比例ひれいと反比例はんぴれい — 式しきと表ひょう・きまり

この章しょうで学まなぶこと

小しょう6 では、 一方いっぽうが変かわるともう一方いっぽうも決きまって変かわる $2$ つの量りょう、 比例ひれい と 反比例はんぴれい を学まなびます。 中学ちゅうがくの関数かんすうにつながる大切たいせつな内容ないようです。

• 比例ひれいの意味いみと式しき
• 反比例はんぴれいの意味いみと式しき
• 表ひょうからきまった数きまったかずを見みつける

ポイント: 比例ひれいは 「$x$ が $2$倍、 $3$倍になると $y$ も $2$倍、 $3$倍」、 反比例はんぴれいは 「$x$ が $2$倍になると $y$ は $\frac{1}{2}$倍」。 まずこのちがいをおさえましょう。

1. 比例ひれい

$x$ が $2$倍、 $3$倍 … になると、 $y$ も $2$倍、 $3$倍 … になるとき、 $y$ は $x$ に 比例ひれいする といいます。 このとき、

$y=きまった数\times x$

と表あらわせます。 きまった数きまったかずは、 $y÷x$ でいつも同おなじ値あたいになります。

例題れいだい: 次つぎの表ひょうは、 $x$ と $y$ が比例ひれいする関係かんけいです。 $y$ を $x$ の式しきで表あらわし、 $x=7$ のときの $y$ を求もとめましょう。

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$3$	$6$	$9$	$12$

きまった数きまったかずは $y÷x=3÷1=3$ (どの組ぐみでも同おなじ)。 だから

$y=3\times x$

$x=7$ のとき、 $y=3\times 7=21$。

検算けんざん: $6÷2=3$、 $9÷3=3$、 $12÷4=3$。 どの組くみも $y÷x=3$。 式しきは正ただしい。 $x=7$ で $y=21$。

大事だいじ: 比例ひれいでは、 $y÷x$ がいつも同おなじ値あたい (きまった数きまったかず) になります。 表ひょうから $1$組の $x,y$ を選えらんでわれば、 きまった数かずがすぐ求もとまります。

2. 反比例はんぴれい

$x$ が $2$倍、 $3$倍 … になると、 $y$ が $\frac{1}{2}$倍、 $\frac{1}{3}$倍 … になるとき、 $y$ は $x$ に 反比例はんぴれいする といいます。 このとき、 $x$ と $y$ の積$x\times y$ がいつも同おなじ値あたい (きまった数きまったかず) になります。

$x\times y=きまった数(y=\frac{x}{})$

例題れいだい: 次つぎの表ひょうは、 $x$ と $y$ が反比例はんぴれいする関係かんけいです。 $x=6$ のときの $y$ を求もとめましょう。

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$12$	$6$	$4$	$3$

きまった数きまったかずは $x\times y=1\times 12=12$ (どの組ぐみでも同おなじ)。 だから $y=\frac{12}{x}$。

$x=6$ のとき、 $y=12÷6=2$。

検算けんざん: $2\times 6=12$、 $3\times 4=12$、 $4\times 3=12$。 どの組くみも $x\times y=12$。 $x=6$ で $y=2$ なら $6\times 2=12$。 合あう。 正ただしい。

大事だいじ: 反比例はんぴれいでは、 $x\times y$ がいつも同おなじ値あたいになります。 これを使つかうと、 $1$組の $x,y$ からきまった数きまったかずがすぐ求もとまり、 ほかの値あたいも計算けいさんできます。

3. 比例ひれいと反比例はんぴれいの見分みわけ方かた

表ひょうを見みて、 どちらの関係かんけいかを見分みわけます。

調しらべ方かた	比例ひれい	反比例はんぴれい
$x$ が $2$倍になると	$y$ も $2$倍	$y$ は $\frac{1}{2}$倍
いつも同おなじになるもの	$y÷x$	$x\times y$

例題れいだい: ある仕事しごとを $1$人ですると $12$日かかります。 同おなじ仕事しごとを $3$人ですると何なん日にちかかりますか (人数にんずうが増ふえると日数にっすうは反比例はんぴれいして減へるとします)。

人数にんずう × 日数にっすう がきまった数かずで、 $1\times 12=12$。 $3$人なら、

$12÷3=4 \left(日\right)$

検算けんざん: $3\times 4=12$。 きまった数かずと合あう。 正ただしい。

ポイント: 「人数にんずうが増ふえると日数にっすうが減へる」 「速はやさが速はやくなると時間じかんが短みじかくなる」 のように、 一方いっぽうが増ふえるともう一方いっぽうが減へる 関係かんけいは反比例はんぴれいのことが多おおいです。 表ひょうで $x\times y$ が一定いっていかを確たしかめましょう。

どう問とわれるか

• 「表ひょうを見みて、 $y$ を $x$ の式しきで表あらわしましょう」 のように、 きまった数きまったかずを見みつける問題もんだいが定番ていばんです。
• 「比例ひれいの表ひょうで、 $x=8$ のときの $y$ を求もとめましょう」 のような計算けいさん問題もんだいもよく出でます。
• 「$x$ と $y$ は比例ひれい・反比例はんぴれいのどちらですか」 のように、 関係かんけいを見分みわける問題もんだいも出でます。

まとめ

• 比例ひれい: $y=きまった数\times x$、 $y÷x$ が一定いってい
• 反比例はんぴれい: $x\times y=きまった数$ が一定いってい
• $x$ が $2$倍 → 比例ひれいは $y$ も $2$倍、 反比例はんぴれいは $y$ が $\frac{1}{2}$倍
• 表ひょうから $1$組を選えらんできまった数きまったかずを求もとめるのがコツ

次じ章しょうでは、 データを整理せいりして特とくちょうを読よみとる 資料しりょうの整理せいり・場合の数ばあいのかず を学まなびます。