分数ぶんすうの四則しそく混合こんごう — たし算さん・ひき算さん・かけ算ざん・わり算ざん

この章しょうで学まなぶこと

小しょう6 では、 分数ぶんすうのたし算さん・ひき算さん・かけ算ざん・わり算ざんを組み合わせくみあわせた 四則混合しそくこんごう の計算けいさんができるようになります。 ここがしっかりできると、 ほかの章しょうの計算けいさんもこわくありません。

• 分数ぶんすうのたし算さん・ひき算さん (通分つうぶんをする)
• 分数ぶんすうのかけ算ざん (分母ぶんぼどうし・分子ぶんしどうしをかける)
• 分数ぶんすうのわり算ざん (わる数すうを逆数ぎゃくすうにしてかける)
• 計算けいさんの順序じゅんじょ (かけ算ざんわり算ざんが先さき、 かっこが先せん)

ポイント: 分数ぶんすうの計算けいさんでいちばん大事だいじなのは、 答えこたえを約分やくぶんして、 できるだけ簡単かんたんな分数ぶんすうにする ことです。 とちゅうで約分やくぶんできるところは、 先さきに約分やくぶんすると計算けいさんが楽らくになります。

1. たし算さん・ひき算さん

分母ぶんぼがちがう分数ぶんすうのたし算さん・ひき算さんは、 まず 通分つうぶん (分母ぶんぼをそろえること) をします。 分母ぶんぼを最小公倍数さいしょうこうばいすうにそろえると計算けいさんが楽らくです。

例題れいだい: $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$ を計算けいさんしましょう。

分母ぶんぼ$2$ と $3$ の最小公倍数さいしょうこうばいすうは $6$ なので、 分母ぶんぼを $6$ にそろえます。

$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$

検算けんざん: $\frac{3}{6}$ は $\frac{1}{2}$、 $\frac{2}{6}$ は $\frac{1}{3}$ にもどせる。 合あわせて $\frac{5}{6}$。 正ただしい。

例題れいだい: $\frac{5}{6}-\frac{1}{4}$ を計算けいさんしましょう。

分母ぶんぼ$6$ と $4$ の最小公倍数さいしょうこうばいすうは $12$。

$\frac{5}{6}-\frac{1}{4}=\frac{10}{12}-\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$

検算けんざん: $\frac{10}{12}$ は $\frac{5}{6}$、 $\frac{3}{12}$ は $\frac{1}{4}$。 差さは $\frac{7}{12}$。 正ただしい。

大事だいじ: 通分つうぶんするとき、 分子ぶんしも分母ぶんぼにかけた数かずと 同おなじ数すう をかけます。 $\frac{5}{6}$ を $12$分のいくつにするときは、 分母ぶんぼを $2$倍したので分子ぶんしも $2$倍して $\frac{10}{12}$ です。

2. かけ算ざん

分数ぶんすうのかけ算ざんは、 分母ぶんぼどうし・分子ぶんしどうしをかける だけです。 とちゅうで約分やくぶんできるときは、 先さきに約分やくぶんすると楽らくになります。

$\frac{2}{3}\times \frac{5}{7}=\frac{2\times 5}{3\times 7}=\frac{10}{21}$

例題れいだい: $\frac{3}{4}\times \frac{8}{9}$ を計算けいさんしましょう。

先さきに約分やくぶんします。 $3$ と $9$ は $3$ で、 $4$ と $8$ は $4$ で約分やくぶんできます。

$\frac{3}{4}\times \frac{8}{9}=\frac{1}{1}\times \frac{2}{3}=\frac{2}{3}$

検算けんざん: 約分やくぶんせずに計算けいさんすると $\frac{3\times 8}{4\times 9}=\frac{24}{36}$。 これを約分やくぶんすると $\frac{2}{3}$。 同おなじ答えこたえになる。 正ただしい。

大事だいじ: 約分やくぶんは、 かけ算ざんのときだけ とちゅうでできます。 たし算さん・ひき算さんのときに、 ななめに約分やくぶんしてはいけません。

3. わり算ざん

分数ぶんすうのわり算ざんは、 わる数すうの分母ぶんぼと分子ぶんしを入いれかえた数かず (逆数ぎゃくすう) をかける と計算けいさんできます。

$\frac{2}{3}÷\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\times \frac{5}{4}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$

例題れいだい: $\frac{3}{8}÷\frac{9}{4}$ を計算けいさんしましょう。

わる数$\frac{9}{4}$ の逆数ぎゃくすうは $\frac{4}{9}$ なので、

$\frac{3}{8}÷\frac{9}{4}=\frac{3}{8}\times \frac{4}{9}=\frac{1}{6}$

検算けんざん: $\frac{3\times 4}{8\times 9}=\frac{12}{72}$、 約分やくぶんして $\frac{1}{6}$。 正ただしい。

ポイント: 逆数ぎゃくすうとは、 かけると $1$ になる数かずのことです。 $\frac{4}{9}$ の逆数ぎゃくすうは $\frac{9}{4}$。 整数せいすう$5$ の逆数ぎゃくすうは $\frac{1}{5}$ です ($5$ は $\frac{5}{1}$ と考かんがえる)。

4. 四則しそく混合こんごうと計算けいさんの順序じゅんじょ

たし算さん・ひき算さん・かけ算ざん・わり算ざんがまじった計算けいさんでは、 かけ算ざん・わり算ざんを先さきに、 たし算さん・ひき算さんはあと、 かっこがあればかっこの中なかを先さきに計算けいさんします。

例題れいだい: $\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\times \frac{3}{4}$ を計算けいさんしましょう。

先さきにかけ算ざんをします。 $\frac{2}{3}\times \frac{3}{4}=\frac{1}{2}$ (約分やくぶんして)。

$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$

検算けんざん: $\frac{2}{3}\times \frac{3}{4}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$ ($\circ$)。 $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$。 正ただしい。

例題れいだい: $(\frac{3}{4}-\frac{1}{2})÷\frac{1}{8}$ を計算けいさんしましょう。

まずかっこの中なかを計算けいさんします。 $\frac{3}{4}-\frac{1}{2}=\frac{3}{4}-\frac{2}{4}=\frac{1}{4}$。

$\frac{1}{4}÷\frac{1}{8}=\frac{1}{4}\times \frac{8}{1}=\frac{8}{4}=2$

検算けんざん: $\frac{1}{4}$ の中なかに $\frac{1}{8}$ は $2$個こ分ぶん入はいる。 たしかに $2$。 正ただしい。

大事だいじ: 計算けいさんの順序じゅんじょは 「かっこ → かけ算ざんわり算ざん → たし算さんひき算さん」 の順じゅん。 分数ぶんすうになっても、 この順序じゅんじょは整数せいすうや小数しょうすうのときと同おなじです。

どう問とわれるか

• 計算けいさん問題もんだいでは 「$\frac{2}{3}+\frac{1}{6}\times 2$」 のような 四則しそく混合こんごう の計算けいさんが定番ていばんです。
• かっこをふくむ分数ぶんすうの計算けいさんもよく出でます。 かっこの中なかを先さきに計算けいさんしましょう。
• 文章ぶんしょう題だいでは、 分数ぶんすうのかけ算ざんわり算ざんを使つかって 「$\frac{3}{4}$ m の重おもさが $\frac{2}{3}$ kg のとき、 $1$ m の重おもさは何なに kg か」 のような問題もんだいが出でます。

よくまちがえるところ

分数ぶんすうの計算けいさんのミスは、 ほとんどがつぎの 4 つに当あてはまります。

まちがい	例れい	直なおし方かた
わり算ざんで両方りょうほうを逆数ぎゃくすうにする	3/8 ÷ 9/4 を 8/3 × 4/9 とする	ひっくり返かえすのは わる数すうだけ。 3/8 × 4/9
たし算さんで分母ぶんぼどうしをたす	1/2 + 1/3 を 2/5 とする	通分つうぶんして 3/6 + 2/6 = 5/6
たし算さん・ひき算さんでななめに約分やくぶんする	1/2 + 2/3 の 2 と 2 を消けす	約分やくぶんできるのは かけ算ざん・わり算ざんに直なおしたときだけ
答えこたえを約分やくぶんし忘わすれる	2/3 ÷ 4/5 を 10/12 で止とめる	最後さいごに 5/6 まで直なおす

いちばん多おおいのは わり算ざんで片方かたほうだけ逆数ぎゃくすうにするのを忘わすれる (または両方りょうほうひっくり返かえす) ミスです。 わり算ざんは 「÷ を × に変かえる」 と 「わる数すうの分母ぶんぼと分子ぶんしを入いれかえる」 の 2 つを 同時どうじに 行おこない、 わられる数かずはそのままにします。 3/8 ÷ 9/4 なら、 手てをつけるのは 9/4 のほうだけで、 3/8 は動うごかしません。

分数ぶんすうのわり算ざんの手順てじゅん

わり算ざんは、 つぎの順じゅんに手てを動うごかすとまちがえません。 例れいとして 3/8 ÷ 9/4 を計算けいさんします。

順番じゅんばん	すること	このときの式しき
1	わる数すう (÷ の右みぎ) に印しるしをつける	わる数すうは 9/4
2	÷ を × に変かえる	3/8 × 9/4
3	わる数すうだけ分母ぶんぼと分子ぶんしを入いれかえる	3/8 × 4/9
4	かける前まえに約分やくぶんする	3と9は3で、 8と4は4で
5	分母ぶんぼどうし・分子ぶんしどうしをかける	1/6

四則しそく混合こんごうでは、 この手順てじゅんに入はいる前まえに 計算けいさんの順序じゅんじょ を決きめます。 かっこがあればかっこの中なか、 つぎにかけ算ざんわり算ざん、 最後さいごにたし算さんひき算さんです。 順序じゅんじょを決きめてから計算けいさんを始はじめると、 とちゅうで迷まよわなくなります。

自分じぶんでチェック

• わる数すうだけを逆数ぎゃくすうにして、 ÷ を × に直なおせる
• 分母ぶんぼのちがう分数ぶんすうを最小公倍数さいしょうこうばいすうで通分つうぶんできる
• 約分やくぶんできるのは かけ算ざんのときだけだと説明せつめいできる
• かっこ → かけ算ざんわり算ざん → たし算さんひき算さん の順じゅんで計算けいさんできる
• 答えこたえをそれ以上いじょう約分やくぶんできない形かたちにしてから書かける

まとめ

• たし算さん・ひき算さんは通分つうぶんしてから (最小公倍数さいしょうこうばいすうにそろえる)
• かけ算ざんは分母ぶんぼどうし・分子ぶんしどうしをかける、 とちゅうで約分やくぶんできる
• わり算ざんはわる数すうの逆数ぎゃくすうをかける
• 計算けいさんの順序じゅんじょは 「かっこ → かけ算ざんわり算ざん → たし算さんひき算さん」
• 答えこたえはいつも約分やくぶんして、 できるだけ簡単かんたんな分数ぶんすうに

次じ章しょうでは、 $x$ などの文字もじを使つかって数かずや数量すうりょうを表あらわす 文字もじと式しき を学まなびます。