比例ひれいと反比例はんぴれい — 式しきと表ひょう・きまり

この章しょうで学まなぶこと

小しょう6 では、 一方いっぽうが変かわるともう一方いっぽうも決きまって変かわる $2$ つの量りょう、 比例ひれい と 反比例はんぴれい を学まなびます。 中学ちゅうがくの関数かんすうにつながる大切たいせつな内容ないようです。

• 比例ひれいの意味いみと式しき
• 反比例はんぴれいの意味いみと式しき
• 表ひょうからきまった数きまったかずを見みつける

ポイント: 比例ひれいは 「$x$ が $2$倍、 $3$倍になると $y$ も $2$倍、 $3$倍」、 反比例はんぴれいは 「$x$ が $2$倍になると $y$ は $\frac{1}{2}$倍」。 まずこのちがいをおさえましょう。

1. 比例ひれい

$x$ が $2$倍、 $3$倍 … になると、 $y$ も $2$倍、 $3$倍 … になるとき、 $y$ は $x$ に 比例ひれいする といいます。 このとき、

$y=きまった数\times x$

と表あらわせます。 きまった数きまったかずは、 $y÷x$ でいつも同おなじ値あたいになります。

例題れいだい: 次つぎの表ひょうは、 $x$ と $y$ が比例ひれいする関係かんけいです。 $y$ を $x$ の式しきで表あらわし、 $x=7$ のときの $y$ を求もとめましょう。

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$3$	$6$	$9$	$12$

きまった数きまったかずは $y÷x=3÷1=3$ (どの組ぐみでも同おなじ)。 だから

$y=3\times x$

$x=7$ のとき、 $y=3\times 7=21$。

検算けんざん: $6÷2=3$、 $9÷3=3$、 $12÷4=3$。 どの組くみも $y÷x=3$。 式しきは正ただしい。 $x=7$ で $y=21$。

大事だいじ: 比例ひれいでは、 $y÷x$ がいつも同おなじ値あたい (きまった数きまったかず) になります。 表ひょうから $1$組の $x,y$ を選えらんでわれば、 きまった数かずがすぐ求もとまります。

2. 反比例はんぴれい

$x$ が $2$倍、 $3$倍 … になると、 $y$ が $\frac{1}{2}$倍、 $\frac{1}{3}$倍 … になるとき、 $y$ は $x$ に 反比例はんぴれいする といいます。 このとき、 $x$ と $y$ の積$x\times y$ がいつも同おなじ値あたい (きまった数きまったかず) になります。

$x\times y=きまった数(y=\frac{x}{})$

例題れいだい: 次つぎの表ひょうは、 $x$ と $y$ が反比例はんぴれいする関係かんけいです。 $x=6$ のときの $y$ を求もとめましょう。

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$12$	$6$	$4$	$3$

きまった数きまったかずは $x\times y=1\times 12=12$ (どの組ぐみでも同おなじ)。 だから $y=\frac{12}{x}$。

$x=6$ のとき、 $y=12÷6=2$。

検算けんざん: $2\times 6=12$、 $3\times 4=12$、 $4\times 3=12$。 どの組くみも $x\times y=12$。 $x=6$ で $y=2$ なら $6\times 2=12$。 合あう。 正ただしい。

大事だいじ: 反比例はんぴれいでは、 $x\times y$ がいつも同おなじ値あたいになります。 これを使つかうと、 $1$組の $x,y$ からきまった数きまったかずがすぐ求もとまり、 ほかの値あたいも計算けいさんできます。

3. 比例ひれいと反比例はんぴれいの見分みわけ方かた

表ひょうを見みて、 どちらの関係かんけいかを見分みわけます。

調しらべ方かた	比例ひれい	反比例はんぴれい
$x$ が $2$倍になると	$y$ も $2$倍	$y$ は $\frac{1}{2}$倍
いつも同おなじになるもの	$y÷x$	$x\times y$

例題れいだい: ある仕事しごとを $1$人ですると $12$日かかります。 同おなじ仕事しごとを $3$人ですると何なん日にちかかりますか (人数にんずうが増ふえると日数にっすうは反比例はんぴれいして減へるとします)。

人数にんずう × 日数にっすう がきまった数かずで、 $1\times 12=12$。 $3$人なら、

$12÷3=4 \left(日\right)$

検算けんざん: $3\times 4=12$。 きまった数かずと合あう。 正ただしい。

ポイント: 「人数にんずうが増ふえると日数にっすうが減へる」 「速はやさが速はやくなると時間じかんが短みじかくなる」 のように、 一方いっぽうが増ふえるともう一方いっぽうが減へる 関係かんけいは反比例はんぴれいのことが多おおいです。 表ひょうで $x\times y$ が一定いっていかを確たしかめましょう。

どう問とわれるか

• 「表ひょうを見みて、 $y$ を $x$ の式しきで表あらわしましょう」 のように、 きまった数きまったかずを見みつける問題もんだいが定番ていばんです。
• 「比例ひれいの表ひょうで、 $x=8$ のときの $y$ を求もとめましょう」 のような計算けいさん問題もんだいもよく出でます。
• 「$x$ と $y$ は比例ひれい・反比例はんぴれいのどちらですか」 のように、 関係かんけいを見分みわける問題もんだいも出でます。

よくまちがえるところ

比例ひれいと反比例はんぴれいでは、 「いつも同おなじになるもの」 を取とりちがえるとすべての答えこたえがずれます。

まちがい	例れい	直なおし方かた
反比例はんぴれいの表ひょうを比例ひれいと決きめる	x が 2 倍ばいで y が半分はんぶんなのに y = 2 × x とする	いつも同おなじになるのが y ÷ x なら比例ひれい、 x × y なら反比例はんぴれい
きまった数かずを x ÷ y で求もとめる	x = 1, y = 3 で きまった数かずを 1/3 とする	比例ひれいのきまった数かずは y ÷ x = 3
表ひょうの 1 組くみだけ見みて決きめる	最初さいしょの組くみだけ調しらべて比例ひれいと決きめる	どの組くみでも同おなじ値あたいになるかを全部ぜんぶ確たしかめる
反比例はんぴれいで y も同おなじ倍ばいになるとする	x = 2, y = 6 から、 x = 6 のとき y = 18 とする	積せきが 12 で一定いっていなので y = 12 ÷ 6 = 2

いちばん多おおいのは 比例ひれいと反比例はんぴれいの取とりちがえ です。 比例ひれいは 「x が 2 倍ばいになると y も 2 倍ばい」 で、 y ÷ x がいつも同おなじ値あたいになります。 反比例はんぴれいは 「x が 2 倍ばいになると y は 1/2 倍ばい」 で、 x × y がいつも同おなじ値あたいになります。 表ひょうを見みたら、 まず 2 つの列れつを実際じっさいにわり算ざん・かけ算ざんしてみて、 どちらが一定いっていかを目めで確たしかめましょう。

表ひょうのたしかめ方かた

表ひょうからきまった数かずを出だすときは、 つぎの順じゅんにすべての組くみを調しらべます。 例れいは x が 1, 2, 3, 4 で y が 12, 6, 4, 3 の表ひょうです。

順番じゅんばん	すること	このときの値あたい
1	いくつかの組くみで y ÷ x を計算けいさんする	12, 3, 4/3, 3/4 とばらばら
2	同おなじ値あたいならば比例ひれい。 ちがえば次つぎへ	比例ひれいではない
3	同おなじ組くみで x × y を計算けいさんする	12, 12, 12, 12
4	同おなじ値あたいなら反比例はんぴれい。 その値あたいがきまった数かず	きまった数かずは 12
5	きまった数かずを使つかって、 聞きかれた値あたいを出だす	x = 6 なら y = 12 ÷ 6 = 2

出だした答えこたえは、 もう一度いちど きまった数かずにもどして確たしかめます。 x = 6, y = 2 なら 6 × 2 = 12 で、 表ひょうと同おなじ値あたいになりました。 比例ひれいなら y ÷ x、 反比例はんぴれいなら x × y で確たしかめる、 と決きめておくと速はやいです。

自分じぶんでチェック

• 比例ひれいは y = きまった数かず × x と書かけると言いえる
• 反比例はんぴれいは x × y がいつも同おなじ値あたいになると言いえる
• 表ひょうのすべての組くみを調しらべて、 比例ひれいか反比例はんぴれいかを見分みわけられる
• 比例ひれいのきまった数かずを y ÷ x で求もとめられる
• 反比例はんぴれいのきまった数かずから、 別べつの x に対たいする y を求もとめられる

まとめ

• 比例ひれい: $y=きまった数\times x$、 $y÷x$ が一定いってい
• 反比例はんぴれい: $x\times y=きまった数$ が一定いってい
• $x$ が $2$倍 → 比例ひれいは $y$ も $2$倍、 反比例はんぴれいは $y$ が $\frac{1}{2}$倍
• 表ひょうから $1$組を選えらんできまった数きまったかずを求もとめるのがコツ

次じ章しょうでは、 データを整理せいりして特とくちょうを読よみとる 資料しりょうの整理せいり・場合の数ばあいのかず を学まなびます。