面積 と 立体
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この 章で 学ぶこと
この 章は 2 つの パートから できています。
- パート 1：面積（広さの はかり方、cm²・m²・a・ha・km²、長方形と 正方形の 公式）
- パート 2：立体（直方体・立方体、面・辺・頂点、見取図・展開図）
おわるころには、つぎの ことが できる ように なります。
- 長方形の 面積 ＝ たて × よこ、正方形の 面積 ＝ 1辺 × 1辺 が すぐに 言える
- 1 cm²、1 m²、1 a、1 ha、1 km² の 大きさの かんけいを 説明 できる
- L 字型のような 形の 面積を 2 つの 長方形に 分けて求められる
- 直方体には 面が 6 つ・辺が 12 本・頂点が 8 こ ある ことを 言える
- 見取図と 展開図の ちがいを 説明 できる
ポイント:面積は「はかる」のではなく 計算で 求めるのが ふしぎな ところです。長さを ものさしで はかれば、あとは かけ算 だけで 広さが 出せます。これが 4 年生算数の 大きな ジャンプ です。
パート 1：面積
1. 面積って 何？
面積とは 広さの 大きさを 表す ものです。長さは「ものさし」で はかれましたが、広さは どう やって くらべましょうか。
たとえば、つくえの 上と ノートの 上、どちらが 広いか、見た目では わかります。でも、どれくらい 広いかを 数で 言うには、共通の めもりが ひつようです。
そこで、1 辺が 1 cm の 正方形を 1 つの めもりと します。これを 1 cm²（1 平方センチメートル）と 言います。
┌─┐
│ │ ← 1 辺が 1 cm の 正方形 ＝ 1 cm²
└─┘
ある 形の 中に この 1 cm² が 何こ ぴったり 入るかを 数えれば、広さが 数で 表せます。これが 面積の 考え方です。
ポイント:面積の 単位は、長さの 単位の 右上に 小さい 2を 付けて 表します。「2」は「2 つの 長さを かけた」という しるし です。
2. 長方形の 面積
つぎの 長方形を 見てみましょう。たて 3 cm、よこ 4 cm の 長方形 です。
┌─┬─┬─┬─┐
│ │ │ │ │
├─┼─┼─┼─┤
│ │ │ │ │
├─┼─┼─┼─┤
│ │ │ │ │
└─┴─┴─┴─┘
← よこ 4 cm →
↑
たて 3 cm
↓
1 cm² の 正方形が よこに 4 つ、たてに 3 だん ならんで います。ぜんぶで 4 × 3 ＝ 12 こ。だから 面積は 12 cm²です。
これを 公式に すると、つぎのように なります。
重要: 長方形の 面積 ＝ たて × よこ
「よこ × たて」と しても 答えは 同じです。
れんしゅう
- たて 5 cm、よこ 8 cm の 長方形 → 5 × 8 ＝ 40 cm²
- たて 7 m、よこ 10 m の 長方形 → 7 × 10 ＝ 70 m²
注意:長方形の まわりの 長さと 面積を まちがえないように しましょう。まわりの 長さは「たて ＋ よこ」を 2 倍した もので、たんいは cm。面積は「たて × よこ」で、たんいは cm² です。
3. 正方形の 面積
正方形は 4 つの 辺の 長さが ぜんぶ 同じな 長方形です。だから、たて と よこに 同じ 数を 入れれば 公式が できます。
重要: 正方形の 面積 ＝ 1 辺 × 1 辺
れんしゅう
- 1 辺 6 cm の 正方形 → 6 × 6 ＝ 36 cm²
- 1 辺 9 m の 正方形 → 9 × 9 ＝ 81 m²
4. m² と もっと 大きな たんい
教室や 体育館の 広さを cm² で 表すと、数が 大きくなり すぎて わかりにくく なります。そこで、もっと 大きな 単位を つかいます。
1 m²（1 平方メートル）
1 辺が 1 m の 正方形の 面積が 1 m²です。
ここで、たいせつな かんけいが あります。1 m ＝ 100 cm なので、1 m² の 中には……
たて 100 cm、よこ 100 cm
100 × 100 ＝ 10000
→ 1 m² ＝ 10000 cm²
重要: 1 m² ＝ 10000 cm²
長さでは「1 m ＝ 100 cm」だったので、面積も 100 倍と 思って しまいがちですが、面積は たて と よこの 2 つを かけるので、100 × 100 ＝ 10000 倍に なります。ここは とても まちがえやすい ポイント です。
1 a（1 アール）と 1 ha（1 ヘクタール）
田んぼや 畑、公園 などの 広さには、もっと 大きな 単位アールと ヘクタールを つかいます。
- 1 a ＝ 1 辺が 10 m の 正方形 ＝ 100 m²
- 1 ha ＝ 1 辺が 100 m の 正方形 ＝ 10000 m² ＝ 100 a
1 km²（1 平方キロメートル）
市や 町の 広さ、湖の 広さなど、ものすごく 広い ものには 1 km²を つかいます。
- 1 km² ＝ 1 辺が 1 km（1000 m）の 正方形 ＝ 1000000 m²
単位の まとめ
| 長さの 単位 | 面積の 単位 | m² で 表すと |
|---|---|---|
| 1 cm | 1 cm² | 0.0001 m² |
| 1 m | 1 m² | 1 m² |
| 10 m | 1 a | 100 m² |
| 100 m | 1 ha | 10000 m² |
| 1 km | 1 km² | 1000000 m² |
ポイント: 長さが 10 倍に なると、面積は 100 倍に なる。これが 単位の つながりの ひみつ です。
5. 大きさの かんかく を つかもう
数だけ おぼえても、本当の 広さの かんかくは つかめません。みのまわりで くらべてみましょう。
| もの | だいたいの 面積 |
|---|---|
| はがき | 約 150 cm² |
| ノート 1 ページ | 約 600 cm² |
| 教室の 床 | 約 60 m² |
| 小学校の グラウンド | 約 5000 m² |
| サッカーコート | 約 7000 m² |
| 東京ドーム | 約 1 ha（10000 m²） |
| 山手線の 内側 | 約 60 km² |
やってみよう:自分の つくえの 面積を はかってみよう。たてと よこを cm で はかって、かけ算を すれば cm² で 出せます。何 cm² に なるかな？
6. ふくざつな 形の 面積
L 字型 のような 形は、ぱっと 見では 公式が つかえません。でも、2 つや 3 つの 長方形に 分ければ求められます。
┌──────┐
│ │
│ ┌──┘ ← この L 字型を 2 つに 分ける
│ │
│ │
└───┘
分けて 足す ほうほう
L 字型を たてに 1 本線を 入れて、左の 長方形と 右の 長方形に 分けます。それぞれの 面積を 求めて 足します。
例：たて 6 cm、よこ 4 cm の 長方形 と、たて 2 cm、よこ 3 cm の 長方形に 分けられた とき
- 左：6 × 4 ＝ 24 cm²
- 右：2 × 3 ＝ 6 cm²
- 合計：24 ＋ 6 ＝ 30 cm²
大きい 長方形から ひく ほうほう
L 字型を ぐるっと かこむ 大きな 長方形を 考え、そこから 欠けて いる 長方形を ひいても 求められます。
例：大きな 長方形 6 × 7 ＝ 42 cm² から、欠けた 部分 4 × 3 ＝ 12 cm² を ひく → 42 − 12 ＝ 30 cm²
どちらの ほうほうでも 同じ 答えに なります。図に 線を ひいて、自分の やりやすい ほうを えらびましょう。
やってみよう:上の L 字型を、たてに 線を 入れる かわりに よこに 線を 入れて 2 つに 分けても、同じ 答えに なるか たしかめてみましょう。
パート 2：直方体 と 立方体
7. 直方体と 立方体
ティッシュ箱や、おかしの 箱、サイコロ。これらは ぜんぶ 立体と よばれる、平らな 形では ない ものです。
立体の 中でも、4 年生では とくに 2 つの 形を 学びます。
直方体
6 つの 長方形（または 4 つの 長方形と 2 つの 正方形）で かこまれた 立体です。ティッシュ箱や、れんが、本 などが その 形です。
立方体
6 つの 正方形だけで かこまれた 立体です。サイコロが その 形です。立方体は 直方体の とくべつな 形と いえます（すべての 辺の 長さが 同じな 直方体）。
直方体 立方体
┌────────┐ ┌────┐
│\ \ │\ \
│ \ \ │ \ \
│ ┌────────┐ │ ┌────┐
│ │ │ │ │ │
└──┤ │ └──┤ │
└────────┘ └────┘
8. 面・辺・頂点
立体は つぎの 3 つの ぶぶんから できて います。
- 面（めん）… 立体の 平らな ところ
- 辺（へん）… 面と 面が ぶつかる 線
- 頂点（頂点）… 辺と 辺が ぶつかる 点
直方体 と 立方体は、それぞれ つぎの 数を もって います。
| 面の 数 | 辺の 数 | 頂点の 数 | |
|---|---|---|---|
| 直方体 | 6 | 12 | 8 |
| 立方体 | 6 | 12 | 8 |
数は どちらも 同じです。ちがいは 面の 形（直方体は 長方形、立方体は 正方形）です。
ポイント:直方体の 12 本の 辺は、長さが 同じ もの どうしで 4 本ずつ、3 つの グループに 分かれます。たて・よこ・高さ の 3 種類です。
平行と 垂直
直方体には、面と 面、辺と 辺、辺と 面の あいだに 平行や 垂直の かんけいが あります。
- 向かい合う 2 つの 面は 平行（どこまでも くっつかない）
- となり合う 2 つの 面は 垂直（90° で 交わる）
- 1 つの 辺は、2 つの 面に 垂直に なる
- 1 つの 頂点に 集まる 3 つの 辺は、たがいに 垂直
これは、第 6 章で 学んだ 平行・垂直の 考えを 立体の 世界に 広げたもの です。
9. 見取図と 展開図
立体は そのまま 紙に かけません。そこで、2 つの えがき方を つかいます。
見取図
立体を ななめ から 見た ように、立体感を 出して えがいた 図です。見えない 辺は 点線で かきます。
┌────────┐
│\ \
│ \ \
│ ┌────────┐
│ │ │
└──┤ │
└────────┘
ポイント：
- 向かい合う 辺は 平行に かく
- 同じ 長さの 辺は 同じ 長さで かく（ただし、おく行きの 辺は 少し 短く かいて 立体感を 出す）
- 見えない 辺は 点線
展開図
立体を はさみで 切って 平らに 開いた形を 表す 図 です。組み立てる と もとの 立体に なります。
立方体の 展開図の 例：
┌──┐
│ │
┌──┬──┼──┬──┐
│ │ │ │ │
└──┴──┼──┴──┘
│ │
└──┘
これは「十字型」と 言われる 形です。立方体の 展開図には、なんと 11 種類も あります。
ポイント：
- 立方体は 6 つの 同じ 大きさの 正方形を つなげた もの
- 直方体は 3 種類の 大きさの ちがう 長方形を、同じ 大きさの ものが 2 つずつ
- 組み立てたとき、向かい合う 面は 展開図で 1 つ間を あけて ならぶ
やってみよう: 画用紙に 立方体の 展開図を かいて、はさみで 切って 組み立ててみよう。きれいな サイコロが できるかな？
つまずきやすい ポイント
単位 の 「2」を 落とす
「面積 5 m」と 書いて しまう 間ちがいが よく あります。面積は かならず m² や cm²のように、右上の 2 を 付けるのを わすれない ように しましょう。
1 m² ＝ 100 cm² と 思いこむ
長さでは「1 m ＝ 100 cm」だから、面積も 100 倍と 思いがちですが、1 m² ＝ 10000 cm²です。「100 × 100」を 思い出しましょう。
直方体 と 立方体の 区別
「立方体は 直方体の なかま」です。直方体の 中で、すべての 面が 正方形な ものが 立方体。べつの 形では なく、とくべつな 直方体と 考えると わかりやすく なります。
まとめ
面積
- 面積は 計算で 求める。長さを はかれば 出せる
- 長方形の 面積 ＝ たて × よこ
- 正方形の 面積 ＝ 1 辺 × 1 辺
- 単位：1 cm²、1 m²、1 a、1 ha、1 km²
- 1 m² ＝ 10000 cm²、1 ha ＝ 100 a ＝ 10000 m²、1 km² ＝ 1000000 m²
- L 字型などは 2 つの 長方形に 分けて足す、または 大きな 長方形から 引く
直方体・立方体
- 直方体：6 つの 長方形で かこまれた 立体
- 立方体：6 つの 正方形で かこまれた 立体（直方体の とくべつな 形）
- どちらも 面6、辺12、頂点8
- 向かい合う 面は 平行、となり合う 面は 垂直
- 見取図：ななめから 見た 図、見えない 辺は 点線
- 展開図：切り開いて 平らに した 図、組み立てると もとの 立体
つぎの 章へ:第 8 章では、変化と 割合・グラフを 学びます。気温の 変化を 表す 折れ線グラフ、二次元の表の まとめ方、そして「赤テープは 青テープの 何倍か」という 簡単な 割合の 考え方を つかみましょう。
まとめ — 面積 と 立体 を 3 行 で
- 長方形 の 面積 ＝ たて × よこ、正方形 の 面積 ＝ 1 辺 × 1 辺。単位 は cm²・m²・a・ha・km² が ある。
- L 字 など の 形 は、2 つ の 長方形 に 分けて 足す か、大きな 長方形 から 引く こと で 求められる。
- 直方体・立方体 は どちら も 面 6・辺 12・頂点 8。見取図 と 展開図 を 使う と 立体 の しくみ が よく わかる。