角柱かくちゅう・円柱えんちゅうの 体積たいせき

この章しょうで学まなぶこと

この章しょうでは、角柱かくちゅうと円柱えんちゅうの体積たいせきの求もとめ方かたを学まなびます。5年生ねんせいでは、直方体ちょくほうたいと立方体りっぽうたいの体積たいせきを たて × よこ × 高たかさ で求もとめられるようになりました。6年生ねんせいでは、この考かんがえ方かたを 三角柱さんかくちゅう・五ご角柱かくちゅう・円柱えんちゅう など、もっといろいろな柱はしらの形かたちに広ひろげていきます。

この章しょうが終おわるころには、つぎのことができるようになっています。

• 直方体ちょくほうたいの「たて × よこ」を 底面積ていめんせき としてとらえ直なおせる
• 角柱かくちゅう・円柱えんちゅうの体積たいせき = 底そこ面積めんせき × 高たかさ の公式こうしきを使つかえる
• 三角柱さんかくちゅう・四よん角柱かくちゅう・五ご角柱かくちゅう など、さまざまな角柱かくちゅうの体積たいせきを計算けいさんできる
• 円柱えんちゅうの体積たいせきを、円の面積えんのめんせきの公式こうしきと組み合わせくみあわせて計算けいさんできる
• 複合ふくごう立体りったい（組くみ合あわさった立体りったい）の体積たいせきを、足たし算ざん・引ひき算ざんで求もとめられる

ポイント: この章しょうのキーワードは「底そこ面積めんせき × 高たかさ」のひとこと。どんな柱はしらの立体りったいも、底面ていめんの形かたちがちがうだけで、計算けいさんのしくみは全部ぜんぶ同おなじです。5 年ねん生せいで学まなんだ直方体ちょくほうたいの体積たいせきを、見方みかたを変かえて広ひろげていきます。

1. 直方体ちょくほうたいの体積たいせきを、見方みかたを変かえてみよう

まずは 5 年生ねんせいの復習ふくしゅうからです。

たて 3cm、よこ 4cm、高たかさ 5cm の直方体ちょくほうたいの体積たいせきは、

直方体ちょくほうたいの体積たいせき = たて × よこ × 高たかさ 　　　　　　 = 3 × 4 × 5 　　　　　　 = 60cm³

これが 5 年生ねんせいまでの見方みかたです。

同おなじ式しきを、こう読よみ直なおしてみる

ここで、式しきを 2 つに分わけて考えかんがえてみましょう。

3 × 4 × 5 = （3 × 4）× 5

この「3 × 4」の部分ぶぶんは、じつは 底面ていめん（下したの面めん）の面積めんせき ですね。たて 3cm、よこ 4cm の長方形ちょうほうけいの面積めんせきなので、12cm²。

そしてこの 12cm² が、高たかさ 5cm ぶん 上にかさなっている イメージでとらえると、

直方体ちょくほうたいの体積たいせき = 底面ていめんの面積めんせき × 高さ 　　　　　　 = 12 × 5 　　　　　　 = 60cm³

結果けっかは同おなじですが、見方みかた が変かわりました。「たて × よこ × 高たかさ」を「底そこ面積めんせき × 高たかさ」と読よみ直なおしただけです。

なぜ この見方みかたが大切たいせつか？

この「底そこ面積めんせき × 高たかさ」という見方みかたのすごいところは、底面ていめんの形かたちが長方形ちょうほうけいじゃなくても使つかえる ことです。

直方体ちょくほうたいなら底面ていめんは長方形ちょうほうけいでしたが、底面ていめんが三角形さんかくけいでも、五角形ごかくけいでも、円えんでも、「底面ていめんの面積めんせきが同おなじ形かたちのままぴったり積つみ重かさなっている」立体りったいなら、同おなじ考かんがえ方かたが通用つうようするのです。

ポイント: 5 年生ねんせいの「たて × よこ × 高たかさ」は、底面ていめんが長方形ちょうほうけいのときだけの見方みかた。6 年ねん生せいでは、これを「底そこ面積めんせき × 高たかさ」に広ひろげます。考かんがえ方かたの土台どだいは変かわらず、使つかえる場面ばめんが広ひろがる のが 6 年生ねんせいの学まなびのおもしろさです。

2. 底面積ていめんせきということば

柱はしらの形かたちをした立体りったいの、底にある面（底面ていめん）の面積めんせきを 底面積ていめんせき といいます。

• 底面ていめんが長方形ちょうほうけい → 底そこ面積めんせき = たて × よこ
• 底面ていめんが三角形さんかくけい → 底そこ面積めんせき = 底辺ていへん × 高たかさ ÷ 2
• 底面ていめんが台形だいけい → 底そこ面積めんせき = （上底じょうてい + 下底かてい）× 高たかさ ÷ 2
• 底面ていめんが円えん → 底そこ面積めんせき = 半径はんけい × 半径はんけい × 3.14

つまり、底そこ面積めんせきを求もとめるには、5 年生ねんせいまでに学まなんだ 平面図形へいめんずけいの面積めんせきの公式こうしき がフル活用かつようされるわけです。

注意ちゅうい:三角柱さんかくちゅうなどの底そこ面積めんせきを求もとめるときに使つかう「三角形さんかくけいの高たかさ」と、柱はしら全体ぜんたいの「高たかさ」はべつものです。名前なまえが同おなじ「高たかさ」でも意味いみがちがうので、問題もんだい文ぶんや図ずをよく見みて区別くべつしましょう。

3. 角柱かくちゅう・円柱えんちゅうの体積たいせきの公式こうしき

いよいよメインの公式こうしきです。

角柱かくちゅう・円柱えんちゅうの体積たいせきの公式こうしき 体積たいせき ＝ 底面積ていめんせき × 高たかさ

この 1 つの式しきで、どんな柱はしらの立体りったいでも体積たいせきが求もとめられます。

どうしてこの公式こうしきでよいの？

底面ていめんの上うえに、同おなじ形かたちの面めんが 高さぶんぴったり積つみ重かさなっている のが「柱はしら」の立体りったいです。 たとえば、高たかさ 1cm ぶんの薄うすいスライス 1 まいの体積たいせきは、底そこ面積めんせき × 1 = 底そこ面積めんせき cm³ ですね。それが高たかさの数かずだけ重かさなっているので、全体ぜんたいは 底そこ面積めんせき × 高たかさ になるわけです。

これは、はがきのたばを想像そうぞうするとわかりやすいです。はがき 1 まいの面積めんせき（底そこ面積めんせき）に、はがきの数かず（高たかさ）をかければ、たば全体ぜんたいのかさ（体積たいせき）になりますね。

4. 三角柱さんかくちゅうの体積たいせき

底面ていめんが三角形さんかくけいの柱はしらを 三角柱さんかくちゅう といいます。

例題れいだい 1：底辺ていへん 6cm・高たかさ 4cm の直角ちょっかく三角形さんかくけいを底面ていめんとする、高たかさ 10cm の三角柱さんかくちゅう

まず底そこ面積めんせきを求もとめます。

底そこ面積めんせき = 6 × 4 ÷ 2 = 12cm²

つぎに公式こうしきにあてはめます。

体積たいせき = 底そこ面積めんせき × 高たかさ = 12 × 10 = 120cm³

例題れいだい 2：底辺ていへん 5cm・高たかさ 8cm の三角形さんかくけいを底面ていめんとする、高たかさ 15cm の三角柱さんかくちゅう

底そこ面積めんせき = 5 × 8 ÷ 2 = 20cm² 体積たいせき = 20 × 15 = 300cm³

ポイント:三角柱さんかくちゅうは、同おなじ三角柱さんかくちゅうを 2 つ合あわせるとぴったり 四よん角柱かくちゅう になる、という関係かんけいでも体積たいせきがわかります。でも、底そこ面積めんせき × 高たかさ の公式こうしきで一いち発はつなので、公式こうしきを使つかうのがいちばん速はやいですね。

5. 四よん角柱かくちゅう・五ご角柱かくちゅうの体積たいせき

底面ていめんが四角形しかくけい（長方形ちょうほうけい・台形だいけい・ひし形ひしがた・一般いっぱんの四角形しかくけい）なら四よん角柱かくちゅう、五角形ごかくけいなら五ご角柱かくちゅうです。

例題れいだい 3：底面ていめんが 上底じょうてい 4cm・下底かてい 6cm・高たかさ 3cm の台形だいけい、高たかさ 8cm の四よん角柱かくちゅう

底そこ面積めんせき = （上底じょうてい + 下底かてい）× 高たかさ ÷ 2 　　　 = （4 + 6）× 3 ÷ 2 　　　 = 10 × 3 ÷ 2 　　　 = 15cm²

体積たいせき = 15 × 8 = 120cm³

例題れいだい 4：底そこ面積めんせき 32cm²、高たかさ 10cm の五ご角柱かくちゅう

底面ていめんが五角形ごかくけいであっても、底そこ面積めんせきさえ与あたえられていれば計算けいさんはかんたんです。

体積たいせき = 32 × 10 = 320cm³

ポイント:底面ていめんが何なに角形かくがたでも、公式こうしきは同おなじ。底そこ面積めんせきをどう出だすかだけが変かわります。問題もんだい文ぶんを見みて、「まず底そこ面積めんせきをどう求もとめるか」に頭あたまを使つかうのがコツです。

6. 円柱えんちゅうの体積たいせき

底面ていめんが円えんの柱はしらを 円柱えんちゅう といいます。円柱えんちゅうの体積たいせきは、円の面積めんせきの公式こうしき と 角柱かくちゅうの公式こうしき を組み合わせくみあわせて求もとめます。

体積たいせき = 底そこ面積めんせき × 高たかさ 　　 = （半径はんけい × 半径はんけい × 3.14）× 高たかさ

例題れいだい 5：半径はんけい 3cm、高たかさ 10cm の円柱えんちゅう

底そこ面積めんせき = 3 × 3 × 3.14 = 9 × 3.14 = 28.26cm² 体積たいせき = 28.26 × 10 = 282.6cm³

例題れいだい 6：半径はんけい 5cm、高たかさ 8cm の円柱えんちゅう

底そこ面積めんせき = 5 × 5 × 3.14 = 25 × 3.14 = 78.5cm² 体積たいせき = 78.5 × 8 = 628cm³

例題れいだい 7：直径ちょっけい 10cm、高たかさ 20cm の円柱えんちゅう（ジュース缶かんのような形かたち）

直径ちょっけいが与あたえられているので、まず半径はんけいを求もとめます。半径はんけい = 10 ÷ 2 = 5cm。

底そこ面積めんせき = 5 × 5 × 3.14 = 78.5cm² 体積たいせき = 78.5 × 20 = 1570cm³

注意ちゅうい:円柱えんちゅうの問題もんだいでは、「半径はんけい × 半径はんけい × 3.14 × 高たかさ」を 1 本ほんの式しきに まとめて書かく のが便利べんりです。ただし、途中とちゅうでちがう長ながさをかけていないか、よく確認かくにんしましょう。

計算けいさんの工夫くふう：3.14 をあとにまわす

3.14 のかけ算ざんは、計算けいさんしにくいものです。そこで、3.14 を最後さいごにかける と計算けいさんがラクになります。

例題れいだい 5 を工夫くふうして計算けいさんすると、

体積たいせき = 3 × 3 × 3.14 × 10 　　 = 3 × 3 × 10 × 3.14 　　 = 90 × 3.14 　　 = 282.6cm³

答えこたえは同おなじです。でも「90 × 3.14」の方ほうが、「28.26 × 10」よりひと目めで計算けいさんしやすいですね。かけ算ざんは順序じゅんじょを入いれかえてよいので、3.14 を最後さいごにまわす ことをおすすめします。

7. 複合ふくごう立体りったい（組くみ合あわさった立体りったい）

いくつかの立体りったいが組くみ合あわさった形かたちも、足たし算ざん や 引ひき算ざん で体積たいせきを求もとめられます。

例題れいだい 8：直方体ちょくほうたいの上うえに、小ちいさな直方体ちょくほうたいがのっている形かたち

• 下したの直方体ちょくほうたい: たて 10cm、よこ 15cm、高たかさ 5cm → 体積たいせき 750cm³
• 上うえの直方体ちょくほうたい: たて 5cm、よこ 8cm、高たかさ 3cm → 体積たいせき 120cm³
• 合計ごうけい: 750 + 120 = 870cm³

例題れいだい 9：大おおきな直方体ちょくほうたいから、小ちいさな直方体ちょくほうたいをくりぬいた形かたち

• 大おおきい直方体ちょくほうたい: たて 10cm、よこ 20cm、高たかさ 10cm → 体積たいせき 2000cm³
• くりぬいた部分ぶぶん: たて 4cm、よこ 5cm、高たかさ 10cm → 体積たいせき 200cm³
• 合計ごうけい: 2000 − 200 = 1800cm³

例題れいだい 10：円柱えんちゅうの上うえに円柱えんちゅうがのっている形かたち

• 下したの円柱えんちゅう: 半径はんけい 5cm、高たかさ 6cm → 5 × 5 × 3.14 × 6 = 471cm³
• 上うえの円柱えんちゅう: 半径はんけい 3cm、高たかさ 4cm → 3 × 3 × 3.14 × 4 = 113.04cm³
• 合計ごうけい: 471 + 113.04 = 584.04cm³

ポイント:複合ふくごう立体りったいは、「どう分わければ 知しっている形かたちになるか」をまず考えかんがえます。足たす分わけ方も 引ひく分わけ方も考えかんがえられるので、計算けいさんしやすい方ほうをえらびましょう。

8. 体積たいせきの単位たんいと換算かんさん

体積たいせきの単位たんいも、あわせて確認かくにんしておきましょう。

• 1cm³ … 1 辺へんが 1cm の立方体りっぽうたいの体積たいせき
• 1m³ … 1 辺へんが 1m の立方体りっぽうたいの体積たいせき。1m³ = 1,000,000cm³
• 1L（リットル） … 1 辺へんが 10cm の立方体りっぽうたいの体積たいせき = 1000cm³
• 1mL = 1cm³

たとえば、半径はんけい 5cm、高たかさ 20cm の円柱えんちゅうの形かたちをしたコップの容積ようせきは、

5 × 5 × 3.14 × 20 = 1570cm³ = 1570mL = 1.57L

身みの回まわりのペットボトルや缶かんの容積ようせきを、公式こうしきで確たしかめてみると楽たのしいですよ。

9. 体積たいせきを求もとめるときの注意ちゅうい

注意ちゅうい 1：単位たんいをそろえる

長ながさの単位たんいがバラバラのときは、計算けいさん前まえにそろえて ください。たとえば半径はんけいが 10cm、高たかさが 1m なら、1m = 100cm に直なおしてから計算けいさんします。

注意ちゅうい 2：底面ていめんを正ただしく見みきわめる

「高たかさ」と書かかれていても、柱を寝ねかせた図 だと、底面ていめんが横よこを向むいていることがあります。底面ていめんは「同おなじ形かたちが繰くり返かえされる面めん」で、高たかさは 底面ていめんに垂直すいちょくな方向ほうこうの長ながさです。向むきにまどわされず、形かたちで見分みわけましょう。

注意ちゅうい 3：答えこたえの単位たんいは cm³（または m³）

面積めんせきの単位たんいは cm²、体積たいせきの単位たんいは cm³ です。右みぎ上じょうの小ちいさな数字すうじを「2」と書かくか「3」と書かくかを、しっかり意識いしきしましょう。

まとめ

この章しょうでは、角柱かくちゅう・円柱えんちゅうの体積たいせきを、直方体ちょくほうたいの体積たいせきからの 見方みかたの変更へんこう で一気いっきに広ひろげました。

• 直方体ちょくほうたいの「たて × よこ」は、じつは 底面積ていめんせき のこと
• 角柱かくちゅう・円柱えんちゅうの体積たいせき ＝ 底そこ面積めんせき × 高たかさ（形かたちにかかわらず同おなじ公式こうしき）
• 三角柱さんかくちゅう・四よん角柱かくちゅう・五ご角柱かくちゅう … 底そこ面積めんせきの出だし方かたはちがっても公式こうしきは共通きょうつう
• 円柱えんちゅうの体積たいせき = 半径はんけい × 半径はんけい × 3.14 × 高たかさ（円えんの面積めんせき × 高たかさ）
• 複合ふくごう立体りったいは、足たし算ざん・引ひき算ざん で分わけて計算けいさんする
• 1L = 1000cm³、1mL = 1cm³ の単位たんい関係かんけいも身みの回まわりでよく出でる

ポイント:公式こうしきを 1 つ覚おぼえるだけで、いろいろな立体りったいに使つかえる。これは、算数さんすうの「一般いっぱん化か」のちから を実感じっかんできる良よい例れいです。中学校ちゅうがっこうで学まなぶ「角かくすい」「円えんすい」や、高校こうこうの「積分せきぶん」まで、この「底そこ面積めんせき × 高たかさ」の考かんがえ方かたは、形かたちを変かえながらずっと続つづいていきます。

次つぎの章しょう「文字もじと 式しき」では、算数さんすうから数学すうがくへの橋はしわたしになる、文字もじ（x や y）を使つかった式 を学まなびます。公式こうしきを文字もじで書かくと、もっとスッキリまとまるようになりますよ。

まとめ — 角柱かくちゅう・円柱えんちゅう の 体積たいせき を 3 行あるき で

• 直方体ちょくほうたい の「たて × よこ」 は、じつは 底面積ていめんせき の こと。三角柱さんかくちゅう でも 円柱えんちゅう でも 同おなじ 考かんがえ方かた で 体積たいせき が 出だせる。
• 角柱かくちゅう・円柱えんちゅう の 体積たいせき ＝ 底そこ面積めんせき × 高たかさ。円柱えんちゅう なら「半径はんけい × 半径はんけい × 3.14 × 高たかさ」 に なる。
• 複雑ふくざつ な 立体りったい は 足たし算ざん や 引ひき算ざん で 分わけて 計算けいさん する。1 L ＝ 1000 cm³、1 mL ＝ 1 cm³ の 単位たんい関係かんけい も 身み の 回まわり で よく 使つかう。