対称たいしょうな 図形ずけい

この章しょうで学まなぶこと

この章しょうでは、対称たいしょうな図形ずけいについて学まなびます。チョウのはねや雪ゆきのけっしょう、車くるまのマークや都道府県とどうふけんのマークなど、左右さゆうや上下じょうげがぴったりそろった形が、わたしたちの身みのまわりにはたくさんあります。こうした「整ととのった形かたち」を算数さんすうのことばで表あらわすのが 対称たいしょう という見方みかたです。

この章しょうが終おわるころには、つぎのことができるようになっています。

• 線対称せんたいしょう な図形ずけいとはどんな形かたちかがわかり、対称たいしょう の 軸じく を見みつけられる
• 線せん対称たいしょうな図形ずけいで、対応たいおうする点てん・辺へん・角かくを見みつけられる
• 点対称てんたいしょう な図形ずけいとはどんな形かたちかがわかり、対称の中心たいしょうのちゅうしん を見みつけられる
• 点てん対称たいしょうな図形ずけいで、対応たいおうする点てん・辺へん・角かくを見みつけられる
• 三角形さんかくけい・四角形しかくけい・正多角形せいたかっけい・円えんが、線せん対称たいしょうか、点てん対称たいしょうか、両方りょうほうか、どちらでもないかを見分みわけられる
• 身みのまわりから対称たいしょうな図形ずけいを見みつけ出だせる

ポイント: この章しょうのキーワードは 「動うごかしても重かさなる」。折おり目めで折おって重かさなるのが線せん対称たいしょう、くるっと 180 度ど回まわして重かさなるのが点てん対称たいしょうです。手てを動うごかして、実じつさいに紙かみを折おったり回まわしたりしながら学まなぶと、よくわかります。

1. 線せん対称たいしょうとは

1 本ほんの直線ちょくせんを折おり目めにして 2 つに折おったとき、折おり目めの両りょうがわが ぴったり重かさなる図形ずけいを 線対称せんたいしょう な図形ずけいといいます。

その折おり目めにした直線ちょくせんのことを 対称たいしょう の 軸じく といいます。

身近みぢかな例

• アルファベットの「A」「M」「T」「U」「V」「W」「Y」など
• カタカナの「エ」「コ」「ヒ」「ミ」「ム」「ユ」など
• チョウのはね、葉はっぱ、だるま、新幹線しんかんせんを正面しょうめんから見みた形かたち

ポイント: 「左右さゆうがそろって見みえる」と感かんじたら、まず線せん対称たいしょうかな？ と思おもいましょう。そして、どこで折おればぴったり重かさなるかを考かんがえると、それが対称たいしょうの軸じくになります。

対称たいしょうの軸じくは 1 本ほんとはかぎらない

正方形せいほうけいや長方形ちょうほうけいのように、対称たいしょうの軸じくが何なん本ほんもある図形ずけいもあります。

• 長方形ちょうほうけい：対称たいしょうの軸じくは 2 本（たてと横よこの中央ちゅうおうを通とおる直線ちょくせん）
• 正方形せいほうけい：対称たいしょうの軸じくは 4 本（たて、横よこ、対角線たいかくせん 2 本ほん）
• 正三角形せいさんかっけい：対称たいしょうの軸じくは 3 本
• 円えん：対称たいしょうの軸じくは 数かぞえきれないほど（中心ちゅうしんを通とおるすべての直線ちょくせん）

2. 線せん対称たいしょうな図形ずけいで対応たいおうするもの

線せん対称たいしょうな図形ずけいを折おり目めでぴったり重かさねたとき、重かさなり合あう 点・辺へん・角 のことを、それぞれ「対応たいおうする点てん」「対応たいおうする辺あたり」「対応たいおうする角かく」といいます。

対応たいおうするもの	どういう関係かんけいか
対応たいおうする点てん	折おったときに重かさなる 2 つの点てん
対応たいおうする辺あたり	折おったときに重かさなる 2 つの辺あたり（長ながさが等ひとしい）
対応たいおうする角かく	折おったときに重かさなる 2 つの角かく（大おおきさが等ひとしい）

大切たいせつな性質せいしつ

線せん対称たいしょうな図形ずけいには、つぎの大切たいせつな性質せいしつがあります。

1. 対応たいおうする辺あたりの長ながさは等ひとしい
2. 対応たいおうする角かくの大おおきさは等ひとしい
3. 対応たいおうする 2 つの点てんを結むすぶ直線ちょくせんは、対称たいしょうの軸じくと垂直すいちょくに交まじわる
4. 対応たいおうする 2 つの点てんから対称たいしょうの軸じくまでのきょりは等ひとしい（軸じくで 2 等分とうぶんされる）

性質せいしつ 3 と 4 をまとめると、「対応たいおうする 2 点てんを結むすぶ線分せんぶんは、対称たいしょうの軸じくによって垂直すいちょくに 2 等分とうぶんされる」となります。これは、線せん対称たいしょうな図形ずけいを作図さくずするときのいちばん大事だいじなきまりです。

ポイント:対応たいおうする点てんをむすぶとき、必かならず対称たいしょうの軸じくと直角ちょっかくに交まじわるところがポイント。ななめに引ひいてしまうと、折おっても重かさなりません。

線せん対称たいしょうな図形ずけいを作図さくずする

「半分はんぶんだけ書かかれた線せん対称たいしょうな図形ずけいを完成かんせいさせなさい」という問題もんだいでは、つぎのように進すすめます。

1. もとの図形ずけいの ちょう点てんから対称たいしょうの軸じくに垂直すいちょくな線 を引ひく
2. 軸じくをこえて、軸じくまでのきょりと同おなじ長ながさ だけ反対はんたいがわにのばし、そこに点てんをうつ
3. すべてのちょう点てんで同おなじことをして、その点てんをじゅんに直線ちょくせんで結むすぶ

こうすれば、反対はんたいがわにぴったり重かさなる図形ずけいが作つくれます。

3. 点てん対称たいしょうとは

1 つの点てんを中心ちゅうしんにして 180 度ど回転かいてん（半はん回転かいてん）させたとき、もとの図形ずけいと ぴったり重かさなる図形ずけいを 点対称てんたいしょう な図形ずけいといいます。

そのとき、中心ちゅうしんにした点てんのことを 対称の中心たいしょうのちゅうしん といいます。

身近みぢかな例

• アルファベットの「H」「I」「N」「O」「S」「X」「Z」
• 数字すうじの「0」「8」、トランプのハートではなくダイヤやスペード（見方みかたによる）
• 平行四辺形へいこうしへんけい、長方形ちょうほうけい、ひし形ひしがた、正方形せいほうけい
• 風車かざぐるまのはね、トランプの絵え札さつの向むき

ポイント:線せん対称たいしょうが「折おる」操作そうさだったのに対たいし、点てん対称たいしょうは「回まわす」操作そうさで重かさなるかを見みます。図形ずけいの真まん中なかあたりを指ゆびでおさえて、くるっと 180 度ど回まわすところをイメージしてみましょう。

対称たいしょうの中心ちゅうしんの見みつけ方かた

点てん対称たいしょうな図形ずけいの対称たいしょうの中心ちゅうしんは、対応たいおうする 2 つの点てんを結むすぶ直線ちょくせん を引ひいたとき、その直線ちょくせんたちが 1 点てんで交まじわる ところにあります。

4. 点てん対称たいしょうな図形ずけいで対応たいおうするもの

点てん対称たいしょうな図形ずけいを、対称たいしょうの中心ちゅうしんのまわりに 180 度ど回まわしたときに重かさなる点てん・辺へん・角かくを、それぞれ「対応たいおうする点てん」「対応たいおうする辺あたり」「対応たいおうする角かく」といいます。

大切たいせつな性質せいしつ

点てん対称たいしょうな図形ずけいには、つぎの大切たいせつな性質せいしつがあります。

1. 対応たいおうする辺あたりの長ながさは等ひとしい
2. 対応たいおうする角かくの大おおきさは等ひとしい
3. 対応たいおうする 2 つの点てんを結むすぶ直線ちょくせんは、対称たいしょうの中心ちゅうしんを通とおる
4. 対応たいおうする 2 つの点てんから対称たいしょうの中心ちゅうしんまでのきょりは等ひとしい（中心ちゅうしんで 2 等分とうぶんされる）

つまり、対応たいおうする 2 点てんを結むすぶ線分せんぶんは、対称たいしょうの中心ちゅうしんによって 2 等分とうぶんされる のです。線せん対称たいしょうでは「軸じくで垂直すいちょくに 2 等分とうぶん」、点てん対称たいしょうでは「中心ちゅうしんで 2 等分とうぶん」と、似にていますが少すこしちがいます。

線せん対称たいしょう	点てん対称たいしょう
折おり目めで折おると重かさなる	180 度ど回まわすと重かさなる
対称たいしょうの軸じく（直線ちょくせん）	対称たいしょうの中心ちゅうしん（点てん）
対応たいおうする点てんを結むすぶ線分せんぶんは、軸じくに垂直すいちょくで、軸じくで 2 等分とうぶんされる	対応たいおうする点てんを結むすぶ線分せんぶんは、中心ちゅうしんを通とおり、中心ちゅうしんで 2 等分とうぶんされる

点てん対称たいしょうな図形ずけいを作図さくずする

半分はんぶんだけ書かかれた点てん対称たいしょうな図形ずけいを完成かんせいさせるときは、つぎのようにします。

1. もとの図形ずけいの ちょう点てんと対称たいしょうの中心ちゅうしん を直線ちょくせんで結むすぶ
2. その直線ちょくせんを 対称たいしょうの中心ちゅうしんをこえて同おなじ長ながさだけのばし、そこに点てんをうつ
3. すべてのちょう点てんで同おなじことをして、その点てんをじゅんに直線ちょくせんで結むすぶ

5. 多角たかく形がたの対称たいしょう性せい

これまで学まなんだ三角形さんかくけい・四角形しかくけい・正多角形せいたかっけいを、対称たいしょうの観点かんてんから見直みなおしてみましょう。

三角形さんかくけい

三角形さんかくけい	線せん対称たいしょう	対称たいしょうの軸じくの数かず	点てん対称たいしょう
正三角形せいさんかっけい	○	3	×
二等辺三角形にとうへんさんかっけい	○	1	×
直角ちょっかく三角形さんかくけい（正三角形せいさんかっけい・二に等辺とうへん以外いがい）	×	0	×

ポイント:三角形さんかくけいには 点てん対称たいしょうな図形ずけいはありません。三角形さんかくけいを 180 度ど回まわすと、必かならず向むきが逆ぎゃくになります。

四角形しかくけい

四角形しかくけい	線せん対称たいしょう	対称たいしょうの軸じくの数かず	点てん対称たいしょう
正方形せいほうけい	○	4	○
長方形ちょうほうけい	○	2	○
ひし形ひしがた	○	2（対角線たいかくせん）	○
平行四辺形へいこうしへんけい	×	0	○
台形だいけい（等とうきゃく台形だいけいを除のぞく）	×	0	×
等とうきゃく台形だいけい	○	1	×

平行四辺形へいこうしへんけいは、線せん対称たいしょうではないけれど 点てん対称たいしょうです。はんたいに、等とうきゃく台形だいけいは 線せん対称たいしょうだけれど点てん対称たいしょうではありません。

正多角形せいたかっけい

正多角形せいたかっけいはどれも 対称たいしょうの軸じくが多おおい のがとくちょうです。

正多角形せいたかっけい	線せん対称たいしょう	対称たいしょうの軸じくの数かず	点てん対称たいしょう
正三角形せいさんかっけい	○	3	×
正方形せいほうけい（正せい四角形しかくけい）	○	4	○
正五角形せいごかっけい	○	5	×
正六角形せいろっかっけい	○	6	○
正せい七なな角形かくがた	○	7	×
正せい八はち角形かくがた	○	8	○

きまり

• 正ただし n 角形かくがたは、対称たいしょうの軸じくが n 本 あります
• 正ただし n 角形かくがたは、n が偶ぐう数すうのときだけ点てん対称たいしょうになります（正方形せいほうけい、正六角形せいろっかっけい、正せい八はち角形かくがた…）

円

円は、線せん対称たいしょうでも点てん対称たいしょうでも、とくべつにうつくしい図形ずけいです。

• 中心ちゅうしんを通とおるどんな直線ちょくせんも 対称たいしょうの軸じく（軸じくは無数むすうにある）
• 中心ちゅうしんが 対称たいしょうの中心ちゅうしん（どんな角度かくどで回まわしても重かさなるので、とうぜん 180 度ど回まわしても重かさなる）

ポイント:円は「あらゆる向むきに対たいして対称たいしょう」な、もっとも整ととのった図形ずけいです。だからこそ、お皿さら、タイヤ、時計とけいの文字もじばんなど、身みのまわりでたくさん使つかわれています。

6. 身みのまわりの対称たいしょうな図形ずけい

対称たいしょうな図形ずけいは、身みのまわりのいろいろなところで見みつかります。

• 都道府県とどうふけんのマーク：多おおくが線せん対称たいしょうや点てん対称たいしょうに作つくられている（見みた目めの安定あんてい感かんのため）
• 建物たてもの：神社じんじゃや寺てらの正面しょうめん、お城しろの石いしがき、ヨーロッパの古ふるい教会きょうかいなどは線せん対称たいしょうなつくりが多おおい
• しょっ器うつわ・道具どうぐ：おちゃわん、コップ、ふえ、さら
• 自然しぜんの中：チョウ、トンボ、葉はっぱ、雪ゆきのけっしょう
• 文字もじや記号きごう：ひらがなの「め」「ゆ」、漢字かんじの「回かい」「口くち」「田た」「日ひ」「同どう」「中なか」など

考えかんがえてみよう

• 自分じぶんの名前なまえの文字もじのうち、線せん対称たいしょう・点てん対称たいしょうになっているものはあるでしょうか？
• 学校がっこうや家いえの中なかで、対称たいしょうな形かたちをさがしてみましょう。

ポイント:対称たいしょうな形かたちは 安定あんてい感かんやうつくしさ を感かんじさせるため、マークやデザインでよく使つかわれます。「なぜこの形かたちなのか」を考かんがえる目めをもつと、算数さんすうが生活せいかつとつながって見みえてきます。

7. つまずきやすいポイント

• 線せん対称たいしょうと点てん対称たいしょうのちがい：線せん対称たいしょうは「折おる」、点てん対称たいしょうは「回まわす（180 度ど）」
• 対応たいおうする点：線せん対称たいしょうは 軸じくをはさんで向むかい、点てん対称たいしょうは 中心ちゅうしんをはさんで反対はんたいがわ にある
• 対称たいしょうの軸じくは 1 本ほんとはかぎらない：正方形せいほうけいなら 4 本ほん、円えんなら無数むすう
• 平行四辺形へいこうしへんけいは線せん対称たいしょうではないけれど 点てん対称たいしょう。まぎらわしいので注意ちゅうい
• 正 n 角形かくがたが点てん対称たいしょうになるのは n が偶ぐう数すうのとき：正三角形せいさんかっけいや正五角形せいごかっけいは点てん対称たいしょうではない
• 対応たいおうする 2 点てんを結むすぶ線分せんぶん：線せん対称たいしょうでは 軸じくに垂直すいちょくで軸じくで 2 等分とうぶん、点てん対称たいしょうでは 中心ちゅうしんを通とおり中心ちゅうしんで 2 等分とうぶん

まとめ

• 線対称せんたいしょう：1 本ほんの直線ちょくせんで折おると重かさなる図形ずけい。その直線ちょくせんが 対称たいしょう の 軸じく
• 線せん対称たいしょうでは、対応たいおうする点てんを結むすぶ線分せんぶんは対称たいしょうの軸じくに垂直すいちょくで、軸じくで 2 等分とうぶんされる
• 点対称てんたいしょう：1 つの点てんを中心ちゅうしんに 180 度ど回まわすと重かさなる図形ずけい。その点てんが 対称の中心たいしょうのちゅうしん
• 点てん対称たいしょうでは、対応たいおうする点てんを結むすぶ線分せんぶんは対称たいしょうの中心ちゅうしんを通とおり、中心ちゅうしんで 2 等分とうぶんされる
• 対応たいおうする 辺の長ながさ・角かくの大おおきさは等ひとしい（線せん対称たいしょうでも点てん対称たいしょうでも）
• 正ただし n 角形かくがたは 対称たいしょうの軸じくが n 本、n が偶ぐう数すうのときだけ点てん対称たいしょう
• 円えんは対称たいしょうの軸じくが無数むすうにあり、中心ちゅうしんが対称たいしょうの中心ちゅうしん。もっとも整ととのった図形ずけい
• 対称たいしょうな形かたちは、身みのまわりのデザインや自然しぜんにたくさん見みつかる