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分度器 (ぶんどき)。 角の 大きさを はかる 道具。 半円形で、 0° から 180° まで 目もりが ある。
算数 4年生
角・垂直・平行 と 四角形
この 章で 学ぶこと
3年生では、三角形を 辺の 長さで 「正三角形」「二等辺三角形」 などに 分けました。4年生では、図形を 角の 大きさと 辺どうしの 関係から くわしく 調べます。
新しい 道具分度器と、ひさしぶりに 出てくる 三角定規を つかって、いろいろな 図形を 調べたり かいたり しましょう。
この 章が おわるころには、つぎの ことが できるように なっています。
- 角の 大きさを 度（°）の 単位で 言える
- 直角＝90°、半回転＝180°、1 回転＝360°を つかって 角の 大きさを 見当 できる
- 分度器で 角を 正しく 測ったり、かいたり できる
- 三角形の 3 つの 角の 和 ＝ 180°を 言える
- 垂直と 平行の 意味が 分かり、三角定規で 作図 できる
- 台形・平行四辺形・ひし形の ちがいと 性質が 言える
- 対角線の とくちょうから 四角形を 見分けられる
ポイント: この 章は 「測る」「かく」「調べる」を くりかえす 章 です。文字だけで 分かろうと せず、ノートに 図を かいて、分度器や 三角定規で 自分の 手を 動かして 学びましょう。
1. 角と 角の 大きさ
角 とは
1 つの 頂点から 出る 2 本の 辺が 作る 形を 角と いいます。 頂点を 中心に、1 本の 辺を 回した とき の 回り 具合が、角の 大きさ です。
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●━━━━━━━━━
頂点
辺どうしの 開きが 大きいほど、角は 大きく なります。 辺どうしの 長さは 関係 ありません（長さが ちがっても 開きが 同じ なら 同じ 角の 大きさ）。
注意: 「辺が 長い 角＝大きい 角」では ありません。たとえば 大きく 開いた 短い 角と、少しだけ 開いた 長い 角 では、大きく 開いた ほう が 角は 大きいです。
角の 大きさの 単位度（°）
長さの 単位が cm や m だった ように、角の 大きさにも 単位が あります。それが 度（°）です。
基本に なる 大きさは つぎの 3 つ。
┃ ─┐ ●
┃ 90°（直角） │ 180°（半回転） 360°（1 回転）
┃ │
━━●━━━ ━━━●━━━ ぐるっと 1 周
| 名前 | 角度 | 説明 |
|---|---|---|
| [[直角 | ちょっかく]] | 90° |
| 半回転 | 180° | まっすぐな 線。直角 2 つ ぶん |
| 1 回転 | 360° | ぐるっと 1 周。直角 4 つ ぶん |
ポイント: 90°、180°、360° は 角度の 「ものさし」。「この 角は 直角より 大きいから 90° より 大きい」「半回転より 小さいから 180° より 小さい」 と 見当を つけてから 分度器で 測ると、ミスが ぐっと へります。
2. 分度器の つかい方
分度器は、角の 大きさを 測る 道具 です。半円の 形を していて、まわりに 0° から 180° まで メモリが 付いて います。
測り方の 3 ステップ
↓ 中心を 頂点に
● ←─ 中心
┌───┴───┐
│ メモリ │
└───────┘
↓ 0° の 線を 辺に そろえる
- 分度器の 中心の 点を、角の 頂点に ぴたっと 合わせる
- 0° の 線を、角の 1 本の 辺に ぴたっと そろえる
- もう 1 本の 辺が さして いる メモリ を 読む
内側？ 外側？ メモリの 読み方
分度器には、内側と 外側に 2 列の メモリが あります。これは、どちらの 辺を 0° に 合わせても 読めるように なっている から です。
注意: どちらの メモリを 読めば いいか まよったら、「90° より 大きいか 小さいか」を 先に 見当 します。直角 より 明らかに 大きい のに 60° と 読んで いたら、まちがって います。
例：直角より 少し 大きそう → 100° 〜 110° くらい が 答え。30° や 40° は ありえない。
角を かく 手順
つぎは ぎゃくに、決められた 大きさの 角を かく練習 です。たとえば 70° の 角を かくとき。
- まず 1 本の 直線（辺）を ものさしで かく
- その はしの 点を 頂点として、分度器の 中心を 合わせる
- 0° の 線を 直線に そろえる
- 70° の メモリの 場所に 点を 打つ
- 頂点と その 点を 直線で 結ぶ
180° より 大きい 角
分度器は 180° までしか 目もりが ありません。たとえば 210°の 角を かきたい ときは、つぎのように 考えます。
- 180° + 30°（半回転より 30° 多い）
- または 360° − 150°（1 回転より 150° 少ない）
使う のは 180° + 30°の ほう。まず 半回転（180°）の 直線を ひいて、その 先から さらに 30° 回した 場所まで 線を 伸ばせば、210° の 角が できます。
3. 三角形の 3 つの 角の 和
どんな 三角形でも、3 つの 角を 足すと いつも 180°に なります。
▲
／｜＼
a／ ｜ ＼b
／ ｜ ＼
────────────
c
a + b + c = 180°
確かめ方
紙で 三角形を 切り 取って、3 つの 角を 破って ならべると、ぴったり 1 本の 直線（半回転）に なります。
a b c
●───────────●
180°（半回転）
正三角形なら、3 つの 角は ぜんぶ 同じ なので 1 つは 180° ÷ 3 ＝ 60°。 二等辺三角形なら、底角の 2 つは 同じ 大きさ。
やってみよう: ある 三角形 で、2 つの 角が 50° と 70° の とき、のこりの 角は 何 °？
答え: 180° − 50° − 70° ＝ 60°
4. 垂直と 平行
垂直
2 本の 直線が 90°（直角）で 交わるとき、その 2 本は たがいに 垂直と いいます。
┃
┃
━━━╋━━━ ← この 2 本の 直線は 垂直
┃
┃
垂直は 「2 本の 直線の 関係」を 表す ことば。形 として の「直角」 とは 少し ちがう、と いう ことに 気を つけましょう。
平行
2 本の 直線が どこまで 伸ばしても 交わらないとき、その 2 本は たがいに 平行と いいます。
━━━━━━━━━━ ← この 2 本の 直線は 平行
━━━━━━━━━━
平行な 2 本の 直線には、つぎのような 性質が あります。
- どこまで 伸ばしても 交わらない
- 2 本の あいだの 間の 長さ（幅）が、どこでも 同じ
━━━━━━━━━━
↕ ↕ ↕ ↕ ← どの 場所で <ruby>測<rt>はか</rt></ruby>っても 同じ
━━━━━━━━━━
ポイント: 「1 本の 直線に 垂直な 2 本の 直線」は、いつでも たがいに 平行に なります。これは 平行を 作図する ときの 大切な きまり です。
1 本の 直線に 垂直な 2 本は 平行
┃ ┃
┃ ┃
━━━╋━━━━━╋━━━ ← 横の 直線に、左右の 縦線が どちらも 垂直
┃ ┃
┃ ┃
横の 直線 1 本に、左の 縦線 と 右の 縦線 が どちらも 垂直に なって います。この とき、左右 2 本の 縦線は たがいに 平行です。
5. 三角定規で 垂直・平行を かく
三角定規は 2 枚で 1 セット。直角を 持つ ものが 2 種類 あり、組み合わせて 使います。
垂直の 作図
ある 直線に 垂直な 直線を かく とき：
- 三角定規の 直角の 1 辺を、もとの 直線に そろえる
- 直角の もう 1 辺に そって、新しい 直線を かく
これで、もとの 直線と 新しい 直線が 90° で 交わる＝ 垂直に なります。
平行の 作図
ある 直線に 平行な 直線を かく とき は、三角定規 2 枚を 使います。
┌────────┐
│ 三角 │ ← 1 <ruby>枚<rt>まい</rt></ruby><ruby>目<rt>め</rt></ruby>（固定）
│ 定規 │
└────────┘
↓ もう 1 <ruby>枚<rt>まい</rt></ruby>を 上に <ruby>滑<rt>すべ</rt></ruby>らせる
━━━━━━━━━━ ← もとの 直線
- 1 枚目を、もとの 直線に そろえて 置く
- 2 枚目の 三角定規を 1 枚目に ぴったり 付ける
- 1 枚目を 動かさず、2 枚目だけを 1 枚目に 沿って 滑らせる
- 動かした さきで、もとの 直線と 同じ 辺を 使って 新しい 直線を かく
これで、もとの 直線と 同じ 角度で 伸びる 直線＝ 平行な 直線が かけます。
6. いろいろな 四角形
四角形を、平行な 辺が 何組 あるかと 辺の 長さで 分けて みましょう。
台形
向かい合う 1 組の 辺だけ が 平行な 四角形を 台形と いいます。
━━━━━━ ← この 上の 辺 と
／ ＼
／ ＼
━━━━━━━━━━ ← 下の 辺 が 平行
平行四辺形
向かい合う 2 組の 辺が どちらも 平行な 四角形を 平行四辺形と いいます。
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／ ／
／ ／
━━━━━━━
平行四辺形には、つぎの 性質が あります。
- 向かい合う 辺（対辺）の 長さが 等しい
- 向かい合う 角（対角）の 大きさが 等しい
ひし形
4 つの 辺の 長さが ぜんぶ 等しい四角形を ひし形と いいます。
／＼
／ ＼
＼ ／
＼ ／
＼／
ひし形は 平行四辺形の 特別な 形です。だから 平行四辺形の 性質も ぜんぶ 当てはまります。
- 4 つの 辺の 長さは すべて 等しい
- 向かい合う 角の 大きさは 等しい
- 2 組の 対辺は たがいに 平行
正方形・長方形 と の 関係
これまで 学んだ 正方形・長方形も、見方を 変えると ぜんぶ 平行四辺形の なかまです。
| 四角形 | 平行な 辺 | 4 つの 辺 | 4 つの 角 | |:---:|:---:|:---:|:---:| | 台形 | 1 組 | バラバラ | バラバラ | | 平行四辺形 | 2 組 | 向かい合う 辺は 同じ | 向かい合う 角は 同じ | | ひし形 | 2 組 | 4 つとも 同じ | 向かい合う 角は 同じ | | 長方形 | 2 組 | 向かい合う 辺は 同じ | 4 つとも 90° | | 正方形 | 2 組 | 4 つとも 同じ | 4 つとも 90° |
ポイント:正方形は 「ひし形 でも あり、長方形 でも ある」四角形 です。「ひし形 = ひしゃげた もの」 と いう イメージ だけ では なく、4 辺が 等しい 四角形 が ぜんぶ ひし形と おぼえましょう。
7. 対角線
四角形の 向かい合う 頂点どうしを 結ぶ 直線を、対角線と いいます。四角形には、いつでも 2 本の 対角線が ひけます。
●━━━━━━━●
｜＼ ／｜
｜ ＼ ／ ｜ ← 2 本の 対角線
｜ ╳ ｜
｜ ／ ＼ ｜
｜／ ＼｜
●━━━━━━━●
四角形の 種類 によって、対角線の とくちょうが 変わります。
| 四角形 | 対角線の 長さ | 交わり方 | 交わる 場所 | |:---:|:---:|:---:|:---:| | 平行四辺形 | バラバラ | ふつうに 交わる | たがいの 真ん中 で 交わる | | ひし形 | バラバラ | 垂直に 交わる | たがいの 真ん中 で 交わる | | 長方形 | 等しい | ふつうに 交わる | たがいの 真ん中 で 交わる | | 正方形 | 等しい | 垂直に 交わる | たがいの 真ん中 で 交わる |
ポイント:四角形の 名前を 当てる ときは、対角線の 長さ・交わる 角度・交わる 場所の 3 つを 見ると ヒントに なります。
- 対角線が 垂直に 交わる → ひし形 か 正方形
- 対角線の 長さが 等しい → 長方形 か 正方形
- 両方 → 正方形
平行四辺形・ひし形の 作図
平行四辺形を かく ときは、
- 1 本の 辺（底辺）を かく
- はしの 頂点から、決められた 角度・長さ で もう 1 本の 辺を かく
- 反対側の 2 本も、それぞれ 平行に かく
ひし形を かく ときは、コンパスで 同じ 長さの 4 辺を 取ると 楽です。
やってみよう: 1 辺が 4 cm の ひし形を かいて、2 本の 対角線を ものさしで 測ってみましょう。長さは 同じ ですか？ ちがいますか？
答え: ふつうは ちがう 長さに なります。ひし形は 対角線の 長さは 等しく ありません（垂直に 交わる だけ）。長さも 等しく したい なら 正方形に する 必要が あります。
まとめ
- 角の 大きさの 単位は 度（°）。直角＝90°、半回転＝180°、1 回転＝360°
- 角の 大きさは 分度器で 測る。中心を 頂点、0° の 線を 1 辺に 合わせる
- 180° より 大きい 角は 「180° + ○°」と 考えて かく
- どんな 三角形でも 3 つの 角の 和 ＝ 180°
- 2 本の 直線が 90° で 交わる ＝ 垂直
- 2 本の 直線が どこまで 伸ばしても 交わらない ＝ 平行。幅は どこでも 同じ
- 1 本の 直線に 垂直な 2 本は たがいに 平行
- 三角定規 2 枚を 使って 平行な 直線を かける
- 台形：平行な 辺が 1 組
- 平行四辺形：平行な 辺が 2 組。対辺の 長さ・対角の 大きさが それぞれ 等しい
- ひし形：4 辺が ぜんぶ 同じ 長さ。平行四辺形の 仲間
- 正方形・長方形も 平行四辺形の 仲間。正方形は ひし形 でも ある
- 対角線は 2 本。ひし形・正方形は 垂直に 交わる。長方形・正方形は 長さが 等しい
次の 章:図形の つぎは 面積と 立体。長方形・正方形の 広さの 計算、cm² や m² の 単位、そして 直方体・立方体・展開図 まで 進みます。
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