比ひと 比ひの値あたい

この章しょうで学まなぶこと

5 年生ねんせいで、2 つの量りょうを比くらべるとき 割合わりあい（＝ くらべる量りょう ÷ もとにする量りょう）や 百分率ひゃくぶんりつ（％）を使つかう方法ほうほうを学まなびました。あれは、「どちらをもとにするか」 を決きめて、一ひとつの数 で表あらわす方法ほうほうでした。

この章しょうで学まなぶ 比ひ（ひ）は、もう少すこし別べつの見方みかたをします。2 つの量りょうを、どちらをもとにするか決きめずに、簡単かんたんな整数せいすうの組くみでならべて書かく方法ほうほうです。

たとえば、「コップ 3 ぱいの水すいと、コップ 5 はいのこいジュースのもとを混まぜる」 のような場面ばめんでは、3 : 5（さんたいご）と書かきます。この書かき方かただと 、どちらをもととするかを決きめなくても 、2 つの量りょうの関係かんけい がそのまま目めに見みえます。

この章しょうが終おわるころには、つぎのことができるようになっています。

• 2 つの量りょうの関係かんけいを a : b の形かたち（比ひ）で書かける
• 比の値ひのあたい を a ÷ b で求もとめられる
• 等しい比ひとしいひ の意味いみと、同おなじ数かずをかけたり割わったりしても比ひは等ひとしい、という性質せいしつが分わかる
• 比ひ を、いちばん 簡単かんたんな整数せいすうの組 に直なおせる（約分やくぶんと同おなじ考かんがえ方かた）
• 全体ぜんたいを 比で分わける（比例配分ひれいはいぶん）ことができる
• 日常にちじょう生活せいかつで、混まぜる割合わりあい・縮尺しゅくしゃく・配分はいぶんなどに比ひを使つかえる

ポイント: 比ひ と 分数ぶんすう はそっくりです。a : b の比ひの値あたいは a ÷ b、これはまさに分数ぶんすうa/b。だから 「比ひ ＝ 分数ぶんすうの別べつの書かき方かた」 と思おもっても OK です。

1. 比ひ とは

混まぜる場面ばめんで考かんがえる

こいめんつゆを 3 杯、水みずを 5 杯混まぜて、うすめためんつゆを作つくることを考えかんがえましょう。

   めんつゆ:  ▓▓▓             （3 杯）
   水:        ░░░░░           （5 杯）

このとき、「めんつゆと水みずの 関係かんけい」 を、3 : 5 と書かきます。読よみ方かたは 「さんたいご」。

同おなじ味あじのめんつゆをもっとたくさん作つくりたいとき、たとえば 6 杯はいと 10 杯 で混まぜても、9 杯はいと 15 杯 で混まぜても、同おなじ味 になります。

   めんつゆ 3 : 水 5      →   めんつゆ 6 : 水 10      →   めんつゆ 9 : 水 15
   ▓▓▓ | ░░░░░              ▓▓▓▓▓▓ | ░░░░░░░░░░     ▓▓▓▓▓▓▓▓▓ | ░░░░░░░░░░░░░░░

   どれも同じ 「こさ」 ＝ 同じ関係

このような 「同おなじ関係かんけいとみなせる組くみ」 をひとまとめにして、3 : 5 と代表だいひょうで書かいてしまうのが、比ひ の書かき方かたのアイデアです。

比ひ の書かき方かたと読よみ方かた

2 つの数かず a と b を、コロン 「:」 で区切くぎって

$a:b$

と書かいたものを 比ひ（ひ）といいます。「a たい b」 と読よみます。

• 3 : 5 → 「さんたいご」
• 2 : 7 → 「にたいなな」
• 1 : 1 → 「いちたいいち」（2 つがぴったり同おなじ量りょう）

比ひ は、部分ぶぶんと部分ぶぶんの関係かんけい を表あらわすのが得意とくいです。たとえば、ジュースを作つくるときの 「こい液えきと水みず」、クラスの 「男子だんしと女子じょし」、ケーキの 「小麦粉こむぎことさとう」 など、どちらをもとにするかを決きめずに、ならべて比くらべたい ときに使つかいます。

ポイント: 比ひ の書かき方かたは左ひだりと右みぎの順番じゅんばんが大切たいせつです。「男子だんし : 女子じょし ＝ 3 : 2」 と 「女子じょし : 男子だんし ＝ 3 : 2」 は意味いみが別べつ。どちらの量りょうを左ひだり、どちらを右みぎに書かくか をはっきり決きめましょう。

2. 比の値ひのあたい

比ひを 1 つの数かずにする

5 年生ねんせいの 「割合わりあい」 は、2 つの量りょうを 1 つの数かずで表あらわしました。比ひ を 1 つの数かずで表あらわすには、左の数かずを右みぎの数かずでわった商 を使つかいます。これを 比の値ひのあたい（ひのあたい）といいます。

$a:b の比の値=a÷b=\frac{a}{b}$

つまり、比の値ひのあたい は 分数ぶんすうそのもの です。

例れいで確たしかめる

• 3 : 5 の比ひの値あたい → 3 ÷ 5 = 3/5（＝ 0.6）
• 2 : 7 の比ひの値あたい → 2 ÷ 7 = 2/7
• 4 : 1 の比ひの値あたい → 4 ÷ 1 = 4
• 1 : 4 の比ひの値あたい → 1 ÷ 4 = 1/4（＝ 0.25）

左 ÷ 右、の順番じゅんばんをしっかり覚おぼえましょう。4 : 1 と 1 : 4 は比ひの値あたいがぜんぜん違ちがう、別べつの比ひです。

ポイント: 比の値ひのあたい は 分数ぶんすう（a/b）と同おなじ。だから 5 年ねん生せいで学まなんだ 「割合わりあい」 や 「分数ぶんすう」 の計算けいさんがそのまま使つかえます。

3. 等しい比ひとしいひ

「同おなじ関係かんけい」 の比ひ

最初さいしょに見みたように、3 : 5 と 6 : 10 と 9 : 15 は、ぜんぶ 「同おなじ関係かんけい」 を表あらわしていました。このような 2 つの比ひが同おなじ関係かんけいを表あらわすことを、等しい比ひとしいひ といい、記号きごう 「＝」 でつなげて書かきます。

$3:5=6:10=9:15$

比の値ひのあたい を計算けいさん してみると、

• 3 ÷ 5 = 3/5
• 6 ÷ 10 = 6/10 = 3/5（約分やくぶんして）
• 9 ÷ 15 = 9/15 = 3/5（約分やくぶんして）

すべて 同おなじ 3/5 になります。比の値ひのあたい が等ひとしい ⇔ 等しい比ひとしいひ、これが一番いちばん大事だいじな関係かんけいです。

性質せいしつ: 同おなじ数かずをかけても、同おなじ数かずでわっても比ひは変かわらない

比ひ のとても大切たいせつな性質せいしつはこれです。

$\hspace{0.25em} a:b=(a\times k):(b\times k)=(a÷k):(b÷k)\hspace{0.25em}$

（ただし k は 0 でない数かず）

つまり、両がわに同おなじ数かずをかけても、同おなじ数かずでわっても、比ひは等ひとしいまま。これは分数ぶんすうの 「約分やくぶんと通分つうぶん」 とまったく同おなじしくみです。

   × 2 するばあい:

   3 : 5   = (3 × 2) : (5 × 2) = 6 : 10
   ↑ 両ほうに同じ数をかけても関係は同じ

   ÷ 3 するばあい:

   9 : 15  = (9 ÷ 3) : (15 ÷ 3) = 3 : 5
   ↑ 両ほうを同じ数でわっても関係は同じ

例題れいだい

つぎの □ に当あてはまる数かずを求もとめましょう。

(1) 2 : 3 = 8 : □

左ひだりは 2 × 4 = 8 になっています。右みぎも同おなじ × 4 をすれば、3 × 4 = 12。答えこたえは □ = 12。

(2) 15 : 25 = 3 : □

左ひだりは 15 ÷ 5 = 3。右みぎも同おなじ ÷ 5 で、25 ÷ 5 = 5。答えこたえは □ = 5。

(3) 4 : 7 = □ : 21

右みぎは 7 × 3 = 21。左ひだりも同おなじ × 3 で、4 × 3 = 12。答えこたえは □ = 12。

ポイント: 「片方かたほうを何なん倍ばい （または何なん等分とうぶん）したか」 を見みつけて、もう片方かたほうに同おなじことをする。これが 等しい比ひとしいひ を見みつけるときの基本きほんです。

4. 比ひを簡単かんたんにする

簡単かんたんな比ひとは

24 : 36 と 2 : 3 は 、じつは 等しい比ひとしいひ です（どちらも比ひの値あたいは 2/3）。でも、読よみやすさ・使つかいやすさでいえば 2 : 3 のほうがずっとシンプル。

そこで、なるべく小ちいさい整数せいすうの組 に直なおした比ひを、「簡単かんたんな比ひ」 といい、元もとの比ひを簡単かんたんにすることを 「比ひを簡単かんたんにする」 といいます。これは分数ぶんすうの 約分やくぶん とまったく同おなじ考かんがえ方かたです。

やり方かた: 最大公約数さいだいこうやくすうでわる

両りょうがわの数かずの 最大公約数さいだいこうやくすう（GCD） でわると、一気いっきに簡単かんたんになります。

例 1: 24 : 36 を簡単かんたんにする。

24 と 36 の最大公約数さいだいこうやくすうは 12。両りょうがわを 12 でわると、

$24:36=(24÷12):(36÷12)=2:3$

例 2: 18 : 45 を簡単かんたんにする。

18 と 45 の最大公約数さいだいこうやくすうは 9。両りょうがわを 9 でわると、

$18:45=(18÷9):(45÷9)=2:5$

最大公約数さいだいこうやくすうが見みつからないときは少すこしずつ

いきなり最大公約数さいだいこうやくすうが出だせないときは、共通きょうつうにわり切きれる数かずで少すこしずつわる方法ほうほうでも OK。

例: 60 : 48 → まず両りょうがわを 2 でわって 30 : 24 → さらに 2 でわって 15 : 12 → さらに 3 でわって 5 : 4。答えこたえは 5 : 4。

小数しょうすうや分数ぶんすうの比ひ

比ひの中なかに小数しょうすうや分数ぶんすうが入はいっているときは、まず整数せいすうの比ひに直なおしてから簡単かんたんにします。

小数しょうすうのばあい：両りょうがわに 10・100 などをかけて整数せいすうにする。

$0.4:0.6=(0.4\times 10):(0.6\times 10)=4:6=2:3$

分数ぶんすうのばあい：両りょうがわに 分母ぶんぼの最小公倍数さいしょうこうばいすうをかけて整数せいすうにする。

$\frac{1}{2}:\frac{1}{3}=(\frac{1}{2}\times 6):(\frac{1}{3}\times 6)=3:2$

ポイント: 小数しょうすう → 10 倍ばい 100 倍ばいで整数せいすうに、分数ぶんすう → 分母ぶんぼの最小公倍数さいしょうこうばいすうをかけて整数せいすうに。これが比ひの 「前まえさばき」 の基本きほんです。

5. 比ひを使つかって量りょうを求もとめる

比ひの 1 か所しょの値あたいと、全体ぜんたいや片方かたほうの値あたいが分わかっているとき、もう一方いっぽうの値あたいを求もとめることができます。

例れい 1: 片方かたほうの値あたいからもう片方かたほうを求もとめる

男子だんし : 女子じょし ＝ 3 : 2 で、男子だんしが 18 人。女子じょしは何なん人にん？

3 が 18 になる、ということは、× 6 しています。女子じょしも同おなじ × 6 で、

$2\times 6=12（人）$

例れい 2: 全体ぜんたいが分わかっているとき ＝ 比例配分ひれいはいぶん

1000 円 を、A さんと B さんで 3 : 2 に分わけたい。A さんと B さんがもらうのはそれぞれいくら？

比ひの合計ごうけいは 3 + 2 ＝ 5。これが全体ぜんたいの 1000 円えんに当あたります。だから 1 ぶんは 1000 ÷ 5 ＝ 200 円。

• A さん … 3 ぶん → 200 × 3 ＝ 600 円
• B さん … 2 ぶん → 200 × 2 ＝ 400 円
• 合計ごうけい … 600 ＋ 400 ＝ 1000 円 ✓

このように、全体ぜんたいを決きまった比ひで分わけること を 比例配分ひれいはいぶん（ひれいはいぶん）といいます。

分数ぶんすうを使つかった考かんがえ方かた

全体ぜんたい 1000 円えんのうち、A さんは 全体ぜんたいの 3/5、B さんは 全体ぜんたいの 2/5、と考えかんがえても同おなじ答えこたえになります。

$Aさん=1000\times \frac{3}{5}=600 円$

$Bさん=1000\times \frac{2}{5}=400 円$

分数ぶんすうを使つかうやり方かたと、「1 ぶんを先さきに求もとめる」 やり方かた、どちらでも OK。自分じぶんがやりやすいほうを使つかいましょう。

例れい 3: 長ながさを分わける

長ながさ 120 cm のひもを、5 : 3 に分わけます。それぞれの長ながさは？

比ひの合計ごうけい ＝ 5 + 3 ＝ 8。1 ぶん ＝ 120 ÷ 8 ＝ 15 cm。

• 長ながいほう … 15 × 5 ＝ 75 cm
• 短みじかいほう … 15 × 3 ＝ 45 cm
• 合計ごうけい … 75 ＋ 45 ＝ 120 cm ✓

やってみよう: 84 まいの色紙いろがみを、兄あにと弟おとうとで 4 : 3 に分わけます。兄あにと弟おとうとはそれぞれ何なにまい？

答えこたえ:比の合計ごうけい ＝ 7、1 ぶん ＝ 84 ÷ 7 ＝ 12。兄あに ＝ 12 × 4 ＝ 48 まい、弟おとうと ＝ 12 × 3 ＝ 36 まい。

6. 日常にちじょう生活せいかつでの比

比ひ は、教科書きょうかしょの中なかだけでなく、身のまわりのいろいろな場面ばめん で使つかわれています。

料理りょうりのレシピ

すし酢すの作つくり方かた 「米べい酢す : さとう : 塩しお ＝ 5 : 3 : 1」 のように、材料ざいりょうの割合わりあい はよく比ひで書かかれます。3 つ以上いじょうの比ひも、意味いみは同おなじ（「米べい酢す 5、さとう 3、塩しお 1 の割合わりあい」）。2 人ひと分ぶんでも 10 人ひと分ぶんでも、比さえ合あっていれば味あじは同おなじ になります。

縮尺しゅくしゃくと地図ちず

地図ちずの 「縮尺しゅくしゃく 1 : 25000」 は、地図ちずの 1 cm が実際じっさいの 25000 cm（＝ 250 m） ということ。これも比ひの考かんがえ方かたです。7 章しょうでくわしく学まなびます。

サッカーのスコア・野球やきゅうの勝敗しょうはい

「3 対たい 2」 で勝かった、というときの 「対たい」 はまさに比ひの 「:」。点てんの数かずの関係かんけいを表あらわしています。

絵えと写真しゃしんのタテヨコ比ひ

テレビの画面がめんやスマホの写真しゃしんの「16 : 9」 や 「4 : 3」 も比ひ。大おおきい画面がめんでも小ちいさい画面がめんでも、比が同おなじなら形かたちは同おなじ です。

ポイント: 「割合わりあいでくらべる」 と 「比でくらべる」 は、言いい方かたがちがうだけで根ねっこは同おなじ。どちらを使つかうと見みやすいか、場面ばめんで使つかい分わけてみてください。

7. つまずきやすいポイント

① 比ひの順番じゅんばんを入いれかえてしまう

「男子だんし : 女子じょし ＝ 3 : 2」 と 「女子じょし : 男子だんし ＝ 3 : 2」 は 別の意味いみ。問題もんだいを解とくとき、どちらを左ひだりに書かくか を最初さいしょに確認かくにんしましょう。

② 「比ひの値あたい」 と 「比ひ」 を混同こんどうする

• 3 : 5 は 比ひ（関係かんけいの表あらわし方かた）
• 3/5（＝ 0.6）は 比の値ひのあたい（1 つの数かず）

答えこたえの書かき方かたがちがってくるので、「比ひで答こたえる」 のか 「比ひの値あたいで答こたえる」 のか を問題もんだい文ぶんから読よみ取とりましょう。

③ 比ひを簡単かんたんにするときのわり算ざんを片方かたほうだけにする

両がわに同おなじ数 をかけたりわったりしないと、比ひは変かわってしまいます。「左ひだりは 3 でわったけど右みぎはそのまま」 はまちがいです。

   ○ 正しい:                   × 間ちがい:

   24 : 36                     24 : 36
   ↓ ÷12    ↓ ÷12              ↓ ÷12    （そのまま）
    2 :  3                      2 : 36   ← これは別の比

④ 比例配分ひれいはいぶん で 1 ぶんの計算けいさんをわすれる

1000 円えんを 3 : 2 に分わけるとき、いきなり 「A ＝ 1000 × 3 ＝ 3000 円えん」 とやってしまうミス。合計ごうけいの比ひ（3 + 2 ＝ 5）をまず出だして、1 ぶんを計算けいさんする、という手順てじゅんを忘わすれないようにしましょう。

まとめ

• 比ひ：2 つの量りょうを、どちらをもとにするかを決きめずに、整数せいすうの組 で表あらわす方法ほうほう。a : b と書かく
• 読よみ方かた：「a たい b」
• 比の値ひのあたい ＝ a ÷ b ＝ a/b（左ひだり ÷ 右みぎ）。分数ぶんすうそのもの
• 等しい比ひとしいひ：比の値あたいが等ひとしい 2 つの比ひ。例3 : 5 ＝ 6 : 10 ＝ 9 : 15
• 性質せいしつ：両がわに同おなじ数かずをかけても、両りょうがわを同おなじ数かずでわっても、比ひは等ひとしい
• 比ひを簡単かんたんにする：両りょうがわを 最大公約数さいだいこうやくすうでわる（分数ぶんすうの約分やくぶんと同おなじ）
• 小数しょうすうの比ひ → 10 倍ばい・100 倍ばいで整数せいすうに、分数ぶんすうの比ひ → 分母ぶんぼの最小公倍数さいしょうこうばいすうをかけて整数せいすうに
• 比例配分ひれいはいぶん：全体ぜんたいを決きまった比ひで分わける。比の合計ごうけいでわって 1 ぶんを出だす、または 全体ぜんたい × (a/(a+b)) で求もとめる
• 日常にちじょうの料理りょうり・縮尺しゅくしゃく・画面がめんのタテヨコ比ひなど、比は生活せいかつのあちこちで活かつやく
• 比ひの順番じゅんばん、比の値ひのあたい と 比ひ の区別くべつ、両りょうがわをそろえることに注意ちゅうい

次の章しょう: 「比ひが同おなじ」 という考かんがえ方かたをもっとおし広ひろめた 比例ひれいと反比例はんぴれい、そして 拡大かくだい図ず・縮図しゅくず の世界せかいに進すすみます。2 つの量りょうがどのように変かわっていくかを、表ひょう・式しき・グラフの 3 つの道具どうぐで見みわたせるようにしましょう。