円えんの 面積めんせき

この章しょうで学まなぶこと

この章しょうでは、円の面積めんせきの求もとめ方かたを学まなびます。5年生ねんせいでは、三角形さんかくけい・平行四辺形へいこうしへんけい・ひし形ひしがた・台形だいけいといった 直線ちょくせんで囲かこまれた図形ずけい の面積めんせきを、長方形ちょうほうけいに変形へんけいする工夫くふうによって求もとめられるようになりました。6年生ねんせいでは、ついに 曲線きょくせんで囲かこまれた図形ずけい である円えんの面積めんせきに挑戦ちょうせんします。

この章しょうが終おわるころには、つぎのことができるようになっています。

• 円えんを細こまかく分わけて並ならべ替かえると、長方形ちょうほうけいに近ちかい形になることを説明せつめいできる
• 円の面積えんのめんせき = 半径はんけい × 半径はんけい × 3.14 の公式こうしきを使つかって、面積めんせきを計算けいさんできる
• 直径ちょっけいから半径はんけいを求もとめて、円えんの面積めんせきを計算けいさんできる
• おうぎ形おうぎがた の面積めんせきを、中心角ちゅうしんかくの大おおきさから求もとめられる
• 身みの回まわりにある複雑ふくざつな形かたちの およその面積およそのめんせき を、長方形ちょうほうけいや三角形さんかくけいなどに近ちかづけて求もとめられる

ポイント:円は曲線きょくせんでできているので、そのままでは面積めんせきを求もとめられません。しかし「細こまかく切きって並ならべ替かえれば、知しっている形かたちになる」という考かんがえ方かたを使つかえば、公式こうしきまで導みちびけます。これは中学校ちゅうがっこう・高校こうこうの数学すうがくでもずっと使つかう大切たいせつな発想はっそうです。

1. 円えんの面積めんせきは、どれくらいの大おおきさ？

まずは公式こうしきに入はいる前まえに、およその大おおきさの見通みとおしを持もつことが大切たいせつです。

半径はんけい 10cm の円えんを考えかんがえてみましょう。この円えんにぴったり入はいる正方形せいほうけい（内接ないせつする正方形せいほうけい）と、この円えんをぴったり囲かこむ正方形せいほうけい（外接がいせつする正方形せいほうけい）を考えかんがえます。

• 外側そとがわの正方形せいほうけい: 1 辺へんが 20cm（直径ちょっけいと同おなじ）→ 面積めんせきは 20 × 20 = 400cm²
• 内側うちがわの正方形せいほうけい: 対角線たいかくせんが 20cm の正方形せいほうけい → 面積めんせきは 20 × 20 ÷ 2 = 200cm²

円の面積めんせきは、この 2 つの正方形せいほうけいの面積めんせきの間 にあるはずです。つまり、

200cm² < 円の面積 < 400cm²

もう少すこしくわしく見みるなら、半径はんけいを 1 辺へんとする正方形せいほうけい（10 × 10 = 100cm²）の 何なん倍ばいになるか に注目ちゅうもくします。じつはこの倍率ばいりつこそが、円周率えんしゅうりつ 3.14 に対応たいおうしているのです。

ポイント:円の面積めんせきを求もとめる前まえに、「きっとこれくらいの大おおきさだな」と見当けんとうをつけるくせをつけましょう。計算けいさんミスに気きづく力ちからになります。

2. 公式こうしきを導みちびこう：円えんを細こまかく分わけて並ならべ替かえる

いよいよ、円えんの面積めんせきの求もとめ方かたを考えかんがえます。

円えんをピザのように、中心ちゅうしんから 同おなじ大おおきさのおうぎ形 にたくさん切きり分わけます。そして、切きったピースを上下じょうげこうごに向むきを変かえて、横よこに並ならべていきます。

• 4 等分とうぶんだと、かなり でこぼこ した形かたちになります
• 8 等分とうぶん、16 等分とうぶん、32 等分とうぶん … と細こまかくしていくと、だんだん 長方形ちょうほうけいに近ちかづく ことが見みえてきます

細こまかく分わければ分わけるほど、並ならべ替かえた形かたちは きれいな長方形ちょうほうけい に近ちかづいていきます。

並ならべ替かえた長方形ちょうほうけいの「たて」と「よこ」

細こまかく切きって並ならべ替かえた長方形ちょうほうけいを、よく観察かんさつしてみましょう。

• よこの長ながさ … 円周えんしゅうの半分はんぶん。つまり 直径ちょっけい × 円周えんしゅう率りつ ÷ 2 = 半径はんけい × 円周えんしゅう率りつ
• たての長ながさ … もとの円えんの 半径はんけい

なぜでしょうか？ 円えんの外周がいしゅう（円周えんしゅう）を上下じょうげに半分はんぶんずつ分わけて、互たがいちがいに並ならべたので、長方形ちょうほうけいの長ながい辺へん 2 本ほんぶんが円周えんしゅう 1 本ほんぶんに当あたります。だから、よこの長ながさは円周えんしゅうの半分はんぶんなのです。たての長ながさは、それぞれのおうぎ形がたの「とがった先さきから弧こまで」の長ながさ、つまり半径はんけいそのものです。

公式こうしきの完成かんせい

長方形ちょうほうけいの面積めんせきは たて × よこ でした。これを円えんの場合ばあいにあてはめると、

（円えんの面積めんせき）= （たて）× （よこ） 　　　　　 = （半径はんけい）×（半径はんけい × 円周えんしゅう率りつ） 　　　　　 = 半径はんけい × 半径はんけい × 円周えんしゅう率りつ

となります。円周えんしゅう率りつは 3.14 を使つかうので、まとめると次つぎのようになります。

円の面積えんのめんせき の公式こうしき 円の面積めんせき ＝ 半径はんけい × 半径はんけい × 3.14

この公式こうしきは、半径はんけいを 1 辺へんとする正方形せいほうけいの面積めんせきの 3.14 倍 と読よむこともできます。「半径はんけい × 半径はんけい」の部分ぶぶんが正方形せいほうけい 1 つぶんの面積めんせきで、それを 3.14 倍ばいしているからです。

注意ちゅうい:公式こうしきで使つかうのは 半径はんけい です。直径ちょっけいが与あたえられたときは、まず半分はんぶんにして半径はんけいを求もとめましょう。ここで直径ちょっけいのまま計算けいさんしてしまうミスがとても多おおいので、気きをつけてください。

3. 円えんの面積めんせきを計算けいさんしてみよう

公式こうしきを使つかって、実じつさいに計算けいさんしてみましょう。

例題れいだい 1：半径はんけい 5cm の円えん

円えんの面積めんせき = 5 × 5 × 3.14 　　　　 = 25 × 3.14 　　　　 = 78.5cm²

例題れいだい 2：半径はんけい 10cm の円えん

円えんの面積めんせき = 10 × 10 × 3.14 　　　　 = 100 × 3.14 　　　　 = 314cm²

先さきほど見当けんとうをつけたとき、「200cm² と 400cm² の間まにあるはず」と予想よそうしましたね。314cm² は、ちゃんとその間かんに入はいっています。見通みとおしが合あっていたことが確認かくにんできました。

例題れいだい 3：直径ちょっけい 14cm の円えん

直径ちょっけいが与あたえられているので、まず半径はんけいを求もとめます。半径はんけい = 14 ÷ 2 = 7cm。

円えんの面積めんせき = 7 × 7 × 3.14 　　　　 = 49 × 3.14 　　　　 = 153.86cm²

ポイント: 49 × 3.14 のような小数しょうすうのかけ算ざんは、まず整数せいすうどうしのかけ算ざんとして計算けいさんし、さいごに小数点しょうすうてんを打うつのがコツです。49 × 314 = 15386 なので、小数点しょうすうてんを 2 けた ずらして 153.86 となります。

例題れいだい 4：直径ちょっけい 20cm の円えん

半径はんけい = 20 ÷ 2 = 10cm。

円えんの面積めんせき = 10 × 10 × 3.14 = 314cm²

半径はんけい 10cm の円えんと同おなじ答えこたえになりました。当然とうぜんですね。直径ちょっけい 20cm の円えんと半径はんけい 10cm の円えんは同おなじ円えんだからです。

4. おうぎ形がたの面積めんせき

円えんを切きり分わけたピースのような形かたちを、おうぎ形おうぎがた といいます。2 本ほんの半径はんけいと、その間かんの弧こで囲かこまれた図形ずけいのことです。

おうぎ形がたの大おおきさは、中心ちゅうしん角かく（2 本ほんの半径はんけいの間まの角度かくど）で決きまります。円えん 1 周しゅうぶんは 360° なので、たとえば中心ちゅうしん角かくが 90° のおうぎ形がたは、円えん全体ぜんたいの 90 ÷ 360 ＝ 1/4 の大おおきさです。

おうぎ形がたの面積めんせきの求もとめ方かた

おうぎ形がたの面積めんせきは、次つぎのように考えかんがえます。

おうぎ形がたの面積めんせき ＝ 円えんの面積めんせき × （中心ちゅうしん角かく ÷ 360）

つまり、いったん 完全かんぜんな円 の面積めんせきを求もとめてから、中心ちゅうしん角かくのぶんだけ切きり取とる、という考かんがえ方かたです。

例題れいだい 5：半径はんけい 6cm、中心ちゅうしん角かく 90° のおうぎ形がた

まず半径はんけい 6cm の円えんの面積めんせきを求もとめます。

円えんの面積めんせき = 6 × 6 × 3.14 = 113.04cm²

これを 90/360 = 1/4 倍ばいします。

おうぎ形がたの面積めんせき = 113.04 × 1/4 = 28.26cm²

例題れいだい 6：半径はんけい 10cm、中心ちゅうしん角かく 60° のおうぎ形がた

円えんの面積めんせき = 10 × 10 × 3.14 = 314cm² 60/360 = 1/6 なので、

おうぎ形がたの面積めんせき = 314 × 1/6 = 約 52.33cm²

ポイント:中心ちゅうしん角かくが 180° なら半円はんえん（1/2）、90° なら 1/4 の円、60° なら 1/6 の円 というふうに、代表だいひょう的てきな中心ちゅうしん角かくはすぐに分数ぶんすうで思おもい出だせるようにしておきましょう。

5. 組み合わせくみあわせた図形ずけいの面積めんせき

円えんの面積めんせきの公式こうしきは、他たの図形ずけいと組み合わせくみあわせて使つかうことがよくあります。

例題れいだい 7：半円はんえんと長方形ちょうほうけいの組み合わせくみあわせ

たて 10cm、よこ 20cm の長方形ちょうほうけいの右側みぎがわに、半径はんけい 5cm の半円はんえんがくっついた形かたちを考えかんがえます（陸上りくじょう競技きょうぎ場じょうのような形かたち）。

• 長方形ちょうほうけいの面積めんせき: 10 × 20 = 200cm²
• 半円はんえんの面積めんせき: 5 × 5 × 3.14 ÷ 2 = 78.5 ÷ 2 = 39.25cm²

合計ごうけい: 200 + 39.25 = 239.25cm²

例題れいだい 8：正方形せいほうけいから円えんをくりぬいた形かたち

1 辺へん 10cm の正方形せいほうけいの中なかから、半径はんけい 5cm の円えん（正方形せいほうけいにぴったり入はいる円えん）をくりぬいた部分ぶぶんの面積めんせきを求もとめます。

• 正方形せいほうけいの面積めんせき: 10 × 10 = 100cm²
• 円えんの面積めんせき: 5 × 5 × 3.14 = 78.5cm²

くりぬき後ごの面積めんせき = 100 − 78.5 = 21.5cm²

ポイント:図形ずけいを見みたら、「足たし算ざんで求もとまる形かたちか、引ひき算ざんで求もとまる形かたちか」をまず決きめましょう。決きまれば、あとは 1 つずつ面積めんせきを計算けいさんしてまとめるだけです。

6. 身みの回まわりの形かたちの およその面積めんせき

世よの中なかの形かたちは、きれいな長方形ちょうほうけいや円えんばかりではありません。池いけ・葉はっぱ・地図ちずで見みる都道府県とどうふけん … どれも複雑ふくざつな曲線きょくせんでできています。こういった形かたちの面積めんせきを求もとめたいときは、どうすればよいでしょうか？

答えこたえは、知しっている形かたちに近ちかづけて考かんがえる ことです。

概形がいけいをつかまえよう

複雑ふくざつな形かたちを、だいたい何なにに見みえるか で分類ぶんるいします。

• ほぼ長方形ちょうほうけいに見みえる池いけ → 長方形ちょうほうけいとして、たて × よこ で求もとめる
• ほぼ三角形さんかくけいに見みえる葉はっぱ → 三角形さんかくけいとして、底辺ていへん × 高たかさ ÷ 2 で求もとめる
• ほぼ円えんに見みえる花はなだん → 円えんとして、半径はんけい × 半径はんけい × 3.14 で求もとめる

このように、複雑ふくざつな形かたちを 基本きほん的てきな図形ずけい で近似きんじすることを、「概形がいけいをとらえる」といいます。

方眼ほうがんで数かぞえる方法ほうほう

もう 1 つの方法ほうほうは、方眼紙ほうがんしの上うえにのせて数かぞえる やり方かたです。

1. 形かたちの内側うちがわにすっぽり入はいっているマスの数かずを数かぞえる（たしかに内側うちがわ）
2. 形かたちのふちにかかっているマスは、ざっくり半分はんぶんとして数かぞえる
3. 2 つを足たして、1 マスの面積めんせきをかける

この方法ほうほうは少すこし時間じかんがかかりますが、かなり正確せいかくにおよその面積めんせきが求もとめられます。実じつさいの地図ちずや写真しゃしんを使つかって面積めんせきを求もとめるときによく使つかわれます。

例題れいだい 9：湖みずうみのおよその面積めんせき

ある湖みずうみを長方形ちょうほうけいに近ちかづけたら、たて 3km、よこ 5km くらいでした。およその面積めんせきは、

3 × 5 = およそ 15km²

「およそ」という言葉ことばを付つけるのが大切たいせつです。本当ほんとうはでこぼこしているので、ぴったり 15km² ではありません。

ポイント: およその面積めんせきを求もとめるときは、目的もくてきに合あった くわしさ で十分じゅうぶんです。たとえば湖みずうみの広ひろさをだいたい知しりたいだけなら、「およそ 15km²」で十分じゅうぶん役やくに立たちます。小数点しょうすうてん以下いかまでこだわる必要ひつようはありません。

7. 円えんの面積めんせきのよくあるまちがい

最後さいごに、円えんの面積めんせきでまちがえやすいポイントをまとめておきます。

まちがい 1：直径ちょっけいをそのまま公式こうしきにあてはめる

直径ちょっけい 10cm の円えんの面積めんせきを、「10 × 10 × 3.14 = 314cm²」としてしまうミス。これは半径はんけい 10cm の円えんの面積めんせきです。直径ちょっけい 10cm なら半径はんけいは 5cm なので、正ただしくは 5 × 5 × 3.14 = 78.5cm² です。

注意ちゅうい:公式こうしきの「半径はんけい × 半径はんけい」は 半径はんけいの 2 乗（同おなじ数かずを 2 回かいかける）です。直径ちょっけいを入いれてしまうと、半径はんけいの 4 倍ばいの面積めんせきになってしまいます。

まちがい 2：円周えんしゅうの公式こうしきと混まぜてしまう

円周えんしゅう = 直径ちょっけい × 3.14、円えんの面積めんせき = 半径はんけい × 半径はんけい × 3.14。似にているようで、使つかう長ながさも、何なん回かいかけるかもちがいます。区別くべつして覚おぼえましょう。

求もとめるもの	公式こうしき	答えこたえの単位たんい
円周えんしゅう	直径ちょっけい × 3.14	cm
円えんの面積めんせき	半径はんけい × 半径はんけい × 3.14	cm²

まちがい 3：おうぎ形がたで 360 でわり忘わすれる

おうぎ形がたは、円えんの一部いちぶです。必かならず 中心ちゅうしん角かく ÷ 360 をかけて、全体ぜんたいの何分なんぷんの何なにかを反映はんえいさせましょう。

まとめ

この章しょうでは、円の面積めんせきの求もとめ方かたを、長方形ちょうほうけいへの変形へんけいという工夫くふうから導みちびき、実じつさいの計算けいさんやおよその面積めんせきまでを学まなびました。

• 円えんを細こまかく分わけて並ならべ替かえると、たて = 半径はんけい、よこ = 半径はんけい × 円周えんしゅう率りつ の長方形ちょうほうけいに近ちかづく
• 円の面積えんのめんせき ＝ 半径はんけい × 半径はんけい × 3.14
• 直径ちょっけいが与あたえられたら、まず 半分はんぶんにして半径はんけい を出だす
• おうぎ形おうぎがた の面積めんせき = 円えんの面積めんせき × （中心ちゅうしん角かく ÷ 360）
• 身みの回まわりの複雑ふくざつな形かたちは、長方形ちょうほうけい・三角形さんかくけい・円えんなどに 概形がいけいをつかまえて およその面積めんせきを求もとめる

ポイント:円の面積めんせき公式こうしきは、ただ暗記あんきするだけでなく、「どうしてこの公式こうしきになるのか」を説明せつめいできると強つよくなります。細こまかく切きって並ならべ替かえる発想はっそうは、中学校ちゅうがっこう・高校こうこうでも何なん度ども出でてくるので、大切たいせつに身みにつけておきましょう。

次つぎの章しょう「角柱かくちゅう・円柱えんちゅうの 体積たいせき」では、この円えんの面積めんせきを使つかって、円柱えんちゅうの体積たいせきまで求もとめられるようになります。平面へいめんの話はなしが立体りったいの話はなしにつながる、わくわくする内容ないようですよ。

まとめ — 円えん の 面積めんせき を 3 行あるき で

• 円えん を 細こまかく 分わけて 並ならべ かえる と、たて ＝ 半径はんけい、よこ ＝ 半径はんけい × 円周えんしゅう率りつ の 長方形ちょうほうけい に 近ちかづく。
• そこ から 円の面積えんのめんせき ＝ 半径はんけい × 半径はんけい × 3.14 の 公式こうしき が 導みちびかれる。直径ちょっけい だけ 与あたえられた ら まず 半分はんぶん にして 半径はんけい を 出だす。
• おうぎ形おうぎがた の 面積めんせき は 円 の 面積めんせき × （中心ちゅうしん角かく ÷ 360）。身み の 回まわり の 複雑ふくざつ な 形かたち は 概形がいけい で つかんで、およそ の 面積めんせき を 求もとめよう。