比ひと 比ひの値あたい

この章しょうで学まなぶこと

5 年生ねんせい で、2 つ の 量りょう を 比くらべる とき 割合わりあい（＝ くらべる 量りょう ÷ もと に する 量りょう）や 百分率ひゃくぶんりつ（％）を 使つかう 方法ほうほう を 学まなびました。あれ は、「どちら を もと にする か」 を 決きめて、一ひとつ の 数 で 表あらわす 方法ほうほう でした。

この 章しょう で 学まなぶ 比ひ（ひ）は、もう 少すこし 別べつの 見方みかた を します。2 つ の 量りょう を、どちら を もと に する か 決きめず に、簡単かんたんな 整数せいすう の 組くみ で ならべて 書かく方法ほうほう です。

たとえば、「コップ 3 ぱい の 水みず と、コップ 5 はい の こい ジュース の もと を 混まぜる」 のような 場面ばめん では、3 : 5（さん たい ご）と 書かきます。この 書かき方かた だ と 、どちら を もと と する か を 決きめなくて も 、2 つ の 量りょう の 関係かんけい が そのまま 目め に 見みえます。

この章しょう が 終おわる ころ には、つぎ の こと が できる よう に なって います。

• 2 つ の 量りょう の 関係かんけい を a : b の 形かたち（比ひ）で 書かける
• 比の値ひ の あたい を a ÷ b で 求もとめられる
• 等しい比ひとしいひ の 意味いみ と、同おなじ 数かず を かけたり 割わったり しても 比ひ は 等ひとしい、という 性質せいしつ が 分わかる
• 比ひ を、いちばん 簡単かんたん な 整数せいすう の 組 に 直なおせる（約分やくぶん と 同おなじ 考かんがえ方かた）
• 全体ぜんたい を 比 で 分わける（比例配分ひれいはいぶん）こと が できる
• 日常にちじょう生活せいかつ で、混まぜる 割合わりあい・縮尺しゅくしゃく・配分はいぶん など に 比ひ を 使つかえる

ポイント: 比ひ と 分数ぶんすう は そっくり です。a : b の 比ひ の 値あたい は a ÷ b、これ は まさに 分数ぶんすうa/b。だから 「比ひ ＝ 分数ぶんすう の 別べつの 書かき方かた」 と 思おもって も OK です。

1. 比ひ と は

混まぜる 場面ばめん で 考かんがえる

こい めんつゆ を 3 杯、水みず を 5 杯混まぜて、うすめ た めんつゆ を 作つくる こと を 考えかんがえましょう。

   めんつゆ:  ▓▓▓             （3 杯）
   水:        ░░░░░           （5 杯）

このとき、「めんつゆ と 水みず の 関係かんけい」 を、3 : 5 と 書かきます。読よみ方かた は 「さん たい ご」。

同おなじ 味あじ の めんつゆ を もっと たくさん 作つくり たい とき、たとえば 6 杯はい と 10 杯 で 混まぜて も、9 杯はい と 15 杯 で 混まぜて も、同おなじ 味 に なります。

   めんつゆ 3 : 水 5      →   めんつゆ 6 : 水 10      →   めんつゆ 9 : 水 15
   ▓▓▓ | ░░░░░              ▓▓▓▓▓▓ | ░░░░░░░░░░     ▓▓▓▓▓▓▓▓▓ | ░░░░░░░░░░░░░░░

   どれも 同じ 「こさ」 ＝ 同じ 関係

この ような 「同おなじ 関係かんけい と みなせる 組くみ」 を ひとまとめ に して、3 : 5 と 代表だいひょう で 書かいて しまう の が、比ひ の 書かき方かた の アイデア です。

比ひ の 書かき方かた と 読よみ方かた

2 つ の 数かず a と b を、コロン 「:」 で 区切くぎって

$a:b$

と 書かいた もの を 比ひ（ひ）と いいます。「a たい b」 と 読よみます。

• 3 : 5 → 「さん たい ご」
• 2 : 7 → 「に たい なな」
• 1 : 1 → 「いち たい いち」（2 つ が ぴったり 同おなじ 量りょう）

比ひ は、部分ぶぶん と 部分ぶぶん の 関係かんけい を 表あらわす の が 得意とくい です。たとえば、ジュース を 作つくる とき の 「こい 液えき と 水みず」、クラス の 「男子だんし と 女子じょし」、ケーキ の 「小麦粉こむぎこ と さとう」 など、どちら を もと に する か を 決きめず に、ならべて 比くらべたい ときに 使つかいます。

ポイント: 比ひ の 書かき方かた は 左ひだり と 右みぎ の 順番じゅんばん が 大切たいせつ です。「男子だんし : 女子じょし ＝ 3 : 2」 と 「女子じょし : 男子だんし ＝ 3 : 2」 は 意味いみ が 別べつ。どちら の 量りょう を 左ひだり、どちら を 右みぎ に 書かくか を はっきり 決きめましょう。

2. 比の値ひ の あたい

比ひ を 1 つ の 数かず に する

5 年生ねんせい の 「割合わりあい」 は、2 つ の 量りょう を 1 つ の 数かず で 表あらわしました。比ひ を 1 つ の 数かず で 表あらわす に は、左 の 数かず を 右みぎ の 数かず で わった 商 を 使つかいます。これ を 比の値ひ の あたい（ひの あたい）と いいます。

$a:b の 比の値=a÷b=\frac{a}{b}$

つまり、比の値ひ の あたい は 分数ぶんすう そのもの です。

例れい で 確たしかめる

• 3 : 5 の 比ひの 値あたい → 3 ÷ 5 = 3/5（＝ 0.6）
• 2 : 7 の 比ひの 値あたい → 2 ÷ 7 = 2/7
• 4 : 1 の 比ひの 値あたい → 4 ÷ 1 = 4
• 1 : 4 の 比ひの 値あたい → 1 ÷ 4 = 1/4（＝ 0.25）

左 ÷ 右、の 順番じゅんばん を しっかり 覚おぼえましょう。4 : 1 と 1 : 4 は 比ひ の 値あたい が ぜんぜん 違ちがう、別べつ の 比ひ です。

ポイント: 比の値ひ の あたい は 分数ぶんすう（a/b）と 同おなじ。だから 5 年生ねんせい で 学まなんだ 「割合わりあい」 や 「分数ぶんすう」 の 計算けいさん が そのまま 使つかえます。

3. 等しい比ひとしいひ

「同おなじ 関係かんけい」 の 比ひ

最初さいしょ に 見みた ように、3 : 5 と 6 : 10 と 9 : 15 は、ぜんぶ 「同おなじ 関係かんけい」 を 表あらわして いました。この ような 2 つ の 比ひ が 同おなじ 関係かんけい を 表あらわす こと を、等しい比ひとしいひ と いい、記号きごう 「＝」 で つなげて 書かきます。

$3:5=6:10=9:15$

比の値ひ の あたい を 計算けいさん して みる と、

• 3 ÷ 5 = 3/5
• 6 ÷ 10 = 6/10 = 3/5（約分やくぶん して）
• 9 ÷ 15 = 9/15 = 3/5（約分やくぶん して）

すべて 同おなじ 3/5 に なります。比の値ひ の あたい が 等ひとしい ⇔ 等しい比ひとしいひ、これ が 一番いちばん大事だいじ な 関係かんけい です。

性質せいしつ: 同おなじ 数かず を かけても、同おなじ 数かず で わって も 比ひ は 変かわらない

比ひ の とても 大切たいせつ な 性質せいしつ は これ です。

$\hspace{0.25em} a:b=(a\times k):(b\times k)=(a÷k):(b÷k)\hspace{0.25em}$

（ただし k は 0 でない 数かず）

つまり、両がわ に 同おなじ 数かず を かけても、同おなじ 数かず で わって も、比ひ は 等ひとしい まま。これ は 分数ぶんすう の 「約分やくぶん と 通分つうぶん」 と まったく 同おなじ しくみ です。

   × 2 する ば あい:

   3 : 5   = (3 × 2) : (5 × 2) = 6 : 10
   ↑ 両 ほう に 同じ 数 を かけて も 関係 は 同じ

   ÷ 3 する ば あい:

   9 : 15  = (9 ÷ 3) : (15 ÷ 3) = 3 : 5
   ↑ 両 ほう を 同じ 数 で わって も 関係 は 同じ

例題れいだい

つぎ の □ に 当あてはまる 数かず を 求もとめましょう。

(1) 2 : 3 = 8 : □

左ひだり は 2 × 4 = 8 に なって います。右みぎ も 同おなじ × 4 を すれば、3 × 4 = 12。答えこたえ は □ = 12。

(2) 15 : 25 = 3 : □

左ひだり は 15 ÷ 5 = 3。右みぎ も 同おなじ ÷ 5 で、25 ÷ 5 = 5。答えこたえ は □ = 5。

(3) 4 : 7 = □ : 21

右みぎ は 7 × 3 = 21。左ひだり も 同おなじ × 3 で、4 × 3 = 12。答えこたえ は □ = 12。

ポイント: 「片方かたほう を 何なん倍ばい （または 何なん等分とうぶん）した か」 を 見みつけて、もう 片方かたほう に 同おなじ こと を する。これ が 等しい比ひとしいひ を 見みつける ときの 基本きほん です。

4. 比ひ を 簡単かんたん に する

簡単かんたん な 比ひ と は

24 : 36 と 2 : 3 は 、じつは 等しい比ひとしいひ です（どちら も 比ひの 値あたい は 2/3）。でも、読よみやすさ・使つかいやすさ で い えば 2 : 3 の ほう が ずっと シンプル。

そこで、なるべく 小ちいさい 整数せいすう の 組 に 直なおした 比ひ を、「簡単かんたん な 比ひ」 と いい、元もと の 比ひ を 簡単かんたん に する こと を 「比ひ を 簡単かんたん に する」 と いいます。これ は 分数ぶんすう の 約分やくぶん と まったく 同おなじ 考かんがえ方かた です。

やり方かた: 最大公約数さいだいこうやくすう で わる

両りょうがわ の 数かず の 最大公約数さいだいこうやくすう（GCD） で わる と、一気いっき に 簡単かんたん に なります。

例 1: 24 : 36 を 簡単かんたん に する。

24 と 36 の 最大公約数さいだいこうやくすう は 12。両りょうがわ を 12 で わると、

$24:36=(24÷12):(36÷12)=2:3$

例 2: 18 : 45 を 簡単かんたん に する。

18 と 45 の 最大公約数さいだいこうやくすう は 9。両りょうがわ を 9 で わると、

$18:45=(18÷9):(45÷9)=2:5$

最大公約数さいだいこうやくすう が 見みつからない とき は 少すこしずつ

いきなり 最大公約数さいだいこうやくすう が 出だせ ない とき は、共通きょうつう に わり切きれる 数かず で 少すこしずつ わる方法ほうほう でも OK。

例: 60 : 48 → まず 両りょうがわ を 2 で わって 30 : 24 → さらに 2 で わって 15 : 12 → さらに 3 で わって 5 : 4。答えこたえ は 5 : 4。

小数しょうすう や 分数ぶんすう の 比ひ

比ひ の 中なか に 小数しょうすう や 分数ぶんすう が 入はいって いる とき は、まず 整数せいすう の 比ひ に 直なおし て から簡単かんたん に します。

小数しょうすう の ばあい：両りょうがわ に 10・100 などを かけて整数せいすう に する。

$0.4:0.6=(0.4\times 10):(0.6\times 10)=4:6=2:3$

分数ぶんすう の ばあい：両りょうがわ に 分母ぶんぼ の 最小公倍数さいしょうこうばいすう を かけて整数せいすう に する。

$\frac{1}{2}:\frac{1}{3}=(\frac{1}{2}\times 6):(\frac{1}{3}\times 6)=3:2$

ポイント: 小数しょうすう → 10 倍ばい 100 倍ばい で 整数せいすう に、分数ぶんすう → 分母ぶんぼ の 最小公倍数さいしょうこうばいすう を かけて 整数せいすう に。これ が 比ひ の 「前まえさばき」 の 基本きほん です。

5. 比ひ を 使つかって 量りょう を 求もとめる

比ひ の 1 か所しょ の 値あたい と、全体ぜんたい や 片方かたほう の 値あたい が 分わかって いる とき、もう 一方いっぽう の 値あたい を 求もとめる こと が できます。

例れい 1: 片方かたほう の 値あたい から もう 片方かたほう を 求もとめる

男子だんし : 女子じょし ＝ 3 : 2 で、男子だんし が 18 人。女子じょし は 何なん人にん？

3 が 18 に なる、と いう こと は、× 6 して います。女子じょし も 同おなじ × 6 で、

$2\times 6=12（人）$

例れい 2: 全体ぜんたい が 分わかって いる とき ＝ 比例配分ひれいはいぶん

1000 円 を、A さん と B さん で 3 : 2 に 分わけたい。A さん と B さん が もらう の は それぞれ いくら？

比ひ の 合計ごうけい は 3 + 2 ＝ 5。これ が 全体ぜんたい の 1000 円えん に 当あたります。だから 1 ぶん は 1000 ÷ 5 ＝ 200 円。

• A さん … 3 ぶん → 200 × 3 ＝ 600 円
• B さん … 2 ぶん → 200 × 2 ＝ 400 円
• 合計ごうけい … 600 ＋ 400 ＝ 1000 円 ✓

この ように、全体ぜんたい を 決きまった 比ひ で 分わける こと を 比例配分ひれいはいぶん（ひれい はいぶん）と いいます。

分数ぶんすう を 使つかった 考かんがえ方かた

全体ぜんたい 1000 円えん の うち、A さん は 全体ぜんたい の 3/5、B さん は 全体ぜんたい の 2/5、と 考えかんがえて も 同おなじ 答えこたえ に なります。

$Aさん=1000\times \frac{3}{5}=600 円$

$Bさん=1000\times \frac{2}{5}=400 円$

分数ぶんすう を 使つかう やり方かた と、「1 ぶん を 先さき に 求もとめる」 やり方かた、どちら でも OK。自分じぶん が やりやすい ほう を 使つかいましょう。

例れい 3: 長ながさ を 分わける

長ながさ 120 cm の ひも を、5 : 3 に 分わけます。それぞれ の 長ながさ は？

比ひ の 合計ごうけい ＝ 5 + 3 ＝ 8。1 ぶん ＝ 120 ÷ 8 ＝ 15 cm。

• 長ながい ほう … 15 × 5 ＝ 75 cm
• 短みじかい ほう … 15 × 3 ＝ 45 cm
• 合計ごうけい … 75 ＋ 45 ＝ 120 cm ✓

やってみよう: 84 まい の 色紙いろがみ を、兄あに と 弟おとうと で 4 : 3 に 分わけます。兄あに と 弟おとうと は それぞれ 何なに まい？

答えこたえ:比 の 合計ごうけい ＝ 7、1 ぶん ＝ 84 ÷ 7 ＝ 12。兄あに ＝ 12 × 4 ＝ 48 まい、弟おとうと ＝ 12 × 3 ＝ 36 まい。

6. 日常にちじょう生活せいかつ で の 比

比ひ は、教科書きょうかしょ の 中なか だけ で なく、身 の まわり の いろいろ な 場面ばめん で 使つかわれて います。

料理りょうり の レシピ

すし 酢す の 作つくり方かた 「米べい酢す : さとう : 塩しお ＝ 5 : 3 : 1」 の ように、材料ざいりょう の 割合わりあい は よく 比ひ で 書かかれ ます。3 つ 以上いじょう の 比ひ も、意味いみ は 同おなじ（「米べい酢す 5、さとう 3、塩しお 1 の 割合わりあい」）。2 人ひと分ぶん でも 10 人ひと分ぶん でも、比 さえ 合あって いれば 味あじ は 同おなじ に なります。

縮尺しゅくしゃく と 地図ちず

地図ちず の 「縮尺しゅくしゃく 1 : 25000」 は、地図ちず の 1 cm が 実際じっさい の 25000 cm（＝ 250 m） と いう こと。これ も 比ひ の 考かんがえ方かた です。7 章しょう で くわしく 学まなびます。

サッカー の スコア・野球やきゅう の 勝敗しょうはい

「3 対たい 2」 で 勝かった、と いう とき の 「対たい」 は まさに 比ひ の 「:」。点てん の 数かず の 関係かんけい を 表あらわして います。

絵え と 写真しゃしん の タテヨコ 比ひ

テレビ の 画面がめん や スマホ の 写真しゃしん の「16 : 9」 や 「4 : 3」 も 比ひ。大おおきい 画面がめん でも 小ちいさい 画面がめん でも、比 が 同おなじ なら 形かたち は 同おなじ です。

ポイント: 「割合わりあい で くらべる」 と 「比 で くらべる」 は、言いい方かた が ちがう だけ で 根ねっこ は 同おなじ。どちら を 使つかう と 見みやすい か、場面ばめん で 使つかい分わけて みて ください。

7. つまずき やすい ポイント

① 比ひ の 順番じゅんばん を 入いれかえて しまう

「男子だんし : 女子じょし ＝ 3 : 2」 と 「女子じょし : 男子だんし ＝ 3 : 2」 は 別 の 意味いみ。問題もんだい を 解とく とき、どちら を 左ひだり に 書かく か を 最初さいしょ に 確認かくにん しましょう。

② 「比ひの値あたい」 と 「比ひ」 を 混同こんどう する

• 3 : 5 は 比ひ（関係かんけい の 表あらわし方かた）
• 3/5（＝ 0.6）は 比の値ひ の あたい（1 つ の 数かず）

答えこたえ の 書かき方かた が ちがって くる ので、「比ひ で 答こたえる」 の か 「比ひの値あたい で 答こたえる」 の か を 問題もんだい文ぶん から 読よみ取とりましょう。

③ 比ひ を 簡単かんたん に する とき の わり算ざん を 片方かたほう だけ に する

両がわ に 同おなじ 数 を かけたり わったり しないと、比ひ は 変かわって しまいます。「左ひだり は 3 で わった けど 右みぎ は そのまま」 は まちがい です。

   ○ 正しい:                   × 間ちがい:

   24 : 36                     24 : 36
   ↓ ÷12    ↓ ÷12              ↓ ÷12    （そのまま）
    2 :  3                      2 : 36   ← これ は 別 の 比

④ 比例配分ひれいはいぶん で 1 ぶん の 計算けいさん を わすれる

1000 円えん を 3 : 2 に 分わける とき、いきなり 「A ＝ 1000 × 3 ＝ 3000 円えん」 と やって しまう ミス。合計ごうけい の 比ひ（3 + 2 ＝ 5）を まず 出だして、1 ぶん を 計算けいさん する、と いう 手順てじゅん を 忘わすれ ない ように しましょう。

まとめ

• 比ひ：2 つ の 量りょう を、どちら を もと に する か を 決きめず に、整数せいすう の 組 で 表あらわす 方法ほうほう。a : b と 書かく
• 読よみ方かた：「a たい b」
• 比の値ひ の あたい ＝ a ÷ b ＝ a/b（左ひだり ÷ 右みぎ）。分数ぶんすう そのもの
• 等しい比ひとしいひ：比の値あたい が 等ひとしい 2 つ の 比ひ。例3 : 5 ＝ 6 : 10 ＝ 9 : 15
• 性質せいしつ：両がわ に 同おなじ 数かず を かけても、両りょうがわ を 同おなじ 数かず で わって も、比ひ は 等ひとしい
• 比ひ を 簡単かんたん に する：両りょうがわ を 最大公約数さいだいこうやくすう で わる（分数ぶんすう の 約分やくぶん と 同おなじ）
• 小数しょうすう の 比ひ → 10 倍ばい・100 倍ばい で 整数せいすう に、分数ぶんすう の 比ひ → 分母ぶんぼ の 最小公倍数さいしょうこうばいすう を かけて 整数せいすう に
• 比例配分ひれいはいぶん：全体ぜんたい を 決きまった 比ひ で 分わける。比 の 合計ごうけい で わって 1 ぶん を 出だす、または 全体ぜんたい × (a/(a+b)) で 求もとめる
• 日常にちじょう の 料理りょうり・縮尺しゅくしゃく・画面がめん の タテヨコ 比ひ など、比 は 生活せいかつ の あちこち で 活かつやく
• 比ひ の 順番じゅんばん、比の値ひ の あたい と 比ひ の 区別くべつ、両りょうがわ を そろえる こと に 注意ちゅうい

次 の 章しょう: 「比ひ が 同おなじ」 と いう 考かんがえ方かた を もっと おし広ひろめた 比例ひれい と 反比例はんぴれい、そして 拡大かくだい図ず・縮図しゅくず の 世界せかい に 進すすみます。2 つ の 量りょう が どのように 変かわって いく か を、表ひょう・式しき・グラフ の 3 つ の 道具どうぐ で 見みわたせる ように しましょう。