角・垂直・平行 と 四角形
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この 章で 学ぶこと
3年生では、三角形を 辺の 長さで 「正三角形」「二等辺三角形」 などに 分けました。4年生では、図形を 角の 大きさと 辺どうしの 関係から くわしく 調べます。
新しい 道具分度器と、ひさしぶりに 出てくる 三角定規を つかって、いろいろな 図形を 調べたり かいたり しましょう。
この 章が おわるころには、つぎの ことが できるように なっています。
- 角の 大きさを 度（°）の 単位で 言える
- 直角＝90°、半回転＝180°、1 回転＝360°を つかって 角の 大きさを 見当 できる
- 分度器で 角を 正しく 測ったり、かいたり できる
- 三角形の 3 つの 角の 和 ＝ 180°を 言える
- 垂直と 平行の 意味が 分かり、三角定規で 作図 できる
- 台形・平行四辺形・ひし形の ちがいと 性質が 言える
- 対角線の とくちょうから 四角形を 見分けられる
ポイント: この 章は 「測る」「かく」「調べる」を くりかえす 章 です。文字だけで 分かろうと せず、ノートに 図を かいて、分度器や 三角定規で 自分の 手を 動かして 学びましょう。
1. 角と 角の 大きさ
角 とは
1 つの 頂点から 出る 2 本の 辺が 作る 形を 角と いいます。 頂点を 中心に、1 本の 辺を 回した とき の 回り 具合が、角の 大きさ です。
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頂点
辺どうしの 開きが 大きいほど、角は 大きく なります。 辺どうしの 長さは 関係 ありません（長さが ちがっても 開きが 同じ なら 同じ 角の 大きさ）。
注意: 「辺が 長い 角＝大きい 角」では ありません。たとえば 大きく 開いた 短い 角と、少しだけ 開いた 長い 角 では、大きく 開いた ほう が 角は 大きいです。
角の 大きさの 単位度（°）
長さの 単位が cm や m だった ように、角の 大きさにも 単位が あります。それが 度（°）です。
基本に なる 大きさは つぎの 3 つ。
┃ ─┐ ●
┃ 90°（直角） │ 180°（半回転） 360°（1 回転）
┃ │
━━●━━━ ━━━●━━━ ぐるっと 1 周
| 名前 | 角度 | 説明 |
|---|---|---|
| 直角 | 90° | 三角定規の かど・本の かど と 同じ |
| 半回転 | 180° | まっすぐな 線。直角 2 つ ぶん |
| 1 回転 | 360° | ぐるっと 1 周。直角 4 つ ぶん |
ポイント: 90°、180°、360° は 角度の 「ものさし」。「この 角は 直角より 大きいから 90° より 大きい」「半回転より 小さいから 180° より 小さい」 と 見当を つけてから 分度器で 測ると、ミスが ぐっと へります。
2. 分度器の つかい方
分度器は、角の 大きさを 測る 道具 です。半円の 形を していて、まわりに 0° から 180° まで メモリが 付いて います。
測り方の 3 ステップ
↓ 中心を 頂点に
● ←─ 中心
┌───┴───┐
│ メモリ │
└───────┘
↓ 0° の 線を 辺に そろえる
- 分度器の 中心の 点を、角の 頂点に ぴたっと 合わせる
- 0° の 線を、角の 1 本の 辺に ぴたっと そろえる
- もう 1 本の 辺が さして いる メモリ を 読む
内側？ 外側？ メモリの 読み方
分度器には、内側と 外側に 2 列の メモリが あります。これは、どちらの 辺を 0° に 合わせても 読めるように なっている から です。
注意: どちらの メモリを 読めば いいか まよったら、「90° より 大きいか 小さいか」を 先に 見当 します。直角 より 明らかに 大きい のに 60° と 読んで いたら、まちがって います。
例：直角より 少し 大きそう → 100° 〜 110° くらい が 答え。30° や 40° は ありえない。
角を かく 手順
つぎは ぎゃくに、決められた 大きさの 角を かく練習 です。たとえば 70° の 角を かくとき。
- まず 1 本の 直線（辺）を ものさしで かく
- その はしの 点を 頂点として、分度器の 中心を 合わせる
- 0° の 線を 直線に そろえる
- 70° の メモリの 場所に 点を 打つ
- 頂点と その 点を 直線で 結ぶ
180° より 大きい 角
分度器は 180° までしか 目もりが ありません。たとえば 210°の 角を かきたい ときは、つぎのように 考えます。
- 180° + 30°（半回転より 30° 多い）
- または 360° − 150°（1 回転より 150° 少ない）
使う のは 180° + 30°の ほう。まず 半回転（180°）の 直線を ひいて、その 先から さらに 30° 回した 場所まで 線を 伸ばせば、210° の 角が できます。
3. 三角形の 3 つの 角の 和
どんな 三角形でも、3 つの 角を 足すと いつも 180°に なります。
▲
／｜＼
a／ ｜ ＼b
／ ｜ ＼
────────────
c
a + b + c = 180°
確かめ方
紙で 三角形を 切り 取って、3 つの 角を 破って ならべると、ぴったり 1 本の 直線（半回転）に なります。
a b c
●───────────●
180°（半回転）
正三角形なら、3 つの 角は ぜんぶ 同じ なので 1 つは 180° ÷ 3 ＝ 60°。 二等辺三角形なら、底角の 2 つは 同じ 大きさ。
やってみよう: ある 三角形 で、2 つの 角が 50° と 70° の とき、のこりの 角は 何 °？
答え: 180° − 50° − 70° ＝ 60°
4. 垂直と 平行
垂直
2 本の 直線が 90°（直角）で 交わるとき、その 2 本は たがいに 垂直と いいます。
┃
┃
━━━╋━━━ ← この 2 本の 直線は 垂直
┃
┃
垂直は 「2 本の 直線の 関係」を 表す ことば。形 として の「直角」 とは 少し ちがう、と いう ことに 気を つけましょう。
平行
2 本の 直線が どこまで 伸ばしても 交わらないとき、その 2 本は たがいに 平行と いいます。
━━━━━━━━━━ ← この 2 本の 直線は 平行
━━━━━━━━━━
平行な 2 本の 直線には、つぎのような 性質が あります。
- どこまで 伸ばしても 交わらない
- 2 本の あいだの 間の 長さ（幅）が、どこでも 同じ
━━━━━━━━━━
↕ ↕ ↕ ↕ ← どの 場所で 測っても 同じ
━━━━━━━━━━
ポイント: 「1 本の 直線に 垂直な 2 本の 直線」は、いつでも たがいに 平行に なります。これは 平行を 作図する ときの 大切な きまり です。
1 本の 直線に 垂直な 2 本は 平行
┃ ┃
┃ ┃
━━━╋━━━━━╋━━━ ← 横の 直線に、左右の 縦線が どちらも 垂直
┃ ┃
┃ ┃
横の 直線 1 本に、左の 縦線 と 右の 縦線 が どちらも 垂直に なって います。この とき、左右 2 本の 縦線は たがいに 平行です。
5. 三角定規で 垂直・平行を かく
三角定規は 2 枚で 1 セット。直角を 持つ ものが 2 種類 あり、組み合わせて 使います。
垂直の 作図
ある 直線に 垂直な 直線を かく とき：
- 三角定規の 直角の 1 辺を、もとの 直線に そろえる
- 直角の もう 1 辺に そって、新しい 直線を かく
これで、もとの 直線と 新しい 直線が 90° で 交わる＝ 垂直に なります。
平行の 作図
ある 直線に 平行な 直線を かく とき は、三角定規 2 枚を 使います。
┌────────┐
│ 三角 │ ← 1 枚目（固定）
│ 定規 │
└────────┘
↓ もう 1 枚を 上に 滑らせる
━━━━━━━━━━ ← もとの 直線
- 1 枚目を、もとの 直線に そろえて 置く
- 2 枚目の 三角定規を 1 枚目に ぴったり 付ける
- 1 枚目を 動かさず、2 枚目だけを 1 枚目に 沿って 滑らせる
- 動かした さきで、もとの 直線と 同じ 辺を 使って 新しい 直線を かく
これで、もとの 直線と 同じ 角度で 伸びる 直線＝ 平行な 直線が かけます。
6. いろいろな 四角形
四角形を、平行な 辺が 何組 あるかと 辺の 長さで 分けて みましょう。
台形
向かい合う 1 組の 辺だけ が 平行な 四角形を 台形と いいます。
━━━━━━ ← この 上の 辺 と
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／ ＼
━━━━━━━━━━ ← 下の 辺 が 平行
平行四辺形
向かい合う 2 組の 辺が どちらも 平行な 四角形を 平行四辺形と いいます。
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／ ／
／ ／
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平行四辺形には、つぎの 性質が あります。
- 向かい合う 辺（対辺）の 長さが 等しい
- 向かい合う 角（対角）の 大きさが 等しい
ひし形
4 つの 辺の 長さが ぜんぶ 等しい四角形を ひし形と いいます。
／＼
／ ＼
＼ ／
＼ ／
＼／
ひし形は 平行四辺形の 特別な 形です。だから 平行四辺形の 性質も ぜんぶ 当てはまります。
- 4 つの 辺の 長さは すべて 等しい
- 向かい合う 角の 大きさは 等しい
- 2 組の 対辺は たがいに 平行
正方形・長方形 と の 関係
これまで 学んだ 正方形・長方形も、見方を 変えると ぜんぶ 平行四辺形の なかまです。
| 四角形 | 平行な 辺 | 4 つの 辺 | 4 つの 角 |
|---|---|---|---|
| 台形 | 1 組 | バラバラ | バラバラ |
| 平行四辺形 | 2 組 | 向かい合う 辺は 同じ | 向かい合う 角は 同じ |
| ひし形 | 2 組 | 4 つとも 同じ | 向かい合う 角は 同じ |
| 長方形 | 2 組 | 向かい合う 辺は 同じ | 4 つとも 90° |
| 正方形 | 2 組 | 4 つとも 同じ | 4 つとも 90° |
ポイント:正方形は 「ひし形 でも あり、長方形 でも ある」四角形 です。「ひし形 = ひしゃげた もの」 と いう イメージ だけ では なく、4 辺が 等しい 四角形 が ぜんぶ ひし形と おぼえましょう。
7. 対角線
四角形の 向かい合う 頂点どうしを 結ぶ 直線を、対角線と いいます。四角形には、いつでも 2 本の 対角線が ひけます。
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｜＼ ／｜
｜ ＼ ／ ｜ ← 2 本の 対角線
｜ ╳ ｜
｜ ／ ＼ ｜
｜／ ＼｜
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四角形の 種類 によって、対角線の とくちょうが 変わります。
| 四角形 | 対角線の 長さ | 交わり方 | 交わる 場所 |
|---|---|---|---|
| 平行四辺形 | バラバラ | ふつうに 交わる | たがいの 真ん中 で 交わる |
| ひし形 | バラバラ | 垂直に 交わる | たがいの 真ん中 で 交わる |
| 長方形 | 等しい | ふつうに 交わる | たがいの 真ん中 で 交わる |
| 正方形 | 等しい | 垂直に 交わる | たがいの 真ん中 で 交わる |
ポイント:四角形の 名前を 当てる ときは、対角線の 長さ・交わる 角度・交わる 場所の 3 つを 見ると ヒントに なります。
- 対角線が 垂直に 交わる → ひし形 か 正方形
- 対角線の 長さが 等しい → 長方形 か 正方形
- 両方 → 正方形
平行四辺形・ひし形の 作図
平行四辺形を かく ときは、
- 1 本の 辺（底辺）を かく
- はしの 頂点から、決められた 角度・長さ で もう 1 本の 辺を かく
- 反対側の 2 本も、それぞれ 平行に かく
ひし形を かく ときは、コンパスで 同じ 長さの 4 辺を 取ると 楽です。
やってみよう: 1 辺が 4 cm の ひし形を かいて、2 本の 対角線を ものさしで 測ってみましょう。長さは 同じ ですか？ ちがいますか？
答え: ふつうは ちがう 長さに なります。ひし形は 対角線の 長さは 等しく ありません（垂直に 交わる だけ）。長さも 等しく したい なら 正方形に する 必要が あります。
まとめ
- 角の 大きさの 単位は 度（°）。直角＝90°、半回転＝180°、1 回転＝360°
- 角の 大きさは 分度器で 測る。中心を 頂点、0° の 線を 1 辺に 合わせる
- 180° より 大きい 角は 「180° + ○°」と 考えて かく
- どんな 三角形でも 3 つの 角の 和 ＝ 180°
- 2 本の 直線が 90° で 交わる ＝ 垂直
- 2 本の 直線が どこまで 伸ばしても 交わらない ＝ 平行。幅は どこでも 同じ
- 1 本の 直線に 垂直な 2 本は たがいに 平行
- 三角定規 2 枚を 使って 平行な 直線を かける
- 台形：平行な 辺が 1 組
- 平行四辺形：平行な 辺が 2 組。対辺の 長さ・対角の 大きさが それぞれ 等しい
- ひし形：4 辺が ぜんぶ 同じ 長さ。平行四辺形の 仲間
- 正方形・長方形も 平行四辺形の 仲間。正方形は ひし形 でも ある
- 対角線は 2 本。ひし形・正方形は 垂直に 交わる。長方形・正方形は 長さが 等しい
次の 章:図形の つぎは 面積と 立体。長方形・正方形の 広さの 計算、cm² や m² の 単位、そして 直方体・立方体・展開図 まで 進みます。