分数ぶんすうの かけ算ざん・わり算ざん

この章しょうで学まなぶこと

この章しょうでは、分数ぶんすうのかけ算ざんとわり算ざんについて学まなびます。5年生ねんせいまでに、分数ぶんすうのたし算さん・ひき算さん、そして 分数ぶんすう×整数せいすう や 整数せいすう÷整数せいすうを分数ぶんすうで表あらわす ことは学習がくしゅうしてきました。6年生ねんせいでは、いよいよ 分数ぶんすうどうしのかけ算ざん・わり算ざん に進すすみます。これで、小学校しょうがっこうで学まなぶ四則しそく計算けいさんのまとめになります。

この章しょうが終おわるころには、つぎのことができるようになっています。

• 分数ぶんすう×整数せいすう、整数せいすう÷整数せいすうを分数ぶんすうで表あらわすことを、すらすら計算けいさんし直なおせる
• 分数ぶんすう×分数ぶんすう を「分子ぶんしどうし、分母ぶんぼどうしをかける」で計算けいさんできる
• 計算けいさんのとちゅうで 約分やくぶん して、答えこたえを簡単かんたんな分数ぶんすうで出だせる
• 逆数ぎゃくすう の意味いみと見みつけ方かたがわかる
• 分数ぶんすう÷分数ぶんすう を「わる数すうの逆数ぎゃくすうをかける」で計算けいさんできる
• 1 より小ちいさい数かずをかけたり、わったりすると、答えこたえがどうなるか説明せつめいできる
• 分数ぶんすうのまじったかけ算ざん・わり算ざん・たし算さん・ひき算さん（四則しそく混合こんごう）の順序じゅんじょを守まもって計算けいさんできる

ポイント:分数ぶんすうのかけ算ざん・わり算ざんは、数の意味いみと 計算けいさんのきまり の両方りょうほうがそろって初はじめて身みにつきます。手順てじゅんを覚おぼえるだけでなく、「なぜそう計算けいさんできるのか」もいっしょに考えかんがえていきましょう。

1. 分数ぶんすう×整数せいすうの復習ふくしゅう

5年生ねんせいで学まなんだ 分数ぶんすう×整数せいすう をまず思おもい出だしましょう。

$\frac{2}{5}\times 3$

これは「$\frac{2}{5}$ が 3 つ分ぶん」という意味いみです。$\frac{2}{5}$ というのは「1 を 5 つに分わけたうちの 2 つ分ぶん」なので、それが 3 回かい集あつまると「1 を 5 つに分わけたうちの 6 つ分ぶん」、つまり $\frac{6}{5}$ になります。

計算けいさんのルールとしては、分母ぶんぼはそのまま、分子ぶんしに整数せいすうをかけるだけです。

$\frac{2}{5}\times 3=\frac{2\times 3}{5}=\frac{6}{5}$

ポイント:分数ぶんすう×整数せいすうでは 分母ぶんぼは変かえません。「いくつに分わけるか」は変かわらず、「いくつ分ふんか」だけが増ふえるからです。

約分やくぶんできるときはしよう

$\frac{3}{4}\times 2=\frac{3\times 2}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$

最後さいごに約分やくぶんするのもよいのですが、計算けいさんのとちゅうで約分やくぶん した方ほうが数かずが小ちいさくて楽らくになります。

$\frac{3}{4}\times 2=\frac{3\times 2^1}{4_2}=\frac{3}{2}$

2 と 4 を先さきに 2 でわってから計算けいさんしました。結果けっかは同おなじ $\frac{3}{2}$ です。

2. 整数せいすう÷整数せいすうを分数ぶんすうで表あらわす

「3 ÷ 4」のように、整数せいすうどうしのわり算ざんで わり切きれない とき、その答えこたえを分数ぶんすうで表あらわすことができます。

$3÷4=\frac{3}{4}$

つまり、わられる数かずが分子ぶんし、わる数すうが分母ぶんぼになります。

$a÷b=\frac{a}{b}$

この見方みかたができると、どんなわり算ざんの答えこたえも 1 つの分数ぶんすうで書かき表あらわせるようになります。これは、このあと分数ぶんすう×分数ぶんすうや分数ぶんすう÷分数ぶんすうを考かんがえるときの 大切たいせつな土台どだい になります。

ポイント: 「$\frac{a}{b}$」は、「a を b でわった結果けっか」と見みることもできます。分数ぶんすうとわり算ざんは、じつは同おなじものを別べつの書かき方かたで表あらわしているのです。

3. 分数ぶんすう×分数ぶんすう

いよいよ本題ほんだいです。例れいとしてつぎの計算けいさんを考えかんがえましょう。

$\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}$

意味いみを考かんがえる

$\frac{2}{3}$ m のテープがあるとします。その $\frac{4}{5}$ にあたる長ながさは何なに m になるでしょうか。

「$\frac{4}{5}$ にあたる長ながさ」というのは、「5 つに分わけたうちの 4 つ分ぶんの長ながさ」という意味いみです。そこで、まず $\frac{2}{3}$ を 5 つに等分とうぶんしてみます。1 つ分ぶんは $\frac{2}{3}÷5=\frac{2}{3\times 5}=\frac{2}{15}$ m です。

そして、その 4 つ分ぶんだから $\frac{2}{15}\times 4=\frac{8}{15}$ m となります。

計算けいさんのルール

上うえの流ながれをまとめると、分数ぶんすう×分数ぶんすうは分子ぶんしどうし、分母ぶんぼどうしをかける と覚おぼえられます。

$\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d},\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}=\frac{8}{15}$

ポイント:分数ぶんすう×整数せいすうのときは「分母ぶんぼはそのまま」でしたが、分数ぶんすう×分数ぶんすうでは 分母ぶんぼどうしもかけます。整数せいすう 3 は「$\frac{3}{1}$」と見みれば、分数ぶんすう×分数ぶんすうのルールと同おなじだと確たしかめられます。

4. とちゅうで約分やくぶんすると楽らくになる

分数ぶんすう×分数ぶんすうでは、かけ算ざんを最後さいごまでせずに、とちゅうで約分やくぶんすることがよくあります。

例れい：

$\frac{4}{9}\times \frac{3}{8}$

そのまま計算けいさんすると $\frac{4\times 3}{9\times 8}=\frac{12}{72}$ となり、あとで約分やくぶんしないといけません。

そこで、分子ぶんしと分母ぶんぼで公約こうやく数すうをもつところを先さきにわってからかけると楽らくになります。

• 4 と 8 は 4 でわれる → 4 を 1 に、8 を 2 に
• 3 と 9 は 3 でわれる → 3 を 1 に、9 を 3 に

$\frac{4^1}{9_3}\times \frac{3^1}{8_2}=\frac{1\times 1}{3\times 2}=\frac{1}{6}$

ポイント:約分やくぶんのときに見みるのは 「ななめ」（左ひだりの分子ぶんしと右みぎの分母ぶんぼ、左ひだりの分母ぶんぼと右みぎの分子ぶんし）と 「たて」（同おなじ分数ぶんすうの中なかの分子ぶんしと分母ぶんぼ）です。どちらの組み合わせくみあわせでも、公約こうやく数すうがあれば先さきにわっておけます。

帯おび分数ぶんすうのあるかけ算ざん

帯分数たいぶんすうのままかけ算ざんするとまちがえやすいので、仮分数かぶんすうになおしてから計算けいさんしましょう。$1\frac{2}{3}\times \frac{3}{5}=\frac{5}{3}\times \frac{3}{5}=1$ のようにできます。

5. 逆数ぎゃくすう

分数ぶんすうのわり算ざんに進すすむ前まえに、逆数ぎゃくすう という言葉ことばを覚おぼえましょう。

2 つの数かずをかけて 1 になるとき、一方いっぽうを他方たほうの逆数ぎゃくすうといいます。

たとえば、

$\frac{2}{3}\times \frac{3}{2}=\frac{2\times 3}{3\times 2}=\frac{6}{6}=1$

だから、$\frac{2}{3}$ の逆数ぎゃくすうは $\frac{3}{2}$、$\frac{3}{2}$ の逆数ぎゃくすうは $\frac{2}{3}$ です。

逆数ぎゃくすうの見みつけ方かた

分数ぶんすうの逆数ぎゃくすうは、分子ぶんしと分母ぶんぼを入いれかえるだけで作つくれます。

$\frac{a}{b} の逆数は \frac{b}{a}$

もとの数かず	逆数ぎゃくすう
$\frac{3}{5}$	$\frac{5}{3}$
$\frac{1}{4}$	$\frac{4}{1}=4$
7	$\frac{1}{7}$
$2\frac{1}{2}$	$\frac{2}{5}$

• 整数せいすう 7 は $\frac{7}{1}$ と見みれば、逆数ぎゃくすうは $\frac{1}{7}$
• 帯おび分数ぶんすう$2\frac{1}{2}$ はまず仮かり分数ぶんすう$\frac{5}{2}$ に直なおしてから入いれかえて $\frac{2}{5}$

ポイント: 0 には逆数ぎゃくすうがありません。何なにかに 0 をかけても答えこたえは 0 で、1 にはならないからです。

6. 分数ぶんすう÷分数ぶんすう

分数ぶんすう÷分数ぶんすうは、じつは 逆数ぎゃくすう のかけ算ざんにすればできます。

$\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}$

つまり、わる数すうの分子ぶんしと分母ぶんぼを入いれかえて、かけ算ざんに変かえる のです。

例れいで計算けいさん

$\frac{2}{3}÷\frac{4}{5}$

$\frac{4}{5}$ の逆数ぎゃくすうは $\frac{5}{4}$ だから、

$\frac{2}{3}\times \frac{5}{4}=\frac{2^1\times 5}{3\times 4_2}=\frac{5}{6}$

なぜ逆数ぎゃくすうをかけるとうまくいくの？

「わり算ざんは、わる数すうと同おなじ数かずを両方りょうほうにかけても答えこたえは変かわらない」という性質せいしつがありました。そこで、$\frac{4}{5}$ の逆数ぎゃくすう$\frac{5}{4}$ を両方りょうほうにかけてみます。

$\frac{2}{3}÷\frac{4}{5}=(\frac{2}{3}\times \frac{5}{4})÷(\frac{4}{5}\times \frac{5}{4})=(\frac{2}{3}\times \frac{5}{4})÷1=\frac{2}{3}\times \frac{5}{4}$

わる数すうが 1 になるので、かけ算ざんだけ残のこるのです。

ポイント:手順てじゅんは「わる数すうの逆数ぎゃくすうをかける」と覚おぼえればバッチリです。整数せいすうでわるときも、$\frac{1}{}$ をかけると考えかんがえられます。たとえば $\frac{3}{4}÷2=\frac{3}{4}\times \frac{1}{2}=\frac{3}{8}$。

7. 1 より小ちいさい数かずをかけたり、わったりすると？

整数せいすうのかけ算ざんでは「かければ大おおきくなる」と思おもいこみがちですが、1 より小ちいさい数かずをかけると、かえって小ちいさくなります。分数ぶんすうでも同おなじです。

かけ算ざんの場合ばあい

$6\times \frac{1}{2}=3$

6 に $\frac{1}{2}$ をかけたら、答えこたえは 6 より小ちいさい 3 になりました。かけ算ざんは「倍ばいにする」操作そうさなので、1 より小ちいさい数かずをかけるのは「半分はんぶんにする」ように、もとより小ちいさくする動うごきです。

• 1 より大おおきい数をかける → もとより 大おおきくなる
• 1をかける → 変かわらない
• 1 より小ちいさい数かず（0 を除のぞく）をかける → もとより 小ちいさくなる

わり算ざんの場合ばあい

$6÷\frac{1}{2}=6\times 2=12$

6 を $\frac{1}{2}$ でわったら、答えこたえは 6 より大おおきい 12 になりました。わり算ざんは「1 あたりはいくつかを求もとめる」動うごきなので、小ちいさい数かずでわると 1 あたりは大おおきくなるのです。

• 1 より大おおきい数でわる → もとより 小ちいさくなる
• 1でわる → 変かわらない
• 1 より小ちいさい数かず（0 を除のぞく）でわる → もとより 大おおきくなる

注意ちゅうい: 「かけたから大おおきい」「わったから小ちいさい」と決きめつけないこと。1 より大おおきいか小ちいさいかで結果けっかの向むきが決きまります。

8. 四則しそく混合こんごうの計算けいさん

たし算さん・ひき算さん・かけ算ざん・わり算ざんがまじった式しき（四則しそく混合こんごう）の計算けいさんは、計算けいさんの順序じゅんじょをきちんと守まもって進すすめましょう。

計算けいさんの順序じゅんじょ

1. かっこ ( ) の中
2. かけ算ざん・わり算ざん（左ひだりから順じゅん）
3. たし算さん・ひき算（左ひだりから順じゅん）

例れい 1

$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\times \frac{3}{4}$

先にかけ算ざんをします。

$=\frac{1}{2}+\frac{1\times 3^1}{3_1\times 4_4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

例れい 2

$(\frac{2}{3}+\frac{1}{6})÷\frac{5}{4}$

まずかっこの中なかを計算けいさんします。

$=\frac{4}{6}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$

つぎにわり算ざんをかけ算ざんに直なおします。

$\frac{5}{6}÷\frac{5}{4}=\frac{5^1\times 4^2}{6_3\times 5_1}=\frac{2}{3}$

小数しょうすうと分数ぶんすうがまじるときは、$0.3=\frac{3}{10}$、$0.25=\frac{1}{4}$ のように 小数しょうすうを分数ぶんすうに直なおしてから計算けいさん すると、約分やくぶんがきれいに決きまることが多おおいのでおすすめです。

9. 計算けいさんのきまりは分数ぶんすうでも成なり立たつ

整数せいすうや小数しょうすうで使つかってきた、つぎのきまりは 分数ぶんすうでもそのまま成なり立たちます。

• 交かんのきまり: $a\times b=b\times a$
• 結合けつごうのきまり: $(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$
• 分配ぶんぱいのきまり: $(a+b)\times c=a\times c+b\times c$

たとえば、

$(\frac{1}{2}+\frac{1}{3})\times 6=\frac{1}{2}\times 6+\frac{1}{3}\times 6=3+2=5$

このように、計算けいさんを楽らくにする道具どうぐ として使つかっていきましょう。

10. つまずきやすいポイント

• 分数ぶんすう×整数せいすうと分数ぶんすう×分数ぶんすうのちがい：分数ぶんすう×分数ぶんすうでは 分母ぶんぼどうしもかける。整数せいすうは $\frac{1}{}$ と見みればルールは同おなじ
• わり算ざんの向むき：$\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}$ では、わる数すう（うしろ） の分子ぶんし分母ぶんぼを入いれかえる。わられる数かずではない
• 約分やくぶんは先さきにする：かけ算ざんしてから約分やくぶんよりも、とちゅうで約分やくぶんした方ほうが数かずが小ちいさくて楽らく
• 帯おび分数ぶんすうは仮かり分数ぶんすうに直なおす：そのままかけ算ざん・わり算ざんしない
• 1 より小ちいさい数をかけると小ちいさく、わると大おおきくなる（整数せいすうの感覚かんかくと逆ぎゃくになることがある）
• 四則しそく混合こんごう：かっこ → かけ算ざん・わり算ざん → たし算さん・ひき算さん の順じゅんを守まもる

まとめ

• 分数ぶんすう×分数ぶんすうは 分子ぶんしどうし、分母ぶんぼどうしをかける：$\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}$
• とちゅうで 約分やくぶん すると計算けいさんが楽らくになる
• 逆数ぎゃくすう：かけて 1 になる数かず。分数ぶんすうなら 分子ぶんしと分母ぶんぼを入いれかえる
• 分数ぶんすう÷分数ぶんすうは わる数すうの逆数ぎゃくすうをかける：$\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}$
• 1 より小ちいさい数をかけるともとより小ちいさく、わるともとより大おおきくなる
• 四則しそく混合こんごうでは かっこ → ×・÷ → +・− の順じゅん
• 交かん・結合けつごう・分配ぶんぱいのきまりは、分数ぶんすうでもそのまま成なり立たつ