分数ぶんすう — 真ま分数ぶんすう・仮かり分数ぶんすう・帯おび分数ぶんすうと 1 を こえる計算けいさん

この 章しょうで 学まなぶこと

3年生ねんせいでは、ピザや テープを 等分とうぶんする 場面ばめんで 分数ぶんすうを 学まなび、1 より 小ちいさい 分数ぶんすう（1/2、2/3、3/4 など）の たし算さん・ひき算さんが できるように なりました。

4年生ねんせいでは、いよいよ 1 より 大おおきい 分数ぶんすうの せかいに 入はいります。同おなじ 分母ぶんぼの たし算さんを つづけると、答えこたえが 1 を こえる ことが あります。たとえば 3/5 + 4/5 を 計算けいさんすると、ピザは 1 まいでは 足たりなくなります。こんな ときに 使つかう 新あたらしい 書かき方かたが 仮分数かぶんすうと 帯分数たいぶんすうです。

この 章しょうが おわるころには、つぎの ことが できるように なっています。

• 真分数しんぶんすう・仮分数かぶんすう・帯分数たいぶんすうの ちがいが 言いえる
• 仮分数かぶんすう ⇔ 帯分数たいぶんすうの 書かき直なおしが できる
• 数かず直線ちょくせんで 真ま分数ぶんすう・仮かり分数ぶんすう・帯おび分数ぶんすうの 場所ばしょが 分わかる
• 同おなじ 分母ぶんぼの 分数ぶんすうの たし算さん・ひき算が できる（答えこたえが 1 を こえる ばあいも）
• 整数せいすう − 分数ぶんすうの 計算けいさんが できる（2 − 1/3 など）

ポイント:分数ぶんすうの しくみは「単位分数たんいぶんすう（1/分母ぶんぼ）の 何なにこ 分わか」で 大おおきさを 表あらわす こと。これは 3年生ねんせいの ときと まったく 同おなじ です。1 を こえても、考かんがえ方かたは かわりません。

1. 3年生ねんせいの 分数ぶんすうを 思おもい出だそう

分数ぶんすうは、1 を 等分とうぶんした 何なにこ 分わか を 表あらわす かず でした。

1 を 5 等分とうぶん → それぞれ 1/5

• 下の 数＝分母ぶんぼ：等分とうぶんした 数かず（ぜんぶで 何なにこ に 分わけたか）
• 上の 数＝分子ぶんし：その うちの 何なにこ 分わか

そして、分子ぶんしが 1 の 分数ぶんすう（1/2、1/3、1/4、…）を 単位分数たんいぶんすうと いいます。すべての 分数ぶんすうは 単位分数たんいぶんすうの 何なにこ 分で 大おおきさが きまります。

分数ぶんすう	意味いみ
2/5	1/5 が 2 こ
3/5	1/5 が 3 こ
4/5	1/5 が 4 こ
5/5	1/5 が 5 こ ＝ ピザ ぜんぶ ＝ 1

ポイント: 分子ぶんし と 分母ぶんぼ が 同おなじ かずに なった ときは、いつも 1。これは 4年生ねんせいでも、ずっと 使つかう 大切たいせつな きまりです。

同おなじ 分母ぶんぼの たし算さん・ひき算さん（3年生ねんせいの おさらい）

分母ぶんぼは そのまま、分子ぶんしだけ 計算けいさんするのが きまりでした。

$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}=\frac{2+1}{5}=\frac{3}{5}$

$\frac{4}{5}-\frac{1}{5}=\frac{4-1}{5}=\frac{3}{5}$

3年生ねんせいでは、答えこたえが 5/5 ＝ 1に なる ところまで で 止とまって いました。4年生ねんせいでは、その つづきに 進すすみます。

2. 真ま分数ぶんすう・仮かり分数ぶんすう・帯おび分数ぶんすう

3年生ねんせいで 学まなんだ 分数ぶんすうは、ぜんぶ 1 より 小ちいさい 分数ぶんすうでした。じつは、分数ぶんすうには 大おおきく 分わけて 3 種類しゅるいあります。

真分数しんぶんすう

分子ぶんし< 分母 の 分数ぶんすうを 真分数しんぶんすうと いいます。1 より 小ちいさい 分数ぶんすう です。

1/5、2/5、3/5、4/5、… 、1/3、2/3、… 、1/4、2/4、3/4

どれも、ピザを 等分とうぶんした うちの 一部いちぶを 表あらわします。

仮分数かぶんすう

分子ぶんし ≧ 分母ぶんぼ の 分数ぶんすうを 仮分数かぶんすうと いいます。1 と 同おなじか、1 より 大おおきい分数ぶんすう です。

5/5（＝1）、6/5、7/5、8/5、…、3/3（＝1）、4/3、5/3、…

たとえば 7/5は、「1/5 が 7 こ」 という 意味いみ。ピザ 1 まい（5/5）では 足たりないので、2 まい目めから 2 きれを もらう、と 考えかんがえます。

ぜんぶで 1/5 が 7 こ ＝ 7/5。

帯分数たいぶんすう

整数せいすう と 真ま分数ぶんすうを 合あわせた 形かたちを 帯分数たいぶんすうと いいます。たとえば 1と2/5（いち と ごぶんの に）。

「ピザ 1 まいと 2/5」を ひとまとめにして 1と2/5と 書かきます。読よみ方かたは 「いち と ごぶんの に」です。

ポイント:同おなじ 大おおきさの かずを、仮分数かぶんすう 7/5 とも 帯分数たいぶんすう 1と2/5 とも 書かけます。どちらの 書かき方かたも 正ただしい です。

種類しゅるい	意味いみ	例れい
真分数しんぶんすう	分子ぶんし < 分母ぶんぼ（1 より 小ちいさい）	1/5、2/3、3/4
仮分数かぶんすう	分子ぶんし ≧ 分母ぶんぼ（1 と 同おなじか 大おおきい）	5/5、7/5、9/4
帯分数たいぶんすう	整数せいすう + 真分数しんぶんすう	1と2/5、2と1/4、3と1/3

3. 数かず直線ちょくせんで 場所ばしょを 確たしかめよう

数かず直線ちょくせんの 上うえに 真ま分数ぶんすう・仮か分数ぶんすう・帯おび分数ぶんすう を ならべると、関係かんけいが ひと目めで 分わかります。

5 等分とうぶんの めもり で 見みる

0   1/5  2/5  3/5  4/5   1   6/5  7/5  8/5  9/5   2
|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
                       (5/5)                    (10/5)

• 0 〜 1の あいだ … 真分数しんぶんすう（1/5、2/5、3/5、4/5）
• 1 の ところ … 5/5（仮分数かぶんすう） ＝ 1（整数せいすう）
• 1 〜 2の あいだ … 仮分数かぶんすう（6/5、7/5、8/5、9/5）

そして、

• 6/5＝1と1/5
• 7/5＝1と2/5
• 8/5＝1と3/5
• 9/5＝1と4/5

つまり、同おなじ 場所ばしょの かずを 仮分数かぶんすうでも 帯分数たいぶんすうでも 書かける、と いう こと です。

ポイント: 1 より 大おおきい かず を 仮分数かぶんすうで 書かくと、大おおきさが 分わかりにくい ことが あります。帯分数たいぶんすうに 直なおすと「整数せいすう ＋ あと 少すこし」と 見みえて、大おおきさの 感かんじが つかみやすく なります。たとえば 13/5と 言いわれても ピンと 来きませんが、2と3/5と 書かきなおせば「2 より 少すこし 大おおきい」と すぐ 分わかります。

4. 仮か分数ぶんすう → 帯おび分数ぶんすう の 直なおし方

仮か分数ぶんすうを 帯おび分数ぶんすうに 直なおすには、分子ぶんし ÷ 分母ぶんぼを します。

例れい：7/5 を 帯おび分数ぶんすうに

「1/5 が 7 こ」 を、「1/5 が 5 こ（＝ 1）の まとまり が 何なにこ できるか」 で 考えかんがえます。

$7÷5=1 あまり 2$

• 商の 1 → 整数せいすうの 部分ぶぶん（1 まい）
• あまりの 2 → のこった 単位たんい分数ぶんすうの こ数すう（2/5）

だから 7/5 ＝ 1と2/5。

例れい：13/5 を 帯おび分数ぶんすうに

$13÷5=2 あまり 3$

商が 2、あまりが 3 だから 13/5 ＝ 2と3/5。

例れい：12/4 を 帯おび分数ぶんすうに

$12÷4=3 あまり 0$

あまりが 0 の ときは、ちょうど 整数せいすうに なります。12/4 ＝ 3。

仮か分数ぶんすう	分子ぶんし ÷ 分母ぶんぼ	答えこたえ（整数せいすう と 真ま分数ぶんすう）
5/3	5 ÷ 3 ＝ 1 あまり 2	1と2/3
7/4	7 ÷ 4 ＝ 1 あまり 3	1と3/4
11/3	11 ÷ 3 ＝ 3 あまり 2	3と2/3
9/9	9 ÷ 9 ＝ 1 あまり 0	1
14/7	14 ÷ 7 ＝ 2 あまり 0	2

5. 帯おび分数ぶんすう → 仮か分数ぶんすう の 直なおし方かた

ぎゃくに 帯おび分数ぶんすうを 仮か分数ぶんすうに 直なおすには、整数せいすう × 分母ぶんぼ ＋ 分子ぶんしを します。それが あたらしい 分子ぶんし に なります（分母ぶんぼは そのまま）。

例れい：2と1/4 を 仮か分数ぶんすうに

整数せいすう 2 は、1/4 が 4 × 2 ＝ 8 こ分（1 まい ＝ 4/4 で、それが 2 まい）。 そこに 1/4 が もう 1 こ 足たされているので、ぜんぶで 1/4 が 9 こ ＝ 9/4。

しき で 書かくと：

$2\frac{1}{4}=\frac{2\times 4+1}{4}=\frac{9}{4}$

例れい：3と2/5 を 仮か分数ぶんすうに

$3\frac{2}{5}=\frac{3\times 5+2}{5}=\frac{17}{5}$

帯おび分数ぶんすう	整数せいすう × 分母ぶんぼ ＋ 分子ぶんし	仮か分数ぶんすう
1と2/3	1 × 3 ＋ 2 ＝ 5	5/3
2と1/4	2 × 4 ＋ 1 ＝ 9	9/4
1と3/5	1 × 5 ＋ 3 ＝ 8	8/5
3と2/5	3 × 5 ＋ 2 ＝ 17	17/5
4と1/2	4 × 2 ＋ 1 ＝ 9	9/2

ポイント: 仮か分数ぶんすう ⇔ 帯おび分数ぶんすう の 直なおし方かたは 「分子ぶんし ÷ 分母ぶんぼ で 帯おび分数ぶんすう」「整数せいすう × 分母ぶんぼ ＋ 分子ぶんし で 仮か分数ぶんすう」と セットで おぼえましょう。

6. 同おなじ 分母ぶんぼの 分数ぶんすうの たし算さん（1 を こえる ばあい）

3年生ねんせいでは、答えこたえが 5/5 ＝ 1 までで 止とめて いました。4年生ねんせいでは 1 を こえる ばあいも 計算けいさんします。

例れい 1：3/5 + 4/5

「1/5 が 3 こ」と 「1/5 が 4 こ」 を あわせると、「1/5 が 7 こ」。

$\frac{3}{5}+\frac{4}{5}=\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}$

仮か分数ぶんすうの 7/5 でも 正せいかい。帯おび分数ぶんすうに 直なおして 1と2/5 でも 正せいかい です。

例れい 2：帯おび分数ぶんすう ＋ 帯おび分数ぶんすう

1と2/5 + 2と1/5 を 計算けいさんしましょう。やり方かたは 2 通とおり あります。

方法ほうほう A：整数せいすう と 分数ぶんすうを 分わけて 計算けいさん

   1と2/5 + 2と1/5
 ＝（1 + 2）+（2/5 + 1/5）
 ＝ 3 + 3/5
 ＝ 3と3/5

方法ほうほう B：仮か分数ぶんすうに 直なおしてから 計算けいさん

   1と2/5 ＝ 7/5
   2と1/5 ＝ 11/5
   7/5 + 11/5 ＝ 18/5 ＝ 3と3/5

どちらでも 答えこたえは 同おなじ 3と3/5。ふつうは 方法ほうほう Aが 速はやくて らく です。

例れい 3：繰くり上あがりが ある ばあい

1と4/5 + 2と3/5。

   1と4/5 + 2と3/5
 ＝（1 + 2）+（4/5 + 3/5）
 ＝ 3 + 7/5         ← 7/5 は 1と2/5
 ＝ 3 + 1と2/5
 ＝ 4と2/5

分数ぶんすう部分ぶぶんが 1 を こえた ら、整数せいすうの ほうへ 繰くり上あげます。

7. 同おなじ 分母ぶんぼの 分数ぶんすうの ひき算さん（繰くり下さがりも）

例れい 1：仮か分数ぶんすう − 仮か分数ぶんすう

9/5 − 4/5。「1/5 が 9 こ」から 「1/5 が 4 こ」 を 引ひくので、

$\frac{9}{5}-\frac{4}{5}=\frac{5}{5}=1$

例れい 2：帯おび分数ぶんすう − 帯おび分数ぶんすう（そのまま 引ひける）

3と4/5 − 1と2/5。

   3と4/5 − 1と2/5
 ＝（3 − 1）+（4/5 − 2/5）
 ＝ 2 + 2/5
 ＝ 2と2/5

例れい 3：分数ぶんすう部分ぶぶんが 引ひけない（繰くり下さがり）

3と1/5 − 1と3/5。

分数ぶんすう部分ぶぶんの 1/5 − 3/5 は そのままでは 引ひけません（1/5 の ほうが 小ちいさい）。そこで、整数せいすうの 3から 1 を 借かりて 5/5 に 変かえます。

   3と1/5 ＝ 2 + 1 + 1/5
        ＝ 2 + 5/5 + 1/5
        ＝ 2と6/5

   2と6/5 − 1と3/5
 ＝（2 − 1）+（6/5 − 3/5）
 ＝ 1 + 3/5
 ＝ 1と3/5

仮か分数ぶんすうで やると もっと シンプルに なります。

   3と1/5 ＝ 16/5
   1と3/5 ＝ 8/5
   16/5 − 8/5 ＝ 8/5 ＝ 1と3/5

ポイント: 繰くり下さがりが ある ひき算さんは、仮か分数ぶんすうに 直なおしてから 計算けいさんする ほうが ミスが 少すくない です。

8. 整数せいすう − 分数ぶんすう

「2 m の テープから、1/3 m を 切きり 取とりました。のこりは？」

整数せいすう2 を 2 = 6/3と 書かきなおせば、ふつうの 分数ぶんすうの ひき算さん に なります。

$2-\frac{1}{3}=\frac{6}{3}-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}$

整数せいすうを 「分母ぶんぼ/分母ぶんぼ」の ペアに 直なおすのが コツ。

整数せいすう	分母ぶんぼ	書かきなおし
1	5	5/5
1	7	7/7
2	3	6/3（3/3 が 2 つ ＝ 6/3）
2	5	10/5
3	4	12/4

例れい：3 − 2と1/4

   3 ＝ 12/4
   2と1/4 ＝ 9/4
   12/4 − 9/4 ＝ 3/4

答えこたえ：3/4。

やってみよう: 4 m の リボンから、1と2/3 m を 使つかいました。のこりは 何なに m？

答えこたえ: 4 ＝ 12/3、1と2/3 ＝ 5/3。12/3 − 5/3 ＝ 7/3 ＝ 2と1/3 m

まとめ

• 真分数しんぶんすう：分子ぶんし < 分母ぶんぼ（1 より 小ちいさい）。例れい：1/5、2/3
• 仮分数かぶんすう：分子ぶんし ≧ 分母ぶんぼ（1 と 同おなじか 大おおきい）。例れい：5/5、7/5、9/4
• 帯分数たいぶんすう：整数せいすう + 真分数しんぶんすうの 形かたち。例れい：1と2/5、2と1/4
• 同おなじ 大おおきさの かずを、仮分数かぶんすうでも 帯分数たいぶんすうでも書かける（7/5 ＝ 1と2/5）
• 仮分数かぶんすう → 帯分数たいぶんすう：分子ぶんし ÷ 分母ぶんぼ。商しょうが 整数せいすう部分ぶぶん、あまりが 分子ぶんし
• 帯分数たいぶんすう → 仮分数かぶんすう：整数せいすう × 分母ぶんぼ + 分子ぶんし が 新あたらしい 分子ぶんし（分母ぶんぼは そのまま）
• 同おなじ 分母ぶんぼの たし算さん・ひき算さんは、分母ぶんぼは そのまま、分子ぶんしだけ 計算けいさん
• 答えこたえの 分数ぶんすう部分ぶぶんが 1 を こえたら 整数せいすうの ほうへ 繰くり上あげ
• ひき算さんで 分数ぶんすう部分ぶぶんが 引ひけない ときは 仮か分数ぶんすうに 直なおして 計算けいさんするのが ラク
• 整数せいすう − 分数ぶんすうは、整数せいすうを 「分母ぶんぼ/分母ぶんぼ」に 書かきなおして 計算けいさん（2 = 6/3 など）
• 数かず直線ちょくせんの 上うえで 場所ばしょを 確たしかめると、3 種類しゅるいの 分数ぶんすうの 関係かんけいが ひと目めで 分わかる

次の 章しょう:計算けいさんの 章しょうは ここまで。つぎは 角の 大おおきさや 垂直すいちょく・平行へいこう、そして 平行四辺形へいこうしへんけい・ひし形ひしがた・台形だいけいの せかいへ 進すすみます。分度器ぶんどきと 三角さんかく定じょう規ぎを つかって、図形ずけいの 性せい質しつを 調しらべてみましょう。