角・垂直・平行 と 四角形
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この章で学ぶこと
3年生では、三角形を辺の長さで 「正三角形」「二等辺三角形」 などに分けました。4年生では、図形を 角の大きさと 辺どうしの関係からくわしく調べます。
新しい道具分度器と、ひさしぶりに出てくる 三角定規をつかって、いろいろな図形を調べたりかいたりしましょう。
この章がおわるころには、つぎのことができるようになっています。
- 角の大きさを 度（°）の単位で言える
- 直角＝90°、半回転＝180°、1 回転＝360°をつかって角の大きさを見当できる
- 分度器で角を正しく 測ったり、かいたりできる
- 三角形の 3 つの角の和 ＝ 180°を言える
- 垂直と 平行の意味が分かり、三角定規で作図できる
- 台形・平行四辺形・ひし形のちがいと性質が言える
- 対角線のとくちょうから四角形を見分けられる
ポイント: この章は 「測る」「かく」「調べる」をくりかえす章です。文字だけで分かろうとせず、ノートに図をかいて、分度器や三角定規で自分の手を動かして学びましょう。
1. 角と角の大きさ
角とは
1 つの 頂点から出る 2 本の辺が作る形を 角といいます。 頂点を中心に、1 本の辺を回したときの 回り具合が、角の大きさです。
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頂点
辺どうしの 開きが大きいほど、角は大きくなります。 辺どうしの 長さは関係ありません（長さがちがっても開きが同じなら同じ角の大きさ）。
注意: 「辺が長い角＝大きい角」では ありません。たとえば大きく開いた短い角と、少しだけ開いた長い角では、大きく開いたほうが角は大きいです。
角の大きさの単位度（°）
長さの単位が cm や m だったように、角の大きさにも単位があります。それが 度（°）です。
基本になる大きさはつぎの 3 つ。
┃ ─┐ ●
┃ 90°（直角） │ 180°（半回転） 360°（1 回転）
┃ │
━━●━━━ ━━━●━━━ ぐるっと 1 周
| 名前 | 角度 | 説明 |
|---|---|---|
| 直角 | 90° | 三角定規のかど・本のかどと同じ |
| 半回転 | 180° | まっすぐな線。直角 2 つぶん |
| 1 回転 | 360° | ぐるっと 1 周。直角 4 つぶん |
ポイント: 90°、180°、360° は 角度の 「ものさし」。「この角は直角より大きいから 90° より大きい」「半回転より小さいから 180° より小さい」 と見当をつけてから分度器で 測ると、ミスがぐっとへります。
2. 分度器のつかい方
分度器は、角の大きさを 測る道具です。半円の形をしていて、まわりに 0° から 180° までメモリが付いています。
測り方の 3 ステップ
↓ 中心を頂点に
● ←─ 中心
┌───┴───┐
│ メモリ │
└───────┘
↓ 0° の線を辺にそろえる
- 分度器の中心の点を、角の 頂点にぴたっと合わせる
- 0° の線を、角の 1 本の辺にぴたっとそろえる
- もう 1 本の辺がさしているメモリを読む
内側？ 外側？ メモリの読み方
分度器には、内側と外側に 2 列のメモリがあります。これは、どちらの辺を 0° に合わせても読めるようになっているからです。
注意: どちらのメモリを読めばいいかまよったら、「90° より大きいか小さいか」を先に見当します。直角より明らかに大きいのに 60° と読んでいたら、まちがっています。
例：直角より少し大きそう → 100° 〜 110° くらいが答え。30° や 40° はありえない。
角をかく手順
つぎはぎゃくに、決められた大きさの角をかく練習です。たとえば 70° の角をかくとき。
- まず 1 本の直線（辺）をものさしでかく
- そのはしの点を 頂点として、分度器の中心を合わせる
- 0° の線を直線にそろえる
- 70° のメモリの場所に点を打つ
- 頂点とその点を直線で結ぶ
180° より大きい角
分度器は 180° までしか目もりがありません。たとえば 210°の角をかきたいときは、つぎのように考えます。
- 180° + 30°（半回転より 30° 多い）
- または 360° − 150°（1 回転より 150° 少ない）
使うのは 180° + 30°のほう。まず半回転（180°）の直線をひいて、その先からさらに 30° 回した場所まで線を 伸ばせば、210° の角ができます。
3. 三角形の 3 つの角の和
どんな三角形でも、3 つの角を足すといつも 180°になります。
▲
／｜＼
a／ ｜ ＼b
／ ｜ ＼
────────────
c
a + b + c = 180°
確かめ方
紙で三角形を切り取って、3 つの角を 破ってならべると、ぴったり 1 本の直線（半回転）になります。
a b c
●───────────●
180°（半回転）
正三角形なら、3 つの角はぜんぶ同じなので 1 つは 180° ÷ 3 ＝ 60°。 二等辺三角形なら、底角の 2 つは同じ大きさ。
やってみよう: ある三角形で、2 つの角が 50° と 70° のとき、のこりの角は何 °？
答え: 180° − 50° − 70° ＝ 60°
4. 垂直と 平行
垂直
2 本の直線が 90°（直角）で交わるとき、その 2 本は たがいに 垂直といいます。
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┃
━━━╋━━━ ← この 2 本の直線は垂直
┃
┃
垂直は 「2 本の直線の関係」を表すことば。形としての「直角」 とは少しちがう、ということに気をつけましょう。
平行
2 本の直線が どこまで 伸ばしても交わらないとき、その 2 本は たがいに 平行といいます。
━━━━━━━━━━ ← この 2 本の直線は平行
━━━━━━━━━━
平行な 2 本の直線には、つぎのような性質があります。
- どこまで 伸ばしても交わらない
- 2 本のあいだの間の長さ（幅）が、どこでも同じ
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↕ ↕ ↕ ↕ ← どの場所で 測っても同じ
━━━━━━━━━━
ポイント: 「1 本の直線に 垂直な 2 本の直線」は、いつでも たがいに 平行になります。これは 平行を作図するときの大切なきまりです。
1 本の直線に 垂直な 2 本は 平行
┃ ┃
┃ ┃
━━━╋━━━━━╋━━━ ← 横の直線に、左右の縦線がどちらも垂直
┃ ┃
┃ ┃
横の直線 1 本に、左の縦線と右の縦線がどちらも 垂直になっています。このとき、左右 2 本の縦線はたがいに 平行です。
5. 三角定規で 垂直・平行をかく
三角定規は 2 枚で 1 セット。直角を持つものが 2 種類あり、組み合わせて使います。
垂直の作図
ある直線に 垂直な直線をかくとき：
- 三角定規の 直角の 1 辺を、もとの直線にそろえる
- 直角の もう 1 辺にそって、新しい直線をかく
これで、もとの直線と新しい直線が 90° で交わる＝ 垂直になります。
平行の作図
ある直線に 平行な直線をかくときは、三角定規 2 枚を使います。
┌────────┐
│ 三角 │ ← 1 枚目（固定）
│ 定規 │
└────────┘
↓ もう 1 枚を上に 滑らせる
━━━━━━━━━━ ← もとの直線
- 1 枚目を、もとの直線にそろえて置く
- 2 枚目の三角定規を 1 枚目にぴったり付ける
- 1 枚目を動かさず、2 枚目だけを 1 枚目に沿って 滑らせる
- 動かしたさきで、もとの直線と同じ辺を使って新しい直線をかく
これで、もとの直線と 同じ角度で 伸びる直線＝ 平行な直線がかけます。
6. いろいろな四角形
四角形を、平行な辺が何組あるかと 辺の長さで分けてみましょう。
台形
向かい合う 1 組の辺だけが 平行な四角形を 台形といいます。
━━━━━━ ← この上の辺と
／ ＼
／ ＼
━━━━━━━━━━ ← 下の辺が平行
平行四辺形
向かい合う 2 組の辺がどちらも 平行な四角形を 平行四辺形といいます。
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／ ／
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平行四辺形には、つぎの性質があります。
- 向かい合う辺（対辺）の 長さが等しい
- 向かい合う角（対角）の 大きさが等しい
ひし形
4 つの辺の長さがぜんぶ等しい四角形を ひし形といいます。
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／ ＼
＼ ／
＼ ／
＼／
ひし形は 平行四辺形の特別な形です。だから 平行四辺形の性質もぜんぶ当てはまります。
- 4 つの辺の長さはすべて等しい
- 向かい合う角の大きさは等しい
- 2 組の 対辺はたがいに 平行
正方形・長方形との関係
これまで学んだ 正方形・長方形も、見方を変えるとぜんぶ 平行四辺形のなかまです。
| 四角形 | 平行な辺 | 4 つの辺 | 4 つの角 |
|---|---|---|---|
| 台形 | 1 組 | バラバラ | バラバラ |
| 平行四辺形 | 2 組 | 向かい合う辺は同じ | 向かい合う角は同じ |
| ひし形 | 2 組 | 4 つとも同じ | 向かい合う角は同じ |
| 長方形 | 2 組 | 向かい合う辺は同じ | 4 つとも 90° |
| 正方形 | 2 組 | 4 つとも同じ | 4 つとも 90° |
ポイント:正方形は 「ひし形 でもあり、長方形でもある」四角形です。「ひし形 = ひしゃげたもの」 というイメージだけではなく、4 辺が等しい四角形がぜんぶひし形とおぼえましょう。
7. 対角線
四角形の 向かい合う 頂点どうしを結ぶ直線を、対角線といいます。四角形には、いつでも 2 本の 対角線がひけます。
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｜＼ ／｜
｜ ＼ ／ ｜ ← 2 本の対角線
｜ ╳ ｜
｜ ／ ＼ ｜
｜／ ＼｜
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四角形の種類によって、対角線のとくちょうが変わります。
| 四角形 | 対角線の長さ | 交わり方 | 交わる場所 |
|---|---|---|---|
| 平行四辺形 | バラバラ | ふつうに交わる | たがいの真ん中で交わる |
| ひし形 | バラバラ | 垂直に交わる | たがいの真ん中で交わる |
| 長方形 | 等しい | ふつうに交わる | たがいの真ん中で交わる |
| 正方形 | 等しい | 垂直に交わる | たがいの真ん中で交わる |
ポイント:四角形の名前を当てるときは、対角線の長さ・交わる角度・交わる場所の 3 つを見るとヒントになります。
- 対角線が 垂直に交わる → ひし形 か正方形
- 対角線の長さが等しい → 長方形か正方形
- 両方 → 正方形
平行四辺形・ひし形の作図
平行四辺形をかくときは、
- 1 本の辺（底辺）をかく
- はしの 頂点から、決められた角度・長さでもう 1 本の辺をかく
- 反対側の 2 本も、それぞれ 平行にかく
ひし形をかくときは、コンパスで 同じ長さの 4 辺を取ると楽です。
やってみよう: 1 辺が 4 cm の ひし形をかいて、2 本の 対角線をものさしで 測ってみましょう。長さは同じですか？ ちがいますか？
答え: ふつうは ちがう長さになります。ひし形は 対角線の長さは等しくありません（垂直に交わるだけ）。長さも等しくしたいなら正方形にする必要があります。
まとめ
- 角の大きさの単位は 度（°）。直角＝90°、半回転＝180°、1 回転＝360°
- 角の大きさは 分度器で 測る。中心を 頂点、0° の線を 1 辺に合わせる
- 180° より大きい角は 「180° + ○°」と考えてかく
- どんな三角形でも 3 つの角の和 ＝ 180°
- 2 本の直線が 90° で交わる ＝ 垂直
- 2 本の直線がどこまで 伸ばしても交わらない ＝ 平行。幅はどこでも同じ
- 1 本の直線に 垂直な 2 本はたがいに 平行
- 三角定規 2 枚を使って 平行な直線をかける
- 台形：平行な辺が 1 組
- 平行四辺形：平行な辺が 2 組。対辺の長さ・対角の大きさがそれぞれ等しい
- ひし形：4 辺がぜんぶ同じ長さ。平行四辺形の仲間
- 正方形・長方形も 平行四辺形の仲間。正方形は ひし形 でもある
- 対角線は 2 本。ひし形・正方形は 垂直に交わる。長方形・正方形は 長さが等しい
次の章:図形のつぎは 面積と 立体。長方形・正方形の広さの計算、cm² や m² の単位、そして直方体・立方体・展開図まで進みます。