対称たいしょうな図形ずけい — 線せん対称たいしょうと点てん対称たいしょう

この章しょうで学まなぶこと

小しょう6 では、 きれいに重かさなる図形ずけい 対称たいしょうな図形ずけい を学まなびます。 折おると重かさなる 線対称せんたいしょう と、 半はん回転かいてんすると重かさなる 点対称てんたいしょう の 2 種類しゅるいがあります。

• 線対称せんたいしょうな図形ずけいと対称の軸たいしょうのじく
• 点対称てんたいしょうな図形ずけいと対称の中心たいしょうのちゅうしん
• 対応たいおうする点てん・辺へん・角かくの性質せいしつ

ポイント: 「対称たいしょう」 とは 「つりあいがとれていて、 ぴったり重かさなる」 ことです。 折おって重かさなるのが線せん対称たいしょう、 $180°$回まわして重かさなるのが点てん対称たいしょう、 とおぼえましょう。

1. 線せん対称たいしょうな図形ずけい

1本ほんの直線ちょくせんを折おり目めにして折おったとき、 両側りょうがわがぴったり重かさなる図形ずけいを 線対称せんたいしょう な図形ずけいといいます。 この折おり目めの直線ちょくせんを 対称の軸たいしょうのじく といいます。

線せん対称たいしょうな図形ずけいの例れい	対称たいしょうの軸じくの数かず
二等辺三角形にとうへんさんかっけい	1本ほん
長方形ちょうほうけい	2本ほん
正方形せいほうけい	4本ほん
正三角形せいさんかっけい	3本ほん
円えん	数かぞえきれないほど (中心ちゅうしんを通とおる直線ちょくせんすべて)

線せん対称たいしょうな図形ずけいには、 つぎの性質せいしつがあります。

• 対応たいおうする $2$ つの点てんを結むすんだ直線ちょくせんは、 対称の軸たいしょうのじくと 垂直すいちょくに交まじわる
• 対称の軸たいしょうのじくから、 対応たいおうする $2$ つの点てんまでの 長ながさは等ひとしい
• 対応たいおうする辺へんの長ながさ、 対応たいおうする角かくの大おおきさは 等ひとしい

大事だいじ: 線対称せんたいしょうな図形ずけいでは、 対応たいおうする点てんを結むすんだ線せんを対称たいしょうの軸じくが 垂直すいちょくに二に等分とうぶん します。 つまり、 軸じくは対応たいおうする点てんのちょうどまん中なかを、 直角ちょっかくに通とおります。

2. 点てん対称たいしょうな図形ずけい

ある1点てんを中心ちゅうしんにして $180°$回まわす (半はん回転かいてんさせる) と、 もとの図形ずけいにぴったり重かさなる図形ずけいを 点対称てんたいしょう な図形ずけいといいます。 この中心ちゅうしんの点てんを 対称の中心たいしょうのちゅうしん といいます。

点てん対称たいしょうな図形ずけいの例れい
平行四辺形へいこうしへんけい
長方形ちょうほうけい
正方形せいほうけい
円えん
正六角形せいろっかっけい

点てん対称たいしょうな図形ずけいには、 つぎの性質せいしつがあります。

• 対応たいおうする $2$ つの点てんを結むすんだ直線ちょくせんは、 かならず 対称の中心たいしょうのちゅうしんを通とおる
• 対称の中心たいしょうのちゅうしんから、 対応たいおうする $2$ つの点てんまでの 長ながさは等ひとしい
• 対応たいおうする辺へんの長ながさ、 対応たいおうする角かくの大おおきさは 等ひとしい

大事だいじ: 点対称てんたいしょうな図形ずけいでは、 対称の中心たいしょうのちゅうしんが、 対応たいおうする $2$点を結むすぶ直線ちょくせんの まん中なか にあります。 中心ちゅうしんから両方りょうほうの点てんまでのきょりが等ひとしくなります。

3. 線せん対称たいしょうと点てん対称たいしょうの見分みわけ方かた

正方形せいほうけいのように、 線せん対称たいしょうでも点てん対称たいしょうでもある図形ずけいもあります。 見分みわけるときは、 つぎのように考えかんがえます。

調しらべ方かた	わかること
折おって重かさなる直線ちょくせんがあるか	線せん対称たいしょうかどうか
$180°$回まわして重かさなるか	点てん対称たいしょうかどうか

例題れいだい: 正三角形せいさんかっけいは線対称せんたいしょうですか。 点対称てんたいしょうですか。

• 線せん対称たいしょう: 頂点ちょうてんから向むかいの辺へんのまん中なかへ引ひいた直線ちょくせんで折おると重かさなる。 軸じくは $3$本あるので 線せん対称たいしょう。
• 点てん対称たいしょう: $180°$回まわすと、 上うえの頂点ちょうてんが下したにきてしまい、 もとと重かさならない。 だから 点てん対称たいしょうではない。

確たしかめ: 正三角形せいさんかっけいを紙かみに書かいて回まわしてみると、 $120°$回まわせば重かさなるが $180°$ では重かさならない。 点てん対称たいしょうでないことが確たしかめられる。

ポイント: 正多角形せいたかっけいのうち、 辺へんの数かずが偶数ぐうすう の正方形せいほうけい・正六角形せいろっかっけいなどは点てん対称たいしょうですが、 辺へんの数かずが奇数きすう の正三角形せいさんかっけい・正五角形せいごかっけいは点てん対称たいしょうではありません。 (線せん対称たいしょうはどの正多角形せいたかっけいでも成なり立たちます。)

どう問とわれるか

• 「次つぎの図形ずけいのうち、 線対称せんたいしょうな図形ずけいはどれですか」 のように、 図形ずけいを見分みわける問題もんだいが定番ていばんです。
• 「対称の軸たいしょうのじくは何なん本ほんありますか」 のように、 軸じくの数かずを答こたえる問題もんだいも出でます。
• 「線せん対称たいしょうな図形ずけいで、 点てん A に対応たいおうする点てんはどれですか」 のように、 対応たいおうする点てん・辺へん・角かくをたずねる問題もんだいも出でます。

まとめ

• 線対称せんたいしょう: 1本ほんの直線ちょくせん (対称の軸たいしょうのじく) で折おると両側りょうがわが重かさなる
• 点対称てんたいしょう: 1点てん (対称の中心たいしょうのちゅうしん) を中心ちゅうしんに $180°$回まわすと重かさなる
• どちらも、 対応たいおうする辺へんの長ながさ・角かくの大おおきさは等ひとしい
• 線せん対称たいしょうは軸じくが対応たいおう点てんを垂直すいちょくに二に等分とうぶん、 点てん対称たいしょうは中心ちゅうしんが対応たいおう点てんのまん中なか

次じ章しょうでは、 円えんの面積めんせきの求もとめ方かたを学まなびます。