文字もじと 式しき

この章しょうで学まなぶこと

これまで、知しらない数かずや、変かわる数かずを表あらわすとき、□や△という記号きごうを使つかってきました。たとえば 「□ + 30 = 100」「ある数かずを △ として、△ × 4 で 値あたいを 求もとめる」 のように 使つかってきた はず です。

6 年ねん生せいでは、□や△の 代かわりに x（エックス）や y（ワイ）、a（エー）、b（ビー）のような 文字もじ を 使つかって 式しきに 表あらわします。これは、中学校ちゅうがっこうの 数学すうがくや、理科りか・社会しゃかいの 統計とうけい で 当あたり前まえ に 出でてくる 書かき方かた です。ここで しっかり 慣れなれておきましょう。

この章しょうが 終おわる ころには、つぎの ことが できるように なって います。

• 数量すうりょうの 関係かんけいを、x や y などの 文字もじ を 使つかった 文字を使った式もじをつかったしき に 書かける
• 式の 意味いみ を 読よみ取とれる（「5 × x」 が 何なにを 表あらわして いるか 言いえる）
• 文字もじに いろいろな 数かずを 当あてはめて、式しきの 値あたいを 求もとめられる
• x + 30 = 100 のような 式しきから、x の 値あたいを 求もとめられる（簡単かんたんな 方程式ほうていしきの 考かんがえ方かた）
• 決きまった 計算けいさんの 法則ほうそく（交かん 法則ほうそく・結合けつごう法則ほうそく・分配ぶんぱい法則ほうそく）を、文字もじを 使つかった 式 で 一般いっぱん的てきに 表あらわせる

ポイント:文字もじを 使つかう いちばんの よさ は、「どんな 数かずでも 当あてはまる 関係かんけい」を、いちいち 例れいを 書かかず に、1 本ほんの 式しきで すっきり 表あらわせる ことです。

1. なぜ 文字もじを 使つかうのか

□ や △ の 復習ふくしゅう

5 年生ねんせいまでに、つぎのような 場面ばめんで □ や △ を 使つかって きました。

• 「ある 数かずに 30 を たすと 100 に なります。ある 数かずは いくつ？」 → □ + 30 = 100
• 「1 こ 80 円えんの りんごを △ こ 買かう と 代金だいきんは？」 → 80 × △（円えん）

この □ や △ の 代かわり に、これからは x や a のような 文字もじを 使つかいます。

$x+30=100$

$80\times a$

意味いみは ぴったり 同おなじ です。読よみ方かた だけ 変かわる と 思おもえば だいじょうぶ。

文字もじを 使つかうと よい こと

文字もじを 使つかう よさ を、具体ぐたい例れいで 見みて みましょう。1 本x 円 の えんぴつ を 買かう 場面ばめん を 考えかんがえます。

• 1 本ほん買かう → 代金だいきん は x 円
• 2 本ほん買かう → 代金だいきん は x × 2 円
• 3 本ほん買かう → 代金だいきん は x × 3 円
• ︙
• 5 本買かう → 代金だいきん は x × 5 円（＝ 5 × x 円えん）

どの ばあい でも 「1 本ほんの 値段ねだん × 本数ほんすう」 という 同おなじ しくみ で 代金だいきんが 決きまります。この しくみ を、x を 使つかえば

$代金=x\times \left(本数\right)$

と、一いち本ほん の 式しきで すっきり 書かけます。□ や △ より 、いろいろな 数かずを 当あてはめて 使つかう ときに 便利べんり です。

ポイント: 文字もじは、いろいろな 数かずの 代かわり を する 道具どうぐ。小数しょうすう でも 分数ぶんすう でも、整数せいすう でも、同おなじように 当あてはめられます。

2. 文字もじを 使つかった 式しきに 表あらわす

例れい 1: えんぴつの 代金だいきん

1 本x 円 の えんぴつ を 5 本買かった とき の 代金だいきんを、y 円 と します。x と y の 関係かんけい を 式しきに 表あらわすと、

$y=x\times 5$

または、ならわし として 数を 先さき に 書かいて

$y=5\times x$

と 書かく こと が 多おおい です（中学ちゅうがく では さらに 「×」 を 省はぶいて y = 5x と 書かきます が、小学校しょうがっこうでは まだ 「×」 を 書かきましょう）。

この 1 本ほんの 式しきに、いろいろな x を 当あてはめて みましょう。

x（1 本ほんの 値段ねだん・円えん）	y = 5 × x（代金だいきん・円えん）
50	250
80	400
100	500
120	600

文字もじ を 使つかった 式しき 1 本ほん で、いろいろな 場合ばあい を まとめて 表あらわせる のが わかります。

例れい 2: 平行四辺形へいこうしへんけいの 面積めんせき

5 年生ねんせい で 学まなんだ ように、平行四辺形へいこうしへんけい の 面積めんせき は 底辺ていへん × 高たかさ で 求もとめられました。底辺ていへん を 4 cm と し、高たかさ を a cm、面積めんせき を b cm² と すると、

$4\times a=b$

という 式しきが 成なり立たちます。この 式しきは、「高さ が 決きまると 面積めんせき も 決きまる」 こと、「高さ が 2 倍ばい に なる と 面積めんせき も 2 倍ばい に なる」 こと（つまり 比例ひれいの 関係かんけい）まで 読よみ取とれる 便利べんりな 式しき です。

a（高たかさ・cm）	b（面積めんせき・cm²）
1	4
3	12
5	20
10	40

例れい 3: 代金だいきん と お釣つり

1 こ a 円 の ケーキ を 3 こ買かって、1000 円出だした とき の お釣つり を b 円 と する と、

$b=1000-a\times 3$

と 表あらわせます。カッコ を 使つかって b = 1000 - (a × 3) と 書かいて も 同おなじ こと です。

やってみよう: 1 冊x 円 の ノート を 4 冊買かい、y 円 の 消けしゴム を 1 こ買かった とき の 合計ごうけい代金だいきん を z 円 と して、式しきに 表あらわしましょう。

答えこたえ: z = x × 4 + y（または z = 4 × x + y）

3. 式しきの 意味いみを 読よみ取とる

文字を使った式もじをつかったしき が いきなり 書かかれて いる とき、「この 式しきは 何なにを 表あらわして いる のか」 を 読よみ取とる 力ちから も 大切たいせつ です。

例れい: x × 6 + 200 を 読よみ取とる

1 こ x 円 の おかし が ならんで いる とき、つぎの 式しき は 何なにを 表あらわして いる と 読よめるでしょうか。

$x\times 6+200$

• x × 6 … 1 こ x 円えん の おかし を 6 こ 買かった 代金だいきん
• + 200 … 200 円えん の 何なにか を たす

たとえば、「1 こ x 円えん の おかし を 6 こ と、200 円えん の ジュース を 1 本ほん買かった とき の 代金だいきん」 と 読よめます。

同おなじ 式しき でも、場面ばめん を 変かえれば 別べつの 意味いみ にも 使つかえます。たとえば 「1 m の 値段ねだん が x 円えん の ひも を 6 m 買かい、200 円えん の 箱はこ に 入いれた とき の 合計ごうけい」 など です。式 の 形かたち から、どんな 場面ばめん が 考えかんがえられる か、いくつか 挙あげて みる 練習れんしゅう を して みましょう。

例れい: (x + y) × 2

長方形ちょうほうけい の たて が x cm、よこ が y cm の とき、

$(x+y)\times 2$

は 何なに を 表あらわす 式しき でしょうか。たて ＋ よこ を 2 倍ばい する、つまり 長方形ちょうほうけい の まわり の 長ながさ（周あまね） を 表あらわす 式しき です。

ポイント:式 を 見みたら、「どの 部分ぶぶん が 何なに を 表あらわして いる か」、「全体ぜんたい で 何なに を 求もとめて いる の か」 の 2 つ を 確たしかめる と、意味いみ が はっきり します。

4. 文字もじ に 数かず を 当あてはめて、式しき の 値あたい を 求もとめる

文字を使った式もじをつかったしき に、実際じっさい の 数かず を 入いれて 計算けいさん する こと を、「文字もじに 数かず を 当あてはめる」 と 言いいます。中学ちゅうがく では 「代入だいにゅうする」 と 言いいます が、呼よび方かた は どちら でも かまいません。

例れい 1: y = 5 × x に 当あてはめる

1 本x 円 の えんぴつ 5 本ほん の 代金だいきんy 円 を 表あらわす 式y = 5 × x。

• x = 80 の とき → y = 5 × 80 = 400（400 円えん）
• x = 120 の とき → y = 5 × 120 = 600（600 円えん）

例れい 2: 小数しょうすう や 分数ぶんすう も 当あてはめられる

文字もじ に 当あてはめる 数かず は、整数せいすう だけ で は ありません。小数しょうすう でも 分数ぶんすう でも OK です。

平行四辺形へいこうしへんけい の 面積めんせき の 式b = 4 × a で、

• a = 2.5 の とき → b = 4 × 2.5 = 10（10 cm²）
• a = 3/2 の とき → b = 4 × 3/2 = 6（6 cm²）

ポイント:文字もじ は 「整数せいすう しか 入いれ られない」 わけ で は ありません。小数しょうすう でも 分数ぶんすう でも、当あてはめれば 同おなじ ように 計算けいさん できます。

5. 式しき の 値あたい から 文字もじ の 値あたい を 求もとめる

逆ぎゃく に、式 の 値あたい が 決きまって いて、文字もじ に 当あてはまる 数かず を 求もとめる問題もんだい も あります。中学ちゅうがく で 学まなぶ 方程式ほうていしき の 入口いりぐち です。

例れい 1: x + 30 = 100

「ある 数かず に 30 を たすと 100 に なります。ある 数かず は いくつ？」 を 式しき で 書かけば、

$x+30=100$

両がわ を よく 見みて、「30 を たすと 100 に なる 数かず」 と 考かんがえれば、

$x=100-30=70$

これは 「たし算さん の 逆算ぎゃくさん」 を 使つかって います（たし算さん → ひき算）。

例れい 2: x × 4 = 80

「ある 数かず を 4 倍ばい すると 80 に なります。ある 数かず は？」 なら、

$x=80÷4=20$

これは 「かけ算ざん の 逆算ぎゃくさん」（かけ算ざん → わり算ざん）。

例れい 3: 当あてはめて 調しらべる

どうしても 逆算ぎゃくさん が 思おもいつか ない とき は、文字もじ に いろいろな 数かず を 順番じゅんばん に 当あてはめて、式しき が 成なり立たつ 数かず を さがす方法ほうほう も あります。

たとえば 「x × 3 + 5 = 20」 の x を さがす とき：

x	x × 3 + 5
3	14
4	17
5	20 ← 当あたり
6	23

このように、順番じゅんばん に 数かず を 入いれて 表ひょう を 作つくる と、答えこたえ に たどり着つけます。計算けいさん が 得意とくい な 人ひと は 逆算ぎゃくさん、不安ふあん な 人ひと は 当あてはめ、と 使つかい分わけて OK です。

ポイント: + の 逆ぎゃく は −、× の 逆ぎゃく は ÷。逆算ぎゃくさん の 向むき を しっかり おぼえて おきましょう。

6. 文字もじ を 使つかって 計算けいさん の 法則ほうそく を 表あらわす

4 年生ねんせい・5 年生ねんせい で、計算けいさん の 法則ほうそく を 学まなびました。これら は、本当ほんとう は どんな 数かず でも 成なり立たつ法則ほうそく です。それ を 文字もじ で 書かく と、1 本ほん の 式しき で すっきり 表あらわせます。

交かん 法則ほうそく

$a+b=b+a$

$a\times b=b\times a$

「たし算さん と かけ算ざん は、前後ぜんご を 入いれかえ て も 答えこたえ が 同おなじ」。

結合けつごう法則ほうそく

$(a+b)+c=a+(b+c)$

$(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$

「カッコ の 付つけ方かた を 変かえて も 答えこたえ が 同おなじ」。

分配ぶんぱい法則ほうそく

$(a+b)\times c=a\times c+b\times c$

「たし算さん し て から かける の と、それぞれ に かけ て から たす の は、同おなじ」。

これら の 式しき は、a・b・c に どんな 整数せいすう・小数しょうすう・分数ぶんすう を 入いれても つねに 成なり立たちます。たとえば 分配ぶんぱい法則ほうそく を a = 3, b = 7, c = 4 で 確たしかめると：

• 左辺さへん: (3 + 7) × 4 = 10 × 4 = 40
• 右辺うへん: 3 × 4 + 7 × 4 = 12 + 28 = 40

ぴったり 一致いっち します。他た の 数かず でも ぜひ 試ためして みて ください。

ポイント:計算けいさん の 法則ほうそく を 文字もじ で 表あらわす と、「どんな 数かず でも 当あてはまる」 こと が 1 本ほん の 式しき で 言いえ ます。これ が 文字もじ の いちばん 大おおきな 力ちから です。

7. 2 つ の 文字もじ の 関係かんけい

1 つ の 式しき に 2 つ の 文字もじ が 出でてくる こと が あります。これ は、一方いっぽう が 決きまる と もう 一方いっぽう も 決きまる関係かんけい を 表あらわして いる こと が 多おおい です。

例れい: 1 辺へん x cm の 正方形せいほうけい の まわり の 長ながさ y cm

$y=x\times 4$

• x = 3 → y = 12
• x = 5 → y = 20
• x = 10 → y = 40

x が 決きまる と y が 決きまり、x が 2 倍ばい に なる と y も 2 倍ばい に なります。これ は 7 章しょう で 学まなぶ 比例ひれい の 関係かんけい の 入口いりぐち です。

例れい: 時速じそく 60 km で x 時間じかん進すすんだ ときの きょり y km

$y=60\times x$

• x = 1 → y = 60
• x = 2.5 → y = 150

x が 小数しょうすう でも 、同おなじ 式しき で 計算けいさん できます。

ポイント: 「x が 変かわる と y も 変かわる」 関係かんけい を 1 本ほん の 式しき で 書かける、と いう 考かんがえ方かた は 中学ちゅうがく の 関数かんすう や 理科りか の 公式こうしき で 大だい活かつやく します。

8. つまずき やすい ポイント

① ×（かける）の 向むき を 迷まよう

1 本x 円 の えんぴつ を 5 本 の 代金だいきん を、x × 5 と 書かく か 5 × x と 書かく か で 悩なやむ こと が あります。どちら でも 答えこたえ は 同おなじ（かけ算ざん の 交かん 法則ほうそく）。ただし、ならわし として 数 を 前まえ に 書かいて 「5 × x」 と する こと が 多おおい です。中学ちゅうがく では これ を 5x と 書かきます。

② 文字もじ の 前まえ に 数かず を 書かき 忘わすれる

「5 こ 買かった」 を 単たんに 「x」 と 書かいて しまう ミス が あります。x は 1 本分ほんぶん の 値段ねだん、5 × x が 5 本ほん の 代金だいきん。x と 5 × x は 別物べつもの です。「何なにが x か」 「何なん倍ばい するか」 を 分わけて 考えかんがえましょう。

③ 文字もじ を いきなり 消けして 計算けいさん して しまう

x + 30 = 100 を 解とく とき、 x を 勝手かって に 消けして 「+30 = 100 だから 70」 と やって は いけません。x = 100 − 30 = 70 と、x の 値あたい を 求もとめる、と いう 形かたち で 書かきましょう。最後さいご に x = 70 を 元もと の 式しき に 当あてはめ て 確たしかめる の も 大切たいせつ です（70 + 30 = 100 になれば OK）。

④ 文字もじ に 当あてはめた とき 、計算けいさん順序じゅんじょ を まちがえる

y = 5 × x + 3 に x = 4 を 当あてはめ ると、y = 5 × 4 + 3 = 20 + 3 = 23。「× が 先さき、＋ が あと」 という 計算けいさん順序じゅんじょ を わすれ ない ように しましょう。たし算さん を 先さき に や ると、答えこたえ が ちがって しまいます。

まとめ

• □ や △ の 代かわり に x・y・a・b などの 文字もじ を 使つかって 式しき を 書かく → 文字を使った式もじをつかったしき
• 文字もじ は どんな 数かず でも 当あてはまる 道具どうぐ。整数せいすう・小数しょうすう・分数ぶんすう すべて OK
• 数量すうりょう の 関係かんけい を、1 本ほん の 式しき で 一般いっぱん的てき に 表あらわせる（例れい: 代金だいきん y = 5 × x）
• 式しき を 見みたら、どの 部分ぶぶん が 何なに を 表あらわすか・全体ぜんたい で 何なに を 求もとめるか を 読よみ取とる
• 文字もじ に 数かず を 当あてはめて式 の 値あたい を 求もとめられる
• 式しき の 値あたい が 決きまって いる とき は、逆算ぎゃくさん か 当あてはめ で 文字もじ の 値あたい を 求もとめる
• + の 逆ぎゃく は −、× の 逆ぎゃく は ÷
• 計算けいさん の 法則ほうそく（交かん・結合けつごう・分配ぶんぱい）は、文字もじ を 使つかう と 1 本ほん の 式しき で どんな 数かず でも OK と 表あらわせる
• 2 つ の 文字もじ を 使つかう と、一方いっぽう が 決きまれば もう 一方いっぽう も 決きまる関係かんけい（比例ひれい の 入口いりぐち）が 見みえる

次 の 章しょう: いよいよ 6 年生ねんせい の 算数さんすう の 大おおきな 山やま、比 と 比ひ の 値あたい です。「混まぜる 割合わりあい」 や 「身長しんちょう と 体重たいじゅう の 関係かんけい」 など、2 つ の 量りょう を 同おなじ 単位たんい で ならべて 比くらべる考かんがえ方かた を 身み に つけましょう。