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第 5 章 は、 高校力学 の 仕上 げ 「円運動 と 単振動」 で す。 ここ ま で 学 ん だ 直線運動 と は 違 い、 回転 し 続 け る・く り 返 す 運動 を 数式 で あ つ か い ま す。
ポイント: 円運動 や 単振動 は 一見 「特殊」 に 見 え ま す が、 ボー ル を 振 り 回 す・振り子時計・バ ネ・惑星 の 公転・音波・光・交流電流・原子 の 振動 ま で、 自然界 の 多 く を 説明 で き る 基本道具 で す。
等速円運動 は、 「半径 r の 円周上 を、 一定 の 速さ v で 回 る 運動」 で す。 速さ は 一定 で も、 向 き が 常 に 変 わ る た め、 速度 (ベクトル) は 変化 し て い ま す。
| 量 | 記号 | 定義 | 単位 | |---|:---:|---|---| | 周期 | T | 1 周 に か か る 時間 | s | | 振動数 | f | 1 秒 あ た り の 周回数 | Hz | | 関係 | T = 1/f | 互 い に 逆数 | ─ |
角速度 ω は、 「1 秒 あ た り に 中心 で 進 ん だ 角度」 で、 ラジアン (rad) で 表 し ま す。
| 公式 | 意味 |
|---|---|
| ω = 2π / T = 2π f | 1 周 = 2π [ラジアン] |
| v = r ω | 円周上 の [[速度 |
半径 0.5 m の 円周 を 2 秒 で 1 周 す る:
| 量 | 計算 | 答 え |
|---|---|---|
| [[周期 | しゅうき]] T | ─ |
| [[振動数 | しんどうすう]] f | 1/2 |
| [[角速度 | かくそくど]] ω | 2π / 2 |
| [[速度 | そくど]] v | 0.5 × π |
等速円運動 で は 速さ は 一定 で す が、 速度 (ベクトル) の 向 き が 変 わ り 続 け ま す。 そ の 変化 が 向心加速度 で、 常 に 中心 を 向 き ま す。
| 公式 | 意味 |
|---|---|
| a = v² / r = r ω² | 半径 r、 [[速さ |
向心加速度 を 生 み 出 す 力 を 向心力 と 言 い ま す。 物体 を 円軌道 に 縛 り 続 け る 力 で、 常 に 中心向 き で す。
| 公式 | 意味 |
|---|---|
| F = m v² / r = m r ω² | 質量 m の 物体 の [[向心力 |
| 場面 | 向心力 の 正体 |
|---|---|
| 糸 で 振 り 回 す ボール | 糸 の **[[張力 |
| 自動車 が カーブ を 曲 が る | タイヤ と 路面 の **[[摩擦力 |
| [[人工衛星 | じんこうえいせい]] が 地球 を 回 る |
| 電子 が [[原子核 | げんしかく]] の 周 り を 回 る |
質量 0.5 kg の ボー ル を 長 さ 1 m の 糸 で つ な ぎ、 1 秒 に 1 回 (T = 1 s) 回 す:
| 量 | 計算 | 答 え |
|---|---|---|
| [[角速度 | かくそくど]] ω | 2π / 1 |
| [[速度 | そくど]] v | 1 × 2π |
| [[向心加速度 | こうこころかそくど]] | (6.28)² / 1 |
| [[向心力 | こうしんりょく]] (糸 の [[張力 | ちょうりょく]]) |
大事: 「外向 き の 遠心力」 は、 厳密 に は 回転 す る 観察者 か ら 見 た 見 か け の 力 (慣性力) で す。 静止 し た 観察者 か ら 見 れ ば、 物体 に 働 く の は 向心力 だ け で す。
単振動 は、 「**つ り あ い 位置 か ら の 変位 に 比例 し、 逆向 き の 復元力 が は た ら く 振動」 で す。
| 公式 | 意味 |
|---|---|
| F = − k x | バ ネ 型 の 復元力 |
| 加速度 a = − ω² x | x が 大 き い ほ ど 強 く 引 き 戻 す |
| 量 | 記号 | 定義 | 単位 | |---|:---:|---|---| | 周期 | T | 1 回振動 に か か る 時間 | s | | 振動数 | f | 1 秒 あ た り の 振動回数 | Hz | | 振幅 | A | つ り あ い か ら の 最大変位 | m | | 角振動数 | ω | 2π / T | rad/s |
時刻 t に お け る 位置・速度・加速度:
| 量 | 式 |
|---|---|
| 位置 | x = A sin (ω t) |
| [[速度 | そくど]] |
| [[加速度 | かそくど]] |
| エネルギー | 式 |
|---|---|
| [[運動エネルギー | うんどうエネルギー]] |
| [[弾性エネルギー | だんせいエネルギー]] |
| 全エネルギー | (1/2) k A² (一定) |
ポイント: 単振動 は エネルギー 保存 の 美 し い 例 で す。 つ り あ い 位置 で は K が 最大、 端 で は U が 最大、 全体 は 一定 で す。
ばね定数 k の バ ネ に 質量 m の お も り を つ け た バネ振り子 の 周期:
| 公式 | 意味 |
|---|---|
| T = 2π √(m / k) | 質量 が 大 き い ほ ど ゆ っ く り |
m = 0.1 kg、 k = 10 N/m の バネ振り子:
| 量 | 計算 | 答 え |
|---|---|---|
| T | 2π × √(0.1 / 10) = 2π × 0.1 | 約 0.63 s |
| f | 1/T | 約 1.6 Hz |
| 条件変更 | T の 変化 |
|---|---|
| 質量 m を 4 倍 | T は 2 倍 |
| バ ネ 定数 k を 4 倍 | T は 1/2 倍 |
| [[振幅 | しんぷく]] A を 大 き く |
大事: 単振動 の 周期 は 振幅 に 関係 な く 一定 で す。 こ れ を 等時性 と 言 い、 ガリレオ が ピサ の 大聖堂 で シャンデリア を 観察 し て 発見 し た と 伝 え ら れ ま す。
単振り子 は、 「軽 い 糸 に お も り を つ け、 真下 か ら 小 さ く 揺 ら し た 振 り 子」 で す。 振幅 が 小 さ い と き、 単振動 と み な せ ま す。
| 公式 | 意味 |
|---|---|
| T = 2π √(L / g) | 糸 の 長 さ L、 [[重力加速度 |
L = 1.0 m、 g = 9.8 m/s²:
| 量 | 計算 | 答 え |
|---|---|---|
| T | 2π × √(1.0 / 9.8) ≈ 2π × 0.32 | 約 2.0 s |
| 条件変更 | T の 変化 |
|---|---|
| 糸 の 長 さ L を 4 倍 | T は 2 倍 |
| 重力加速度 g を 1/4 (月面) | T は 2 倍 |
| お も り の 質量 を 変 え る | T は 変 わ ら な い |
| [[振幅 | しんぷく]] を 変 え る |
ポイント: 単振り子 の 周期 は 質量 に よ ら ず 糸 の 長 さ と g だ け で 決 ま り ま す。 こ の 性質 が、 振り子時計 の 精度 を 支 え て い ま す。 1 m の 振り子 は ち ょ う ど 約 2 秒 (1 往復) で す。
等速円運動 を 横 か ら 見 る (= 円周上 の 点 を ま っ す ぐ な 直線 に 投影 す る) と、 そ の 影 は 単振動 に な り ま す。
| 等速円運動 | 投影 = 単振動 | |---|---| | 半径 r、 角速度 ω | 振幅 A = r、 角振動数 ω | | 円周上 の 位置 (x, y) | 1 軸上 の x = r cos (ω t) | | 周期 T = 2π / ω | 周期 T = 2π / ω |
| 運動 | 周期 T | |---|---| | バネ振り子 | 2π √(m / k) | | 単振り子 | 2π √(L / g) | | 等速円運動 | 2π / ω = 2π r / v | | 音波 (基本振動数 f) | 1/f | | 交流電流 (50 Hz) | 1/50 = 0.02 s |
大事: 自然界 に は 「周期運動」 が あ ふ れ て い ま す。 心拍・呼吸・潮の満ち引き・惑星公転・音波・光・電波・原子 の 振動。 高校物理 の 単振動 が、 こ れ ら す べ て を 統一的 に 説明 す る 出発点 に な り ま す。
物体 を 鉛直 な 円周上 で 回 す と (例: バ ケ ツ に 水 を 入 れ て 振 り 回 す)、 場所 に よ っ て 向心力 の 立 て 方 が 変 わ り ま す。
| 位置 | 向心力 を 作 る も の |
|---|---|
| 最下点 | [[張力 |
| 最上点 | [[張力 |
| 横 (水平) | [[張力 |
最上点 で 糸 が ゆ る ま な い 条件 は、 張力 T ≥ 0:
| 立式 | 条件 |
|---|---|
| m v² / r − m g ≥ 0 | v² ≥ g r |
| 最上点 の 最小[[速度 | そくど]] |
ポイント: バ ケ ツ を 振 り 回 し て 水 が こ ぼ れ な い の は、 こ の 条件 を 満 た し て い る か ら で す。 速 さ を 落 と し す ぎ る と、 最上点 で 水 が 落 ち て き ま す。
振り子 や 円運動 の 実験 は、 物体 が 周囲 の 人 や 機器 に 当 た る 危険 が あ り ま す。
| 場面 | 危険 | 対策 |
|---|---|---|
| 大 き な [[振り子 | ふりこ]] | お も り が 顔・頭 に 当 た る |
| ボール を 振 り 回 す | 糸 が 切 れ て 飛 び 散 る | 糸 の 強度 を 事前 に 確認、 周囲 を 空 け る |
| バ ネ [[振り子 | ふりこ]] | バ ネ が 跳 ね 返 る |
| 鉛直円運動 | 物体 が 落下 | 床 に マット、 真下 に 立 た な い |
| 高速回転 | 物 が 飛 び 出 す | 安全 カバー、 距離確保 |
| ストロボ・動画撮影 | 機材 の 転倒 | 三脚 と ク ラ ン プ で 固定 |
| ル ー ル | くわしく |
|---|---|
| ① [[保護メガネ | ほごメガネ]] |
| ② 軌道上 に 立 た な い | お も り の 通 り 道 か ら 1.5 m 以上離 れ る |
| ③ 糸・チェーン の [[強度 | きょうど]] |
| ④ 結 び 目 の 確認 | [[実験 |
| ⑤ 加速度 の 計算 | a = v²/r = (2π/T)² r ⇒ 想定 よ り 大 き い 力 |
| ⑥ 高速回転 は 短時間 | 摩擦 や 疲労 で 破損 し や す い |
| ⑦ 終了後 の 確認 | 糸 や バ ネ の 損傷 を 点検 |
大事: 1 m の 振り子 で 質量 1 kg を 振幅 0.5 m で 振 る と、 最下点 の 速度 は 約 2.2 m/s ( 力学的エネルギー保存則 よ り)。 ハンマー が 振 り か ぶ ら れ る 程度 の 衝撃 が あ り ま す。 軽 そ う に 見 え て も 油断 し な い で く だ さ い。
次の 章: こ こ ま で が 高校力学 の 基礎 「直線運動・円運動・単振動」 の 1 周目 で す。 次 の 章 か ら は 熱力学・波動・電磁気学 へ 進 み、 物理 の 全体像 を 広 げ て い き ま す。 力学 で 鍛 え た 「ベクトル」 「エネルギー保存」 「周期運動」 の 視点 が、 す べ て に 生 き ま す。