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3年生では、ピザや テープを 等分する 場面で 分数を 学び、1 より 小さい 分数(1/2、2/3、3/4 など)の たし算・ひき算が できるように なりました。
4年生では、いよいよ 1 より 大きい 分数の せかいに 入ります。同じ 分母の たし算を つづけると、答えが 1 を こえる ことが あります。たとえば 3/5 + 4/5 を 計算すると、ピザは 1 まいでは 足りなくなります。こんな ときに 使う 新しい 書き方が 仮分数と 帯分数です。
この 章が おわるころには、つぎの ことが できるように なっています。
ポイント:分数の しくみは「単位分数(1/分母)の 何こ 分か」で 大きさを 表す こと。これは 3年生の ときと まったく 同じ です。1 を こえても、考え方は かわりません。
分数は、1 を 等分した 何こ 分か を 表す かず でした。
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1 2 3 4 5 ← それぞれ 1/5
そして、分子が 1 の 分数(1/2、1/3、1/4、…)を 単位分数と いいます。すべての 分数は 単位分数の 何こ 分で 大きさが きまります。
| 分数 | 意味 |
|---|---|
| 2/5 | 1/5 が 2 こ |
| 3/5 | 1/5 が 3 こ |
| 4/5 | 1/5 が 4 こ |
| 5/5 | 1/5 が 5 こ = ピザ ぜんぶ = 1 |
ポイント:分子 と 分母 が 同じ かずに なった ときは、いつも 1。これは 4年生でも、ずっと 使う 大切な きまりです。
分母は そのまま、分子だけ 計算するのが きまりでした。
3年生では、答えが 5/5 = 1に なる ところまで で 止まって いました。4年生では、その つづきに 進みます。
3年生で 学んだ 分数は、ぜんぶ 1 より 小さい 分数でした。じつは、分数には 大きく 分けて 3 種類あります。
分子< 分母 の 分数を 真分数と いいます。1 より 小さい 分数 です。
1/5、2/5、3/5、4/5、… 、1/3、2/3、… 、1/4、2/4、3/4
どれも、ピザを 等分した うちの 一部を 表します。
分子 ≧ 分母 の 分数を 仮分数と いいます。1 と 同じか、1 より 大きい分数 です。
5/5(=1)、6/5、7/5、8/5、…、3/3(=1)、4/3、5/3、…
たとえば 7/5は、「1/5 が 7 こ」 という 意味。ピザ 1 まい(5/5)では 足りないので、2 まい目から 2 きれを もらう、と 考えます。
1 まい目 2 まい目(の 一部)
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5/5 = 1 2/5
ぜんぶで 1/5 が 7 こ = 7/5。
整数 と 真分数を 合わせた 形を 帯分数と いいます。たとえば 1と2/5(いち と ごぶんの に)。
1 まい目 2 まい目(の 一部)
┌──┬──┬──┬──┬──┐ ┌──┬──┐
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└──┴──┴──┴──┴──┘ └──┴──┘
1 まい 2/5
「ピザ 1 まいと 2/5」を ひとまとめにして 1と2/5と 書きます。読み方は 「いち と ごぶんの に」です。
ポイント:同じ 大きさの かずを、仮分数 7/5 とも 帯分数 1と2/5 とも 書けます。どちらの 書き方も 正しい です。
| 種類 | 意味 | 例 |
|---|---|---|
| [[真分数 | しんぶんすう]] | 分子 < [分母 |
| [[仮分数 | かぶんすう]] | 分子 ≧ 分母(1 と 同じか 大きい) |
| [[帯分数 | たいぶんすう]] | 整数 + [[真分数 |
数直線の 上に 真分数・仮分数・帯分数 を ならべると、関係が ひと目で 分かります。
0 1/5 2/5 3/5 4/5 1 6/5 7/5 8/5 9/5 2
|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
(5/5) (10/5)
そして、
つまり、同じ 場所の かずを 仮分数でも 帯分数でも 書ける、と いう こと です。
ポイント: 1 より 大きい かず を 仮分数で 書くと、大きさが 分かりにくい ことが あります。帯分数に 直すと「整数 + あと 少し」と 見えて、大きさの 感じが つかみやすく なります。たとえば 13/5と 言われても ピンと 来ませんが、2と3/5と 書きなおせば「2 より 少し 大きい」と すぐ 分かります。
仮分数を 帯分数に 直すには、分子 ÷ 分母を します。
「1/5 が 7 こ」 を、「1/5 が 5 こ(= 1)の まとまり が 何こ できるか」 で 考えます。
だから 7/5 = 1と2/5。
商が 2、あまりが 3 だから 13/5 = 2と3/5。
あまりが 0 の ときは、ちょうど 整数に なります。12/4 = 3。
| 仮分数 | 分子 ÷ 分母 | 答え(整数 と 真分数) |
|---|---|---|
| 5/3 | 5 ÷ 3 = 1 あまり 2 | 1と2/3 |
| 7/4 | 7 ÷ 4 = 1 あまり 3 | 1と3/4 |
| 11/3 | 11 ÷ 3 = 3 あまり 2 | 3と2/3 |
| 9/9 | 9 ÷ 9 = 1 あまり 0 | 1 |
| 14/7 | 14 ÷ 7 = 2 あまり 0 | 2 |
ぎゃくに 帯分数を 仮分数に 直すには、整数 × 分母 + 分子を します。それが あたらしい 分子 に なります(分母は そのまま)。
整数 2 は、1/4 が 4 × 2 = 8 こ分(1 まい = 4/4 で、それが 2 まい)。 そこに 1/4 が もう 1 こ 足されているので、ぜんぶで 1/4 が 9 こ = 9/4。
しき で 書くと:
| 帯分数 | 整数 × 分母 + 分子 | 仮分数 |
|---|---|---|
| 1と2/3 | 1 × 3 + 2 = 5 | 5/3 |
| 2と1/4 | 2 × 4 + 1 = 9 | 9/4 |
| 1と3/5 | 1 × 5 + 3 = 8 | 8/5 |
| 3と2/5 | 3 × 5 + 2 = 17 | 17/5 |
| 4と1/2 | 4 × 2 + 1 = 9 | 9/2 |
ポイント:仮分数 ⇔ 帯分数 の 直し方は 「分子 ÷ 分母 で 帯分数」「整数 × 分母 + 分子 で 仮分数」と セットで おぼえましょう。
3年生では、答えが 5/5 = 1 までで 止めて いました。4年生では 1 を こえる ばあいも 計算します。
「1/5 が 3 こ」と 「1/5 が 4 こ」 を あわせると、「1/5 が 7 こ」。
仮分数の 7/5 でも 正かい。帯分数に 直して 1と2/5 でも 正かい です。
1と2/5 + 2と1/5 を 計算しましょう。やり方は 2 通り あります。
方法 A:整数 と 分数を 分けて 計算
1と2/5 + 2と1/5
=(1 + 2)+(2/5 + 1/5)
= 3 + 3/5
= 3と3/5
方法 B:仮分数に 直してから 計算
1と2/5 = 7/5
2と1/5 = 11/5
7/5 + 11/5 = 18/5 = 3と3/5
どちらでも 答えは 同じ 3と3/5。ふつうは 方法 Aが 速くて らく です。
1と4/5 + 2と3/5。
1と4/5 + 2と3/5
=(1 + 2)+(4/5 + 3/5)
= 3 + 7/5 ← 7/5 は 1と2/5
= 3 + 1と2/5
= 4と2/5
分数部分が 1 を こえた ら、整数の ほうへ 繰り上げます。
9/5 − 4/5。「1/5 が 9 こ」から 「1/5 が 4 こ」 を 引くので、
3と4/5 − 1と2/5。
3と4/5 − 1と2/5
=(3 − 1)+(4/5 − 2/5)
= 2 + 2/5
= 2と2/5
3と1/5 − 1と3/5。
分数部分の 1/5 − 3/5 は そのままでは 引けません(1/5 の ほうが 小さい)。そこで、整数の 3から 1 を 借りて 5/5 に 変えます。
3と1/5 = 2 + 1 + 1/5
= 2 + 5/5 + 1/5
= 2と6/5
2と6/5 − 1と3/5
=(2 − 1)+(6/5 − 3/5)
= 1 + 3/5
= 1と3/5
仮分数で やると もっと シンプルに なります。
3と1/5 = 16/5
1と3/5 = 8/5
16/5 − 8/5 = 8/5 = 1と3/5
ポイント:繰り下がりが ある ひき算は、仮分数に 直してから 計算する ほうが ミスが 少ない です。
「2 m の テープから、1/3 m を 切り 取りました。のこりは?」
整数2 を 2 = 6/3と 書きなおせば、ふつうの 分数の ひき算 に なります。
整数を 「分母/分母」の ペアに 直すのが コツ。
| 整数 | 分母 | 書きなおし |
|---|---|---|
| 1 | 5 | 5/5 |
| 1 | 7 | 7/7 |
| 2 | 3 | 6/3(3/3 が 2 つ = 6/3) |
| 2 | 5 | 10/5 |
| 3 | 4 | 12/4 |
3 = 12/4
2と1/4 = 9/4
12/4 − 9/4 = 3/4
答え:3/4。
やってみよう: 4 m の リボンから、1と2/3 m を 使いました。のこりは 何 m?
答え: 4 = 12/3、1と2/3 = 5/3。12/3 − 5/3 = 7/3 = 2と1/3 m
次の 章:計算の 章は ここまで。つぎは 角の 大きさや 垂直・平行、そして 平行四辺形・ひし形・台形の せかいへ 進みます。分度器と 三角定規を つかって、図形の 性質を 調べてみましょう。