で 固こ定てい

振ふ り 子こ・円運動えんうんどう実験じっけん の 共通きょうつう ル ー ル

ル ー ル	くわしく
① [[保護メガネ	ほごメガネ]]
② 軌き道どう上 に 立たつ た な い	お も り の 通つう り 道みち か ら 1.5 m 以上いじょう離はなれ れ る
③ 糸いと・チェーン の [[強度	きょうど]]
④ 結むすぶ び 目め の 確認かくにん	[[実験
⑤ 加速度かそくど の 計けい算さん	a = v²/r = (2π/T)² r ⇒ 想そう定てい よ り 大だい き い 力ちから
⑥ 高速こうそく回転かいてん は 短みじか時じ間かん	摩擦まさつ や 疲労ひろう で 破損はそん し や す い
⑦ 終了しゅうりょう後ご の 確認かくにん	糸いと や バ ネ の 損傷そんしょう を 点てん検けん

大事だいじ: 1 m の 振り子ふりこ で 質量しつりょう 1 kg を 振幅しんぷく 0.5 m で 振ふ る と、 最下さいか点てん の 速度そくど は 約やく 2.2 m/s ( 力学的エネルギー保存則りきがくてきエネルギーほぞんそく よ り)。 ハンマー が 振ふ り か ぶ ら れ る 程てい度ど の 衝しょう撃げき が あ り ま す。 軽けい そ う に 見み え て も 油断ゆだん し な い で く だ さ い。

次じの 章しょう: こ こ ま で が 高校こうこう力学りきがく の 基き礎そ 「直線運動ちょくせんうんどう・円運動えんうんどう・単振動たんしんどう」 の 1 周しゅう目め で す。 次つぎ の 章しょう か ら は 熱力学ねつりきがく・波動はどう・電磁気学でんじきがく へ 進すすむ み、 物ぶつ理り の 全体ぜんたい像ぞう を 広ひろ げ て い き ま す。 力学りきがく で 鍛 え た 「ベクトル」 「エネルギー保存ほぞん」 「周期しゅうき運うん動どう」 の 視し点てん が、 す べ て に 生なま き ま す。